山東省濰坊市2025屆高三下學(xué)期4月高考模擬考試（二模）數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4=,0M尤3<27｝,則A的子集的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.8C.16D.32

2.某校高二年級(jí)組織了一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試，隨機(jī)抽取8位學(xué)生的成績(jī)，制成如圖所示的莖

葉圖，該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是88,則x的值為（）

7046

813x9

95

A.5B.6C.7D.8

3.已知-1+/是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程必+3+〃=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則，九+〃=（）

A.-5B.-1C.1D.5

4.已知向量6在向量〃上的投影向量為-2〃，若忖=3,則（）

A.-9B.-3C.3D.9

5.已知數(shù)列｛4｝滿足%+i=<2"為偶數(shù)，若q=l,則％=（）

3%+1,?！槠鏀?shù)

A.1B.2C.3D.4

6.已知角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，其終邊與圓。交于點(diǎn)

A（3,4）.若角a終邊沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角6,交圓。于點(diǎn)3-事,力,則角?？赡転椋ǎ?/p>

A.75°B.105°C.375°D.405°

7.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個(gè)社區(qū)做志愿服務(wù)工作，每個(gè)社區(qū)至少安排1

人，每位志愿者只到一個(gè)社區(qū)，其中甲、乙安排在同一個(gè)社區(qū)的概率為（）

3

8.在VABC中，AC=-AB,。為邊5C上一點(diǎn)，滿足以4。為焦點(diǎn)作一個(gè)橢

2

圓G,若G經(jīng)過(guò)氏C兩點(diǎn)，則G的離心率為（）

3

二、多選題

9.在正方體ABCZ）-中,E、產(chǎn)分別為線段4A、A3的中點(diǎn)，則（）

A.EF與BC異面B.EF〃平面C￡)2￡

C.EFLACD.3。工平面

10.己知函數(shù)/（耳=2而12尤+,，函數(shù)y=g（"的圖象由y=〃”的圖象向左平移1個(gè)單

位得到，則（）

A.與g（x）在［A上有相同的單調(diào)性

o3

B.g（x）的圖象關(guān)于直線x與+*左eZ）對(duì)稱

則的一個(gè)對(duì)稱中心為后o

D.當(dāng)xe［0,2兀］時(shí)，與心-力的圖象有6個(gè)交點(diǎn)

11.曲線的曲率定義如下：若/'（X）是〃力的導(dǎo)數(shù),廣⑺是的⑺的導(dǎo)數(shù),則曲線y=〃x）

k=--

在點(diǎn)（x,7（x））處的曲率

2||，則（）

「1+

A.曲線y=cosx上不存在曲率大于1的點(diǎn)

B.曲線y=/+x在點(diǎn)1-g,-處的曲率最大

2

C.曲線尤2+《=l（y>0）在點(diǎn)（0,2）處的曲率為:

D.曲線y=lnx在點(diǎn)（/In%）與G.lnx?乂為工馬）處曲率相等，則無(wú)］馬<；

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.若拋物線的準(zhǔn)線與直線y=l之間的距離是2,寫出一個(gè)滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程：.

13.V^GR,|x-l|+|x+a|>4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

14.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,其下底面與半球。的底面重合，上底面

圓周在半球。的球面上，則圓臺(tái)的側(cè)面積為；半球。被該圓臺(tái)的上底面所在的平

面截得兩部分，其體積分別為九%解<匕），則*=.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知（2c-a）cos3=6cosA.

⑴求角8的大小；

（2）若VABC外接圓的半徑為38,且2c-a=2,求VA3C的面積.

3

16.已知函數(shù)=.

⑴若在X=0處取得極值0,求“2,〃的值；

⑵若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn).

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，曲線y=/（x）在點(diǎn)億0W彳0）處的切線斜率為1,求才的值；

5）證明：機(jī)+1>/品?

17.如圖，四棱錐V-ABCZ）的底面ABCZ）為矩形，

BC=2AB=8,VA=VD=2^/10,VB=VC=472.

（1）設(shè)平面皿>與平面VBC的交線為/,證明：〃/平面ABCD；

uuir21011UL?

⑵若點(diǎn)Af滿足VM=-VC+-CB,求MB與平面皿＞所成角的正弦值.

