濰坊市高考模擬考試

皿.、、九

數(shù)學

2025.4

注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

A=lxeNX3<27）

1.已知集合I|1J,則A的子集的個數(shù)是（）

A.4B.8C,16D.32

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式化簡集合A,再根據(jù)含有〃個元素的集合有2"個子集計算可得.

【詳解】由d<27,解得x<3,

所以A={xeN,<27}={xeN|x<3}={0,1,2},

所以A的子集有23=8個.

故選：B

2.某校高二年級組織了一次數(shù)學素養(yǎng)測試，隨機抽取8位學生的成績，制成如圖所示的莖葉圖，該組數(shù)據(jù)

的第75百分位數(shù)是88,貝口的值為（）

7046

813x9

95

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】結合百分位數(shù)的定義可得出關于x的等式，解之即可.

【詳解】由題設有xe{3,4,5,6,7,8,9},而8x0.75=6,

這八個數(shù)據(jù)由小到大排列依次為70、74、76、81、83、80+x、89、95,

+V+QQ

則樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為=88,解得％=7,合乎題意.

2

綜上所述，x=7.

故選：C.

3.已知—1+"是關于x的實系數(shù)方程f+3+”二。的一個復數(shù)根，則加+〃=()

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的性質得到另一個根，再結合韋達定理求出參數(shù)值，最后求解m+〃的值即可.

【詳解】因為-1+V2i是關于x的實系數(shù)方程f"=o的一個復數(shù)根，

所以_1一"是關于x的實系數(shù)方程式++“=o的另一個復數(shù)根，

由韋達定理得—m=—1+A/2I+(—1—V2i),解得加=2,

〃=(—l+JIi)(—1—JIi)=l—2i?=3,則加+〃=5,故D正確.

故選：D

4.已知向量B在向量2上的投影向量為-2人若同=3,則7僅+3)=()

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)計算投影向量的公式及同=3,求得WCOS(￡,?=-6,再利用數(shù)量積的運算律即可得答案.

【詳解】忸即,處百=歸即〈詞.三=一2￡,^cos(同=—6,

a-^a+b^-a+a-b=\ci\^+|a|-|&|cos,石)=9+3x(-6)=-9,

故選：A.

ana為偶數(shù)

5.已知數(shù)列{%}滿足a“+i=<25，若q=1,則%=()

3a“+1,%為奇數(shù)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式逐項計算可得%的值?

【詳解】因為數(shù)列｛g｝滿足?！?1=＜或’4為偶數(shù)，且4=1,

3d"+1,〃"為奇數(shù)

AC

所以g=3al+1=3+1=4,%=半=5=2,%=年=5=1，%=3%+1=3+1=4

故選：D.

6.已知角e的頂點與坐標原點。重合，始邊與x軸非負半軸重合，其終邊與圓。交于點4(3,4).若角e終

邊沿逆時針方向旋轉角。，交圓。于點8--，^―,則角?？赡転?)

I22J

A.75°B.105°C.375°D.405°

【答案】D

【解析】

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義結合兩角差的正弦公式得到sin。=注，再利用正弦函數(shù)的性質得到

2

。的可能值即可.

【詳解】因為角&的終邊與圓。交于點4(3,4),

34

所以由任意角二角函數(shù)定義得cosa=g,sin?=

設旋轉后的角為￡,且旋轉后的角交圓。于點3，

I22J

則由任意三角函數(shù)的定義得cos￡=-*，sin￡=吟,

得到sin-n(3)=*x|―(一尋x>等二等,

cos""一上(一尋x|+*x.等等，

故夕=45°+2左-IgO。,左wZ,當左=1時，0=405°,故D正確.

