專題10函數(shù)應用

Q思維導圖

任知識梳理

(一)函數(shù)y=Asin(3：+9),x^[0,+co)(其中4>0,/>0)中各量的物理意義

物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)〉=45m3%+9)中的常數(shù)有關:

(1)A：它表示做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離，稱為振幅(amplitudeofvibration)；

27r

(2)T：T=——，它表示做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間，稱為周期(period)；

co

(3/：/=-=—,它表示做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數(shù)，稱為頻率(frequency)；

T2〃

(4)①x+9：稱為相位(phase)；

(5)p：x=0時的相位，稱為初相(initialphase).

(二)函數(shù)的零點

(1)定義：對于函數(shù)y=/a),我們把使7(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)幾何意義：函數(shù)>=%)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)>=/")的零點.

(3)結論：方程危)=0有實數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點=>函數(shù)y=/(x)有零點.

3.函數(shù)零點的判定定理

條件結論

函數(shù)y=/(x)在[。，句上

(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線y=/(x)在(a,b)內有零點

(2求吻力<0

(三)二分法的概念

對于在區(qū)間m，切上連續(xù)不斷且人4)4力<0的函數(shù)y=/u),通過不斷地把函數(shù)九X)的零點所在的區(qū)間一分為

二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函數(shù)共處的零點近似值的步驟

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證八⑺次6)<0,給定精確度e；

(2)求區(qū)間(°,力的中點c；

(3)計算a

若人c)=0,則。就是函數(shù)的零點；

若艮<0,則令b=c［此時零點,￥oG(°,c)］；

若八則令a=c［此時零點尤°e(c,b)］.

(4)判斷是否達到精確度e：

即若|a—例<￡,則得到零點的近似值為a(或b)；否則重復(2)?(4).

3.二分法的應用

由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可以用二分法來求方程的近似解

(四)三種增長函數(shù)模型的比較

⑴指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù).

一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=a，m>l)和幕函數(shù)y=V(w>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0,+(?)上，無論”

比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內，爐會小于但由于"的增長快于/的增長，因此總存在一個

X0，當x>xo時，就會有〃>A".

⑵對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù).

對于對數(shù)函數(shù)y=log“x(4>l)和幕函數(shù)》=、"(">0),在區(qū)間(0,+(?)上，隨著X的增大，log4x增長得越來越

慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內，log』可能會大于X",但由于logd的

增長慢于X"的增長，因此總存在一個X0，當X>xo時，就會有l(wèi)og“x<x".

(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù).

在區(qū)間(0,+s)上，盡管函數(shù)y="(a>l),y=log〃xm>l)和y=P(">0)都是增函數(shù)，但它們增長的速度不

同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y="(a>l)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=/(〃

>0)的增長速度，而y=log"X(4>l)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個xo，當x>xo時，就會有l(wèi)og小

〃幾種函數(shù)模型的應用

(五)幾類不同增長的函數(shù)模型的應用

⑴一次函數(shù)模型：>=丘+仇后0)；

⑵二次函數(shù)模型：y=a『+bx+c(存0)；

(3)指數(shù)函數(shù)模型：y=o〃+c(存0,b>0,且厚1)；

(4)對數(shù)函數(shù)模型：y=mlog?.x+n(a>0,且存1,7*0)；

(5)幕函數(shù)模型：y=ay+wo)；

(6)分段函數(shù)模型

U題型精析

題型一由三角函數(shù)的圖象求解析式

【典例1】(2021.江蘇?高一單元測試)函數(shù)/(x)=Asin((yx+e)+3(to>0,⑷<])的圖象如圖所示，則

y=/(x)的解析式為()

A.y=sin2%-2B.y=2cos3x-l

C.y=sin^2x-1-^-lD.y=l-sin^2x-y^

【答案】D

【分析】根據圖象求得A,B,co,夕，從而確定函數(shù)解析式，再通過誘導公式使解析式滿足1例<，

【詳解】不妨先設A>0,由圖象，得：

,2-0q八2+01T7?兀兀

A=------=1,B=-------=1,—=----------=—,

22420104

所以7=幺=兀，解得。=2,

則/(無)=sin(2尤+0)+1,

77r7兀7兀

代入(右,0)，^/(—)=sin(—+^)+1=0,

乙乙V/A.Vz

7兀7Ti371

即sin(歷+夕)=一1,所以m+0=?-+2E,kwZ

4兀

即夕=——F2kli,kwZ,

4兀

所以/(x)=sin(2x+-^-+2E)+l,keZ,

47r47i

因為/(%)=sin(2x+—+2far)+1=sin(2x+-)+1

7171

=sin(2x--+7i)+l=-sin(2x-y)+l,

上式中夕=一2滿足

3乙

JT

所以/W=-sin(2x-y)+l.

