11.2

古典概型、條件概率與全概率公式第十一章課標(biāo)要求1.結(jié)合具體實(shí)例,理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.2.結(jié)合古典概型,了解條件概率,能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的條件概率.3.結(jié)合古典概型,了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.4.結(jié)合古典概型,會利用乘法公式計(jì)算概率.5.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計(jì)算概率.*了解貝葉斯公式.備考指導(dǎo)古典概型、條件概率與全概率公式是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,高考中一般在選擇題、填空題中考查,難度中等.值得注意的是:條件概率在高考出現(xiàn)的頻率提高,增加了全概率公式,整體要求提高了.因此本節(jié)知識的復(fù)習(xí),要多結(jié)合實(shí)際情境進(jìn)行,尤其是對于條件概率與全概率公式的理解,更要總結(jié)出模型的特點(diǎn).本節(jié)常用的方法有公式法、列舉法、圖表法;素養(yǎng)方面要加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的培養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)【知識篩查】

1.古典概型具有以下兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個;(2)等可能性:每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個樣本點(diǎn),則定義事件A的概率其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù).3.條件概率及其性質(zhì)

概率的乘法公式:由條件概率的定義,對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).問題思考條件概率中,P(B|A)與P(A|B)的意義一樣嗎?不一樣,P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率;P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”這三個結(jié)果是等可能的.(

)(2)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為(500±5)g的袋裝食鹽中任取一袋測其質(zhì)量,屬于古典概型.(

)(3)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時發(fā)生的概率.(

)(4)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).(

)××√√2.(多選)為吸引顧客,某商場舉辦購物抽獎活動.抽獎規(guī)則是:從裝有2個白球和3個紅球(小球除顏色外,完全相同)的抽獎箱中,不放回地依次摸取兩次,每次摸出1個球,記為一次抽獎.若摸出的2個球顏色相同,則為中獎,否則為不中獎,下列隨機(jī)事件的概率正確的是(

)ABD3.環(huán)保部門為降低某社區(qū)在改造過程中產(chǎn)生的揚(yáng)塵污染,決定對全部街道采取灑水降塵作業(yè).該社區(qū)街道的平面結(jié)構(gòu)如圖所示(線段代表街道),灑水車隨機(jī)選擇A,B,C,D,E,F中的一點(diǎn)駛?cè)脒M(jìn)行作業(yè),則選擇的駛?cè)朦c(diǎn)使灑水車能夠不重復(fù)地走遍全部街道的概率為(

)B依題意,只有從E或B駛?cè)?才能使灑水車不重復(fù)地走遍全部街道,故選擇的駛?cè)朦c(diǎn)使灑水車能夠不重復(fù)地走遍全部街道的概率為4.已知P(B|A)=0.3,P(A)=0.5,P(B)=0.8,則P(A|B)=

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5.(2023廣東六校聯(lián)考)某公司在某地區(qū)對商品A進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位購買商品A的顧客的性別,其中男性顧客18位.已知該地區(qū)商品A的購買率為10%,該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人是男性,則此人購買商品A的概率為

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設(shè)從該地區(qū)中任選一人,此人是男性為事件B,此人購買商品A為事件C,則該地區(qū)男性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?-46%=54%,第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1古典概型例1

(1)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取2次,每次隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(

)D從5張卡片中有放回地抽取2次,每次隨機(jī)抽取1張的所有可能結(jié)果有25種,用樹狀圖表示如圖.

第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的可能結(jié)果有10種,故所求概率(2)(2024新高考Ⅰ,14)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字,甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為

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設(shè)每輪比賽中,甲選的卡片上的數(shù)字為i,乙選的卡片上的數(shù)字為j,則每輪比賽可用數(shù)字組(i,j)表示,其中i=1,3,5,7,j=2,4,6,8.當(dāng)甲選的卡片上的數(shù)字為1時,甲這一輪得0分,所以在四輪比賽中,甲最多得3分,且要得3分,只有一種情形,即(1,8),(3,2),(5,4),(7,6).甲得2分,有以下情形:①當(dāng)甲所選卡片上的數(shù)字為3和5時分別得1分,所選卡片上的數(shù)字為1和7時分別得0分,有(1,6),(3,2),(5,4),(7,8),共1種.②當(dāng)甲所選卡片上的數(shù)字為3和7時分別得1分,所選卡片上的數(shù)字為1和5時分別得0分,有(1,8),(3,2),(5,6),(7,4);(1,6),(3,2),(5,8),(7,4);(1,4),(3,2),(5,8),(7,6),共3種.

