【基礎(chǔ)】向量的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合.①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.這說(shuō)明如果且，那么.③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫(xiě)成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問(wèn)題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過(guò)向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問(wèn)題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來(lái)表示．選擇了不共線的兩個(gè)向量、，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．要點(diǎn)二：向量的夾角已知兩個(gè)非零向量與，在平面上任取一點(diǎn)O，作，，則叫做與的夾角，記為〈，〉．當(dāng)向量與不共線時(shí)，與的夾角；當(dāng)向量與共線時(shí)，若同向，則；若反向，則，綜上可知向量與的夾角．當(dāng)向量與的夾角是，就說(shuō)與垂直，記作．要點(diǎn)詮釋：（1）向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問(wèn)題．（2）向量是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直．要點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)表示1．正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．要點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量、互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．把=叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．要點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．要點(diǎn)四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)實(shí)數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=(x，y)2．如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長(zhǎng)度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．要點(diǎn)五：平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示1．平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要點(diǎn)詮釋：若，則∥不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?.2.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若則A，B，C三點(diǎn)共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理例1．如果、是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）①可以表示平面內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)有無(wú)窮多個(gè)；③若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得；④若實(shí)數(shù)，使得，則．A．①②B．②③C．③④D．②【思路點(diǎn)撥】考查平面向量基本定理．【答案】B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的．對(duì)于③，當(dāng)向量與均為零向量，即時(shí)，滿足條件的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．故選B．【總結(jié)升華】考查兩個(gè)向量能否構(gòu)成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一表示．例2．如圖所示，四邊形OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，C為對(duì)角線的交點(diǎn)．又，，試用，表示，．【解析】由題意，得，所以，則，，．．【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結(jié)合實(shí)數(shù)與向量的積的定義，解題時(shí)要注意解題途徑的優(yōu)化與組合．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，是中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)，試用基底表示：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）====（2）=（3）在中，取同理：是的中點(diǎn)==類型二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問(wèn)題例3．（2017春山東棗莊月考）設(shè)，是二個(gè)不共線向量，知，，．（1）證明：A、B、D三點(diǎn)共線（2）若，且B、D、F三點(diǎn)共線，求k的值．【思路點(diǎn)撥】向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想．【答案】（1）略；（2）=3，k=12．【解析】（1）證明：，∵與有公共點(diǎn)，∴A、B、D三點(diǎn)共線（2）解：∵B、D、F三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)，使，∴，∴，又∵，不共線，∴，解得=3，k=12．【總結(jié)升華】證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．舉一反三：【變式1】（2018山西朔州月考）設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．若，求證：A、B、C三點(diǎn)共線．【證明】∵，，∴共線，∵有公共端點(diǎn)B．∴A、B、C三點(diǎn)共線．類型三：平面向量的正交分解例4．如下圖，分別用基底，表示向量、、，并求出它們的坐標(biāo)．【解析】由圖可知，∴=（―2，3）．同理可知=3+4=（3，4）．=4―4=（4，―5）．舉一反三：【變式1】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在第二象限，，∠x(chóng)OM=120°，求的坐標(biāo)．【解析】設(shè)M（x，y），則．，即，所以．【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示方法，對(duì)此要從兩個(gè)方面加深理解：一是相等向量的坐標(biāo)相同；二是當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．類型四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例5．已知，且求M、N及的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】設(shè)，則同理可求，因此【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點(diǎn)、終點(diǎn)、相對(duì)位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，可求第三個(gè).在求解時(shí)，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運(yùn)用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量中最常用也是最基本的運(yùn)算，必須熟練掌握.舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)以及求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為，由題意得因?yàn)?，所以有和，解得和所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(-2，0)，從而類型五：平面向量平行的坐標(biāo)表示例6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，求、的坐標(biāo)，并判斷、是否共線．【解析】已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），∴，，其坐標(biāo)滿足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴、共線．【總結(jié)升華】求出兩向量的坐標(biāo)，驗(yàn)證x1y2－x2y1=0即可．舉一反三：【變式1】向量，，，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？【解析】，．∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．∴當(dāng)k=―2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．【總結(jié)升華】以上方法是用了A、B、C三點(diǎn)共線即公共點(diǎn)的兩個(gè)向量，共線，本題還可以利用A、B、C三點(diǎn)共線或，即得k=―2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．【變式2】（2017秋海南期末）已知，，（1）若k為何值時(shí)，與共線．（2）若，，且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）．．∵與共線∴2(k―2)―(―1)×5=0，即2k－4+5=0，得．（2）∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴．∴存在實(shí)數(shù)，使得，又與不共線，∴，解得．例7．如圖，已知點(diǎn)A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】方法一：由O、P、B三點(diǎn)共線，可設(shè)，則．，由與共線得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得，所以．所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．方法二：設(shè)P（x，y），則，因?yàn)?，且與共線，所以，即x=y．又，，且與共線，則得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．【總結(jié)升華】（1）平面向量的坐標(biāo)表示，使向量問(wèn)題完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)，這樣很多幾何問(wèn)題的證明，就轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量運(yùn)算．（2）要注意把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)，只有當(dāng)始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等．舉一反三：【變式1】如圖，已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解析】設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．∵，．由，得（1，2）=（3―x，4―y）．∴，∴．∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．【鞏固練習(xí)】1．設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）A．、一定平行B．、的模相等C．對(duì)一平面內(nèi)的任一向量，都有=+（、∈R）D．若、不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)的任一向量，都有=+（、∈R）2．已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，且，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．（3，2）D．（1，3）3.已知向量且.則，的值分別為()A.–2，1B.1，-2C.2，-1D.-1，24．已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D5．（2017四川）設(shè)向量與向量共線，則實(shí)數(shù)x=（）A．2B．3C．4D．66．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若，，則等于（）A．（―2，―4）B．（―3，―5）C．（3，5）D．（2，4）7．已知向量、不共線，＝k＋(k∈R)，＝－.如果∥，那么()A．k＝1且與同向B．k＝1且與反向C．k＝－1且與同向D．k＝－1且與反向8．設(shè)點(diǎn)A（2，3），B（5，4）C（7，10），若，若點(diǎn)在第三象限，則的取值范圍是（）A．B．C．D．9．如圖在正方形ABCD中，設(shè)，，，則在以，為基底時(shí)，可表示為_(kāi)_______，在以，為基底時(shí)，可表示為_(kāi)_______．10．（2017東山模擬）在三角形ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，若，則x+y=________．11.，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________.12．（2017江蘇）已知向量，，若，則m―n的值為_(kāi)_______．13．（2018河北盧龍縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若，試以為基底表示．14．（2017秋貴州遵義期末）已知，．（1）求；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，與平行，并說(shuō)明平行時(shí)它們是同向還是反向？15．已知點(diǎn)，線段AB的三等分點(diǎn)（點(diǎn)C靠近A）．（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)E相對(duì)點(diǎn)B的位置向量為，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案與解析】1．【答案】D【解析】、是任意向量，A、B、C都不一定成立，只有、不共線，由平面向量基本定