2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專題06集合的概念及其表示分層訓(xùn)練（含答案）專題06集合的概念及其表示A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知表示正整數(shù)集合，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．133．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．是不大于3的自然數(shù)組成的集合B．由1，3，，，，，組成的集合有7個(gè)元素C．和表示相同的集合D．表示空集4．（2021·江蘇省天一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列關(guān)于集合表述正確的是（

）A．是的真子集 B．C． D．5．（2021·遼寧·遼師大附中高一階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．集合{x|x<3，x∈N}中只有兩個(gè)元素B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}C．整數(shù)集可表示為{Z}D．有理數(shù)集表示為{x|x為有理數(shù)集}6．（2022·云南·曲靖一中高二期中）已知集合，，則集合的關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．（2020·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）集合，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±18．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））設(shè)集合，則集合M的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．8 D．79．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．910．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，211．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，或，則（

）A． B． C． D．12．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）若集合，則對(duì)于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（

）A． B．C． D．13．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）由所確定的實(shí)數(shù)集合是________．14．（2021·江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則=___________．15．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）滿足{1，2，3}的所有集合A是___________．16．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）從集合的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①?U都要選出；②對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有或.則選法有___________種.17．（2022·江蘇·高一）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.18．（2022·安徽·高一期中）設(shè)集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為________

B組能力提升19．（2021·四川巴中·高一期中）(多選題)下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．20．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）(多選題)下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．21．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高一期中）(多選題)下列關(guān)系中正確的有（

）A． B．C． D．22．（2021·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高一期中）(多選題)下列命題正確的是（

）A．方程組的解構(gòu)成的集合是；B．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件；C．與是同一函數(shù)；D．已知，且，則的取值范圍是．23．（2021·重慶市涪陵第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）(多選題)已知集合中有且只有一個(gè)元素，那么實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B．1 C．0 D．24．（2021·廣西·高一階段練習(xí)）(多選題)已知集合，為自然數(shù)集，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．25．（2021·湖北·竹溪縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）(多選題)下列說法不正確的是（

）A．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為B．不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是C．函數(shù)的最小值為2D．“”是“”的充分不必要條件26．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）(多選題)下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．27．（2021·湖南·衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）(多選題)已知M由0，2，4，6，8組成的集合，.(1)用列舉法表示集合N，用描述法表示集合M（書寫格式要規(guī)范）(2)若x∈B而x?A，則稱B不是A的子集.結(jié)合集合M，N寫出5個(gè)含M中3個(gè)元素但不是M的子集的集合.

28．（2022·北京西城·高一期末）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．29．（2022·黑龍江·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.

30．（2021·四川自貢·高一期中）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求滿足AB的實(shí)數(shù)的取值范圍.31．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)集合，，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求集合A的子集的個(gè)數(shù)．專題06集合的概念及其表示A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用列舉法寫出集合，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以中?個(gè)元素．故選：C.2．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知表示正整數(shù)集合，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)，即可知元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，又，由，則，由，則，由，則，同理，均屬于集合A，所以第一象限中有13個(gè)點(diǎn)屬于集合A.故選：D3．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．是不大于3的自然數(shù)組成的集合B．由1，3，，，，，組成的集合有7個(gè)元素C．和表示相同的集合D．表示空集【答案】C【解析】【分析】由自然數(shù)集可判斷A；由集合元素的互異性可判斷B；由集合元素的無序性可判斷C；由表示以空集為元素的集合可判斷D.【詳解】對(duì)于A，不大于3的自然數(shù)組成的集合是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，結(jié)合集合元素的互異性，可知由1，3，，，，，組成的集合有5個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由集合元素的無序性可知兩個(gè)集合相等，故C正確；對(duì)于D，表示空集，表示以空集為元素的集合，故D錯(cuò)誤；故選：C4．（2021·江蘇省天一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列關(guān)于集合表述正確的是（