18.有〃個(gè)依次進(jìn)行的試驗(yàn)4、/、L、尤“，每個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果為成功或失敗.試驗(yàn)：毛（14三”）

成功的概率為」7T,其中心（1〈區(qū)可為前”1次試驗(yàn)中的成功次數(shù)，待別地，當(dāng)i=l時(shí),

Sj-1十1

s°=0,4的成功概率為士■=1（即4必定成功），記前〃次試驗(yàn)中恰有優(yōu)次失敗的概率為

尸（〃,m）.

⑴當(dāng)〃=3時(shí)，求恰好有2次成功的概率；

n1〃_H

⑵令七嗔%，若附22,證明：「（"/）=逅市；

⑶當(dāng)心3時(shí)，請(qǐng)判斷尸（〃1）與P（〃,0）的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

19.雙曲線C:犬-9=i（。＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、A,點(diǎn)A到C的漸近線的距離為圣?

（1）求C的方程；

（2）按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)4（n＞21.MeN）：過(guò)點(diǎn)4T作斜率為-2的直線交C于另一點(diǎn)

4T，設(shè)4是點(diǎn)B,T關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，記點(diǎn)4的坐標(biāo)為（乙,%）.

⑴證明：數(shù)歹！1｛斗-％｝、｛%+%｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列代｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

（ii）記△A"AAAM的面積為S,△A4A用的面積為T,求亍的最大值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《山東省濰坊市2025屆高三下學(xué)期4月高考模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCDADDCCACACD

題號(hào)11

答案ABD

1.B

【分析】首先解不等式化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)含有"個(gè)元素的集合有2"個(gè)子集計(jì)算可得.

【詳解】由龍3<27,解得x<3,

所以4={犬€叫_?<27}={尤€^彳<3}={0,1,2},

所以A的子集有23=8個(gè).

故選：B

2.C

【分析】結(jié)合百分位數(shù)的定義可得出關(guān)于x的等式，解之即可.

【詳解】由題設(shè)有xe{3,4,5,6,7,8,9},而8x0.75=6,

這八個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列依次為70、74、76、81、83、80+無(wú)、89、95,

則樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為80+；+89=gg,解得工=7,合乎題意.

綜上所述，x=7.

故選：C.

3.D

【分析】利用一元二次方程根的性質(zhì)得到另一個(gè)根，再結(jié)合韋達(dá)定理求出參數(shù)值，最后求解

根十幾的值即可.

【詳解】因?yàn)?l+0i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程￡+皿+"=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

所以一1一萬(wàn)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程1+〃認(rèn)+〃=o的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，

由韋達(dá)定理得-相=-1+"+(-1-")，解得機(jī)=2,

n=(-l+V2i)(-l-V2i)=l-2i2=3,貝！bw+〃=5,故D正確.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)計(jì)算投影向量的公式及卜卜3,求得^cos,,6>=-6,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

即可得答案.

［詳解］Wcos卜,6沱=WcosQ,b)-j=-2〃,WcOS(Q,/?)=

.2--|2

aAa+b=a+a-b=忖+|?|-|z?|cos(a,0)=9+3x(-6)=-9,

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得小的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛叫滿足"二十為偶數(shù)，且％=1,

3%+1,%為奇數(shù)

所以%=3〃i+l=3+l=4,〃3=母=[=2,a4=-^-=^=1,%=32+1=3+1=4.

故選：D.

6.D

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角差的正弦公式得到sin0=變，再利用正弦函

2

數(shù)的性質(zhì)得到0的可能值即可.

【詳解】因?yàn)榻恰５慕K邊與圓。交于點(diǎn)A（3,4）,

34

所以由任意角三角函數(shù)定義得cosa=g,sinar=-,

（夜10

設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為夕，且旋轉(zhuǎn)后的角交圓。于點(diǎn)2-事，￡-

則由任意三角函數(shù)的定義得cos￡=-變，sin”叫,

得到sm"二s皿月一〃）=肝、9一（一*）＞4=尊=￥'

c°s…°M…)=(-當(dāng)且+還二=誣=紅

105105502

故6=45°+2hl80°#eZ,當(dāng)左=1時(shí)，6=405°,故D正確.

