湖北省部分高中協(xié)作體2024-2025學年高三下學期期中聯(lián)考

數(shù)學試題

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考

證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.

2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4、考試結束后，請將答題卡上交.

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

I,若函數(shù)'=/（%）的定義域為“={劃一2<%<2},值域為N={y|0"y"2}，則函數(shù)y=/（x）的圖

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念以及定義域與值域判斷各個選項的圖象即可.

【詳解】解：函數(shù)丁=/（乃的定義域為“={%|-2<%<2},值域為N={y|0WyW2},

可知A圖象定義域不滿足條件;

B圖象不滿足函數(shù)的值域；

C圖象滿足題目要求；

D圖象，不是函數(shù)的圖象;

故選：C.

2.已知cos3io=。，貝ijsin239°tan149°的值為（

B.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由誘導公式化簡，即可得到結果.

【詳解】sin239°tan149°=sin(270°-31°)tan(18O°-31°)

=-cos31°-(-tan31O)=sin31°=A/1~COS°312=Jl-片.

故選：B

3.已知。為VA3C所在平面內(nèi)一點，。是的中點，動點尸滿足OP=(l-X)OD+XOC(XeR),則

點尸的軌跡一定過VA3C的()

A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.AC邊的中點

【答案】C

【解析】

【分析】由動點尸滿足OP=(1—2)OD+/IOC,且1—4+2=1,得到p,CD三點共線，進而得到答

案.

【詳解】由動點P滿足OP=(1—X)OD+XOC(XeR),且1—2+4=1,

所以三點共線，

又因為。為的中點，所以CD為VA3C的邊A6的中線，

所以點P的軌跡一定過VA3C的重心.

故選：C.

4.如圖，若正四棱柱A3CD—A與的底邊長為1,NB]AB=：,E是。。的中點，則AC到平面

EAC的距離為(

A

A.卡B.2岔C.以見D.叵

55

【答案】D

【解析】

7T

【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)正四棱柱ABC。-4用￡，的底邊長為1,且48仙3=］，求得正

四棱柱的高，再求得平面EAC的一個法向量n=(%,y,z),將AQ到平面EAC的距離轉(zhuǎn)化為點A到平面

\\E-A

EAC的距離，由d=求解.

H

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：

jr

因為正四棱柱ABCD—A4GA底邊長為1，且N4A3=《,

所以期=44-tanq=G，

則A（O,O,O）,C（1,1,O）,E

所以AE=0,1,，AE=0,1,——,CE=-1,

7

設平面EAC的一個法向量為〃=(x,y,z),

=6n

yd------z=0

n-AE=0

則《,即《2

n-CE=O

-xH-------z=0

2

令z=2百，則〃=（3,-3,26）,

因為AC//AC1，且ACu平面EAC,AG（Z平面區(qū)AC,

所以AG〃平面EAC,

所以AC到平面EAC的距離即為點A到平面EAC的距離,

故選：D

5.己知。為直線/：x+2y+l=0上的動點，點尸滿足QP=（l,—3）,記尸的軌跡為E，貝|（）

A.E是一個半徑為石的圓

B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為

D.E是兩條平行直線

【答案】C

【解析】

【分析】設P（羽y）,由Q尸=（L—3）可得。點坐標，由。在直線上，將點坐標代入，得軌跡，結合選項即

可得出正確答案.

【詳解】設尸（羽y）,由QP=（l,-3）,則。（x—l,y+3）,

由Q在直線/:x+2y+l=0上，故x-l+2（y+3）+l=0,

化簡得x+2y+6=0,即尸的軌跡E為直線且與直線I平行，

|6-1|

E上的點到/的距離=Jr5,故A、B、D錯誤，C正確.

712+22

故選：C.

6.某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關系式是/i（/）10-4.9/2+8/（距離單位:

米，時間單位：秒），則他在0.5秒時的瞬時速度為（）

A.9.1米/秒B.6.75米/秒C.3.1米/秒D.2.75米/秒

【答案】C

【解析】

【分析】此類運動問題中瞬時速度問題的研究一般借助函數(shù)的導數(shù)求其某一時刻的瞬時速度，解答本題可

以先⑺=10-4.9/+&的導數(shù)，再求得7=0.5秒時的導數(shù)，即可得到所求的瞬時速度.

【詳解】函數(shù)關系式是〃(力=10-4.9/+&

〃'(/)=一9.8?+8,

在/=0.5秒的瞬時速度為—9.8x0.5+8=3.1

故選：C.

【點睛】本題考查變化快慢與變化率，正確解答本題關鍵是理解導數(shù)的物理意義，即了解函數(shù)的導數(shù)

與瞬時速度的關系.本題是導數(shù)在物理的應用，屬于容易題.

7.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，若%+4=%+4，則工7=()

A.4B.17C.68D.136

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的通項公式得出4+84=4,再由求和公式得出Su.

【詳解】設數(shù)列的公差為比

因為。5+/=%+4,所以2q+9d=q+d+4,即%+8d=4,

_17(q+知)_17(q+q+16d)(+8^1-17x4-68

3]7———J-/(十J—_L/X4—Oo-

故選：C

8.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12,設其平均數(shù)為

a,中位數(shù)為6,眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】借助平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)定義計算即可得.