故選：D

7.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務工作，每個社區(qū)至少安排1人，每位志愿者

只到一個社區(qū)，其中甲、乙安排在同一個社區(qū)的概率為（）

3163

A.—B.-C.—D.—

2552510

【答案】C

【解析】

【分析】先求出將5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務工作的分法種數(shù)，然后就甲、乙所安排的小區(qū)的志愿者

人數(shù)進行分類討論，利用計數(shù)原理結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】將甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務工作，

每個社區(qū)的人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1,

1。+等

所以不同的分法種數(shù)為x6=150種;

現(xiàn)在考慮甲、乙安排在同一個社區(qū)，若甲、乙所安排的小區(qū)有3人，則還需從另外3人中抽1人,

此時分法種數(shù)為C；A；=18種;

若甲、乙所安排的小區(qū)只有他們兩人，此時只需將剩余3人分為兩組，則分法種數(shù)為C；A；=18種.

綜上所述，甲、乙安排在同一個社區(qū)的概率為史土身=9.

15025

故選：C.

3

8.在VA5C中，AC=-AB,。為邊3c上一點，滿足①）=2。。，以為焦點作一個橢圓G,若

2

G經(jīng)過瓦。兩點，則G的離心率為（）

ILB.1C.立D.—

3232

【答案】C

【解析】

【分析】利用橢圓的定義，結合余弦定理、橢圓的離心率公式進行求解即可.

9

【詳解】設%則忸。|=2m，|A回=3”,

設該橢圓長半軸長為。，由橢圓的定義可知：

m+n=2am=—a

2

…2，解得

2m+—n=2a3

3n=-a

1I2

i3

所以忸。卜a,|℃|=54，|AC|=ea"AB|=a

在VABC中，顯然有NADC=?—NADfi,所以cos/ADC=—cosNADfi,

|AD|2+|DB|2-|AB|2

設心心，由余弦定理可知：%時才a

MM

2xfx

2晅

因此橢圓的焦距為=|必=

2c丁

2^/3

所以橢圓的離心率為：2c亍°V3.

e—__=_____=___

2a2a3

故選：C.

二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得。分.

9.在正方體ABCD—A4G。中，E、尸分別為線段A。］、AB的中點，貝IJ（）

A跖與3C異面B.EF〃平面CDRG

C.EF±ACD.5D1平面E/G

【答案】AC

【解析】

【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項；建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷BCD選項.

【詳解】以點。為坐標原點，DA.DC、所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角

坐標系,

不妨設正方體的棱長為2,則4（2,0,0）、8（2,2,0）、C（0,2,0）,D（0,0,0）,

￡（1,0,2）、F（2,l,0）,Q（0,2,2）,

對于A選項，EF、5c既不平行，也不相交，故所與3C異面，A對；

對于B選項，EF=（1,1,—2^,易知平面?！辏?。］的一個法向量為7“=（1,0,0）,

則訪?拓=1/0，故石F與平面不平行，B錯；

對于C選項，AC=（-2,2,0）,所以，EFAC=-2+2=Q^故E/J_AC,C對；

對于D選項，麗=（2,2,0）,所以，麗.麗=2+2=4，所以，EF、3D不垂直,

故與平面E^G不垂直，D錯.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/（》）=25皿12%+|^,函數(shù)y=g（x）的圖象由y=/（x）的圖象向左平移2個單位得至！J,

則（）

A.八%）與g（x）在上有相同的單調性

B.g（x）的圖象關于直線x=5+g（左eZ）對稱

設”（司=/曾，則MX）的一個對稱中心為（工，“

C.

D.當％?0,2兀］時，與g［芳—■^的圖象有6個交點

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)平移規(guī)則得到函數(shù)g(x)=2cos2x+1即可判斷A正確，由余弦函數(shù)對稱軸方程可得B錯

誤，再由正切函數(shù)對稱中心方程可得C正確，畫出函數(shù)圖像即可求得交點個數(shù)，可得D正確.

