重難點06新定義函數(shù)壓軸題

明考情?知方向

新定義函數(shù)題型往往融合了多個數(shù)學知識點，要求考生具備扎實的基礎(chǔ)知識和靈活的思維能力。

例如，某些題目可能結(jié)合代數(shù)、幾何或概率等不同領(lǐng)域的知識，考查學生對知識的綜合運用能

力。近年來，北京中考數(shù)學壓軸題中的新定義函數(shù)題型逐漸增多，且形式多樣化。例如，2024

年中考數(shù)學壓軸題中出現(xiàn)了幾何新定義、數(shù)列新定義、函數(shù)新定義等多種類型，體現(xiàn)了試題設(shè)

計的靈活性和多樣性。針對新定義函數(shù)題型，考生需要注重以下幾點：

掌握基礎(chǔ)知識：扎實掌握代數(shù)、幾何、概率等基礎(chǔ)知識，為理解新定義打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)創(chuàng)新思維：通過練習類似題目，培養(yǎng)對新概念的理解能力和靈活運用能力。

注重閱讀理解：提高對題干信息的提取和分析能力，避免因信息量大而產(chǎn)生困惑。

總結(jié)解題方法：通過總結(jié)典型題目的解題思路和方法，形成解題模板，提高解題效率。

熱點題型解讀

【題型1一次函數(shù)與圓綜合】

考查了軸對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確理解新定義的含義，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

1.（2024學年北京市三帆中學中考模擬數(shù)學試題二模）在平面直角坐標系■中，的半徑為1,對于

直線/和線段P。，給出如下定義：若線段尸。關(guān)于直線/的對稱圖形是。。的弦尸0'（尸'，。'分別為尸，Q

的對應(yīng)點），則稱線段尸。是。。關(guān)于直線/的"對稱弦”.

⑴如圖，點4，4,4，B[,B],崖的橫、縱坐標都是整數(shù).線段4月，4不，4鳥中，是。。關(guān)于直

線y=x+1的"對稱弦”的是_

⑵CD是。。關(guān)于直線y=依住NO）的"對稱弦"，若點C的坐標為，且CD=1，直接寫出點。的

坐標；

（3）已知直線y=+6和點M（2百,3）,若線段ACV是。。關(guān)于直線y=-岳+6的“對稱弦"，且TW=1,

直接寫出ON的最值和相應(yīng)6的值.

2.（2024年北京市平谷區(qū)中考二模）平面直角坐標系x帆中，己知線段N8,尸為線段上一點（不與點

A、3重合），以A為圓心，/尸長為半徑畫。/,以8為頂點作/"BN,4MBN=。。,若角/九必N的兩邊

一邊與。/相切，另一邊與ON相交，則稱線段42與。/關(guān)于點尸一分關(guān)聯(lián).

⑴若點尸為線段的中點，線段43與。/關(guān)于點P—/關(guān)聯(lián)，則滿足條件的分值可以是①30°

②45°③60。④90°.

（2）。。半徑為1,P是。。上一點，2（0,⑼是》軸上一點，線段08與。。關(guān)于點尸-90關(guān)聯(lián)，直接寫出加

的取值范圍；

⑶。。半徑為1,點A是。。上一點，點8（5,0）,線段Ng與。/關(guān)于點2一60關(guān)聯(lián)，若在直線＞=x+b上

存在滿足條件的點尸，直接寫出6的取值范圍.

3.（2024年北東市二中教育集團中考三模）在平面直角坐標系xQy中，OO的半徑為1,對于直線/和線

段42,給出如下定義：若將線段42關(guān)于直線/對稱，可以得到。。的弦（H,"分別為4,8的對應(yīng)

點），則稱線段是。。的關(guān)于直線/對稱的“關(guān)聯(lián)線段".例如：在圖1中，線段42是。。的關(guān)于直線/

對稱的“關(guān)聯(lián)線段

⑴如圖2,點4，耳，4,B2,A3,反的橫、縱坐標都是整數(shù).