）A．是的真子集 B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的相關(guān)知識(shí)結(jié)合方程和不等式依次判斷即可.【詳解】是的真子集，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榉匠虩o實(shí)根，所以正確，故B正確；由得，又，所以，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．（2021·遼寧·遼師大附中高一階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．集合{x|x<3，x∈N}中只有兩個(gè)元素B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}C．整數(shù)集可表示為{Z}D．有理數(shù)集表示為{x|x為有理數(shù)集}【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，以及集合的表示方法，判斷選項(xiàng).【詳解】A.集合中元素有0，1，2，錯(cuò)；B.，正確；C.整數(shù)集表示為Z，錯(cuò)；D.有理數(shù)集表示為{x|x為有理數(shù)}，錯(cuò).故選：B.6．（2022·云南·曲靖一中高二期中）已知集合，，則集合的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用列舉法進(jìn)行判斷即可.【詳解】，，發(fā)現(xiàn)，故選：A．7．（2020·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）集合，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等，那么兩個(gè)集合中的元素完全一致，求出的值，進(jìn)而計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，，又因?yàn)椋?，所以，故選B.8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））設(shè)集合，則集合M的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】D【解析】【分析】求出集合中的元素，再由子集的定義求解．【詳解】由題意，因此其真子集個(gè)數(shù)為．故選：D．9．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再根據(jù)集合，列舉求解.【詳解】解：由，解得，所以．所以，共有7個(gè)元素，故選：B．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】【分析】由集合中元素確定性得到：，或，通過檢驗(yàn)，排除掉.【詳解】由集合中元素的確定性知或．當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當(dāng)時(shí)，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．11．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，或，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】解出集合，利用集合的運(yùn)算、集合間的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榛?，則，，，故選：A.12．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）若集合，則對(duì)于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集和并集的性質(zhì)，結(jié)合子集的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由于，同理知，故，故選：A13．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）由所確定的實(shí)數(shù)集合是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故答案為：14．（2021·江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則=___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合相等求得值，然后計(jì)算．【詳解】由題意，所以，即，所以，，時(shí)，與元素互異性矛盾，舍去，時(shí)，兩個(gè)集合為．滿足題意．所以．故答案為：．15．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）滿足{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【解析】【分析】由題意可得集合A中至少有一個(gè)元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，從而可求出集合A【詳解】因?yàn)閧1，2，3}，所以集合A中至少有一個(gè)元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案為：{1}或{1，2}或{1，3}16．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）從集合的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①?U都要選出；②對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有或.則選法有___________種.【答案】【解析】【分析】分析出當(dāng)一個(gè)子集只含有m個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集可以包含，，個(gè)元素，所以共有種選法；再進(jìn)行求和即可.【詳解】因?yàn)?U都要選出；故再選出兩個(gè)不同的子集，即為M，N，因?yàn)檫x出的任意兩個(gè)子集A和B，必有或，故各個(gè)子集所包含的元素個(gè)數(shù)必須依次增加，且元素個(gè)數(shù)多的子集包含元素個(gè)數(shù)少的子集，當(dāng)一個(gè)子集只含有1個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集可以包含2，3，4個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)一個(gè)子集只含有2個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集可以包含3，4，個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)一個(gè)子集只含有3個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集包含4，5，個(gè)元素，所以共有種選法；……當(dāng)一個(gè)子集只含有m個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集可以包含，，個(gè)元素，所以共有種選法；……當(dāng)一個(gè)子集有個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集包含個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)一個(gè)子集有個(gè)元素時(shí)，另外一個(gè)子集包含有個(gè)元素，即為U，不合題意，舍去；故共有.故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于集合與排列組合相結(jié)合的題目，要能通過分析，求出通項(xiàng)公式，再結(jié)合排列或組合的常用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.17．（2022·江蘇·高一）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.【答案】【解析】【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素帶入集合應(yīng)該滿足，從而得到的取值范圍.【詳解】解：，且，，解得，故的取值范圍是.故答案為：.18．（2022·安徽·高一期中）設(shè)集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為________【答案】16【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用子集的定義求解.【詳解】解：，故A的子集個(gè)數(shù)為，故答案為：16B組能力提升19．（2021·四川巴中·高一期中）(多選題)下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空集、子集、真子集的定義即可求解.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)榭占瘺]有任何元素，所以錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：由子集的定義可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.20．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）(多選題)下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，表示方法及集合相等的條件逐個(gè)分析判斷【詳解】解：方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點(diǎn)的集合，而，所以，所以B錯(cuò)誤；集合，都表示大于2的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD．21．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高一期中）(多選題)下列關(guān)系中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)常用集合的專用符號(hào)，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，以及集合的補(bǔ)運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)：表示整數(shù)集，是整數(shù)，故A正確；對(duì)：表示正整數(shù)集，不是正整數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)：表示有理數(shù)集，是有理數(shù)，故C正確；對(duì)：表示無理數(shù)構(gòu)成的集合，是無理數(shù)，故D正確；故選：ACD.22．（2021·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高一期中）(多選題)下列命題正確的是（