【詳解】易知丁=/(%)的圖象向左平移2個單位可以得到

g(x)=2sin2卜+：］+m=2sin^2x+-^+=2cos^2x+j^,

，一.兀兀r(C兀2兀

對于A,當xe-時，2x+—G--,71

|_63」13；L3

JTJT

由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像性質可知，〃尤)與g(x)在上均是單調遞減的，即它們有相同的單調

性，可得A正確;

對于B,由g(x)=2cos［2x+1］可知，令2x￡=kii(kGZ),解得x=—"儂力

因此可得g(x)圖象關于直線x=-工+生(keZ)對稱，即B錯誤;

M、2sin2x+—(

對于C,易知，(%)=-~r~\~----7----^~Y=tan(2x+；

3

g⑴2cosk+|^I

令2%+三=：兀(kwZ),解得％=一：+與■(左wZ),

即貝ij/z(x)的對稱中心為［―不+1,。)(左wZ),

當左=1時，可知g)的一個對稱中心為限,。，即C正確;

對于D,當龍?0,2兀］時,

畫出函數(shù)g的圖象如下圖所示:

的圖象有6個交點，即D正確.

故選：ACD

H.曲線的曲率定義如下：若/'（九）是"％）的導數(shù)，（可是/'（%）的導數(shù)，則曲線y=/（x）在點

,.|r（^）l

（%,/（%））處的曲率「\21|，則（）

i+（r（x）廣

A.曲線y=cosx上不存在曲率大于1的點

B.曲線y=/+x在點］-5,一［1處的曲率最大

2

C.曲線好+?=1（'〉0）在點（0,2）處的曲率為3

D.曲線y=lnx在點（七,山%）與（%2，11!*2）（玉/*2）處曲率相等，則x/2<g

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用曲率的定義可判斷ABC選項；由題意得出才后解+考）一3才考一1=0,令。=的々〉0,結

合基本不等式可得出關于f的不等式，解之可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，設y（x）=cosx,則/'（x）=—sinx,/ff（x）=-cosx,

Icosxl,,

k=——匕_-=_1----」<cos^<1

所以，「、2峭/X-1?，

1+（/（砌j（l+sin2-x）2

所以，曲線y=cosx上不存在曲率大于i的點，A對；

對于B選項，令/（%）=%2+%,則/'（%）=2尤+1,/"（尤）=2,

l+(r(<5l+(2x+l)25

1

故當x=時，l+（2x+l）9取最小值，此時左取最大值，且/

1一]__"

/十%在點|一；,一；）處的曲率最大，B對;

所以，曲線y=

2--------

對于C選項，由/+亍=l（y>。）可得y=241—%v2,

____2x

令/'(x)=2d1-尤2,則/(X)=-J]2,

則〃加—?—，所以，r(0)=0,/,(O)=—2,

1-x2(1"

|/"(o)|

,.2k――_=2

所以，曲線上2+1=l（y〉0）在點（0,2）處的曲率為-。，C錯;

1+(尸(0))22

對于D選項，設〃x)=lnx,則_f(x)=Lr(x)=-^

JCX

1

X

則y=/（x）在點（x"（%））處的曲率”333

1+(廣⑼222x2+l,2

因為曲線y=lnx在點（％』n%）與（%2/n%2）（%/9）處曲率相等，

x2

3,

即（尤;+3x；++1）=%2（%：+3%：+3x^+1）,

整理可得（X；—X；）（%；+%；）+—1]=0,

因為玉W九2且毛、%均為正數(shù)，所以，才君（其+君）一34九；-1=0,

由基本不等式可得%；（d+%2）+%；—1=0>2,,%1%2+3k%；—1,

即2（玉工2丫+3（玉工2）2—1<0，令，=玉九2>。，則2r+3/一1<0，

/、/、211

即+<0,由于I>0,解得/<],即玉々〈I，D對.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.若拋物線的準線與直線y=l之間的距離是2,寫出一個滿足條件的拋物線的標準方程：

【答案】龍2=4y或必=一12y(填一個答案即可)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，判斷拋物線的準線方程為y=3或y=-1,分別求出焦準距，寫出拋物線方程即可.

【詳解】依題意，拋物線的準線與直線y=l平行，且距離為2,

故拋物線的準線方程為y=3或y=-1,

當拋物線的準線方程為y=3時，拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且曰=3，P=6,故拋物線方程為:

X?=-12y；

當拋物線的準線方程為y=-i時，拋物線的焦點在y軸的正半軸上，且5=1，P=2,故拋物線方程

為：x2=4y.

綜上可知，滿足條件的拋物線的標準方程可以是必=—12y或Y=4y.

