第25課時衛(wèi)星變軌問題雙星模型目標(biāo)要求1.會處理人造衛(wèi)星的變軌和對接問題。2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會解決相關(guān)問題。3.會應(yīng)用萬有引力定律解決星球“瓦解”和黑洞問題?？键c一衛(wèi)星的變軌和對接問題1.衛(wèi)星發(fā)射模型人造衛(wèi)星的發(fā)射過程一般要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，有GMmr12＝(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，GMmr12<mvA2(3)在橢圓軌道B點(遠(yuǎn)地點)，GMmr22>mvB2r2，將做近心運動，再次點火加速，使G若使在軌道Ⅲ運行的宇宙飛船返回地面，應(yīng)如何操作？答案使飛船先減速進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)近地點時，使飛船再減速進(jìn)入近地圓軌道Ⅰ，之后再減速做近心運動著陸。2.變軌過程中幾個物理量的大小比較(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB，在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因為v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同。同理，經(jīng)過B點加速度也相同。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑為r1、r2(半長軸)、r3。由開普勒第三定律r3T2＝k，可知有T1<T2<(4)機械能：衛(wèi)星在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ、從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點火加速，則E1<E2<E3。(5)引力勢能：物體在萬有引力場中具有的勢能叫作引力勢能，若取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時的引力勢能為零，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點距質(zhì)量為M的引力源中心為r時，其引力勢能為Ep＝－GMmr(G為引力常量)。設(shè)衛(wèi)星在A點、B點的引力勢能分別為EpA、EpB，則EpA<EpB例1(多選)2023年10月26日，神舟十七號與神舟十六號航天員乘組成功“會師”。神舟十七號發(fā)射的過程可簡化為如圖所示的過程，先將其發(fā)射至近地圓軌道，在近地圓軌道的A點加速后進(jìn)入橢圓轉(zhuǎn)移軌道，在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上的遠(yuǎn)地點B加速后進(jìn)入運行圓軌道。下列說法正確的是()A.神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過B點的速率小于經(jīng)過A點的速率B.神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上的B點時的加速度大于在運行圓軌道上經(jīng)過B點時的加速度C.神舟十七號在運行圓軌道上運行的周期大于在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上運行的周期D.神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上從B點運動到A點的過程中，它的機械能減小答案AC解析根據(jù)開普勒第二定律可知神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過B點的速率小于經(jīng)過A點的速率，A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmr2=ma，可得a=GMr2，則神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上B點時的加速度等于在運行圓軌道上B點時的加速度，B錯誤；由于運行圓軌道的半徑大于橢圓轉(zhuǎn)移軌道的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，神舟十七號在運行圓軌道上運行的周期大于在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上運行的周期，C正確；神舟十七號在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上從B點運動到例2(2025·山東青島市?？?北京時間2024年4月26日神舟十八號載人飛船與在軌飛行的天和核心艙順利實現(xiàn)徑向自主交會對接，整個交會對接過程歷時約6.5小時。為實現(xiàn)神舟十八號載人飛船與空間站順利對接，飛船安裝有幾十臺微動力發(fā)動機，負(fù)責(zé)精確地控制它的各種轉(zhuǎn)動和平動。對接前飛船要先到達(dá)和空間站很近的相對靜止的某個停泊位置。為到達(dá)這個位置，飛船由慣性飛行狀態(tài)轉(zhuǎn)入發(fā)動機調(diào)控狀態(tài)，下列說法正確的是()A.飛船先到空間站同一圓周軌道上同方向運動，在合適位置減速靠近即可B.飛船先到與空間站圓周軌道垂直的同半徑軌道上運動，在合適位置減速靠近即可C.飛船先到空間站軌道下方圓周軌道上同方向運動，在合適的位置減速即可D.飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運動，在合適的位置減速即可答案D解析根據(jù)衛(wèi)星變軌時，由低軌道進(jìn)入高軌道需要點火加速，反之要減速，所以飛船先到空間站下方的圓周軌道上同方向運動，在合適的位置加速靠近即可，或者飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運動，在合適的位置減速即可，故選D。例32024年6月25日，嫦娥六號返回器準(zhǔn)確著陸于預(yù)定區(qū)域，實現(xiàn)世界首次月球背面采樣返回。嫦娥六號返回器從月球歸來初入大氣層時的速度可以接近第二宇宙速度，為避免高速帶來的高溫過載風(fēng)險，采用了“半彈道跳躍式返回”減速技術(shù)。如圖所示，返回器從a點第一次進(jìn)入大氣層，調(diào)整返回器姿態(tài)，使其經(jīng)b點升高，再從c點“跳”出大氣層，在太空中瀟灑地打個“水漂”，升高到距地面高度為h的d點后，再次從e點進(jìn)入大氣層返回地球。假設(shè)返回器從c點到e點的過程為無動力飛行。已知地球表面重力加速度為g，地球的半徑為R，引力常量為G。結(jié)合以上信息，下列說法正確的是()A.從a點到c點的過程中，返回器機械能守恒B.在d點，返回器的速度大于第一宇宙速度C.在d點，返回器的加速度大小為gD.在e點返回器處于超重狀態(tài)答案C解析嫦娥六號返回器從a點到c點的過程中，空氣阻力做功，機械能不守恒，A錯誤；嫦娥六號返回器經(jīng)過d點后做近心運動，有GMm(R＋h)2>mv2R＋h，即v<GMR＋h，又因為第一宇宙速度為v1＝GMR，故v<v1，B錯誤；在d點，由牛頓第二定律有GMm(R＋h考點二雙星或多星模型1.雙星模型(1)繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②兩星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩星的軌道半徑與它們之間的距離的關(guān)系為r1＋r2＝L。(1)若兩星運行的線速度大小分別為v1、v2，加速度大小分別為a1、a2，質(zhì)量分別為m1、m2，則v、a與軌道半徑r、兩星質(zhì)量的關(guān)系怎樣？答案由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得v1v2＝r1r2＝m2m1，由a＝ω2r及m1ω(2)兩星之間的距離L、周期T與總質(zhì)量(m1＋m2)的關(guān)系怎樣？答案由Gm1m2L2＝m14π2T2r1＝m24π2T2r2及r1＋r例4(多選)(2024·山東青島市期中)“雙星系統(tǒng)”由相距較近的兩顆恒星組成，每顆恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩顆恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下繞某一點做勻速圓周運動。某一雙星系統(tǒng)如圖所示，A恒星的質(zhì)量為m1，B恒星的質(zhì)量為m2，A恒星的軌道半徑為r1，B恒星的軌道半徑為r2，A恒星的線速度大小為v1，B恒星的線速度大小為v2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G。則下列說法正確的是()A.A恒星與B恒星軌道半徑大小之比為rB.雙星系統(tǒng)的運行周期為2πLLC.A恒星的軌道半徑為m2D.A恒星與B恒星線速度大小之比為v答案BD解析對A、B分別由牛頓第二定律得Gm1m2L2＝m14π2T2r1，Gm1m2L2＝m24π2T2r2，又L＝r1＋r2，聯(lián)立解得r1r2＝m2m1，T＝2πL2.多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及其規(guī)律：常見的三星模型①Gm2(2②Gm2L2×cos30°×常見的四星模型①Gm2L2×cos45°×2＋②Gm2L2×cos30°×2＋例5(多選)(2024·山東泰安市期中)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？梢院雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖所示)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B.直線三星系統(tǒng)的運動周期T＝4πRRC.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝312D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為1答案BC解析直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相同，方向相反，A錯誤；直線三星系統(tǒng)中，對甲星(或丙星)有GM2R2＋GM2(2R)2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，B正確；對三角形三星系統(tǒng)，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2GM2L2cos30°＝M4π2T2·L2cos30°考點三星球“瓦解”問題黑洞問題1.星球的瓦解問題當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即GMmR2＝mω2R，得ω＝GMR3。當(dāng)ω>GMR2.黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規(guī)律間接研究黑洞。