2024—2025學年第一學期期末高二調(diào)研考試

數(shù)學試題（A卷）

注意事項：

1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答

題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位

置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以

上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是正確日；-q,=?Q/2：3.v+4y-5=Od=

1.直線與直線的距離()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平行線間的距離公式，即可求得答案.

=10lt:3.v+4y-10=0l2:3x+4y-5=0

【詳解】由題意知直線，即與直線平行,

故它們之間的距離為，

故選：A

x+2-1=0

2.直線的一個方向向量是（）

（1「2）（2,1）（2,-1)(L2)

A.B.C.D.

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，即可求得其方向向量.

第1頁/共18頁

【詳解】易知直線］+?y-1=°的斜率為一；,

因此其方向向量可以為（2,-11.

故選：c

3.在2與18中間插入7個數(shù)使這9個數(shù)成等差數(shù)列，則該數(shù)列的第5項是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運算求解即可.

【詳解】設(shè)此等差數(shù)列為{4},公差為d,

?—a,18—2、

則a,=2、％=18,故"=———=——=2,

y-1o

所以o=q+4d=2+8=10,

故選：C

4.過三點。［0,0）,MJ6,0|,A/10.8|圓的標準方程為（）

A.(x-3/+(y+4『=25B.|.r+3i'+|v-4)'=25

C.(x+3/+(y+4『=25D.(.r-3)2+(y-4)：=25

【答案】D

【解析】

【分析】得到三角形0"匕是直角三角形，故只需求出三角形.外接圓圓心、半徑即可.

【詳解】因為西?西=（6,0）-（0,8）=6X0+0X8=0,所以三角形0M黑：是直角三角形,

其外接圓圓心為M\M’的中點（3,4）,半徑為屈了=5，

故所求為（x-3『+|j-4『=25.

故答案為：D.

5.等比數(shù)列a?!的前”項和為兄，則數(shù)列?,,■：的公比（)

C.土;D.±2

A.；B.2

第2頁/共18頁

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式計算解方程可得其公比.

【詳解】依題意可知公比I,

4(1-力

S.\-q-,251

所以U?二八、1="4一=［解得<7=土，.

，卬(1-歹)42

1-q

故選：C

6.在平行六面體.488-44GA中，/c與BD交于點"，設(shè)刀=￡,亞=氏麴=乙則西=(

)

1??1r-1-1-

A.—a+—b-cB.-a--o+c

2222

1-17-1-1T-

C-a+—n-cD-a、-b+c

22-22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量加減法運算即可求解.

［詳解］西=麗+西=，而+羽=，(密+同)+羽

=-(-JB+7D)+^7=-(-^+^)+羽

22

1--1.TT1.1r-

=—4B+—oC+AA.=—a+—b+c

2222

故選：D

7.拋物線廠二2P.l1〃>。)與圓(x-p『+/=5p：交于A、8兩點，3M=p+6,則P=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

第3頁/共18頁

【解析】

【分析】聯(lián)立拋物線與圓的方程求出工8坐標，利用|48|=p+6建立方程求解P即可.

y2=2px,,

【詳解】設(shè)川>0,/<0）,聯(lián)立，,,,，消y得『打，

（x-p|+y=5p*

由拋物線和圓都關(guān)于X軸對稱，所以Z=三=2〃,

所以工="2p』=20,3=-J2p.j=-2p,所以|46|=回-閡=40=夕+6,所以2=2.

故選：B

8.己知6（-c,0）,6（C,O）分別為橢圓E:￡+,=l|a>6>0）的左，右焦點，點P為直線

/:x=：.r+c與橢圓￡的一個公共點，滿足兩，尸百，且S,”,.=24,則橢圓￡的方程為（）

4

【答案】B

【解析】

【分析】由題意利用橢圓定義結(jié)合=24,可求出/；又直線/：K=；.r+c,可得直線小的方程

4

3,、，

為K+C）,聯(lián)立求出P點坐標，代入橢圓方程可求出。-，即得答案.