①在線段4片，A2B2,中，。。的關(guān)于直線v=x+2對稱的“關(guān)聯(lián)線段"是；

②若線段44，A國,中，存在。。的關(guān)于直線了=-苫+%對稱的"關(guān)聯(lián)線段〃，則俏=；

出已知〉=-瓜+6僅>0）交工軸于點。在ZUBC中，NC=3,AB=G.若線段42是。。的關(guān)于直線

?=-氐+6（6>0）對稱的"關(guān)聯(lián)線段"，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的BC長.

4.（2022年北京市中國人民大學附屬中學中考一模）我們規(guī)定：平面內(nèi)點A到圖形G上各個點的距離的最

小值，稱為該點到這個圖形的最小距離d,點A到圖形G上各個點的距離的最大值，稱為該點到這個圖形

的最大距離。，定義點A到圖形G的距離跨度為尺=。-1.

⑴如圖1,在平面直角坐標系X0V中，圖形G］為以。為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點到圖形G1

的距離跨度：

/（-1,0）的距離跨度」

的距離跨度」

c(-3,2)的距離跨度二

(2)如圖2,在平面直角坐標系xQy中，圖形M為函數(shù)y的圖象，。。和。。的半徑均為3,圓

心分別為C?,0)，以4—,0),將圖形M上的所有點到0c和。。的距離跨度的最小值分別記為7和3,若

【題型2一次函數(shù)與三角形四邊形綜合】

主要考查了垂徑定理，圓周角定理，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形，勾股定理等等，正確理解題!

意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

亡一(無奈而范天亭第三閑用西城耍峪孽叔王應(yīng)二方三孽軍允軍凌壬季期期幣7在平面S鬲巫標系口萬畝,

對于線段48和點C,若△ZBC是以42為一條直角邊，且滿足NC>48的直角三角形，則稱點C為線段48

的“從屬點”.

已知點工的坐標為(0,1).

—

III一

3456

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,若點8為(2,1),在點G(0「2),C2(2,2),C3(1,O),C/0,3)中,線段45的“從屬點”是

（2）如圖2,若點2為（1,0）,點P在直線y=-2x-3上，且點P為線段的“從屬點"，求點尸的坐標；

⑶點8為x軸上的動點，直線了=4x+6（bN0）與x軸，y軸分別交于M,N兩點，若存在某個點8,使得線

段MV上恰有2個線段的"從屬點"，直接寫出b的取值范圍.

6.（北京市第一七一中學2022-2023九年級上學期期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點”（凡6）,對

于點P（xj）給出如下定義：將點尸向右（。＞0）或向左（。＜0）平移同個單位長度，再向上（6＞0）或

向下（匕＜0）平移網(wǎng)個單位長度，得到點P,點P與點M的中點為。，稱點。為點尸的關(guān)于點M的"平

移中點【已知N（XQJ,臺伍,%）,則N8中點坐標為，產(chǎn)，―匹卜

5_

4_

_

3_

2_

1_

—

』O

-

-

-2■

-3-

-4

（1）①若4（3,2）,5（1,0）,則48中點坐標為；

②若尸（2,4）,則點0的坐標為

（2）已知M（1,1）,點尸在直線/：y=3x上.當點。在第一象限時，點P橫坐標t取值范圍是

⑶已知正方形NBCD的邊長為2,各邊與x軸平行或者垂直，其中心為（5,5）,點尸（X/）為正方形/BCD上

的動點

①當。=6=0時，在點尸運動過程中，點0形成的圖形的面積是

②當點”（。力）在直線：y=3x上，在點P運動過程中，若存在點Q在正方形4BCD的邊上或者內(nèi)部，則a

的取值范圍是.

7.（2022年北京市海淀區(qū)九年級數(shù)學二模）在平面直角坐標系中，對于線段直線/和圖形少給

出如下定義：線段"N關(guān)于直線/的對稱線段為〃獷（/。N分別是M,N的對應(yīng)點）.若MN與MN均

在圖形沙內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形平為線段"N關(guān)于直線/的“對稱封閉圖形”.