當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍)超過光速時，該天體就是黑洞。例62018年2月，我國500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A.5×109kg/m3 B.5×1012kg/m3C.5×1015kg/m3 D.5×1018kg/m3答案C解析毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)，萬有引力提供向心力，則有GMmr2≥mr4π2T2，又知M＝ρ整理得密度ρ≥3πGT2≈5.2×1015kg/m3，故選C。例7科學(xué)研究表明，當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍)大于光速時，該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質(zhì)量之比為k，地球的半徑為R，地球的環(huán)繞速度(第一宇宙速度)為v1，光速為c，則要使該天體成為黑洞，其半徑應(yīng)小于()A.2v12Rkc答案D解析地球的第一宇宙速度為v1＝GMR，則黑洞的第一宇宙速度為v2＝GkMr，并且有2v2>聯(lián)立解得r<2kv12Rc2，所以D課時精練(分值：100分)1~7題每小題8分，共56分1.2024年1月18日，天舟七號與空間站天和核心艙成功對接。在交會對接的最后階段，天舟七號與空間站處于同一軌道上同向運動，兩者的運行軌道均視為圓周。要使天舟七號在同一軌道上追上空間站實現(xiàn)對接，天舟七號噴射燃?xì)獾姆较蚩赡苷_的是()答案A解析要想使天舟七號在與空間站的同一軌道上對接，則需要使天舟七號加速，與此同時要想不脫離原軌道，根據(jù)F向＝mv2r，則必須要增加向心力，即噴氣時產(chǎn)生的推力一方面有沿軌道向前的分量，另一方面還要有指向地心的分量，而因噴氣產(chǎn)生的推力方向與噴氣方向相反，則圖2.天問一號火星探測器搭乘長征五號遙四運載火箭成功發(fā)射意味著中國航天開啟了走向深空的新旅程。由著陸巡視器和環(huán)繞器組成的天問一號經(jīng)過如圖所示的發(fā)射、地火轉(zhuǎn)移、火星捕獲、火星停泊和離軌著陸等階段，則()A.天問一號發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度B.天問一號在“火星捕獲段”運行的周期小于它在“火星停泊段”運行的周期C.天問一號從圖示“火星捕獲段”需在合適位置減速才能運動到“火星停泊段”D.著陸巡視器從圖示“離軌著陸段”至著陸到火星表面的全過程中，機械能守恒答案C解析天問一號要到達(dá)火星，需要脫離地球的引力束縛，發(fā)射速度大于第二宇宙速度，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律k＝a3T2，在“火星捕獲段”運行的半長軸大，故天問一號在“火星捕獲段”運行的周期大于它在“火星停泊段”運行的周期，故B錯誤；天問一號從“火星捕獲段”需在近火點減速才能運動到“火星停泊段”，故C正確；著陸巡視器從“離軌著陸段”3.(2024·湖北卷·4)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則()A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大答案A解析在P點變軌前后空間站所受到的萬有引力不變，根據(jù)牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；因為變軌后其半長軸大于原軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，故B錯誤；變軌后在P點獲得豎直向下的反沖速度，原水平向左的圓周運動速度不變，因此合速度變大，故C錯誤；由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前大，而比在近地點的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小，故D錯誤。4.在發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造地球同步衛(wèi)星時，先將其發(fā)射到貼近地球表面運行的圓軌道Ⅰ上(離地面高度忽略不計)，再通過一橢圓軌道Ⅱ變軌后到達(dá)距地面高為h的預(yù)定圓軌道Ⅲ上。已知它在圓軌道Ⅰ上運行的加速度大小為g，地球半徑為R，衛(wèi)星在變軌過程中質(zhì)量不變，則()A.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行的加速度大小為(hR＋hB.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行的線速度大小為gC.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動能大于在軌道Ⅰ上的動能D.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的機械能小于在軌道Ⅰ上的機械能答案B解析衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行時，根據(jù)萬有引力提供向心力得GMm(R＋h)2＝ma＝mv2R＋h，在圓軌道Ⅰ上由mg＝GMmR2得GM＝gR2，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的加速度大小為a＝(RR＋h)2g，線速度大小為v＝gR2R＋h，故A錯誤，B正確；衛(wèi)星的線速度大小為v＝GMr，衛(wèi)星在圓軌道上運行的動能為Ek＝12mv2＝5.