4

【詳解】由題意知尸在橢圓E港+￡=i（a>b>0）上，則/用+戶用=2。，

2

故（|PFj+|P瑪/=4」,即|PFj+\PF2f+2|PF,||PF,|=4/,

又歷J■軍,故|PF『+|PFj=4ci,則『用戶用=2（。2-巧,

結(jié)合S,"內(nèi)=24,得;|P用|PK|=a2_c2.=24；

又直線/：X=；F+C,故直線小的方程為J=-g（K+C）,

44

第4頁供18頁

37

x=—y+cx=-c

4,解得-25

聯(lián)立〈24，即「■25J，

y=--(x+c)y=----c

25

代入》Q得翳黑4

整理得ff4-48a'-49=0,解得。.二49,

故橢圓￡的方程為三+亡=1,

4924

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列數(shù)列外：中，一定是單調(diào)遞增數(shù)列的是()

9

A.a=n+-B,a,-2//2-5n+4

n"

C.4+i=a“+〃D.an+l=2an

【答案】BC

【解析】

【分析】舉反例判斷AD,利用。一■與0的關(guān)系驗證BC.

【詳解】因為"6N'

,9、913,,

對于A：/=I+j=10>%=2+2=y,則數(shù)列：a“一定不單調(diào)遞增，不合題意；

2

對于B：ant|-tfff=2(n+l)*-5(n+l)+4-2n+5n-4=4n-3>l>0,

所以數(shù)列；為單調(diào)遞增數(shù)列；

選項C：a,^-an=n>\>0,所以數(shù)列：a?\是單調(diào)遞增數(shù)列；

選項D：當。,<Q時，a?,x-an=2an-an=an<0,此時數(shù)列qj不是單調(diào)遞增數(shù)列，不合題意.

故選：BC

io.如圖，在棱長為4的正方體49co-Age〃中，點A/為cq線段的中點，點p在底面四邊形

第5頁/共18頁

48C0內(nèi)（包括邊界）移動，且冏川=2石，則（）

B.點8到平面4（8的距離為G

C.點P的軌跡長度為xD.。為線段4。上的點，則|/動的最小值為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)可知A正確；利用體積橋可求得B正確；根據(jù)BP=2可求得尸點軌跡為四分

之一圓，知C正確；結(jié)合圓的性質(zhì)可求得D正確.

【詳解】對于A,8C，co,BC±Cq,CDDCC,=C,CO,CGu平面CDDC,

BC，平面CDAG，又c平面CDAG，.,.8CJ_Q|A7,A正確;

網(wǎng)年

X?I

SAy=T4x4=8,.0.VB_^CB=V8TMe=

XJ

?.?△4G5是邊長為4￡的等邊三角形，，S1Vill=yx4x/2x4>/2x手=8",

3匕?4-AJB324>/3

，點占到平面I（8的距離“二就:=法=丁'B錯誤;

第6頁/共18頁

又圍尸I=2石，忸41=4,,-.|5P|=720-16=2,

點軌跡是以8為圓心，2為半徑的圓在四邊形.4BCO（含邊界）中的部分，即四分之一圓,

1、、

，P點軌跡長度為；X2JTX2=Ji,c正確；

4

對于D,由C知：P點軌跡為四分之一圓，

由圓的性質(zhì)可知：當BJ.0三點共線時，|/到最小，此時最小值為忸。|-2,

又8。|皿?=忸力=4,，儼0nlm=4-2=2,D正確.

11.當半徑為?的動圓沿著半徑為"的定圓的內(nèi)側(cè)沿圓周無滑動地滾動時’動圓圓周上的一定點’的軌跡為

星形線.如圖所示現(xiàn)有一個星形線C：/+J=b=4，下列說法正確的是（）

第7頁/共18頁

A.點（L5）在曲線C的外部B.曲線C所圍成的封閉區(qū)域的面積小于128

C.曲線c上的點到原點的距離最小值為4D.直線x+y-4G=0與曲線c有三個交點

【答案】BC

【解析】

【分析】A選項，代入得到「+5；<4,故點（L5）在曲線C內(nèi)部，A錯誤；B選項，求出

S4“M=；X8X8=32，數(shù)形結(jié)合得到曲線（,所圍成的封閉區(qū)域面積小于128；C選項，由題意得到

C：:+V'=「=4為半徑為2的小圓在圓心為原點，半徑為8的大圓中滾動，小圓上的一點次所形成的

軌跡方程，數(shù)形結(jié)合得到最小值為02=07WT=4,D選項，先求出川[2￡.2拒|和A/（4,4|,進

而得到點力|2行,2>/"|和A/（4,4|在K+兩側(cè)，數(shù)形結(jié)合得到交點個數(shù).