尸

6

5

4

3

2

1-

P

―?--1--1--1--1—.—?--1--1--1--1--1—>

-6-5-4-3-2-1O123456%

(1)如圖，點尸(-1,0).

①己知圖形區(qū):半徑為1的O。，％：以線段PO為邊的等邊三角形，沖3：以。為中心且邊長為2的正

方形，在％,亞2,%中，線段尸。關(guān)于V軸的"對稱封閉圖形”是;

②以。為中心的正方形/BCD的邊長為4,各邊與坐標軸平行.若正方形N8CD是線段尸O關(guān)于直線y=

x+6的"對稱封閉圖形"，求6的取值范圍；

(2)線段在由第四象限、原點、x軸正半軸以及y軸負半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且"N的長度為2.若存在點

。(“-2虛，a+2舊，使得對于任意過點。的直線/,有線段初V,滿足半徑為r的OO是該線段關(guān)于/的

"對稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍.

8.(2024年北京市八一教育集團、北京市第十九中學中考零模)在平面直角坐標系xQy中，已知正方形/BCD,

其中/(亞，-&),8(也,也)，C(-V2,V2),￡>(-V2,-V2),M.N為正方形外兩點，MN=\.給出如下定義：

如果線段九W平移機個單位后，兩端點均落在正方形的邊上，則稱"的最小值為線段到正方形

48cZ)的"平移距離"，記為d.

(1)如圖1,平移線段MV,得到兩條端點在正方形邊上且長度為1的線段耳心和月月，則這兩條線段

的位置關(guān)系是;在點耳月,號心中，連接點M與點的線段的長度等于d.

（2）若點都在直線y=r+4上，求d的值;

（5萬5

⑶若點M的坐標為三一，三一，直接寫出d的取值范圍.

【題型3二次函數(shù)綜合】

考查二次函數(shù)的綜合題，考點還涉及平面直角坐標系、三角形全等的判斷和性質(zhì)、二次函數(shù)對稱軸、菱I

形的性質(zhì)、線段極值、圓的性質(zhì)等知識點，學會并熟練運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

1565屋車無奈而孚血永#老試藪甄報,君下贏木年后的直函7反而而「侖而面莢而■鬲乏二對一”

a.將點產(chǎn)先關(guān)于作軸對稱點P,再將P關(guān)于/N作軸對稱點。.稱。為P的N-&對稱點

4-3,36）,07的半徑為1.

⑴當兩條對稱軸分別為V=x和V=-x,直接寫出7的。-90。對稱點坐標

⑵直接寫出T的。-75。對稱點橫坐標的取值范圍

⑶A和8是夕=辦2上兩個不同的點，。4_1。3,48交了軸于00為。的。-/。48對稱點.。的縱坐標取值

范圍0<%<4048,求。的值

⑷。。的半徑為2,/伍,0）為x軸除原點外一點，使得。。上存在點8,直線交y軸于點C,。7上有。的

C-/OC5對稱點直接寫出左的取值范圍.

10.（2022年北京市石景山區(qū)中考數(shù)學二模）在平面直角坐標系xQy中，點尸的坐標為（。/），點尸的變換

點P'的坐標定義如下：

當.>6時，點尸'的坐標為（-“,6）；當a>6時，點尸'的坐標為（-仇。）.

V

*八

55為

44二5-

33-4-

223-

11二2-

^廠

V1■1">

X-2345x43-2-1?.12345x

2-

_3-2

_4二

C-3

_5.備用圖1-4-備用用2

V一

_--5

5力

45-

34-

23-

12-

1y

-l2345x4321?」2345x

-2

3-2

一4-3

-5備用圖3-4~備用圖4

_-5

(1)點/(3,1)的變換點H的坐標是；點8(-4,2)的變換點為玄，連接。區(qū)。夕，則403=

(2)已知拋物線y=-(x+2y+機與x軸交于點C,D(點C在點。的左側(cè)),頂點為E.點尸在拋物線

y=-(x+2『+加上，點尸的變換點為P.若點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECPD是菱形，求加

的值；

(3)若點尸是函數(shù)＞=-2x-6(-44x4-2)圖象上的一點，點廠的變換點為尸，連接ET,以Fk為直徑

作。M,0M的半徑為「，請直接寫出『的取值范圍.