解題心得求古典概型概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)的總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù);求解時,可以用列舉法、列表法、樹狀圖法求解,也可以利用兩個計(jì)數(shù)原理、排列與組合的知識求解.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個小組的概率為(

)A由已知得試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)},共9個等可能的樣本點(diǎn),設(shè)事件A=“兩人參加同一個小組”,則A={(A,A),(B,B),(C,C)},共3個等可能的樣本點(diǎn),所以兩人參加同一個小組的概率為(2)甲從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個不同的元素,并按降序排列得到十進(jìn)制三位數(shù)a,乙從集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三個不同的元素,并按降序排列得到十進(jìn)制三位數(shù)b,則a>b的概率為

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能力形成點(diǎn)2條件概率例2

(1)小紅的媽媽為小紅煮了7個湯圓,其中3個黑芝麻餡,4個五仁餡,小紅隨機(jī)吃掉2個,設(shè)事件A=“吃掉的2個是同一種餡”,B=“吃掉的2個都是黑芝麻餡”,則P(B|A)=(

)B(2)已知某產(chǎn)品的次品率為4%,其合格品中75%為一級品,則任選一件產(chǎn)品為一級品的概率為(

)A.0.75 B.0.96C.0.72 D.0.78C記“任選一件產(chǎn)品為合格品”為事件A,記“任選一件產(chǎn)品為一級品”為事件B.由于一級品必是合格品,故事件A包含事件B,因此P(AB)=P(B).由合格品中75%為一級品知P(B|A)=0.75.故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)某地醫(yī)療資源匱乏,需要從某市某醫(yī)院某科室的5名男醫(yī)生(含1名主任醫(yī)師)、4名女醫(yī)生(含1名主任醫(yī)師)中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生支援,則在有1名主任醫(yī)師被選派的條件下,2名主任醫(yī)師都被選派的概率為(

)B設(shè)事件A表示“有1名主任醫(yī)師被選派”,事件B表示“2名主任醫(yī)師都被選派”,則在有1名主任醫(yī)師被選派的條件下,2名主任醫(yī)師都被選派的概率為(2)王先生每天早上坐公交車上班,他第一天5分鐘內(nèi)坐上公交車的概率為0.6,當(dāng)?shù)谝惶?分鐘內(nèi)坐上公交車時,第二天也5分鐘內(nèi)坐上公交車的概率為0.3,試求王先生兩天都5分鐘內(nèi)坐上公交車的概率.解

設(shè)Ai表示“第i天5分鐘內(nèi)坐上公交車”,i=1,2,則由已知可得P(A1)=0.6,P(A2|A1)=0.3.所以P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.6×0.3=0.18.所以王先生兩天都5分鐘內(nèi)坐上公交車的概率為0.18.能力形成點(diǎn)3全概率公式的應(yīng)用例3

假設(shè)某工廠生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品所占的百分率及其優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示:從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,求取到的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率.解

設(shè)事件A1=“取到的產(chǎn)品是甲產(chǎn)品”,A2=“取到的產(chǎn)品是乙產(chǎn)品”,A3=“取到的產(chǎn)品是丙產(chǎn)品”,B=“取到的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品”,則由已知得P(A1)=0.6,P(A2)=0.2,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.85,P(B|A3)=0.8.故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.6×0.9+0.2×0.85+0.2×0.8=0.87.解題心得全概率公式為復(fù)雜事件的概率計(jì)算提供了一條有效途徑,是概率論中一個有效的分析工具,其重要意義在于:對于一個復(fù)雜的事件,若無法直接求出它的概率,則可以“化整為零”,通過選擇樣本空間的劃分將該復(fù)雜事件分解為若干個簡單事件來進(jìn)行處理,從而使分析問題的思路變得清晰條理,化繁為簡,化難為易.對點(diǎn)訓(xùn)練3現(xiàn)有編號為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三個口袋,其中Ⅰ號袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個2號球與一個3號球;Ⅱ號袋內(nèi)裝有兩個1號球與一個3號球;Ⅲ號袋內(nèi)裝有三個1號球與兩個2號球.第一次從Ⅰ號袋內(nèi)隨機(jī)摸出一個球,放入與球上號數(shù)相同的口袋中,第二次從放入球的口袋中隨機(jī)摸出一個球,則第二次摸到幾號球的概率最大,為什么?解

記事件Ai,Bi分別表示第一、二次摸到i號球,i=1,2,3,則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升條件概率性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

典例

在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)抽出6道題,考生至少答對其中的4道題即可通過;至少答對其中的5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對20道題中的10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀的概率.解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題,另一道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題,另2道題答錯