故選：D

7.C

【分析】先求出將5位志愿者到三個(gè)社區(qū)做志愿服務(wù)工作的分法種數(shù)，然后就甲、乙所安排

的小區(qū)的志愿者人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件

的概率.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】將甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個(gè)社區(qū)做志愿服務(wù)工作,

每個(gè)社區(qū)的人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1,

1。+半

所以不同的分法種數(shù)為x6=150種;

現(xiàn)在考慮甲、乙安排在同一個(gè)社區(qū)，若甲、乙所安排的小區(qū)有3人，則還需從另外3人中抽

1人，

此時(shí)分法種數(shù)為C；A；=18種；

若甲、乙所安排的小區(qū)只有他們兩人，此時(shí)只需將剩余3人分為兩組，則分法種數(shù)為砥A；=18

種.

綜上所述，甲、乙安排在同一個(gè)社區(qū)的概率為d/=卷.

故選：C.

8.C

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)|DC|=〃z,\AC]=n,則忸q=2〃z,|AB|=jn,

設(shè)該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。，由橢圓的定義可知：

rcf1

m+n=2am=—a

°J0,解得；2

2m+—n=2a3

3n=-a

1I2

i3

所以忸=a,10c=5〃，|AC|=a

在VABC中，顯然有NADC=?—/AD3,所以cos/ADC=—cosNA￡)5,

AD2+DC2-AC2_AD2+DB2-AB2

設(shè)|明=%由余弦定理可知:

2\AD\\DC\AD\\DB

12

2a9a

nnX+44x2+a2-a2耀彳曰2/

R|J----------------------=---------------------，用牛倚x=-----a

2x42辦3

2

因此橢圓的焦距為2c=|AD|=￥^,

2百

所以橢圓的離心率為：2c丁“6.

e______________

2a2a3

故選：C.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

9.AC

【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判

斷BCD選項(xiàng).

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為x、》、z軸建立如下圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A（2,0,0）、3（2,2,0）、C（0,2,0）、￡＞（0,0,0）,

￡（1,0,2）,尸（2,1,0）、G（0,2,2）,

對(duì)于A選項(xiàng)，EF、BC既不平行，也不相交，故班與BC異面，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，EF=（l,l,-2）,易知平面CD2G的一個(gè)法向量為%=（1,0,0）,

則E尸?加=1/0，故所與平面儀＞2￡不平行，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，AC=（-2,2,0）,所以，￡F.AC=-2+2=0，故EF_LAC,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，DB=（2,2,0）,所以，EF-DB=2+2=4,所以，EF、8。不垂直，

故與平面EFG不垂直，D錯(cuò).

故選：AC.

10.ACD

【分析】根據(jù)平移規(guī)則得到函數(shù)g（x）=2cos（2x+］即可判斷A正確，由余弦函數(shù)對(duì)稱軸

方程可得B錯(cuò)誤，再由正切函數(shù)對(duì)稱中心方程可得C正確，畫出函數(shù)圖像即可求得交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，可得D正確.

【詳解】易知y=/（x）的圖象向左平移1個(gè)單位可以得到

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

g（x）=2sin^2^%+^+^=2sin^2%+^+^=2cos121十三

IT-「兀兀1tAc兀］「2兀

對(duì)于A,當(dāng)無(wú)￡—時(shí)，2x+—G--,7i,

■rrjr

由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知，"X)與g(x)在-，y上均是單調(diào)遞減的，即它們有

相同的單調(diào)性，可得A正確；

對(duì)于B,由g(x)=2cosbx+，］可知，令2x+'=fai(AeZ),解得x=-四+eZ),

\37362

因此可得g(x)的圖象關(guān)于直線x=-￡+W(AeZ)對(duì)稱，即B錯(cuò)誤；

（、2sin2x+—（

對(duì)于C,易知刀（無(wú)）=—：￥=---7------Z=tan（2尤+弓

3

g（x）2cosl2x+|l1

令2元+g=^兀(左￡Z),解得工二一巳+今化￡Z),

C兀兀

2x—+—

23

11.ABD

【分析】利用曲率的定義可判斷ABC選項(xiàng)；由題意得出尤；君(才+后)+3其后-1=。，令

,=占％>0,結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于t的不等式，解之可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)/(x)=cosx,則/'(x)=-sinx,/"(x)=—cosx,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

