/江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)4月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值（

）A． B． C．1 D．42．?dāng)?shù)列，3，，15，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（

）A． B．C． D．3．曲線在處切線的斜率為（

）A．4 B．2 C． D．4．三位老師和三位學(xué)生站成一排，要求任何兩位學(xué)生都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．144 C．36 D．125．已知隨機(jī)變量的分布列為024則（

）A． B． C． D．6．若圓上恰好有4個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（）A．2 B． C． D．48．已知，若，則的值為（

）A．3 B．22 C．43 D．45二、多選題（本大題共3小題）9．已知，分別為隨機(jī)事件，的對(duì)立事件，，，則（

）A．當(dāng)，獨(dú)立時(shí)，B．當(dāng)，互斥時(shí)，C．D．.10．已知函數(shù)，則有（

）A．當(dāng)時(shí)，在R上遞增B．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)11．定義：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則稱為“回旋數(shù)列”.若為“回旋數(shù)列”，,，設(shè)的前項(xiàng)和為，從中任意抽取兩個(gè)數(shù)，設(shè)兩個(gè)數(shù)之和大于0的概率為，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知為等差數(shù)列，且，則.13．現(xiàn)有6本不同的書分配給甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外兩人每人得1本，則有種不同的分配方式.14．在直三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)面上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在的展開(kāi)式中，已知前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值；(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).16．假設(shè)有兩個(gè)密閉的盒子，第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)白球與2個(gè)紅球，第二個(gè)盒子里裝有2個(gè)白球與4個(gè)紅球，這些小球除顏色外完全相同.(1)從兩個(gè)盒子中分別取出一個(gè)球，求取到紅球的概率；(2)每次從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，取出的球不再放回，經(jīng)過(guò)兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；(3)若先從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球放入第二個(gè)盒子中，搖勻后，再?gòu)牡诙€(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，求從第二個(gè)盒子里取出的球是紅球的概率.17．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于不同的兩點(diǎn)，若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.18．如圖①，在中，分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，并連接，得到四棱錐，如圖②，設(shè)平面平面.(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面的夾角.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；(2)若有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，且直線平面，所以，所以，解得.故選B.2．【正確答案】A【詳解】數(shù)列各項(xiàng)正?負(fù)交替，故可用來(lái)調(diào)節(jié)，又，所以通項(xiàng)公式為故選A.3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以曲線在處切線的斜率為.故選D.4．【正確答案】B【詳解】解：因?yàn)橐笕魏蝺晌粚W(xué)生不站在一起，所以可以采用插空法，先排3位老師，有種結(jié)果，再使三位學(xué)生在教師形成的4個(gè)空上排列，有種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果.故選B.5．【正確答案】B【詳解】由分布列性質(zhì)知，，解得，則，則．故選B.6．【正確答案】D【詳解】由圓上恰好有4個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為3，可知圓心到直線的距離，即，所以，解得，故選D.7．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以在等邊中?故選D.8．【正確答案】C【詳解】已知，而..等式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)可得，，再令，可得，即.故選C.9．【正確答案】ABD【詳解】若獨(dú)立，則，A正確；若互斥，則，B正確；因?yàn)椋珻錯(cuò)誤，D正確.故選ABD.10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，，恒成立，故在R上遞增，A正確；對(duì)于B，，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，又，所以有2個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故關(guān)于對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，單調(diào)遞增，不滿足有2個(gè)極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選AC.11．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“回旋數(shù)列”，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為6，又，故，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，故A正確；，所以，所以，故B錯(cuò)誤；從中任意抽取兩個(gè)數(shù)，有種取法，其中兩個(gè)數(shù)之和大于0的取法包含取一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)與它之后的所有偶數(shù)項(xiàng)，或取一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)與它之后的所有偶數(shù)項(xiàng)，故有，所以，所以，故C正確；又，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】2【詳解】方法一：設(shè)公差為，則，所以.方法二：因?yàn)椋?13．【正確答案】90【詳解】先在6本書中選擇4本分給1人，然后把最后2本平均分成兩組，再倍縮，3組和3人組成全排列，故有種不同的分配方式.14．【正確答案】【詳解】如圖取中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，當(dāng)，且或時(shí)，取最大值4，當(dāng)，且時(shí)，取最小值2，所以的取值范圍為.15．【正確答案】(1)70(2)，，【詳解】（1）展開(kāi)式中第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次為，，，依題意有，，即，整理得，解得（舍去）或，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.（2）由（1）知，，又，，由可得，故展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為：，，.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“取到紅球”為事件，則，即取到紅球的概率為.（2）依題意，記事件表示第次從第一個(gè)盒子里取出紅球，記事件表示兩次取球中有紅球，則，即所求概率為.（3）記事件表示從第一個(gè)盒子里取出紅球，記事件表示從第一個(gè)盒子里取出白球，記事件表示從第二個(gè)盒子里取出紅球，則.即所求概率為.17．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，則，即，又過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去y可得.因?yàn)橹本€與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，則，解得，設(shè)，則，可得，且原點(diǎn)到直線的距離，則，若的面積不小于，即，整理可得，解得，可得，綜上所述：直線的斜率的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3).【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）因?yàn)?，所以，由?）知，，所以，在圖（1）中，，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.由（2）知，平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，即.在中，，所以.又，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.取的中點(diǎn)，連接，則.由（1）知，平面，又平面，所以.又平面，所以平面（方法一）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以是平面的一個(gè)法向量.又平面，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面的夾角為.（方法二）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，且以過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以是平面的一個(gè)法向量.又是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面的夾角為.19．【正確答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