11.(2021年北京市海淀區(qū)中考二模)在平面直角坐標系xOy中，4,4,…,4是左個互不相同的點，若這

上個點橫坐標的不同取值有加個，縱坐標的不同取值有〃個，p=m+n,則稱P為這《個點的“特征值"，記

為(4,4，...，4〉=p.如圖1,點T(M,N)=1+2=3.

(1)如圖2,圓C的圓心為(0,3),半徑為5,與x軸交于4,8兩點.

①T〈4B〉=,T(A,B,C)=；

②直線>=6(6工0)與圓C交于兩點。，E,若T(A,B,D,E)=6,求6的取值范圍；

(2)點4,&…，4到點。的距離為1或血，且這8個點構(gòu)成中心對稱圖形，7〈4,4,…,4)=6,若拋物

線y=ax?+法+c(a>0)恰好經(jīng)過耳,4,…,4中的三個點，并以其中一個點為頂點，直接寫出。的所有可能

取值.

12.(2023年北京市順義區(qū)中考數(shù)學二模)在平面直角坐標系xp中，已知點經(jīng)過某

點且平行于加、ON或的直線，叫該點關(guān)于AOW的“關(guān)聯(lián)線”.

例如，如圖1,點尸(3,0)關(guān)于AOACV的"關(guān)聯(lián)線"是：y=x+3,y=-x+3,x=3.

⑴在以下3條線中，是點(4,3)關(guān)于AO九W的“關(guān)聯(lián)線”(填出所有正確的序號)；①x=4；②

y=-x-5-③y=x-l.

⑵如圖2,拋物線y=；(x-a)2+"經(jīng)過點N(4,4),頂點3在第一象限，且3點有一條關(guān)于AOMV的"關(guān)聯(lián)

線”是y=-x+5,求此拋物線的表達式;

⑶在(2)的條件下，過點A作NCLx軸于點C,點￡是線段/C上除點。外的任意一點，連接OE,將AOCE

沿著折疊，點C落在點C'的位置，當點C'在8點關(guān)于AOW的平行于肱V的“關(guān)聯(lián)線"上時，滿足(2)中

條件的拋物線沿對稱軸向下平移多少距離，其頂點落在OE上?

,上的點到點F(0,1)的距離與到直線

!x2上任意一點，PH1I于點H,則PF=PH.

I：y=-i的距離相等.如圖1所示，若點P是拋物線丫=

4

基于上述發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標系xOy中的點M,記點M到點P的距離與點P到點廠的距離之和的最小

值為d,稱d為點M關(guān)于拋物線yf2的關(guān)聯(lián)距離；當U時’稱點M為拋物線的關(guān)聯(lián)點.

(1)在點M/2,0),M2(l,2),M3(4,5),M/0,-4)中，拋物線y=的關(guān)聯(lián)點是

(2)如圖2,在矩形ABCD中，點A(t,l),點C(t+1,3),

①若t=4,點M在矩形ABCD上，求點M關(guān)于拋物線y=；x2的關(guān)聯(lián)距離d的取值范圍；

②若矩形ABCD上的所有點都是拋物線y=}x2的關(guān)聯(lián)點，則t的取值范圍是.

【題型4反比例函數(shù)綜合】

主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形及反比例函數(shù)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、

解直角三角形及反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

五「一7無奈而56u庫無車式用專捅題卷廠在平面直鬲反標ifx6y耳亞的加版電布分雨層工心「一一

Yi),B(x2,y2)，C(X3,y3),對于AABC的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義：將|xi-x2|,%-x?|,

IX3-X1I中的最大值，稱為AABC的橫長，記作Dx；將|y「y2l，M-y3l，M-yil中的最大值，稱為AABC

DD

的縱長，記作Dy；將才叫做AABC的縱橫比，記作人=方.