所以，曲線y=cosx上不存在曲率大于1的點(diǎn)，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，令/（x）=x?+x,則/'（x）=2x+l,/"（x）=2,

2

k二

33

所以,2

1+2

故當(dāng)x=-g時(shí)，1+（2尤+1）2取最小值，此時(shí)左取最大值，且了111

242I'

所以，曲線y=/+x在點(diǎn)處的曲率最大，B對(duì);

2

對(duì)于C選項(xiàng)，由=〉0）可得y=2d-X2

____2%

令/（%）=2y11-x2，貝IJ/'（%）=一-/2

則?。?-2所以，（（。）=。，/（。）=一2,

2

1-x1一寸

|/"（0）|

所以，曲線V+9=l（y>0）在點(diǎn)（0,2）處的曲率為人=2

3C錯(cuò);

[1+（廣（。）燈

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)/（x）=lnx,則廣（x）=J/（司=一（,

,『（刈_1x

則y=/⑺在點(diǎn)（％/（尤））處的曲率〃一；一T一-I—J，

[l+（〃x））[2（1+[（41）2

因?yàn)榍€y=lnx在點(diǎn)a，ln%）與（與出電乂%W%）處曲率相等，

西&尤；X；

7

即（/>2+1）2~/32+1）2，即「（X,一+1幣）"=7伍^一+八1），

即（若+3考+34+1）=后（嚀+3龍：+3^+1）,

整理可得（片（*+兀；）+3片兀；—1]=。,

因?yàn)榍也?、?均為正數(shù)，所以，片后（Af+%；）+3%；]；—l=。,

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

由基本不等式可得（X：+君）+3^尤；-l=0>2x；尤;.占尤2+3x；x；-1,

即2ax之）+3（玉X?）—1<0,令，=占%2>。，則2r+3產(chǎn)-1<0,

11

即（2r-l）Q+l）9<0,由于t>0,解得f<5，即占與</,D對(duì).

故選：ABD.

12.Y=4y或f=T2y（填一個(gè)答案即可）

【分析】根據(jù)題意，判斷拋物線的準(zhǔn)線方程為>=3或y=-l,分別求出焦準(zhǔn)距，寫出拋物線

方程即可.

【詳解】依題意，拋物線的準(zhǔn)線與直線>=1平行，且距離為2,

故拋物線的準(zhǔn)線方程為y=3或y=-1,

當(dāng)拋物線的準(zhǔn)線方程為y=3時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且點(diǎn)=3,P=6,故拋物

線方程為：X2=-I2y；

當(dāng)拋物線的準(zhǔn)線方程為y=T時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，且5=1，p=2,故拋

物線方程為：d=4y.

綜上可知，滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是f=T2y或V=4y.

故答案為：f=_i2y或d=4y（填一個(gè)答案即可）

13.（-<?,-5]U[3,+oo）

【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得到|x-1|+卜+。閆。+1,從而得到|。+1性4,解得即可.

【詳解】因?yàn)閨*一1|+|尤+。|引（*+。）一（無(wú)一1）|=卜+1|（當(dāng)且僅當(dāng)（x—l）（x+a）W0時(shí)取等號(hào)），

又V尤eR,|x-l|+|x+o|>4,所以|a+l|/4,則a+124或a+1W-4,

解得。23或。4-5,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（e,-5]U[3,+s）.

故答案為：（f,-5]U[3,+s）

14616石-27

14.071--------

27

【分析】第一空利用已知條件可求得圓臺(tái)的高，進(jìn)而可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，再求側(cè)面積即可；

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

第二空先求出球冠的體積K，再求出半球的體積，進(jìn)而可求出匕，最后可求出才的值.

Y2

【詳解】

作出圓臺(tái)的軸截面如圖，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為不，下底面半徑為4,球的半徑為R,

?圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,4=1,2=2,

又，下底面與半球0的底面重合，，R=2,

，圓臺(tái)的身〃=J7??—，=,4—1=相,二圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/='>+（4-1）?=J3+1=2,

二圓臺(tái)的側(cè)面積為5=兀（4+々）/=兀（1+2）'2=6兀；

417167r

半球的體積為％球=耳兀叱、5=：兀、23=亍，

「球心到圓臺(tái)的上底面所在的平面的距離為4=若，

二球冠的高度為〃=R-d=2-石,

.-.球冠的體積為V=皿"（3"-/）=碓一@（6-2+⑹="（16-9』）,

1~333

元（16_9⑹

,H_3_16若-27.