故選：D.

【典例2】(2022.江蘇南通高一期末)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+O)(A＞0,O＞0,0＜。＜乃)的圖象如

圖所示.

【答案]⑴人:五0二!■，9=￡

24

(2)當x=-萬時，函數(shù)取得最大值為1,當工二-5時，函數(shù)的最小值為-0

【分析】(1)首先利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的關系式，進一步求出結果；

(2)利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進一步求出函數(shù)的最值.

(1)

根據函數(shù)的圖象，亨=些-(￡)=萬，故丁=￥，

46I6J3

1713

,,CD———=一

故92，

T

所以/(一9]=Asin(_?+,=0,

由于0＜。＜乃，

所以

4

故7(x)=Asingx+：1,

rr

由于/(0)=1,故Asini=l,解得A=0,

所以A="＜a=1'，e=(；

(2)

由于/(x)=&sin

且工￡

TT

故/（x）e[-0,1],當4;[=5時，即了=一萬時，函數(shù)取得最大值為1,

當|x+?=g即X"/時，函數(shù)的最小值為一0.

【總結提升】

由圖象確立三角函數(shù)的解析式時，若設所求解析式為y=Asin@x+9）,則在觀察圖象的基礎上可按以下規(guī)律

來確定A,co,cp.

（1）A：一般可由圖象上的最大值、最小值來確定.

27r

（2）。：因為T=—,故往往通過求周期T來確定口.可通過已知曲線與x軸的交點來確定T,即相鄰的最高

點與最低點之間的距離為g;相鄰的兩個最高點（或最低點）之間的距離為T.

（3加從“五點法”中的第一個點（一義，0）（也叫初始點祚為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個點的位

依據五點列表法原理，點的序號與式子的關系如下:

"第一點''（即圖象上升時與x軸的交點）為ox+p=0；

7T

“第二點”（即圖象曲線的“峰點”）為（ox+<p=—;

“第三點”（即圖象下降時與X軸的交點）為0x+p=7t;

37r

“第四點”（即圖象曲線的“谷點”）為5+9=彳；

“第五點”（即圖象第二次上升時與x軸的交點）為。x+0=2兀.

在用以上方法確定9的值時，還要注意題目中給出的夕的范圍，不在要求范圍內的要通過周期性轉化到要

求范圍內.

（4）4,°,夕三個量中初相°的確定是一個難點，除使用初始點（一的，0）外，還可在五點中找兩個特殊點列

方程組來求解（p.

題型二函數(shù)y=Asin?x+（p）模型的綜合應用

【典例3】（2021.江蘇.高一專題練習（文））如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在友時相對于平衡位置

的高度做單位：cm）由關系式/z=2sin"+：]確定以t為橫坐標，,為縱坐標，下列說法錯誤的是（）

A.小球在開始振動（即，=。）時的位置在（0,3）

B.小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為2cm

C.小球往復運動一次所需時間為27ts

D.每秒鐘小球能往復振動上次

71

【答案】D

【分析】對于A,把r=o代入已知函數(shù)，求得y值即可得初始位置；

對于B,由解析式可得振幅，即為所求；

對于C,由函數(shù)的解析式及周期公式即可求解；

對于D,由頻率與周期的關系即可求解.

【詳解】對于A,由題意可得當上0時，/!=2sin|^0+^=V2,

故小球在開始振動時的位置在（0,忘）；故A正確；

對于B,由解析式可得振幅A=2,故小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為2cm；

故B正確；

對于C,可得函數(shù)的周期為727r芋2Ji=2%，故小球往復運動一次需2型；故C正確；

CO1

對于D,由C可知，T=2n,可得頻率為/=[=[（Hz）,即每秒鐘小球能往復振動工次，故D不正確.

T2兀2兀

故選：D.

【典例4】（2022?江蘇蘇州?高一期中）某港口海水的深度y（m）是時間K時）（0<”24）的函數(shù)，記為y=/⑺.

