高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2025屆高三下學(xué)期四月調(diào)研考試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故.故選：B.2.已知全集，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.3.已知單位向量滿足，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】，則.故選：D.4.設(shè)雙曲線的離心率為，實軸長為，若曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的實軸長為，所以，因為雙曲線的離心率為，所以，則，所以，雙曲線的方程為，因為曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，由橢圓的定義可知，曲線是以雙曲線的兩個焦點為焦點，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，所以，，因此，橢圓的方程為.故選：D.5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，則，又因為，則，可得，可知2為的一個周期，所以.故選：B.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，故，所以，即，故.故選：A.7.從1，2，3，4，5中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所有組成的數(shù)中能被3整除的數(shù)有（）A.24個 B.30個 C.32個 D.48個【答案】A【解析】能被3整除，則這三個數(shù)字之和為3的倍數(shù)，則取出的這三個數(shù)可能的情況為：，則在所有組成的數(shù)中能被3整除的數(shù)有個.故選：.8.已知，，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，因為、，所以，即，因為，則，所以，或，解得或.因此，的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量及其增長速度如圖所示，則（）A.2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增長B.2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量的中位數(shù)是1106億件C.2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量增長速度的極差是19.4％D.估計我國2019年的快遞業(yè)務(wù)量大于500億件【答案】ABD【解析】對于A中，根據(jù)統(tǒng)計圖表，可得2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增長，所以A正確．對于B中，2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量分別為，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為億件，所以B正確；對于C中，2020至2024年我國快遞業(yè)務(wù)量增長速度的極差為，所以C錯誤．對于D中，設(shè)我國2019年快遞業(yè)務(wù)量為億件，則，可得，所以D正確．故選：ABD.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因，即，對于選項A：例如，則，故A錯誤；對于選項B：因為，且在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故B正確；對于選項C：因為，且，則，所以，故C正確；對于選項D：因為，即，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以，故D正確；故選：BCD.11.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，其水平反映了繪畫者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型．如圖，這是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品，該“十字貫穿體”是由一個圓錐和一個圓柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，圓錐的兩條母線與圓柱相切，其中一個切點為，圓柱側(cè)面的母線平行于圓錐的底面，為圓錐的頂點，圓錐的一條母線與圓柱的側(cè)面交于兩點，且為圓柱側(cè)面上到圓錐底面距離最大的點，圓錐的母線長為，其底面圓的半徑為，圓柱的半徑為，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.點到圓錐底面的距離為D.點到圓錐底面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，過點作軸截面，為圓錐的母線與與圓柱的切點，為圓錐的高，為與圓柱的交點，如圖1，由題意可知，先計算，又已知，.因為，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即.已知，，，，由可得：.因為，所以.由可得：，化簡同求OD過程類似，可得，所以A選項正確對于B，點到圓錐底面的距離即點到圓錐底面的距離，已知，因為，，所以，C選項正確.對于D，點到圓錐底面的距離即點到圓錐底面的距離，已知，因為，，所以，D選項正確.對于B，過點，，作截面，如圖2所示，易得.已知，，，則，所以B選項錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小正周期為________．【答案】【解析】因為，如下圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.13.定義：表示點到曲線上任意一點的距離的最小值．已知是圓上的動點，圓，則的取值范圍為________．【答案】【解析】記為坐標(biāo)原點，圓的圓心為原點，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，且，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)點時，取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點時，取最大值，故.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在實數(shù)、、，使得，且、、成等差數(shù)列，則________．【答案】【解析】因為，函數(shù)的圖象是保留函數(shù)在上的圖象，并去除函數(shù)在上的圖象，再將函數(shù)在上的圖象關(guān)于軸翻折，可得到函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時，方程解分別為、、、，因為，所以，、、為、、、中的三個數(shù)，因為、、成等差數(shù)列，且，所以，、、對應(yīng)的數(shù)為、、或、、，根據(jù)對稱性，不妨取、、為對應(yīng)的、、，因為，所以，因為，所以，因為，所以，令，則，因為函數(shù)為減函數(shù)，且，所以，方程的解為，即，解得，，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若直線與曲線相切，求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，則，由，可得，所以直線與曲線的切點坐標(biāo)為，故，解得.（2）因為，所以函數(shù)的定義域為，由可得，由可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）由（2）可得，解得，又因為，故實數(shù)的取值范圍是.16.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，的面積為．（1）求角的大小；（2）若，求的周長．解：（1）由余弦定理可得，即，因，即，所以，因為，故.（2）由正弦定理可得，由（1）可得，可得，所以，，則，故，因為，所以，故，因此，的周長為.17.如圖，邊長為2的正方形是圓柱的軸截面，為底面圓上的點，為線段的中點．（1）證明：平面．（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．（1）證明：取線段的中點，連接．在中，．因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，則．因為平面平面，所以平面．（2）解：連接．因為是圓的直徑，所以．過點作圓柱的母線，則平面，所以互相垂直．以為原點，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，所以．設(shè)為平面的法向量，所以，令，則．易知直線的一個方向向量為．記直線與平面所成的角為，則，化簡得．結(jié)合，解得，所以．18.已知點、在拋物線上，為原點，且是以為斜邊的等腰直角三角形，斜邊長為．（1）求拋物線的方程；（2）若點在圓上，過點分別作的直線、與拋物線相切于、兩點，求的取值范圍．解：（1）由題意知，、兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)點在軸右側(cè)，則，即點，將點的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，解得，故拋物線的方程為.（2）不妨設(shè)點、分別在第一、二象限，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，，由得，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，同理可知，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得，解得，則，故點，因為點在圓上，所以，且，顯然成立，過點作軸的垂線，垂足為點，，，，令，因為，則，，所以，令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最小值，且最小值為，當(dāng)時，取最大值，且最大值為.因此，的取范圍是.19.某商家為吸引顧客，準(zhǔn)備了兩份獎品，凡是進(jìn)店消費即可參與抽獎，獎品被抽完即抽獎活動終止．抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和質(zhì)地相同），取出紅球，則不獲獎，取出白球，則獲獎．剛開始盒子中有個白球和個紅球，參與抽獎的顧客從盒子中隨機抽取1個球，若不獲獎，則將球放回，該顧客抽獎結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎．若獲獎，則將球放回后再往盒子中加個紅球，該顧客再繼續(xù)抽獎．若第二次抽獎不獲獎，則將球放回，該顧客只獲得一份獎品，抽獎結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎；若第二次抽獎獲獎，則該顧客獲得兩份獎品，整個抽獎活動結(jié)束．該活動深受顧客喜歡，假設(shè)這兩份獎品沒被抽完前始終有顧客參與抽獎．（1）求第名和第名顧客各抽中一份獎品的概率；（2）求這兩份獎品都被第名顧客抽取的概率；（3）求由第名顧客終止抽獎活動的概率．解：（1）由題意可得第名和第名顧客各抽中一份獎品，即第名顧客抽取的是紅球；第名顧客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是紅球；第名顧客抽取的是白球.故第名和第名顧客各抽中一份獎品的概率為.（2）這兩份獎品被第名顧客抽走的概率為，被第名顧客抽走的概率為，被第名顧客抽走的概率為，，被第名顧客抽走的概率為.