工--3^~-~27

故答案為：6兀；16-—27

27

71

15.⑴孑

⑵6

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

（2）由正弦定理求出），再由余弦定理及2c-。=2求出c、a,最后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）因?yàn)椋?c—a）cosjB=Z;cosA

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB=sinBcosA.

所以2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+5),

因?yàn)锳+3+C=7t,所以sin(A+5)=sin(7i—C)=sinC.

所以2sinCeosB=sinC.

因?yàn)閟inC>0,所以cosB=一,

2

因?yàn)?e(O,7T),所以B=

(2)因?yàn)閂A3C外接圓半徑為2匹,

3

rr-b_473

由正弦定理得上=2x2=生@，由(1)知2=即有=亍，所以6=2,

sin83334

2

由余弦定理得加=a2+c2-2accosB=a2+c2—ac>所以/+c?—ac=4,

因?yàn)閍=2c-2,代入上式得2c=0.

因?yàn)閏>0,所以c=2,則a=2,所以S^ABC=gacsinB=；x2x2x^^=石.

16.(l)m=0,71=1

⑵(i)r=l；(ii)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)/'⑺，由題意得r(o)=o,〃o)=o,求得〃筋的值并利用單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)

證；

(2)(i)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得廣⑺=1,/”)=0,求得機(jī)，的值并進(jìn)行驗(yàn)證；

(ii)利用導(dǎo)數(shù)求得極小值機(jī)+1-(機(jī)+l)ln(〃?+l)-%再根據(jù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即可得證.

【詳解】⑴/,(x)=e'-(m+l),

由題意，:即W。解得加=0,〃=1.

[/⑼=。，[l-n=0,

當(dāng)m=0,〃=1時(shí)，/(x)=exf\x)=ex-1,

x,0)J'(x)<0"⑺單調(diào)遞減，Xe(0,+8),r(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

所以/(x)在x=0處取極值.

(2)(i)zz=l時(shí),f(x)=ex—1

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

/,(%)=e'-(m+l),所以/'(r)=e'—(/〃+l)=l,

又==

所以(m+l)(t-l)=O,解得m=一1或f=l.

若〃?=-1"(無(wú))=e'-l只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去，所以f=l.

(ii)/'(x)=e'—(m+l),若加+"0,則/'(x)>OJ(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意，

若機(jī)+1>0,令/，(x)=0,得/=7%+l,x=ln(m+l),

且xe(-8,ln(〃z+1)),/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

xe(ln(〃z+l),+8),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(尤)在x=ln(m+l)處取極小值機(jī)+l-(m+l)ln(租+1)-〃，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則〃2+l-(〃z+l)ln(〃2+l)-〃<0,

所以ln(m+l)>1——看,

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵;.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得證.

(2)取ARBC的中點(diǎn)瓦尸，過(guò)V作斯垂線于。，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用

線面角的向量法求解.

【詳解】(1)由ABCD為矩形，得AD//BC,而ADO平面VBC,

3Cu平面VBC,則AD〃平面VBC,

又平面VADc平面VBC=/,ADu平面

則AZ)/〃，又/0平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以〃/平面ABC。.

(2)設(shè)AD,3c中點(diǎn)分別為耳尸，連接V<E,E￡VF,

由題意得VA=VZ>=2質(zhì),=VC=40,

得VE_LAD,VF_LBC,又3c=2AB=8,則VE=2#,E尸=4,由=4,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

在中，過(guò)下作VE垂線，垂足為G,

過(guò)V作EF垂線，垂足為0,則GP=Vi8.

