試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分）一、選擇題（本大題共7小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個選項正確，把正確的選項填在答題卡答題欄中）1．方程的實數(shù)根的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．42．從2024的所有正因數(shù)中隨機地任取1個，則該數(shù)為奇數(shù)的概率為（

）．A． B． C． D．3．設(shè)[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如，，則（

）．A．5 B．6 C．7 D．84．在△ABC中，，，則（

）．A．70° B．60° C．45° D．35°5．矩形的兩個頂點在軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，連，線段與該函數(shù)圖象分別交于點，若，的面積為2，則（

）．A．7 B． C． D．6．已知n是不超過100的正整數(shù)，且使為15的倍數(shù)，則符合條件的所有n的和等于（

）．A．540 B．636 C．684 D．7357．設(shè)點是坐標(biāo)原點，點是拋物線上異于點的兩個動點，且，連，過點作于點，則點到軸距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）8．已知拋物線與x軸只有一個公共點，且經(jīng)過點與點，則．9．如圖，在梯形中，，，，，兩條對角線的長均為正整數(shù)，則梯形的面積等于．10．如圖，在△ABC中，，∠BAC是鈍角，于點D，分別過點D，C向直線AB作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，若，，則．11．計算：．12．已知，則代數(shù)式的值為．13．已知x，y都是實數(shù)，則代數(shù)式的最小值等于．14．如圖，在矩形ABCD中，，，點E是邊AD上的一個動點，過點E作對角線AC的垂線，垂足為O，且與直線BC交于點F，則點E移動的過程中，的最小值為．三、解答題（本大題共4小題，共59分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算或推演步驟）15．回答下面的兩個題(1)解方程組：(2)若關(guān)于x的方程有一個實根是正整數(shù)，求所有符合條件的正整數(shù)a的值之和．16．已知n，k均是正整數(shù)，且滿足不等式，若對于某一給定的正整數(shù)n，存在唯一的正整數(shù)k，使該不等式成立．求所有符合條件的正整數(shù)n的最大值與最小值．17．如圖，已知是以點O為直角頂點的等腰直角三角形，一個45°的角的頂點在點O，其兩邊與邊分別交于點C，D（異于點A，B）．(1)求證：；(2)請問以線段為邊的三角形能否構(gòu)成直角三角形，若能構(gòu)成直角三角形，請指出斜邊；若不能構(gòu)成直角三角形，請說明理由．18．已知拋物線經(jīng)過點，，其頂點縱坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點C在y軸正半軸上，點D，E均在y軸右側(cè)的拋物線上，且四邊形ACDE是平行四邊形，當(dāng)四邊形ACDE的面積等于15時，求點C的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)原點O關(guān)于拋物線頂點的對稱點為F，連AF，BF，直線l與拋物線只有一個公共點，且分別與線段AF和線段BF交于點G，H，試問是否為定值？若是定值，請求出定值大??；若不是定值，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】根據(jù)絕對值的情況進行分類討論，解去除絕對值后得分式方程求解【詳解】根據(jù)條件知，當(dāng)時，原方程可化為，去分母整理得，解得（舍去），；當(dāng)時，原方程可化為，去分母整理得，解得，．經(jīng)檢驗，原方程的實數(shù)根的個數(shù)為3，故選:C．2．B【分析】先將2024分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)質(zhì)因數(shù)求出2024的所有正因數(shù)個數(shù)，接著找出其中奇數(shù)因數(shù)的個數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式計算出取到奇數(shù)因數(shù)的概率.【詳解】因，所以2024的正因數(shù)有1，2，4，8，11，22，23，44，46，88，92，184，253，506，1012，2014共16個，其中因數(shù)為奇數(shù)的有1，11，23，253共4個，于是所求概率為.故選：B．3．A【分析】通過將原式進行化簡，然后根據(jù)題意求出每個部分的最大整數(shù)，最后求和即是答案.【詳解】因，，所以，于是，又，，，所以，于是，因此原式.故選：A．4．D【分析】通過對進行變形，構(gòu)造相似三角形，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來求解的度數(shù).【詳解】延長到點D，使，連，則根據(jù)條件可知，即，又公共，所以，于是，又，所以，又，所以，因，所以，因此.故選：D．5．C【分析】首先根據(jù)題意畫出圖像，結(jié)合已知條件將點的坐標(biāo)表示出來，然后根據(jù)三角形面積條件求出的值.【詳解】根據(jù)題意畫出圖像為：設(shè)，則，于是點的縱坐標(biāo)為，因，所以點的縱坐標(biāo)是的，等于3倍的點的橫坐標(biāo)減去點的橫坐標(biāo).所以點，，所以，所以，，又，，所以，又，解得.故選：C．6．D【分析】根據(jù)整數(shù)的除法運算，對進行配湊，先整除3，再能被5整除，列出不等式，求出范圍，得出結(jié)果.【詳解】由為15的倍數(shù)知能被3整除，于是3能整除n，設(shè)（m是正整數(shù)），則，又為15的倍數(shù)，故為5的倍數(shù)，從而或，其中k為自然數(shù)，因，所以，于是，所以，于是，因此符合條件的所有n的和等于735，故選:D．7．B【分析】首先根據(jù)題意畫出圖像，然后設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式，然后聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達定理求解出直線的截距，然后確定點的軌跡，最終確定到軸的最大距離.