【詳解】將這些數(shù)從小到大重新排列為：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17,

故其中位數(shù)b=-----=15,眾數(shù)c=17,

2

十小皿10+12+14+14+15+15+16+17+17+17一一

平均數(shù)a=----------------------------------=14.7,

10

故c>Z?>a.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若則()

ab

A.同V網(wǎng)B.doD.o<^<i

ac<bccb

【答案】ACD

【解析】

//33

【分析】當c>0時，由得匕<〃<0,0<-<1,當CVO時，由得>>〃>()

abbab

d/6333(b-

0<-<l,可判斷AD；由得J-J二」——Z<o,且〃與b同號，即可判斷

bababab

BC.

33

【詳解】由得cwO,

ab

當c>0時，由JvJvO得一V—VO,即可得ov—vi,

ababb

當c<0時，由得工〉工〉0,即3>a>0,所以OV幺<1,故AD正確；.

ababb

//33/(b-(j\

由J<J<0得——^<0,且。與6同號，即">0,

ababab

所以C與萬—a異號，即c與。―〃同號，由acV歷得(a—Z?)c〈O,故B錯誤；故C正確;

故選：ACD.

10.(多選題)下列命題正確的是()

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab

C.若a,b都為非零向量，則使n+南=°成立的條件是a與b反向共線

D.若a=b,b=c則a=c

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)零向量、單位向量、共線向量的定義，以及向量的性質(zhì)，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

對于B,由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

ababab

對于c,因為「［與ITT都是單位向量，所以只有當n與ITT是相反向量，即a與》是反向共線時，n+17l=n°

H\b\H\b\H\b\

才成立，故C正確；

對于D,由向量相等的定義知結論正確，故D正確.

故選：BCD.

11.已知（。+6）〃的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則〃的值可以為（）

A.7B.8

C.9D.10

【答案】ABC

【解析】

【分析】若〃為偶數(shù)，則展開式中間一項々+1的二項式系數(shù)c3最大；若〃為奇數(shù)，則展開式中間兩項心

252

Tn-\n+l

與％2的二項式系數(shù)C〒和C〒相等，且最大.

255

【詳解】若展開式只有第五項的二項式系數(shù)最大，則:+1=5,解得：72=8;若展開式第四項和第五項的二

〃+3〃+1

項式系數(shù)最大，則一-=5,解得：”=7；若展開第五項和第六項的二項式系數(shù)最大，則——=5,解

22

得：n—9；

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分

12.已知直線a,6和平面a,若allb,且直線6在平面a內(nèi)，則直線。與平面1的位置關系是

【答案】a//a或aua.

【解析】

【分析】利用線面平行的判定定理可推導出結論.

【詳解】當時，由a//A,butz得a//a；

當aua時，滿足題中條件.

綜上，直線。與平面。的位置關系是a//a或aua.

故答案：a//a或aua.

13.已知點尸(2,-1),則過點尸且與原點的距離為2的直線/的方程為.

［答案］尤=2或31尸10=0

【解析】

【分析】對直線/的斜率左分類討論，再利用點到直線的距離公式及其點斜式即可得出答案.

【詳解】①當/的斜率左不存在時顯然成立，此時/的方程為x=2.

②當/的斜率左存在時，

設/:,+1=左(％_2),即Ax-y_2左一1=0,

,|一24一1|c3

由點到直線的距離公式得，ji+丁=2,解得左=/,

/.Z:3x-4y-10=0.

故所求/的方程為x=2或3x-4y-10=0.

故答案為：％=2或3x-4y-10=0.

14.滿足aSe{-L,0,l,2},且關于x的方程依？+2%+匕=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,。)的個數(shù)為

【答案】13

【解析】

【分析】由于關于x的方程以2+2%+/,=0有實數(shù)根，分兩種情況：當a=0時，方程為2x+b=0,此時

一定有解；當a/0時，方程為一元二次方程，那么它的判別式大于或等于0,由此即可求出從而得

到有序數(shù)對(a,〃)的個數(shù).

【詳解】解：當a=0時，方程為2x+b=0,此時一定有解；

此時b=—l,0,1,2；BP(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)四種；

當awO時，方程為一元二次方程，

△=4-4oZ>..0,貝！|血1.

當a=—1,1,2時,此時。，)的對數(shù)為(—1,0),(-1,2),(-1,-1),

(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),共9種,

關于X的方程依2+2%+/,=。有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為13種,

故答案為13.

【點睛】本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系，在解題時

要注意分類討論思想運用，是中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共75分

15.小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固

定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元.在年產(chǎn)量不足8萬件時,

W（x）=，Y+x萬元；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W（x）=6x+X2-38萬元，每件產(chǎn)品售價為5

3x

元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品當年能全部售完.

（1）寫出年利潤乙（司萬元關于年產(chǎn)量x萬件的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成

本）

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

1

——x9+4-x—3,0<x<8

【答案】（1）￡（%）=<

35一x+一

,x>8

（2）年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是15萬元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知，分0<%<8以及xN8,分別求解，即可得出函數(shù)解析式;

（2）分為0<%<8以及x28兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，即可得出答案.

