甘肅省武威市第七中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C．2 D．2．設(shè)向量，若，則（

）A．5 B．2 C．1 D．03．天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）A． B． C． D．4．正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．55．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知三棱錐中，，，，E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角大小為（

）A． B． C． D．7．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，，測(cè)得，，，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔高（）A． B． C． D．8．如圖，在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)且滿足，是上的點(diǎn)且滿足，與交于點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知事件，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨(dú)立，那么D．如果A，B與C兩兩互斥，那么10．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）．A．若平面α，β垂直同一個(gè)平面，則B．若且，則C．若平面α，β不平行，則在平面α內(nèi)不存在平行于平面β的直線D．若，且，則l與α所成的角和m與β所成的角相等11．下列式子化簡正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為．13．某圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓，若該圓錐的體積為，則該圓錐的全面積為．14．如圖，已知正方體的棱長為1，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過三點(diǎn)作正方體的截面，若為棱的中點(diǎn)，則截面的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).(1)求m的值；(2)若是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值.16．已知，，與的夾角為45°.(1)求在方向上的投影向量；(2)求的值；(3)若向量與平行且方向相同，求實(shí)數(shù).17．某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，要求選拔過程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x拔合格后方可進(jìn)入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨(dú)立.根據(jù)甲?乙?丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次為；第二次選拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次為.(1)求第一次選拔后甲?乙兩人中只有甲合格的概率；(2)求甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后，恰有一人合格的概率.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.19．如圖，已知為圓O的直徑，D為線段上一點(diǎn)，且，為圓O上一點(diǎn)，且，平面，．(1)求；(2)求證：；(3)求三棱錐的體積．

參考答案1．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】復(fù)數(shù)，則的虛部是2.故選C.2．【答案】A【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【詳解】向量，，，，可得，．故選．3．【答案】B【分析】根據(jù)題意，計(jì)算隨機(jī)數(shù)中每組數(shù)中有2個(gè)數(shù)字在集合中判斷即可【詳解】由題意，隨機(jī)數(shù)中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故選：B.4．【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得，在中，由余弦定理可得，所以.故選B.5．【答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，所以.故選C.6．【答案】A【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，在中，為與所成的角，代入數(shù)據(jù)求值即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，又為的中點(diǎn)，所以，，同理可得，，則為與所成的角，因?yàn)?，所以，在中，，所以與所成的角為.故選A.7．【答案】D【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.【詳解】在中，，，，由正弦定理，可得，可得，在中，，所以塔高.故選D.8．【答案】D【分析】設(shè)，分別得到和，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)，由，又由，所以，解得，可得，因?yàn)?，所以，所?故選D.9．【答案】ABD【分析】由互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】對(duì)于A：如果，那么，，故A正確；對(duì)于B：如果A與B互斥，那么，，故B正確；對(duì)于C：如果A與B相互獨(dú)立，那么，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如果A，B與C兩兩互斥，那么，故D正確.故選ABD.10．【答案】BD【詳解】對(duì)于A：若平面α，β垂直同一個(gè)平面，與可能相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由線面的位置關(guān)系可知，若且，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)平面相交時(shí)，在平面內(nèi)平行于交線的直線與平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)閮蓷l平行直線與同一平面所成角相等，若兩平面平行，則兩條平行直線與兩個(gè)平行平面所成角相等，故D正確；故選BD.11．【答案】BC【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項(xiàng)A；利用輔助角公式可判斷選項(xiàng)B；利用誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式可判斷選項(xiàng)C；利用及兩角差的正切公式可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選BC.12．【答案】【分析】利用列舉法求解，先列出從5個(gè)數(shù)任取2個(gè)數(shù)的所有情況，再列出這2個(gè)數(shù)之積大于5的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的所有情況有：，共10種情況，其中兩個(gè)數(shù)的之積大于5的有，共6種情況，所以所求概率為.13．【答案】12π【分析】根據(jù)題意，由圓錐側(cè)面展開圖面積可得，再由圓錐的體積公式可得底面圓的半徑，再由圓錐的表面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由圓錐側(cè)面展開圖為半圓可得，即，又圓錐的體積為，即，又，則，所以，所以，解得，則，所以圓錐的全面積為．14．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則平面為所求截面，易知其為等腰梯形，利用面積公式計(jì)算即得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，易證四邊形為等腰梯形，上底，下底，腰長，則其高為，所以計(jì)算可得其面積為.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由純虛數(shù)的概念列不等式組，求參數(shù)m；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)根的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系求p，q的值.【詳解】（1）由題設(shè)有，可得；（2）由（1）及題設(shè)可知，，是方程的兩個(gè)根，所以.故.16．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)投影向量求解公式求出答案；（2）平方后求出，得到模長；（3）根據(jù)兩向量平行得到方程，求出的兩個(gè)解，檢驗(yàn)是否方向相同，得到答案.【詳解】（1），，與的夾角為45°，，在方向上的投影向量為；（2），；（3）與平行，，，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方向相同；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方向相反，故舍去..17．【答案】(1)0.2(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式可得；（2）由互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得.【詳解】（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件，設(shè)表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則；（2）分別設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后合格為事件A，B，C，事件表示經(jīng)過前后兩次選拔后，恰有一人合格，則，所以.18．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由三角恒等變換化簡，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最大值即可得解；（3）先寫出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.【詳解】（1），由，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即；?），由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為.【方法總結(jié)】求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．19．【答案】(1)(2)證明見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）由，得到，再由平面，得到，證得