□xUx

例如：如圖1,4ABC的三個頂點的坐標分別是A(0,3),B(2,1),C(-1,-2),則Dx=|2-

Dv5

(-1)1=3,Dy=13-(-2)1=5,所以入二方二§.

(1)如圖2,點A(1,0),

①點B(2,1),E(-1,2),則AAOB的縱橫比入產(chǎn)；AAOE的縱橫比入2=;

②點F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1,寫出一個符合條件的點F的坐標；

③點M是雙曲線y=［上一個動點，若aAOM的縱橫比為1,求點M的坐標；

(2)如圖3,點A(1,0),G)P以P(0,百)為圓心，1為半徑，點N是OP上一個動點，直接寫出aAON

的縱橫比人的取值范圍.

15.(北京市平谷區(qū)2023年九年級中考二模)如圖，在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知點

/(2,3),點8(6,3),連接.如果線段上有一個點與點P的距離不大于1,那么稱點尸是線段的"環(huán)

繞點

77

66

55

44

33

ABAB

22

11

O1234567%O1234567x

Si備用圖

(1)已知點C(3,L5),0(435),￡(1,3),則是線段的“環(huán)繞點”的點是二

Q

(2)已知點尸(也")在反比例函數(shù)》=—的圖象上，且點P是線段的"環(huán)繞點”，求出點P的橫坐標m的取

X

值范圍；

⑶已知。河上有一點P是線段的"環(huán)繞點”，且點初(4,1),求。M的半徑:?的取值范圍.

16.(2024年北京市順義區(qū)中考二模)定義：點尸是徵2。內(nèi)部或邊上的點(頂點除外),在△P4B,

△PBC,中，若至少有一個三角形與MBC相似，則稱點尸是AIBC的自相似點.

例如：如圖1,點P在A48C的內(nèi)部，乙PBC4,乙PCB4BC,貝lJ△8CPs△/8C,故點尸為zMBC的自

相似點.

請你運用所學知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標系中，點M是曲線C：y=^8(x>0)上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點.

x

(1)如圖2,點P是上一點，乙0NP=4f,試說明點尸是△MON的自相似點；當點M的坐標是

(6,3),點N的坐標是(6,0)時，求點P的坐標；

(2)如圖3,當點M的坐標是(3,6)，點N的坐標是(2,0)時，求2WCW的自相似點的坐標；

(3)是否存在點M和點N,使△MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說

明理由.

17.(北京市燕山區(qū)2023年九年級一模)在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為

夢之點，例如，點(1，1),(-2,-2),(血，血)，…，都是夢之點，顯然夢之點有無數(shù)個.

n

(1)若點P(2,b)是反比例函數(shù)>=—(n為常數(shù)，n^O)的圖象上的夢之點，求這個反比例函數(shù)解析式;

X

(2)O0的半徑是亞，

①求出O。上的所有夢之點的坐標；

②已知點M(m,3),點Q是(1)中反比例函數(shù)了=‘圖象上異于點P的夢之點，過點Q的直線I

與V軸交于點A,tanzOAQ=1.若在。0上存在一點N,使得直線MN||I或MN11,求出m的取值

范圍.

18.(2023年北京市房山區(qū)中考一模)我們規(guī)定：形如夕=經(jīng)坐(。、6、左為常數(shù)，且人工附)的函數(shù)叫做"奇

特函數(shù)".當。=6=0時，"奇特函數(shù)"了=鬢器就是反比例函數(shù)了=￡(左力0).

（1）若矩形的兩邊長分別是2和3,當這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8，求y與x

之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個函數(shù)是否為"奇特函數(shù)"；

（2）如圖，在平面直角坐標系中，點。為原點，矩形OABC的頂