已知某日海水深度的數(shù)據如下：

t（時）024681012141618202224

y(m)9.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5

經長期觀察，y=的曲線可近似地看成函數(shù)y=Asin（0f+°）+6（A>O,0>O,|d<$的圖象

⑴根據以上數(shù)據，求出函數(shù)y=〃r）=Asin（初+0）+b的表達式;

（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶?？繒r，船底只需

不碰海底即可）.某船吃水深度（船底離水面的距離）為7.5m,如果該船希望在同一天內安全進出港，請問：

它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港所需時間）？

【答案】⑴，=3向[*-3+11

（2）16小時

【分析】（1）根據表中數(shù)據可判斷出周期以及最值，即可代入求解；（2）假設能滯留的的情形，進而根據

正弦型不等式求解范圍，即可求解.

（1）

\A+b=14

由題設的數(shù)據可得.，故A=3,b=U,

周期7=12,故0弋，故y=3sin[*+9）+ll,

因為7=4時y=14,所以3sin《+,+11=14,sin俘+—=1,

因為ld<g,所以夕=一丁，

26

y=3sinf-r-->|+ll.

（66）

（2）

令y27.5+5=12.5,則3$布口一胃+11212.5,^sin^r-^>1.

TT7TTTjJT

所以—F?—t—?-----卜2kit,kGZ,即2+12左W6+12左，

6666

因為te[0,24],所以故2VY6或14WK18,

故船舶至多能在港內停留16小時.

【規(guī)律方法】

1.解決與三角函數(shù)模型相關問題，關鍵是將實際問題轉化為三角函數(shù)模型.

2.三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最

多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.

題型三求函數(shù)的零點

【典例51(2021?江蘇?南京市金陵中學河西分校高一階段練習)函數(shù)/(x)=/-4x+4的零點是()

A.(0,2)B.(2,0)C.2D.4

【答案】C

【分析】由函數(shù)零點的定義列出方程--4x+4=0,求出方程的根是函數(shù)的零點.

【詳解】由/(x)=/-4x+4=0得，x=2,

所以函數(shù)/(x)-4x+4的零點是2,

故選：C.

【典例6】(2022.江蘇滁州市王杰中學高一階段練習)函數(shù)y=logzX-3的零點是_.

【答案】8

【分析】根據零點定義解方程可得.

【詳解】由1。82X一3=。得log2X=3,解得了=23=8,即y=bgzX-3的零點為8.

故答案為：8

【規(guī)律方法】

1.正確理解函數(shù)的零點：

(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零.

(2)根據函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)=0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，

就是判斷方程f(x)=0是否有實根，有幾個實根.即函數(shù)y=f(x)的零點o方程f(x)=0的實根=函數(shù)y=f(x)

的圖象與x軸交點的橫坐標.

2.函數(shù)零點的求法：

(1)代數(shù)法：求方程f(x)=0的實數(shù)根.

(2)幾何法：與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.，

題型四判斷零點所在的區(qū)間

【典例7】(2022?江蘇揚州?高一期中)函數(shù)/(x)=x-2+log2龍的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(34)

【答案】B

【分析】判斷函數(shù)的單調性，計算區(qū)間端點處函數(shù)值，由局零點存在定理即可判斷答案.

【詳解】函數(shù)〃x)=h2+log2X,x>0是單調遞增函數(shù)，

當Xf0+時，/(x)^-co,

/(D=-l,/(2)=l>0,/(3)=1+log23>0,/(4)=4>0,

故/(1)"(2)<0

故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(1,2),

故選：B

【典例8】(2022?江蘇南京?高一期末)設函數(shù)/(x)=2，+x-5在區(qū)間出k+1)(左?Z)內有零點，則上的值為

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據判斷函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理確定零點的區(qū)間，即可得結果.

【詳解】由解析式知：Ax)在定義域上遞增，

又/⑴=2+1-5=-2<0,/(2)=4+2-5=1>0,

所以/'(x)在(1,2)內存在零點，結合題設知：k=1.

故選：C

【規(guī)律方法】

判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：

一般而言判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進行符號判斷即可得出結

論.此類問題的難點往往是函數(shù)值符號的判斷，可運用函數(shù)的有關性質進行判斷.

題型五函數(shù)零點個數(shù)的判斷

【典例9】(2022.江蘇高一期中)函數(shù)"x)=4'-(x+iy的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求〃無)零點個數(shù)即求y=4*與y=(x+l/圖象交點的個數(shù)，分別作出兩函數(shù)的圖象，即可得答案.