由￡V-GF=EFVO,得VO=A/B,OF=1,EO=3,

又BCLVF.BCLOfVFI。尸=尸,VF,OFu平面攻小，則平面丫。/，

而VOu平面VCE,則3CLVO,過(guò)。作3C平行線交48于H,

L1LILJ1LIUL1UULL

以。為原點(diǎn)，0//,0尸,01的方向分別為％%2軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

V(0,0,V15),A(4,-3,0),B(4,l,0),C(-4,1,0),D(-4,-3,0),設(shè)

umr2tLm1111n?—?i—1

由VM=§VC+5c3,得(％，M，Z]_岳)=§(_4,1,_岳)+§(8,0,0),

得M(0,|,率)，DA=(8,0,0),=(4,-3,-正)，

n?DA=8X2=0

設(shè)平面VAZ)的法向量為九=(%，%，22),貝1b

n-VA=4X2-3y2-A/15^Z2=0

取Z2=-3,得”=(0,厲,_3),

II4^/15

得至Ukos〈8M,〃〉卜—

11\BM[\n\匹2&4

3

故3M與平面皿)所成角的正弦值為;.

7

18.(1)—

12

(2)證明見(jiàn)解析

(3)尸("1)＞尸(〃,0),理由見(jiàn)解析

【分析】(1)分情況討論：①尤2失敗，演成功；②％成功，覆失敗.分別計(jì)算出兩種情況下

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

的概率，相加即可得解；

（2）當(dāng)N22時(shí)，恰有1次失敗，假設(shè)失敗發(fā)生在第％次（2W左W”），其余成功，求出失敗

k-1,、"k-1

發(fā)生在第七次的概率為即可得出P（"，1）=2而二可，即可證得結(jié)論成立;

（3）判斷出尸5，1）＞尸（〃,0）,求出產(chǎn)（〃,0）的表達(dá)式，然后證明這個(gè)不等式成立，即證

H（n）＜n--,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)證明即可.

n

【詳解】（1）當(dāng)〃=3時(shí)，恰有2次成功即恰有1次失敗,

由于耳必成功，因此失收只能發(fā)生在％或W上,

當(dāng)馬失敗，與成功時(shí)，概率為1義（1—=H，

當(dāng)X2成功，入3失敗時(shí)，概率為lx：j--XG--一"I--,

XIX\乙IXJJ

117

所以恰有2次成功的概率—3,1）=§+^=丘.

（2）當(dāng)N22時(shí)，恰有1次失敗，假設(shè)失敗發(fā)生在第左次（2（左（〃），其余成功.

1111

則前次均成功的概率為1X---------X----------XX______________

1+12+14一2+1-(左一1)!.

1k

第七次失敗的概為1-下,

后續(xù)t次成功的概率為母I1>1(I)!

X----------X

k+1n—2+1(n-1)!

左（左一丫

所以失敗發(fā)生在第％次的概率為『1xk-1x局1=折k-1

則P(〃,l)=￡k-11_yl]I)/—"⑺

/I~k)(

k-lk(n—^)\(n—1)!

（3）P（n,l）＞P（n,O）,理由如下:

所有試驗(yàn)均成功的概率為尸（〃,O）=lx丁工x11

X----------------=——

n—1+1n\

n—H(n)1,、1

即證即①

因?yàn)楫?dāng)"23時(shí)4+!<1+-1-即Li-

nn1n—1n

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

所以;+;+1c1111

+—<n-2------1------F??-+

n3243

BP1+-+-+L

23nn

所以①式成立，即夕伍,1)＞尸5,0).

19.（l）x2-/=1

(2)(i)證明見(jiàn)解析,

2

【分析】(1)求出雙曲線C的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出。的值，即可得

出雙曲線C的方程;

(2)(i)寫出直線4_也1方程，將該直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理可得出

5335

y^=-2x?_l+2x?-yn=-xn--Xn_1,再利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論

成立；

(ii)求出s、T的表達(dá)式，可得出|■的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求得壓的最大值.

【詳解】(1)雙曲線C的漸近線方程為x±y=O,AS，。)，

同_忘

則點(diǎn)A到漸近線的距離為,所以4=1,所以C的方程為d-y2=i.

0一2

（2）（i）因?yàn)?（x”％）,所以Bnl（xn，-yn）,

直線AIB,T的方程為y+%=-2（x-xn）,即y=-2x+2x,-yn,

代入x2-y?=l,得3x?-4（尤“—y“）x+（2尤”—y.）+1=0,

5335

=Xn

所以％^<%-=-2x,i+2x“一”=-x?--x?_1,

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

由題設(shè)有玉+%=%—X=1,

5313

產(chǎn).4%~4X"+4X--1_1

因?yàn)檎幸欢?/p>

353