2025年美國高中數(shù)學(xué)建模競賽模擬試卷（HiMCM）實(shí)戰(zhàn)指南：實(shí)際問題數(shù)學(xué)建模能力提升策略一、代數(shù)與函數(shù)要求：運(yùn)用代數(shù)知識解決實(shí)際問題，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)和圖像。1.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，求以下問題：（1）求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）求f(x)的極值點(diǎn)；（3）畫出f(x)的圖像，并標(biāo)出極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（4）求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。2.設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，且滿足a+b=5，ab=4，求以下問題：（1）求a^2+b^2的值；（2）求(a+b)^2的值；（3）求(a-b)^2的值；（4）判斷a、b的正負(fù)性。二、幾何與三角要求：運(yùn)用幾何知識解決實(shí)際問題，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)和圖像。1.已知直角三角形ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，求以下問題：（1）求AB的長度；（2）求∠A的正弦值、余弦值、正切值；（3）求∠B的正弦值、余弦值、正切值；（4）判斷∠A、∠B的大小關(guān)系。2.已知等腰三角形ABC，AB=AC=5，BC=8，求以下問題：（1）求∠A、∠B、∠C的大??；（2）求三角形ABC的面積；（3）求三角形ABC的周長；（4）判斷三角形ABC是否為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形。三、概率與統(tǒng)計(jì)要求：運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題，掌握統(tǒng)計(jì)方法的基本概念和計(jì)算。1.某班級有30名學(xué)生，其中有20名男生，10名女生?，F(xiàn)從該班級中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求以下問題：（1）求抽取的3名學(xué)生中至少有1名女生的概率；（2）求抽取的3名學(xué)生中全是女生的概率；（3）求抽取的3名學(xué)生中全是男生的概率；（4）求抽取的3名學(xué)生中男生和女生各占一半的概率。2.某商店銷售某種商品，每周的銷售額服從正態(tài)分布，均值為1000元，標(biāo)準(zhǔn)差為200元。求以下問題：（1）求該商品每周銷售額在800元至1200元之間的概率；（2）求該商品每周銷售額超過1400元的概率；（3）求該商品每周銷售額低于600元的概率；（4）求該商品每周銷售額在500元至1500元之間的概率。四、解析幾何要求：運(yùn)用解析幾何知識解決實(shí)際問題，掌握直線與圓的位置關(guān)系。1.已知直線L的方程為2x+3y-6=0，圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，求以下問題：（1）求直線L與圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線L與圓C的切點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求直線L與圓C相離時的圓心到直線的距離；（4）求直線L與圓C相切時的圓心到直線的距離。2.設(shè)點(diǎn)P(a,b)在直線x-2y+3=0上，點(diǎn)Q在圓(x-4)^2+(y-3)^2=16上，求以下問題：（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）求線段PQ的長度；（4）求線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)。五、微積分初步要求：運(yùn)用微積分初步知識解決實(shí)際問題，掌握導(dǎo)數(shù)和積分的基本概念。1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求以下問題：（1）求f(x)在x=2時的導(dǎo)數(shù)；（2）求f(x)在x=2時的二階導(dǎo)數(shù)；（3）求f(x)在區(qū)間[1,3]上的定積分；（4）求f(x)的不定積分。2.設(shè)函數(shù)g(x)=e^x-x，求以下問題：（1）求g(x)在x=0時的導(dǎo)數(shù)；（2）求g(x)在x=0時的二階導(dǎo)數(shù)；（3）求g(x)在區(qū)間[0,1]上的定積分；（4）求g(x)的不定積分。六、線性代數(shù)要求：運(yùn)用線性代數(shù)知識解決實(shí)際問題，掌握矩陣的基本運(yùn)算和線性方程組的解法。1.已知矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求以下問題：（1）求矩陣A的行列式；（2）求矩陣A的逆矩陣；（3）求矩陣A與矩陣B=\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)的乘積；（4）求線性方程組Ax=\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)的解。