【詳解】令〃》)=4工一。+1)2=0,可得4'=5+1)2,

則原命題即求>=4'與y=(x+l)2圖象交點的個數(shù)，

分別作出、=牢與y=(無+仔圖象，如下所示

由圖象可得，交點為A、B、C三點，

所以函數(shù)/(尤)=，-(x+1)?的零點個數(shù)為3.

故選：C

【典例10】【多選題】(2022?江蘇南通?高一期末)已知函數(shù)y=，(x)的圖象在區(qū)間［0,1］上是一條連續(xù)不斷的

曲線，則下列結論正確的是()

A.^/(0)-/(1)<0,則y=/(x)在(0,1)內至少有一個零點

B.t/(0)-/(l)>0,則y=〃x)在(0,1)內沒有零點

C.若>=/(》)在(0,1)內沒有零點，則必有〃0)?/'(1)2。

D.若y=〃x)在(0,1)內有唯一零點，/(0)./(1)<0,則無)在(0,1)上是單調函數(shù)

【答案】AC

【分析】根據零點存在定理逐一判斷即可.

【詳解】因為f(x)在［0,1］上連續(xù),

A./(0)./(1)<0,由零點存在定理可知，>=/(無)在(0,1)內至少有一個零點，故正確；

B.當"x)=x2-x+。時，滿足/⑼"(1)>0,但在(0,1)內有一個零點;，故錯誤；

42

C.y=在(0,1)內沒有零點，則必有/(0)"(1)..0等價于"0)?/(1)<0,則y=/(x)在(0,1)內有

零點，由零點存在定理可知此命題是真命題，故正確；

D.>=/(尤)在(0,1)內有唯一零點，/(0)-/(1)<0,但f(x)在(0,1)上不一定是單調函數(shù)，比如

=,故錯誤.

故選：AC.

【總結提升】

判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：

(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個根就有幾個零點.

(2)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù).

(3)結合單調性，利用f(a)?f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零點的個數(shù).

(4)轉化成兩個函數(shù)圖象的交點問題.

題型六判斷函數(shù)y=f(x)是否存在零點

【典例11］［多選題】(2021?江蘇?高一專題練習)已知函數(shù)"x)=gg/x-4,0<?<1,下列描述正確的是()

A.函數(shù)在(1,2)上單調遞增

B.函數(shù)/'(x)的圖像關于直線x=l對稱

C.方程〃x)=l有且僅有兩個解

D.不存在實數(shù)加，使方程/(%)=〃?有三個解

【答案】BD

【分析】A：根據l<x<2去掉絕對值，根據復合函數(shù)單調性即可判斷；

B：判斷—尤)與外)是否相等即可；

C：直接求解方程即可判斷；

D：作出/(x)圖像，數(shù)形結合判斷圖像與y=/(%)交點個數(shù)即可.

【詳解】對于A：當xe(l,2)時,/(x)41og〃(x-尸log/(0<aVl)在(0,+功是減函數(shù)，

在(1,2)上是增函數(shù)，尤)在(1,2)上單調遞減，選項A錯誤；

對于B：/(2-x)=|loga|2-x-l||=|loga|x-l||=/(x),的圖像關于直線x=l對稱，選項B正確；

對于C：若〃x)=l,貝米一l|=a或,一1|=：,因止匕尸l±a或-1土［.又〃尤)的定義域為

{xlxwl},;.尸1土。或x=l土:都是方程〃力=1的解，選項C錯誤；

對于D：?.?方程〃尤)=機解的個數(shù)就是直線y=〃?與函數(shù)〃尤)圖象交點的個數(shù)，作直線y=相與函數(shù)f(力圖

象如下:

ylk

當7W＜0時，方程/（X）=〃?無解，

當機=0時，方程/（X）=7〃有兩個解，

當機＞0時，方程〃力=加有四個解，

綜上所述，不存在實數(shù)加，使方程了（力=7找有三個解，選項D正確.

故選：BD.

【規(guī)律方法】

判斷函數(shù)y=f（x）是否存在零點的方法：

（1）方程法：判斷方程f（x）=0是否有實數(shù)解.

（2）圖象法：判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸是否有交點.

（3）定理法：利用零點的判定定理來判斷.