(多選)在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)。在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X－1就是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，黑洞和恒星以它們連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示。在剛開始吞噬的較短時間內(nèi)，恒星和黑洞之間的距離不變，則在這段時間內(nèi)，下列說法正確的是()A.黑洞和恒星之間的萬有引力變大B.黑洞的角速度變大C.恒星的線速度變大D.黑洞的線速度變大答案AC解析假設(shè)恒星和黑洞的質(zhì)量分別為M、m，環(huán)繞半徑分別為R、r，且m<M，兩者之間的距離為L，則根據(jù)萬有引力F萬＝GMmL2，恒星和黑洞之間的距離不變，隨著黑洞吞噬恒星，在剛開始吞噬的較短時間內(nèi)，M與m的乘積變大，黑洞和恒星之間的萬有引力變大，故A正確；黑洞和恒星的角速度相等，根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmL2＝mω2r＝Mω2R，其中R＋r＝L，解得黑洞的角速度ω＝G(M＋m)L3，由于(M＋m)和L均不變，則角速度不變，故B錯誤；根據(jù)mω2r＝Mω2R，得Mm＝rR，因為M減小，m增大，所以R增大，r減小，由v恒＝ωR，6.一近地衛(wèi)星的運行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為()A.T0T B.TT0答案D解析對近地衛(wèi)星，有GM1mR2＝m(2πT0)2R，地球的質(zhì)量M1＝ρ1·43πR3，聯(lián)立解得ρ1＝3πGT02，以地球赤道處一質(zhì)量為m0的物體為研究對象，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于等于它隨地球一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時，地球才不會瓦解，設(shè)地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度為ρ2，則有GM2m0R2＝m0(2πT)2R，M2＝7.夜空中我們觀測到的亮點，其實大部分并不是單一的恒星，而是多星系統(tǒng)。在多星系統(tǒng)中，雙星系統(tǒng)又是最常見的，繞連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動的兩顆中子星組成的雙星系統(tǒng)的示意圖如圖所示，若兩中子星的質(zhì)量之比mP∶mQ＝k∶1，該雙星系統(tǒng)遠(yuǎn)離其他天體。則()A.根據(jù)圖像可以判斷出k>1B.若P、Q的角速度和它們之間的距離一定，則P、Q做圓周運動的線速度大小之和一定C.P的線速度大小與P、Q之間的距離成正比D.僅增大P、Q之間的距離，P、Q運行的周期變小答案B解析設(shè)P、Q之間的距離為L，P做圓周運動的軌道半徑為r1，Q做圓周運動的軌道半徑為r2，角速度為ω，則有GmPmQL2＝mPω2r1，GmPmQL2＝mQω2r2，聯(lián)立可得mPmQ＝r2r1＝k1，由題圖知r1>r2，則k<1，故A錯誤；根據(jù)線速度與角速度之間的關(guān)系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，則vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它們之間的距離一定，則P、Q做圓周運動的線速度大小之和一定，故B正確；根據(jù)GmPmQL2＝mPvP2r1，可得vP＝GmQr1L28、9題每小題9分，10題16分，共34分8.(多選)如圖所示是宇宙中存在的某三星系統(tǒng)，忽略其他星體的萬有引力，三個星體A、B、C在邊長為d的等邊三角形的三個頂點上繞同一圓心O做勻速圓周運動。已知A、B、C的質(zhì)量分別為2m、3m、3m，引力常量為G，則下列說法正確的是()A.三個星體組成的系統(tǒng)動量守恒B.A的周期小于B、C的周期C.A所受萬有引力的大小為3D.若B的角速度為ω，則A與圓心O的距離為3答案AD解析該系統(tǒng)屬于穩(wěn)定的三星系統(tǒng)，三個星體的角速度、周期相同，動量大小不變，運動過程中總動量不變，A正確，B錯誤；A所受萬有引力的大小為F＝2G3m·2md2cos30°＝63Gm2d2，C錯誤；若B的角速度為ω，則A的角速度也為ω，根據(jù)63Gm2d9.如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G。下列說法中正確的是()A.星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形中心B.每顆星體做勻速圓周運動的角速度均為(4C.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小變?yōu)樵瓉淼?倍答案B解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤；由2Gm2L2＋Gm2(2L)2＝(12＋2)Gm2L2＝mω2·22L，可知ω＝(4＋2)Gm2L3，故B正確；由(12＋2)Gm2L2＝ma可知a＝(12＋10.(16分)如圖所示，一宇宙飛船繞地球中心做勻速圓周運動，已知地球半徑為R，軌道A半徑是2R，將飛船轉(zhuǎn)移到另一個半徑為4R的圓軌道B上去，已知地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，引力常量為G。(1)(7分)求飛船在軌道A上的環(huán)繞速度vA、飛船在軌道B