故答案為：必=—12丁或必=4);(填一個答案即可)

13.V%GR,|x-l|+|%+a|>4,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(f,—5]U[3,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值三角不等式得到卜―1|+|%+。|引〃+1|，從而得到|。+1|24,解得即可.

【詳解】因為|九一1|+k+。3(％+。)—(尤―=(當且僅當(x—l)(x+a)WO時取等號)，

又VxeR,|x—1|+卜+。|?4,所以|。+1|24,則a+124或a+lWT,

解得a23或aW—5,即實數(shù)。的取值范圍是㈠。,—5]u[3,+s).

故答案為：(fo,—5]u[3,+8)

14.已知圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,其下底面與半球。的底面重合，上底面圓周在半球。的

球面上，則圓臺的側面積為;半球。被該圓臺的上底面所在的平面截得兩部分，其體積分別

為匕匕(■<%)，則才=.

V2

【答案】①.67r②.166-27

27

【解析】

【分析】第一空利用已知條件可求得圓臺的高，進而可求出圓臺的母線長，再求側面積即可；第二空先求出

球冠的體積匕，再求出半球的體積，進而可求出匕，最后可求出才的值.

作出圓臺的軸截面如圖，設圓臺的上底面半徑為彳，下底面半徑為球的半徑為R,

?圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,4=1,r2=2,

又,下底面與半球。的底面重合，.,.R=2，

圓臺的高〃=加—彳2=J口=&,.?.圓臺的母線長為/=業(yè)+&_,)2=j幣=2,

二圓臺的側面積為S=7i(G+弓)/=兀(1+2)*2=6兀；

41916幾

半球的體積為％^球=—TC,R3X=3兀x23=§，

球心到圓臺的上底面所在的平面的距離為d=百，

；?球冠的高度為無'=7?-〃=2-百，

球冠的體積為V_彷"(37?-_兀(2—⑹伍—2+石)_兀(16-9月),

1333

,V_VV_16K"(16-9⑹_［司，

??%=%球-g==3J3兀，

7I(16-9A/3)

,匕_3_16百-27.

"K-_3V3K~-~27

故答案為：6兀；166—27

27

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角A5c的對邊分別為4c,已知（2c-a）cos5=Z?cosA.

（1）求角3的大??；

（2）若VA3C外接圓的半徑為2叵，且2c—。=2,求VA5C的面積.

3

7T

【答案】（1）-

3

（2）百

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式計算可得；

（2）由正弦定理求出b,再由余弦定理及2c-a=2求出c、a,最后由面積公式計算可得.

【小問1詳解】

因為（2c-a）cos3=bcosA

由正弦定理得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA.

所以ZsinCcosBusinAcosB+sinBcosAusiMA+B）,

因為A+B+C=7t,所以sin（A+3）=sin（兀一C）=sinC.

所以2sinCeosB=sinC.

因為sinC>0,所以COSB=L,

2

因為6?0,兀），所以3=1.

【小問2詳解】

因為VA3C外接圓半徑為2叵，

3

b2J34J3兀2=迪

由正弦定理得一L=2x生=竺2,由（1）知3=一,即百3，所以6=2,

sinB333發(fā)

2

由余弦定理得。2=a2+c2-2ciccosB=/+c?—，所以/+/—々C=4,

因為a=2c—2,代入上式得°2—2c=0.

因為c>0,所以c=2,則a=2,所以SAABC=gacsinB=gx2x2義=百.

16.已知函數(shù)/(x)=e，—(加+\)x-n.

⑴若/(%)在x=0處取得極值0,求私〃的值；

(2)若/(力有兩個零點.

(i)當”=1時，曲線y=/(x)在點億0)(/。0)處的切線斜率為1,求f的值；

㈤證明：帆+1>"土

【答案】(1)m=0,?=l

(2)(i)t=l；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】⑴求導/'(x),由題意得/'(O)=OJ(O)=O,求得"〃的值并利用單調性進行驗證;

(2)(i)根據(jù)導數(shù)的幾何意義得/'(。=1,/(r)=0,求得的值并進行驗證；

(ii)利用導數(shù)求得極小值帆+l—(加+1)—〃，再根據(jù)/(九)有兩個零點，即可得證.