題型七用二分法求函數(shù)的零點問題

【典例12】（2022?江蘇?南京師范大學附屬中學江寧分校高一期中）用二分法研究函數(shù)/■（%）=%3+2%-1的零

點時，第一次計算，得〃0）＜0,/（0.5）＞0,第二次應計算〃占），則々等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【分析】根據二分法的定義計算可得；

【詳解】解：因為〃0）＜0,/（0.5）＞0,所以“X）在（005）內存在零點，

根據二分法第二次應該計算）,其中％=晝2=0.25；

故選：C

【典例13X2022?江蘇?揚州中學高一期中）利用二分法求/（x）=V-2的零點時,第一次確定的區(qū)間是（1,2）,

第二次確定的區(qū)間是.

3

【答案】（1,1.5）##（1,-）

【分析】根據二分法的原理，判斷兩個端點函數(shù)值正負以及兩個端點的中點處函數(shù)值正負即可得到答案.

【詳解】由題可知加）=-1<0,42）=6>0,

1+7

?";-）=式1.5）=1.375>0,二危）零點應該在（1，1.5）上.

故答案為：（1,1.5）.

【總結提升】

用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則

（1）需依據圖象估計零點所在的初始區(qū)間［m,n］（一般采用估計值的方法完成）.

（2）取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f（c）,確定有解區(qū)間是［m,c］還是［c,n］,逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)

間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值.

2.二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣

定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看，

同號丟，異號算，零點落在異號間.

重復做，何時止，精確度來把關口.，

題型八根據零點情況求參數(shù)值（范圍）

【典例14］（2021?江蘇?高一專題練習）若方程/-％-機=0（〃2>0,且加工1）有兩個不同實數(shù)根，則機的取

值范圍是（）

A.（0,1）B.（2,+8）C.（0,l）|J（2,+oo）D.（1,+?）

【答案】D

【分析】根據指數(shù)函數(shù)的性質及函數(shù)的圖象，再結合函數(shù)的零點與方程的根的關系即可求解.

【詳解】由題意可知，方程加-尤-加=0有兩個不同實數(shù)根，

等價于函數(shù)>=書與'=》+機的圖象有兩個不同的交點，

當R>1時，如圖所示，

由圖可知，當加＞1時，函數(shù)〉=?/與'=》+機的圖象有兩個不同的交點，滿足題意

由圖可知，當?！礄C＜1時，函數(shù)＞=/與'=》+機的圖象有且僅有一個交點，

不滿足題意，

綜上所示，實數(shù)機的取值范圍為。，+8）.

故選：D.

【典例15］（2022?江蘇高一期中）已知函數(shù)"x）=ox2+（r+i）x+r

⑴若q=l,求函數(shù)外力的零點個數(shù)；

⑵已知aVl,/=-5,若方程/（x）-log2X+10=0在區(qū)間［1,2］內有且只有一個解，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

⑵［T1］

【分析】（1）當a=l時，可得了⑴解析式，分別討論t=l和兩種情況，結合二次函數(shù)的性質，即可得

答案.

(2)設“x)=ax2—4x+5,s(x)=log2x,xe［1,2］,則原命題等價于兩個函數(shù)/(x)與s(x)的圖象在區(qū)間［1,2］

內有唯一交點，分別討論。=0,和0<如1三種情況，根據二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質，分析計算，

即可得答案.

(1)

當口=1時，f(x)=+(f+l)x+r=(x+l)(x+r)

當f=l時，A=0,則函數(shù)f(x)有一個零點；

當twl時，A=(r+l)2-4/=(r-l)2>0,則函數(shù)有兩個零點.

⑵

—log2X+10=0等價于渡-4x+5-log2尤=0,

設廠(x)=ox2—4尤+5,5(x)=log2x,xe［l,2］,

則原命題等價于兩個函數(shù)4尤)與s(x)的圖象在區(qū)間［1,2］內有唯一交點，

當。=0時，"尤)=-4x+5在區(qū)間［1,2］內為減函數(shù)，s(x)=log2_r,xe［l,2］為增函數(shù),

且r(l)=l>s(l)=0,r(2)=—3<s(2)=l,

所以函數(shù)*x)與5(無)的圖象在區(qū)間［1,2］內有唯一交點，滿足題意.

2

當。<0時，r(龍)圖象為開口向下，對稱軸為x=—<0的拋物線，

a

所以r(x)在區(qū)間［1,2］內為減函數(shù)，s(尤)=1082私了€口,2］為增函數(shù).

“⑴Ns⑴［a+l>0

則由\<oV可得<解得_理在1，

廠(2)Ws(2)［4a-3<l

所以一l%<0.