【詳解】根據(jù)題意畫出圖像為：設(shè)，，根據(jù)條件不妨設(shè)，分別過點向軸作垂線，垂足分別為點，則，因，所以，于是，所以，即，整理得.設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程得方程組，消去，得，根據(jù)韋達定理可知，所以，解得，所以直線過定點，又，所以點在以線段為直徑的圓上，該圓的圓心在軸上，半徑為2，所以點到軸距離的最大值為2.（點重合時，點到軸距離最?。┕蔬x：B.8．4【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點與點，求出對稱軸方程，結(jié)合判別式為零列方程組求解即可.【詳解】因為拋物線與x軸只有一個公共點，所以，又因為經(jīng)過點與點，該拋物線的對稱軸為，所以，，于是，代入，則．故答案為：4.9．84【分析】首先根據(jù)已知條件和勾股定理，將梯形的高和的關(guān)系式表示出來，然后根據(jù)都是正整數(shù)以及等式性質(zhì)求出的長度和高，最后利用梯形面積公式計算此梯形的面積.【詳解】設(shè)，，，則根據(jù)條件可知，所以，即，又與奇偶性相同，且，所以或，解得或（舍），所以，那么梯形的面積等于．故答案為：84.10．5【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一得出點是中點，再由平行關(guān)系得到DE是的中位線，然后利用相似三角形的比例關(guān)系和勾股定理建立等式，最后求解方程并根據(jù)條件確定結(jié)果.【詳解】因，，所以點D是底邊BC的中點，又，，所以，于是點E是線段的中點，所以是的中位線．設(shè)，則，，又，于是，于是，于是，所以，兩邊同時平方，解得或6，因是鈍角，所以，所以．故答案為：5.11．【分析】由分組求和，裂項相消求和即可求解.【詳解】原式，故答案為：．12．##【分析】判斷出，可得，兩邊同時平方并整理得，在代入所求式化簡即可.【詳解】由條件知，于是，兩邊同時平方并整理得，所以，因此，所以原式，故答案為：．13．2020【分析】對一個多項式求最小值，通過配方法將多項式轉(zhuǎn)化為含有完全平方式的形式，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性來確定多項式的最小值.【詳解】根據(jù)題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，最小值為2020．故答案為：2020.14．【分析】通過正切函數(shù)求出角度，再利用三角函數(shù)求出線段長度，接著構(gòu)造平行四邊形將線段進行轉(zhuǎn)化，最后根據(jù)勾股定理求出最小值.【詳解】根據(jù)條件知，于是，作于點H，，，所以．過點A作且，連EG，CG，則四邊形是平行四邊形，于是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)C，E，G三點共線時取到等號．因，所以，又，，所以，因此的最小值為．故答案為：15．(1)；(2)13【分析】（1）首先將方程組的每個式子通分，再取倒數(shù)相加后，再消元后，代入方程組，即可求解；（2）由方程轉(zhuǎn)化為，求解的取值范圍，再根據(jù)為正整數(shù)，求解的取值，并代回等式求的值.【詳解】（1）由條件知，于是，將上述三個方程左右兩邊分別相加得到，①因此，②，③，④，得，⑤．，得，⑥將⑤⑥代入②，解得，，，經(jīng)檢驗，原方程組的解為．（2）由條件可得，因方程有一個實根是正整數(shù)，所以，因a為正整數(shù)，所以，于是，解得，因x為正整數(shù)，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此所有符合條件的正整數(shù)a的值之和等于13．16．最大值18，最小值10.【分析】由條件得到，進而得到，即，由，知，逐個判斷即可.【詳解】根據(jù)得，所以于是，因?qū)τ谀骋唤o定的正整數(shù)n，只有唯一的一個正整數(shù)k，使該不等式成立，所以，解得，又因為n為正整數(shù)，當(dāng)時，，滿足條件的正整數(shù)，有兩個，不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，，滿足條件的正整數(shù)，有兩個，不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，，滿足條件的正整數(shù)，只有一個，符合題意，所以正整數(shù)n的最大值是18．對于，當(dāng)時，由，得無解，當(dāng)時，易得，對于無解，當(dāng)時，由，，滿足條件的正整數(shù)，只有一個，符合題意，所以正整數(shù)n的最小值是10．17．(1)證明見解析(2)能構(gòu)成直角三角形，其斜邊為【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出，再通過角的關(guān)系證明，從而證得與相似.由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，結(jié)合，推出.（2）設(shè)，，用含和的式子表示.然后計算，化簡后發(fā)現(xiàn)其等于，根據(jù)勾股定理逆定理判斷以為邊能構(gòu)成直角三角形，斜邊是.【詳解】（1）證明：在等腰直角中，，因，所以，于是，即，又，所以，即．（2）解：以線段為邊的三角形能構(gòu)成直角三角形，斜邊為理由如下：設(shè)，，則，，由（1）可知，所以，，所以，即，所以以線段為邊的三角形能構(gòu)成直角三角形，其斜邊為18．(1)(2)(3)是定值，【分析】（1）利用對稱軸，頂點坐標(biāo)，以及與軸的交點，即可求解；（2）根據(jù)，設(shè)點的坐標(biāo)，再根據(jù)，求得點的坐標(biāo)，再求直線的方程，根據(jù)的面積，即可求解；（3）首先根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，再設(shè)直線l的解析式為，利用直線與拋物線方程聯(lián)立，，求直線的方程，并通過方程聯(lián)立求點和的橫坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）由條件知該拋物線的對稱軸為直線，于是，又頂點縱坐標(biāo)為，所以，將代入得，解得，于是拋物線的解析式為．（2）設(shè)點，因四邊形ACDE是平行四邊形，則即，因，所