【小問1詳解】

/,(x)=e,-(m+l),

770)=0,fl-(m+l)=0,

由題意八即<I解得〃2=0,"=1.

[/(o)=o,[l-n=o,

當加=0,”=1時，/(x)=eT/,(x)=eY-1,

xe(-oo,0),/'(x)<0J(x)單調遞減，x?0,+8),/'(x)>0,/(x)單調遞增,

所以/(同在x=0處取極值.

【小問2詳解】

(i)〃=1時，f(x)=ex-(/n+l)x-l

/，(x)=e￥-(777+1),所以/，(r)=eZ-(7M+l)=l,

又/(f)=e'=0,

所以(m+l)(f—1)=0,解得根=—1或/=1.

若機=—l,/(x)=e*—1只有一個零點，不符合題意，舍去，所以方=1.

(ii)/,(x)=ev-(m+l),若加+1W0,則/'(X)>0,/(x)在R上單調遞增，不合題意,

若m+1>0,令/'(%)=0,得e*=〃z+l,x=ln+1),

且了?—8,皿加+1)),/，(%)<0,/(%)單調遞減，

xe(in(〃?+1),+oo)"'(%)>0,/(%)單調遞增，

所以/(尤)在x=ln(m+l)處取極小值m+1-(m+1)In(；77+1)-71,

因為函數(shù)有兩個零點，則帆+l—(/〃+l)ln(n?+l)-〃<0,

所以ln(M+l)>l------,

')m+1

ani---

1m+l>em+1-

17.如圖，四棱錐V—A3CE>的底面ABC。為矩形，

BC=2AB=8,VA=VD=2^/10,VB=VC=4后.

(1)設平面M4￡＞與平面VBC交線為/,證明：〃/平面ABCD；

UULT2111m1ULin

(2)若點河滿足VM=—VC+—C3,求MB與平面M4￡)所成角的正弦值.

33

【答案】(1)證明見解析

(2)—.

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、性質推理得證.

(2)取的中點瓦/，過丫作所垂線于。，以。為原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量

法求解.

【小問1詳解】

由ABCD為矩形，得AD//BC,而ADa平面VBC，

BCu平面VBC,則〃平面VBC,

又平面M4￡>c平面VBC=/,ADu平面M4D,

則AEV//,又/</平面ABC。，ADu平面ABCD,

所以/〃平面ABCD.

【小問2詳解】

設相),3。中點分別為￡,/，連接UE,E￡VF,

由題意得憶4=VD=2s/10,VB=VC=4A/2,

得VE，AD,VF，5C,又5c=2AB=8,則匹=2逐,E尸=4,VT=4,

在AVE尸中，過尸作VE垂線，垂足為G,

過V作所垂線，垂足為0,則GB=JIU.

由EVGF=EFVO,得VO=V15,OF=1,EO=3,

又BCLVF.BCLORVFI0尸=尸,川,0尸匚平面敷9尸，則3CL平面VOF,

而VOu平面VOF,則6CLV0,過。作3C平行線交于H,

UUULUUUUUL1

以。為原點，?！??！辍Ｑ镜姆较蚍謩e為蒼以2軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖,

V(0,0,715),A(4,—3,0),B(4,l,0),C(-4,l,0),D(-4,-3,0),設M(西，%,馬)，

101111m

UULT21,—2i—1

由VW=§VC+}C3,得(%,乂,4_厲)=§(_4,1,_苗)+§(8,0,0),

2

得,DA=(8,0,0)M=(4,-3,-A/15),

h-DA=8X2=0

設平面VAD的法向量為為=。2，%/2),貝上

n-VA=4X2-3y2-A/15Z2=0

取Z2=-3,得為=（0,行,—3）,

4V15

又麗=（_4,—士—），得到|cos（W,nj\=〔I_=—皆----=|,

3,3）11\BM[\n\即4

3

故3M與平面14。所成角的正弦值為1.