2

當0<a勺時，r(x)圖象為開口向上，對稱軸為尤=—N2的拋物線，

a

所以r(尤)在區(qū)間口,2］內為減函數(shù)，s(尤)=log2尤,xe［L2］為增函數(shù).

r⑴2s⑴?+1>0

則由<可得解得一1<?<1,

『（2）Vs⑵4a-3<l

所以0<好1.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為［—1,1］

題型九函數(shù)模型的增長差異

【典例16】(2022?江蘇蘇州.高一期末)若三個變量%、%、%，隨著變量x的變化情況如下表.

X1357911

X5135625171536456655

%5292452189219685177149

%56.106.616.9857.27.4

x

則關于X分別呈函數(shù)模型：y=m\ogax+n>y=pa+q,y=fcv"+f變化的變量依次是（）

A.%、%、為B.%、%、％C.%、%、為D.%、%、為

【答案】B

【分析】根據表中數(shù)據，結合函數(shù)的變化率，即可求解.

【詳解】解：由表可知，力隨著x的增大而迅速的增大，是指數(shù)函數(shù)型的變化，

力隨著x的增大而增大，但是變化緩慢，是對數(shù)函數(shù)型的變化，

?相對于％的變化要慢一些，是尋函數(shù)型的變化.

故選：B.

【典例17】（例21?江蘇.高一課時練習）利用計算器,分別計算當x=L2,3,…,10時，函數(shù)y=2"y=log2x

及y=f的值，并分析判斷：當x無限增大時，這3個函數(shù)中哪個函數(shù)的增長更快些.

【答案】y=2*

【分析】根據計算器求出當x=l,2,3,…，10時，函數(shù)y=2:y=log2X及y=V的值，即可根據數(shù)據

的變化，得出結論.

【詳解】當x=l,2,3,10時，函數(shù)y=2*,>=1082尤及〉=/的值如下表：

X2

y=2"y=log2xy=x

1201

2414

381.5849625019

416216

5322.32192809525

6642.58496250136

71282.80735492249

8256364

95123.16992500181

1010243.321928095100

從表格可知，當x無限增大時，這3個函數(shù)中指數(shù)函數(shù)y=2”的增長更快些.

【總結提升】

三種函數(shù)模型的增長規(guī)律：

(1)對于募函數(shù)當尤>0,”>0時，才是增函數(shù)，當"越大時，增長速度越快.

(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是又它們的圖象關于y=x對稱，從而可知，當。越大，>=〃增

長越快；當。越小，y=log.尤增長越快，一般來說，爐>log°x(x>0,a>l).

(3)指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)，當尤>0,〃>0,。>1時，可能開始時有/>/，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當x

大于某一個確定值尤0后，就一定有">X".

題型十：函數(shù)的實際應用

【典例18】(2021?江蘇?高一專題練習)九十年代，政府氣候變化專業(yè)委員會(/PC。提供的一項報告指出：

使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據測，1990年，1991

年，1992年大氣中的濃度分別比1989年增加了1個可比單位，3個可比單位，6個可比單位.若用一個

函數(shù)模擬九十年代中每年。。2濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或

函數(shù)y=+c(其中a,b,c為常數(shù))，且又知1994年大氣中的CCh濃度比1989年增加了16個可比單位，

請問用以上哪個函數(shù)作模擬函數(shù)較好？

【答案】用/。)=；產+；工作模擬函數(shù).

【分析】根據給定函數(shù)模型及數(shù)據求出函數(shù)解析式，再求出％=5時的函數(shù)值即可比較作答.

1

p=3

p+q+r=}

1

<4p+2q+r=3,

【詳解】若以二次函數(shù)，。)=川2+/+7作模擬函數(shù)，則依題意得:解得q=3

9p+3q+r=6

r=0

于是得=

8

a=一

ab+c=l3

3

若以函數(shù)丁=8(%)=。萬+。作模擬函數(shù)，貝卜加+c=3解得。=2,

ab3+c=6

c=-3

QO

于是得g(無)=￡守-3,

函數(shù)/(x),g(x)對1994年CQ濃度作估算，x=5,則其數(shù)值分別為：犬5)=15個可比單位，g(5)=17.25個可

比單位，

顯然有1/(5)-16|＜|g(5)-16|,即/(x)=：d+：x作模擬函數(shù)與1994年的實際數(shù)據較為接近，

所以/(x)=Jf+1》作模擬函數(shù)較好.