【小問1詳解】

因為每件產(chǎn)品售價為5元，則x（萬件）商品銷售收入為5x萬元，依題意得:

1

當0<%<8時，L（x）=5x-—1x2+xJ—3——1x2+4-,x—3。,

33

,,（、「（<100

當工之8時，L（x）^5x-\6x+——-38j-3=35-k+—

1

—%9+4%—3,0<x<8

35—x+一

,%>8

【小問2詳解】

19

當0<x<8時，L（x）=--（x-6）-+9<9,

當x=6時，L（x）取得最大值9；

當時，￡（x）=35-|^x+—^<35-2^%--=15,

此時，當x=?即x=10時，”可取得最大值15>9.

綜上所述，年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是15萬元.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,ZBAC=ZCAD=60°,PA_L平面ABCD,PA=2,

AB=1.設M,N分別為PD,AD的中點.

（1）求證：平面CMN〃平面PAB；

（2）求三棱錐P-ABM的體積.

【答案】（1）證明見解析（2）三棱錐P—的體積丫=且

3

【解析】

試題分析：（1）由中位線定理可得〃己4nMN〃平面再證得NACN=/BAC=60CN

〃ABCN〃平面B45n平面。VW〃平面A45；（2）由（1）知，平面CMN〃平面R45n點

到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離nV=VM_PAB=VC_PAB=VP_ABC=—.

試題解析：（1）證明：分別為的中點,

則4W〃必.又：肱V<Z平面f45，B4u平面八45,

...MN〃平面上45.

在處AACD中，ACAD^60,CNAN,：.ZACN=60.

又1?,ABAC=60，；.CN//AB

：QV<Z平面B45，ABu平面八IB，CN〃平面MB.

又,：CNcMN=N,平面CMN〃平面A4B.

(2)由(1)知，平面CMN〃平面已45，

/.點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.

由己知，AB=1,ZA3C=90，N3AC=60，：?BC=6，

三棱錐P—ABM的體積V=%-=Z.PAB=VpTBc=；xgxlxGx2=g?

17.已知直線/：kx~y+\+2k=0(kGR).

(1)證明：直線/過定點；

(2)若直線/不經(jīng)過第四象限，求人的取值范圍；

(3)若直線/交無軸負半軸于點4交y軸正半軸于點8,。為坐標原點，設AAOB的面積為S,求S的最

小值及此時直線/的方程.

【答案】(1)證明見解析；(2)[0,+8)；(3)S的最小值為4,直線/的方程為x—2y+4=0.

【解析】

【分析】(1)直線方程化為y=A(尤+2)+1,可以得出直線/總過定點；

(2)考慮直線的斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；

(3)利用直線在坐標軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號成立條件即可

求出直線方程.

【詳解】(1)證明：

直線/的方程可化為y=%(x+2)+1,故無論左取何值，直線/總過定點(一2,1).

(2)直線/的方程為〉=履+24+1,則直線/在y軸上的截距為24+1,要使直線/不經(jīng)過第四象限，則

[k>G

<c,c解得詹0,故左的取值范圍是[0,+8).

1+2^>0

1+2k

(3)依題意，直線/在x軸上的截距為-------，在y軸上的截距為1+24，

f1+2%八1

AAI———,0I,B(0,1+2左).

立1+2左”,

又-------<0且1+2左>0,

k

；.k>0.

故S=；|CM||OB|=；x^^x(1+2左)=；4左+5+4共x(4+2j4^x-)=4,

22k2IkJ2\k

當且僅當4%=!，即左=5時，取等號.

kz

故S的最小值為4,此時直線/的方程為x—2y+4=0.

18.已知函數(shù)尤)=lnx—ot(aGR).

(1)當。=1■時，求/(元)的極值；

(2)討論函數(shù)兀0在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).

【答案】(1)人r)極大值=ln2—1,無極小值；(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)當時，7(x)=lnx—Jx,求導得到了(x)=——：==，然后利用極值的定義求解.

x2x

(2)由(1)知，函數(shù)的定義域為(0,+8),f(x)=~—a=-(x>0),然后分和〃>0兩種情況討

xx

論求解.

10

【詳解】(1)當時，危)=ln%—：x,函數(shù)的定義域為(0,+oo)且了(%)=——；=---

//xz2x

令/a)=。，得了=2,

于是當工變化時，/(x),/(x)的變化情況如下表.

X(0,2)2(2,+oo)

/(X)+0—

?In2-1

故八%)在定義域上的極大值為/(x)極大值=y(2)=ln2-1,無極小值.

(2)由(1)知，函數(shù)定義域為(0,+oo),

11-ax

f(x)=——a=-----(x>0).

xx

當cz<0時，f(x)>0在(0,+s)上恒成立，

即函數(shù)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；

當a>0時，當xG時,f(x)>0,

當時，/(x)<0,

故函數(shù)在處有極大值.

a

綜上可知，當心0時，函數(shù)?x)無極值點，

當〃>0時，函數(shù)y=/(x)有一個極大值點，且為％=,.