）A．方程組的解構(gòu)成的集合是；B．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件；C．與是同一函數(shù)；D．已知，且，則的取值范圍是．【答案】BD【解析】【分析】解方程組，由方程組解集的表示方法可知A錯(cuò)誤；由推出關(guān)系可知B正確；根據(jù)同一函數(shù)的定義知C錯(cuò)誤；將化為，利用不等式的性質(zhì)可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由得：，則方程組的解構(gòu)成的集合為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，；且；“”是“”的必要不充分條件，B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又，，，即的取值范圍是，D正確.故選：BD.23．（2021·重慶市涪陵第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）(多選題)已知集合中有且只有一個(gè)元素，那么實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B．1 C．0 D．【答案】AC【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合有且只有一個(gè)元素求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：AC24．（2021·廣西·高一階段練習(xí)）(多選題)已知集合，為自然數(shù)集，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】將集合用列舉法表示，再結(jié)合元素與集合、集合與集合間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)A，集合，所以，故A正確；對(duì)B，集合，故B正確；對(duì)C，是集合的子集，所以，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，故集合不包含于自然?shù)集，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.25．（2021·湖北·竹溪縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）(多選題)下列說法不正確的是（

）A．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為B．不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是C．函數(shù)的最小值為2D．“”是“”的充分不必要條件【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)集合間關(guān)系去求得實(shí)數(shù)m的值判斷選項(xiàng)A；依據(jù)恒成立的等價(jià)轉(zhuǎn)化判斷選項(xiàng)B；依據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域去判斷選項(xiàng)C；依據(jù)充分不必要條件的要求判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，若，則或，即或綜上，實(shí)數(shù)組成的集合為.選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立當(dāng)時(shí)，由不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，解之得綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.判斷正確；選項(xiàng)C：令，則，為上的增函數(shù)，最小值為即函數(shù)的最小值為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí).即由，不可以得出.由，可得.即由，可得出故“”是“”的必要不充分條件.判斷錯(cuò)誤.故選：ACD26．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）(多選題)下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)集合的概念及集合間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】由子集的定義易知B正確；對(duì)A，，錯(cuò)誤；對(duì)C，表示有2個(gè)元素的數(shù)集，表示有一個(gè)元素的點(diǎn)集，錯(cuò)誤；對(duì)D，空集是任何集合的子集，正確.27．（2021·湖南·衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）(多選題)已知M由0，2，4，6，8組成的集合，.(1)用列舉法表示集合N，用描述法表示集合M（書寫格式要規(guī)范）(2)若x∈B而x?A，則稱B不是A的子集.結(jié)合集合M，N寫出5個(gè)含M中3個(gè)元素但不是M的子集的集合.【答案】(1)；且（答案不唯一）；(2)（答案不唯一）.【解析】【分析】（1）利用集合的列舉法，描述法即得；（2）結(jié)合條件及子集的概念即得.(1)∵，∴，∵M(jìn)由0，2，4，6，8組成的集合，∴且（答案不唯一）；(2)由題可得含M中3個(gè)元素但不是M的子集的集合為：28．（2022·北京西城·高一期末）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．【答案】(1)(2)7(3)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定