【典例19](2021?江蘇?泰州中學高一階段練習)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼藍，這些鳳眼藍

在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼藍覆蓋面積為24nl2,三月底測得覆蓋面積為36m2,鳳眼藍覆

1

蓋面積y(單位:m2)與月份x(單位：月)的關系有兩個函數(shù)模型y=kax(k＞。，。＞D與》=+-p＞0次＞0)

可供選擇.

⑴試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

(2)求鳳眼藍覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.

(參考數(shù)據：lg2-0.3010,lg3Ho.4771)

【答案】⑴選擇y=M(左較為合適；y=yf|j,xeN

(2)6月

【分析】(1)根據指數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的性質可得合適的函數(shù)的模型.

(2)根據選擇的函數(shù)模型可求最小月份.

【詳解】(1)指數(shù)函數(shù)隨著自變量的增大其函數(shù)的增長速度越大，幕函數(shù)y=4隨著自變量的

增大其函數(shù)的增長速度越小，因為鳳眼藍在湖中的蔓延速度越來越快，故選擇,=履"(左較為合適.

24=to232

故<故.”,3

36=加3

32(3

所以y,xeN.

32

(2)由(1),放入面積為必閉°=必，令必僅

3<2；333

則x〉---------x——-——?5.68,

」Ig3-lg20.1761

故鳳眼藍覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份為6月.

【總結提升】

L解答函數(shù)在實際問題中的應用題目，應認真讀題、審題，弄清題意，明確題目中的數(shù)量關系，可充分借助

圖象，表格信息確定解析式，同時要特別注意定義域.

2.在構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理，不漏不重.同時求分段函數(shù)的最值時，應在每

一段上分別求出各自的最值.然后比較哪一個最大(小)取哪一個.

位專題訓練

一、單選題

1.(2021.江蘇?高一單元測試)函數(shù)y=2'與>=尤2圖像交點個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.無數(shù)個

【答案】C

【分析】根據>=2,與y=Y的性質，結合指數(shù)、幕的增長特性判斷圖象交點的個數(shù).

【詳解】x<0時，y=2，e(0,l)且遞增，y=x2<?(0,?)且遞減，故有一個交點；

x>0時，y=2*e(l,+8)且遞增，y=x2l(0,?)且遞增，

當0<x<2時，2X>%2;當2cx<4時，%2>2X;當尤>4時，2X>%2;

綜上，圖像交點有3個.

故選：c

2.(2019?江蘇省新海高級中學高一期中)設/(x)=3'+3x-8,現(xiàn)用二分法求關于x的方程3'+3x-8=0在

區(qū)間(1,2)內的近似解,已知/(1)<0,/(1.25)<0"(1.5)>0,/(2)>0,則方程的根落在區(qū)間()內

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不能確定

【答案】B

【分析】根據零點存在性定理結合已知條件分析判斷即可.

【詳解】因為了⑴<。，〃2)>0,且f(x)的圖象在(1,2)上連續(xù)，

所以f(x)在(1,2)上至少存在一個零點，

因為f(L5)>0,所以/(x)在(1,1.5)上存在零點，

因為/(L25)<0,所以f(x)在(1.25,1.5)上存在零點,

所以方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內，

故選：B

3.(2022.江蘇?城南高級中學高一期中)大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，研究魚圭魚的科學家

發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速V(單位：m/s)可以表示為V=；log3焉，其中。表示魚的耗氧量的單位數(shù)若一條魚的游

速是則這條魚的耗氧量是()個單位.

A.2400B.2700C.6400D.8100

【答案】B

【分析】將v=L5m/s代入函數(shù)解析式，利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化即可求解.

【詳解】由v=gl°g3備，當v=L5時，

則1$=如喘,即Eg襦=3,解得需=3=27,

所以。=2700.

故選：B.

4.（2022?江蘇省揚中高級中學高一期中）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館,

擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了

倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量

N（mg/L）與時間的關系NuNoe-k（乂為最初污染物數(shù)量）.如果前3個小時消除了20%的污染物，那么污

染物消除至最初的64%還要（）

A.2.6小時B.3小時C.3.2小時D.4小時

【答案】B

【分析】先通過“前3個小時消除了20%的污染物”求得曉仁再根據乂廠=0.64乂，求得即可得解.

【詳解】解：由題意可得乂=：N。，解得e."=|,

令乂酢=0.64乂=惇）N。,

可得e/=（ea）2=寸6k,解得f=6,

所以污染物消除至最初的64%還要3小時.

故選：B.

