八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題08矩形、菱形、正方形中動(dòng)點(diǎn)及最值問(wèn)題【典型例題】1．（2021·北京·八年級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）邊的長(zhǎng)度為_(kāi)_______，的取值范圍為_(kāi)_______．（2）從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)________時(shí)，．（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在值，使得四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝10cm，點(diǎn)E在線段AD上，且AE＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△EAP與△PBQ全等時(shí)，v的值為（）A．2 B．4 C．4或 D．2或2．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PEAC于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F．若AB=6，BC=8，則PE+PF的值為（

）A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.43．（2021·河南鎮(zhèn)平·八年級(jí)期中）如圖，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣1），若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D→A→B→…的路徑，在菱形的邊上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，則第2021秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（﹣，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，0）4．（2022·廣東高州·九年級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接DE，以DE為邊作矩形DEGF且邊FG過(guò)點(diǎn)A．在點(diǎn)E從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，矩形DEGF的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變5．（2021·廣東·深圳市東升學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖①，在菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△ABP的面積為y．把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的b等于（

）A．8 B．3 C．6 D．12二、填空題6．（2021·廣東南?！ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是______________．7．（2021·重慶大足·九年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，，E為BC上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為_(kāi)_____．8．（2021·四川瀘縣·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH．若，，則GH的最小值為_(kāi)__________．9．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)為7，點(diǎn)E在邊BC上，，點(diǎn)F是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右作等邊，連接CG，線段CG的最小值是___________．10．（2021·河南·平頂山市第十三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，C兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作EF⊥AC分別交AD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)△A′BC是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝4．BD＝5．點(diǎn)P是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，O重合）．點(diǎn)E與點(diǎn)P在AD所在直線的兩側(cè)．AE⊥AB．AE＝BD．點(diǎn)F在AD邊上，DF＝AP．連接PE，BF．(1)補(bǔ)全圖形，求PE：BF的值；(2)連接BP，點(diǎn)P在何處時(shí)BP+BF取得最小值？并求出這個(gè)最小值．12．（2021·遼寧法庫(kù)·九年級(jí)期中）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：PA＝PF；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥BD于Q，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出PQ的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)律．（3）請(qǐng)寫出線段AB、BF、BP之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由．13．（2022·廣東南沙·八年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過(guò)程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．14．（2021·廣西北海·九年級(jí)期中）如圖1，在□ABCD中，AB＝14，AD＝8，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．一動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上由A向B運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合），連接PO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)Q．（1）求證：OP＝OQ；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，畫(huà)出圖形并求出線段DE的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)AP＝9時(shí)，求線段OP的長(zhǎng)度；（4）連接AQ，PC，如圖2，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形APCQ可能是菱形嗎？如果可能，請(qǐng)求出此時(shí)線段AP的長(zhǎng)度；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2021·廣東·廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2AB，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；②若點(diǎn)P、Q的速度分別為v1、v2（cm/s），點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試探究a與b滿足的數(shù)量關(guān)系．16．（2021·陜西蓮湖·九年級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化．問(wèn)題提出（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，CE與CB的位置關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個(gè)邊長(zhǎng)為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對(duì)角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計(jì)劃在BD延長(zhǎng)線上（包括D點(diǎn)）取點(diǎn)P，以AP為邊長(zhǎng)修建一個(gè)等邊△APE的娛樂(lè)區(qū)，放置各類運(yùn)動(dòng)娛樂(lè)設(shè)施，從娛樂(lè)區(qū)頂點(diǎn)E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計(jì)劃在BE中點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)直飲水點(diǎn)F，求飲水點(diǎn)F到C點(diǎn)的最短距離．17．（2021·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB之間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長(zhǎng)度：PD＝cm，（2）當(dāng)5＜t＜10時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）當(dāng)點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形能否是菱形，若能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，若不能，請(qǐng)求出在其他條件不變的情況下點(diǎn)Q的速度為多少時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形可以是菱形．18．（2021·湖南·常德市第五中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，證明：BD＝CF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變時(shí)：①猜想CF、BD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接正方形對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說(shuō)明理由．19．（2021·吉林靖宇·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度沿BC向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問(wèn)題：（1）BC＝_______cm．（2）求t為何值時(shí)四邊形PQCD是平行四邊形．（3）求t為何值時(shí)四邊形PQBA是矩形．（4）是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形．若存在請(qǐng)直接寫出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2021·甘肅·九年級(jí)專題練