2.已知線性方程組：\(\begin{cases}2x+3y-z=5\\4x-y+2z=6\\3x+2y-4z=7\end{cases}\)，求以下問題：（1）求該方程組的系數(shù)矩陣；（2）求該方程組的增廣矩陣；（3）求該方程組的解向量；（4）判斷該方程組是否有唯一解、無解或有無窮多解。本次試卷答案如下：一、代數(shù)與函數(shù)1.（1）f'(x)=6x^2-6x+4（2）極值點(diǎn)：x=1或x=2/3（3）圖像已畫出，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)已標(biāo)出（4）在區(qū)間[0,2]上的最大值為f(2)=7，最小值為f(0)=12.（1）a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-8=17（2）(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=17+8=25（3）(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=17-8=9（4）a和b的正負(fù)性無法確定，因?yàn)橹恢繿+b=5，ab=4二、幾何與三角1.（1）AB的長度為√(AC^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=5（2）∠A的正弦值=BC/AB=4/5，余弦值=AC/AB=3/5，正切值=BC/AC=4/3（3）∠B的正弦值=AC/AB=3/5，余弦值=BC/AB=4/5，正切值=AC/BC=3/4（4）∠A>∠B2.（1）∠A=∠B=53.13°，∠C=73.77°（2）三角形ABC的面積=1/2*AB*BC*sin(∠C)=1/2*5*8*sin(73.77°)≈19.64（3）三角形ABC的周長=AB+BC+AC=5+8+5=18（4）三角形ABC不是銳角三角形，也不是直角三角形，而是鈍角三角形三、概率與統(tǒng)計(jì)1.（1）至少有1名女生的概率=1-(全是男生的概率)=1-(C(20,3)/C(30,3))≈0.655（2）全是女生的概率=C(10,3)/C(30,3)≈0.056（3）全是男生的概率=C(20,3)/C(30,3)≈0.889（4）男生和女生各占一半的概率=C(20,2)*C(10,1)/C(30,3)≈0.2582.（1）該商品每周銷售額在800元至1200元之間的概率=P(800<X<1200)=P(X<1200)-P(X<800)≈0.341（2）該商品每周銷售額超過1400元的概率=P(X>1400)=1-P(X<1400)≈0.022（3）該商品每周銷售額低于600元的概率=P(X<600)=1-P(X≥600)≈0.158（4）該商品每周銷售額在500元至1500元之間的概率=P(500<X<1500)=P(X<1500)-P(X<500)≈0.682四、解析幾何1.（1）交點(diǎn)坐標(biāo)：(1,1)和(3,0)（2）切點(diǎn)坐標(biāo)：(1,1)（3）圓心到直線的距離=|2*1+3*1-6|/√(2^2+3^2)=2/√13（4）圓心到直線的距離=|2*1+3*1-6|/√(2^2+3^2)=2/√132.（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)：(a,2a-3)（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：(4+√(16-(y-3)^2),y)（3）線段PQ的長度=√[(4+√(16-(y-3)^2)-a)^2+(y-(2a-3))^2]（4）線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)：((4+√(16-(y-3)^2)+a)/2,(y+(2a-3))/2)五、微積分初步1.（1）f'(2)=2*2-4+0=0（2）f''(2)=2*2-4=0（3）∫[1,3](x^2-4x+3)dx=[x^3/3-2x^2+3x][1,3]=(27/3-18+9)-(1/3-4+3)=3（4）∫(x^2-4x+3)dx=x^3/3-2x^2+3x+C2.（1）g'(0)=e^0-0=1（2）g''(0)=e^0-1=0（3）∫[0,1](e^x-x)dx=[e^x-x^2/2][0,1]=(e-1/2)-(1-0)=e-3/2（4）∫(e^x-x)dx=e^x-x^2/2+C六、線性代數(shù)1.（1）|A|=1*4-2*3=-2（2）A^(-1)=1/|A|*adj(A)=1/-2*\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{bmatrix}\)（3）AB=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)*\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}23&30\\59&78\end{bmatrix}\)（4）線性方程組Ax=\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)的解為x=\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)2.（1）系數(shù)矩陣：\(\begin{bmatrix}2&3