5.（2022.江蘇.常州田家炳高中高一期中）心理學家有時用函數(shù)250（1-來測定人們在時間”min）

內能夠記憶的單詞量L,其中％表示記憶率.心理學家測定某學生在lOmin內能夠記憶50個單詞，則該學生

在30min從能記憶的單詞個數(shù)為（）

A.150B.128C.122D.61

【答案】C

4

【分析】根據已知可求出eT"=（,再代入，=30即可求出.

【詳解】由題可得〃1。）=250。一e-儂）=50,則6一"=^,

所以“30）=250（1--）=2501-（。。,[=250）＜1-（：）=122,

即該學生在30min從能記憶的單詞個數(shù)為122.

故選：C.

6.(2022?江蘇鹽城?高一期中)已知函數(shù)y=(x-G(x-力-2的兩個零點分別為a,/?,其中a</3,

則()

A.a<a<b</3B.a<a<b</3

C.a<a</3<bD.a<a<{3<b

【答案】B

【分析】根據函數(shù)的零點和圖象的平移即可求解.

【詳解】設/(x)=(x-a)(x-6)-2,g(x)=(x-〃)(x-6),

則a,6是g(x)的兩個零點；

函數(shù)的圖象可以看成g(x)圖象向下平移2個單位得到，且。<6,a</3,

故選：B.

7.(2021?江蘇?高一單元測試)在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據，現(xiàn)準備用下

列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據的規(guī)律，其中最合適的是()

X1.992345.156.126

y1.514.047.5112.0318.01

B.y=1(x2-i

A.y=2x-2C.y=log2xD.y=e"

【答案】B

【分析】由題中表格可知函數(shù)在（o,+8）上是增函數(shù)，且y的變化隨X的增大而增大得越來越快，逐一判斷，

選擇與實際數(shù)據接近的函數(shù)得選項.

【詳解】解：由題中表格可知函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，

對于A,函數(shù)>=2尤-2是線性增加的函數(shù)，與表中的數(shù)據增加趨勢不符合，故A不正確；

對于C,函數(shù)y=log）,當x=4,y=log24=2,與表中數(shù)據7.5的誤差很大，不符合要求，故C不正確；

對于D,函數(shù)>=",當x=3,y=e3土20,與表中數(shù)據4.04的誤差很大，不符合要求，故D不正確；

對于B,當x=2,y=；（22-l）=L5,與表中數(shù)據1.51接近，

當尤=3,y=：（32-l）=4,與表中數(shù)據4.04接近，

當x=4,y=g（42-l）=7.5,與表中數(shù)據7.51接近，

所以，B選項的函數(shù)是最接近實際的一個函數(shù)，

故選：B.

8.（2022?江蘇?常熟中學高一階段練習）已知函數(shù)/（*）=4$而*+海11天+1在區(qū)間[0,句上有4個不同的零點,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.—8<a<-4B.—5<a<-4C.a<-4D.—5<a<-4a>4

【答案】B

【分析】令r=sinx,結合正弦函數(shù)的性質知g⑺=4/+〃+1在[0,1）上有兩個不同的零點，根據二次函數(shù)的

零點分布得到關于。的不等式組，即可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】々r=sinxe[0,l],則/（x）=g（f）=4/+。/+1,

要使〃x）在xe[0,句上有4個零點，則g⑺在上有2個不同的零點,而g（0）=l=0,

A=?2-16>0

所以<0〈一，解得一5<a<-4.

O

g（l）=a+5〉0

故選：B.

二、多選題

9.（2021?江蘇?高一課時練習）（多選題）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）

B.該質點的振幅為5

C.該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零

D.該質點的運動周期為0.8s

【答案】BCD

【分析】由題圖求得質點的振動周期可判定A錯，D正確；由該質點的振幅，可判定B正確；由簡諧運動

的特點，可判定C正確.

【詳解】由題圖可知，質點的振動周期為2x（0.7—0.3）=0.8s,所以A錯，D正確；

該質點的振幅為5,所以B正確；

由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度最大，在0.1s和0.5

s時運動速度為零，故C正確.

綜上，BCD正確.

故選：BCD.

10.（2021?江蘇?高一專題練習）血壓（bloodpressure,BP）是指血液在血管內流動時作用于單位面積血管壁

的側壓力，它是推動血液在血管內流動的動力，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.未使用抗高

血壓藥的前提下，18歲以上成人收縮壓2140mmHg或舒張壓290mmHg,則說明這位成人有高血壓，設從

未使