4

18.有〃個依次進行的試驗X]、％、L、X,,每個試驗的結果為成功或失敗.試驗：成功

的概率為——--其中為前"1次試驗中的成功次數(shù)，待別地，當，=1時，s0=0,/的

si-l+1

成功概率為，Y=i（即/必定成功），記前〃次試驗中恰有機次失敗的概率為P（小加）.

（1）當〃=3時，求恰好有2次成功的概率；

n1〃—H

⑵令4=2廠若讓2,證明：P（n,l）=——^.t

k=\化L）'

（3）當〃23時，請判斷P（〃,l）與P（〃,0）的大小關系，并說明理由.

7

【答案】（1）—

12

（2）證明見解析（3）P（”,1）＞P（〃,O）,理由見解析

【解析】

【分析】（1）分情況討論：①％失敗，了3成功；②/成功，無3失敗?分別計算出兩種情況下的概率，相加

即可得解；

（2）當N?2時，恰有1次失敗，假設失敗發(fā)生在第左次（2WZW"）,其余成功，求出失敗發(fā)生在第左次

左一1nk—1

的概率為M〃—1）!，即可得出尸（"/）=弓而F，即可證得結論成立；

（3）判斷出P（”,I）＞P（”,O）,求出p（〃,o）的表達式，然后證明這個不等式成立，即證

H（n）＜n--,結合不等式的基本性質證明即可.

n

【小問1詳解】

當”=3時，恰有2次成功即恰有1次失敗，

由于為必成功，因此失收只能發(fā)生在/或當上,

111

當馬失敗，無3成功時，概率為1X1X--------=—

1+11+14

當馬成功，當失敗時，概率為lx*x]l-11

,

2+13

所以恰有2次成功的概率P（3,l）=g+；7

12

【小問2詳解】

當N22時，恰有1次失敗，假設失敗發(fā)生在第左次（2〈人其余成功.

1111

則前％-1次均成功的概率為1x------x-x------X

1+12+1左一2+1（左一

k-1

第左次失敗的概為1——-

^-1+1k

(I)!

111

后續(xù)〃-左次成功的概率為^；——x-―-X---X

左一1+1k+1n—2+1(n—1)!，

1k-1(^-1)!_k-1

所以失敗發(fā)生在第左次的概率為7TFX

（I）!k(n-1)!左(〃一1)!’

則「（"/）=￡k-11n—H(9

左（打一）（）

k-\1!n—1

【小問3詳解】

P（n,l）＞P（n,O）,理由如下:

1111

所有試驗均成功的概率為尸（凡0）二1X--------X----------X---X

1+12+1n—1+1n\

n—H⑺1/、

即證——>-C即"⑺<n--.①

n

廠、……11111J11

因為當〃之3時一+—＜一+—,即一<1———

nn1n—1〃nn-1

所以工+工+…+工<〃.2-111111

----------1-----------[-...-)-------

34n3243nn-1

…1111

即1H-----1-----l-TL+—<n—

23nn

所以①式成立,即尸（七1）＞P（n,0）.

19.雙曲線C：f—9=儲（。＞0）的左、右頂點分別為A、A，點A]到c的漸近線的距離為*

（1）求C的方程;

（2）按照如下方式依次構造點4（“22且”wN）：過點4T作斜率為—2的直線交C于另一點紇T，

設4是點B,i關于實軸的對稱點，記點A?的坐標為（xn,yn）.

⑴證明：數(shù)列｛%—%｝、｛5+%｝是等比數(shù)列,并求數(shù)列｛七｝和｛%｝的通項公式；

￥

（ii）記的面積為s,△4A4+1的面積為T，求下的最大值.

【答案】（1）必一y2=i

【解析】

【分析】（1）求出雙曲線C的漸近線方程，結合點到直線的距離公式可求出。的值，即可得出雙曲線C的

方程；

（2）（i）寫出直線A-紇-方程，將該直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達定理可得出

533A-3乙-1，再利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立;

%=^七一^%1'笫t=—2%-1+2x“一％=工

結合數(shù)列的單調性可求得9的最大值.

（ii）求出S、T的表達式，可得出亍的表達式,