河南省開封市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，，且，則（

）A． B． C．2 D．62．一批產(chǎn)品中次品率為，隨機(jī)抽取1件，定義，則（

）A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.0953．已知等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．0 D．14．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．已知的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A．21 B．42 C．84 D．1686．在圓上任意取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．由成對樣本數(shù)據(jù)，且得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中（單位：cm）為女生的身高，（單位：cm）為其父親的身高，則（

）A．直線必經(jīng)過點(diǎn)B．直線至少經(jīng)過點(diǎn)，且中的一點(diǎn)C．已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為D．兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高相差10．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等比數(shù)列的前n項(xiàng)積，且，則（

）A． B． C． D．11．過拋物線上一點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．可能取到3 D．可能取到4三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓，則圓C的半徑．13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則橢圓的離心率為．14．學(xué)校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，2個集體節(jié)目分別安排在第1個和最后1個，還有3個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目，1個小品節(jié)目，要求同類節(jié)目不能連續(xù)安排，則共有種不同的排法（填寫數(shù)字）．四、解答題（本大題共5小題）15．已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點(diǎn)，求l的方程．16．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)插入的數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，求該數(shù)列前項(xiàng)的和．17．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知陽馬中，側(cè)棱底面；且，在的中點(diǎn)中選擇一個記為點(diǎn)，使得四面體為鱉臑．(1)確定點(diǎn)的位置，并證明四面體為鱉臑；(2)若底面是邊長為1的正方形，求平面與平面夾角的余弦值．18．在11分制乒乓球比賽中，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為p，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．已知在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束，且．(1)求p的值；(2)求再打2個球甲新增的得分Y的分布列和均值；(3)記事件“，且甲獲勝”的概率為，求．19．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，其中．對于點(diǎn)，設(shè)．若在處取最小值，則稱點(diǎn)為M的“f最近點(diǎn)”．(1)若，，，求M的“f最近點(diǎn)”；(2)已知函數(shù)，，，證明：對任意，既是的“f最近點(diǎn)”，也是的“f最近點(diǎn)”．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的垂直坐標(biāo)表示，列方程求.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?故選B.2．【答案】A【分析】由均值的性質(zhì)即可求解.【詳解】.故選A.3．【答案】B【分析】由等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，所?故選B.4．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程.【詳解】由，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，則切線方程為，即切線方程為，故選D.5．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得，求解即可.【詳解】由，可得展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈恼归_式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以.故選A.6．【答案】D【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用坐標(biāo)代換法求出軌跡方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意點(diǎn)在圓上，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選D.7．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，由題意得在上2個解，，故，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；故選C.8．【答案】C【分析】選取為基底，將進(jìn)行分解，可表示出：，，，進(jìn)一步結(jié)合向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖所示，延長，使得，由題意點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，而，因?yàn)?，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，的最小值為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選C.9．【答案】AC【分析】根據(jù)回歸直線方程的相關(guān)性質(zhì)分別判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A：回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對于B：回歸直線可不過任意一點(diǎn)，且，故B錯誤；對于C：已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為，故C正確；對于D：兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高的估計(jì)值相差，故D錯誤.故選AC.10．【答案】BCD【分析】對于A，令結(jié)合基本不等式可舉出反例，對于B，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的中項(xiàng)即可判斷；對于C，由等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷；對于D，直接由定義驗(yàn)算即可.【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選BCD.11．【答案】AD【分析】對于AB，要使最大，只需最大，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義以及兩點(diǎn)間距離公式得出的范圍即可判斷；對于CD，結(jié)合等面積法得到，結(jié)合的范圍即可判斷.【詳解】對于AB，圓的圓心為，半徑為，設(shè)，，要使最大，只需最大，即只需，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為，的最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，由以上分析可知，的取值范圍是，的取值范圍是，顯然，，由等面積法有，所以，又的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤，D正確.故選AD.12．【答案】2【分析】將題目中圓的一般方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.【詳解】由圓，整理可得：，則圓的半徑為.故答案為：2.13．【答案】/【分析】由題意得，再結(jié)合橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，這意味著，所以.故答案為：.14．【答案】240【分析】先分步，第一步：先排2個集體節(jié)目，第二步：排剩余6個節(jié)目，在這里又要分類，利用計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步：2個集體節(jié)目共有種排法；第二步：設(shè)先后順序?yàn)榈?，2，3，4，5，6，7，8場，第一類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，6場，再排剩下的節(jié)目共有（種）排法；第二類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，7場，再排剩下的節(jié)目共有（種）排法；第三類：將3個音樂節(jié)目排在第2，5，7場，再排剩下的節(jié)目共有（種）排法；第四類：將3個音樂節(jié)目排在第3，5，7場，再排剩下的節(jié)目共有（種）排法；綜上所述，滿足題意的排法共有（種）.故答案為：240.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義得，，再結(jié)合關(guān)系即可得到答案；（2）求出，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用即可.【詳解】（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.（2）已知，所以，設(shè)直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點(diǎn)，所以的方程為:.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，則得到其通項(xiàng)公式；（2）求出，則，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項(xiàng)公式是.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列與前項(xiàng)的和分別為，則.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可證平面，平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量與平面的一個法向量，進(jìn)而利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面體為鱉臑；（2）如圖，分別以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)分布列見解析，均值為(3)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）首先分析得的可能取值為0，1，2，再按步驟寫出其分布列，最后計(jì)算均值即可；（3）對和分析研究，再求出甲先發(fā)球，甲、乙各得1分的概率為，最后得到，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到答案.【詳解】（1）由題意可知，對應(yīng)的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以，解得.（2）的可能取值為0，1，2，的分布列為：，，，012所以.（3）且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分；且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分.按照甲先發(fā)球，甲、乙各得1分的概率為，所以，且，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.19．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）由函數(shù)新定義得，只需求出的最小值以及取最小值時的的值即可；（2）先得出的表達(dá)式，設(shè)既是的“f最近點(diǎn)”，也是的“f最近點(diǎn)”，然后結(jié)合新定義、平