江西省大余衡立實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是（

）A． B．C． D．2．若數(shù)列滿足，，則的值為（

）A．2 B． C． D．3．已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．1 D．25．已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．8．如圖，正方體中，分別是上的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn).下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面截正方體所得截面為等腰梯形B．平面平面C．存在點(diǎn)，使得平面D．存在點(diǎn)，使得二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）A．若，則，，成等比數(shù)列B．若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為等比數(shù)列D．若，，，則為等比數(shù)列10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且對于任意，滿足，則（

）A． B． C． D．11．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．中最大的是12．已知圓，直線，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．圓被軸截得的弦長為C．圓被直線截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為D．直線與圓相交于、兩點(diǎn)，不可能為三、填空題13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則．15．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為．16．沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款．四、解答題17．在等比數(shù)列中：（1）若，且，求；（2）若，求和公比q．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）設(shè)軸上方的點(diǎn)，分別在的左支與右支上，若，求四邊形的面積．22．如圖所示，在四棱錐中，平面為上一點(diǎn)，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案1．【答案】C【詳解】對于A，，故為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤.對于B，，故為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤.對于C，，故為遞增數(shù)列，故C正確.對于D，，故為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選C.2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，…，可得，則．故選A.3．【答案】B【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，所以前項(xiàng)的和為，解得.故選B4．【答案】A【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知，，所以，化簡，得，解得或舍去，所以故選5．【答案】B【詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，.故選B.6．【答案】B【詳解】在等比數(shù)列中，，所以，所以，又，設(shè)公比為q，則，所以．故選B7．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以時(shí)，．兩式相減得到，故，時(shí)不適合此式，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；所以的最小值．故選:C．8．【答案】D.【詳解】對于A，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由中位線性質(zhì)可得，顯然，所以,即可得四點(diǎn)共面，即四邊形即為平面截正方體所得截面，易知，所以四邊形為等腰梯形，即A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)正方體的棱長為2，可得，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，解得，令，可得；所以，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，解得，可得，；所以，顯然，即，所以平面平面，即B正確；對于C，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，且，又且，可得，即四邊形為平行四邊形，可得，又平面，平面，即平面；所以存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，使得平面，可得C正確；對于D，由B選項(xiàng)中空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：可得，即，設(shè)，則；此時(shí)，即不成立；所以不存在點(diǎn)，使得，即D錯(cuò)誤.故選D.9．【答案】BCD【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，，不成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對于B，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則此時(shí)有，且，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；對于C，若，則，（），滿足，于是，則，且，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，而，，，，因此?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故D正確．故選BCD.10．【答案】BD【詳解】因?yàn)閷τ谌我?，滿足，則，可得，數(shù)列在時(shí)是等差數(shù)列，公差為2．且，則，，故A錯(cuò)誤，B正確；，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選BD.11．【答案】BD【詳解】對于AC：因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)?，所以，解得；所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，故AC錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，所以，故C正確；對于D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，，所以，，故D正確.故選BD.12．【答案】AD【詳解】將直線的方程變形為.令，用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程可得：，即，解得.把代入，得，解得.所以直線過定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.在圓的方程中，令，則，即，，，解得，.所以弦長為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.已知圓：，則圓心，半徑.由前面可知直線過定點(diǎn)，.當(dāng)直線與垂直時(shí)，圓被直線截得的弦長最短，此時(shí)直線的斜率.又直線過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.若，則圓心到直線的距離.點(diǎn)到直線的距離.假設(shè)，兩邊平方可得，即，，此時(shí)，方程無解，所以不可能為，D選項(xiàng)正確.故選AD.13．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所?14．【答案】147【詳解】．15．【答案】【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得：，所以.16．【答案】【詳解】由題意得，，.17．【答案】（1）127（2）或【詳解】（1）∵為等比數(shù)列，且，∴．∴，又，∴舍去）．∴．（2）①當(dāng)時(shí)，．又，∴，即，解得（舍去），∴．②當(dāng)時(shí)，，∴．綜上得或18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)可得，即，當(dāng)時(shí)，②，由①-②得，即，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）因?yàn)椋?，，兩式相減得，，即，故.19．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，且，即，可得，且.故數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不符號上式，所以.20．【答案】【詳解】由題意，得，．又符合,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.21．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，依題意，，半焦距，而，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，而，由，得，依題意，，解得，即，，，等腰底邊上的高，又四邊形為梯形，則，