【詳解】A選項，/+5：=|+叵<[+右一4,故點（L5）在曲線C的內(nèi)部，A錯誤；

B選項,如圖所示，其中川0.8|,8（8,0|,連接48,

則=：X8K8=32，

故曲線C所圍成的封閉區(qū)域，位于第一象限的部分面積小于32,

由對稱性可知，曲線C所圍成封閉區(qū)域面積小于128,B正確；

222

C選項，根據(jù)題意可知C：+「=8；=4為半徑為2的小圓在圓心為原點，

半徑為8的大圓中滾動，小圓上的一點次所形成的軌跡方程，其中兩圓的切點為7,

數(shù)形結(jié)合可知，當04J三點共線，匹在次之間時，

曲線C上的點次到原點的距離最小，此時47為小圓直徑，

第8頁/共18頁

故最小值為ow=0r-H,r=8-4=4,

曲線C上的點到原點的距離最小值為4,C正確；

D選項，由C選項和對稱性可知，與直線AB垂直，

故18中點坐標為A/(4,4),故直線0r,

所以i+Y=4,解得x=2JF，負值舍去，

故叩"2回,

將叫2/28)代入X+J._4G=0中得，272+272-473<0,

故點用122cl在x+.r-4jj=0左側(cè),

將A/(4,4)代入x+y—4G=0中得，8-4>/3>0，

故點必4,引在x+1_46-二0右側(cè)，

數(shù)形結(jié)合，直線x+,"4G=0與曲線C有四個交點D錯誤.

故選：BC

222

【點睛】關(guān)鍵點點睛：C選項，曲線C：/+「=b=4為半徑為2的小圓在圓心為原點，半徑為8的大

圓中滾動，小圓上的一點田所形成的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合得到最小值.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.拋物線廣=S;,上與焦點的距離等于的點的縱坐標為.

【答案】6

【解析】

【分析】首先求出準線方程，根據(jù)焦半徑公式計算可得.

第9頁/共18頁

【詳解】拋物線「二」的準線為」=-2,設(shè)所求點的縱坐標為，”，

則，，?[2]=8,解得Ai=6.

故答案為：6

13.設(shè)S”是數(shù)列：的前”項和，q=1且=SnSn,(?>21,則$=.

I

【答案】.##0.2

【解析】

【分析】先根據(jù)a“=S,-S-再化簡得出1=：-—一，即可求出通項公式再計算即可求值.

1

【詳解】因為4=一'51=2—5,1，左右同時乘以sr,

,1?11.

則i=不一「，又因為不=一=]，

5“5?_15|fl,

所以'；，是以1為首項以1為公差的等差數(shù)列，

所以=",所以s“=L

所以=亍

故答案為：—.

14.在棱長為2的正方體力8CD—4qc1A中，p為平面"4GC內(nèi)一動點，X尸與所成的角為F，則

O

動點P所在曲線的焦距為.

【答案】8

【解析】

【分析】建立空間直角坐標利用空間向量由兩直線夾角得出動點P的坐標滿足的關(guān)系式，求出軌跡方程即

可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意以c,為坐標原點，G4.￡C，GA所在直線分別為八：軸建立空間直角坐標系，如下

圖所示；

第10頁/共18頁

易知川2,2,2),0(0,2,2],貝ij麗=(-2,0,0)

設(shè)P(x,y,0),則萬=(x-2,y-2,-2),

兀,-------,APAD\卜2(X-2)

由4P與AD所成的角為-可得\cosAP,AD\=

1=/；；,2；

61AP]\AD\2。-2)，("2『+(-2『

整理可得(x-2/-3(v-2］：=12,即(X二/__()2)=］；

124

因此可知動點P所在曲線為雙曲線，且c=g7=4；

所以其焦距為2c=8.

故答案為：8

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用空間向量根據(jù)夾角的大小得出動點坐標滿足的軌跡方程，求出焦

距.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知曲線C的方程為-4-v2-2刀+4"沙+〃/-4/〃+5=0.

(1)若曲線C表示圓，求，〃的取值范圍；

(2)當M=I時，直線二0與曲線c交于兒8兩點，求I.叫.

【答案】(l)(-8,-2)U(：.+a)

(2)2

【解析】

【分析】(1)將方程化為標準方程，列式求解即可；

(2)根據(jù)題意可得圓心和半徑，結(jié)合垂徑定理求弦長.

【小問1詳解】

第11頁/共18頁

由曲線C的方程整理可得（x-l/+|卜+2陽）=3/n'+4m-4,

2

則g；所-；>。，解得，〃>§或M<2,

所以切的取值范圍為（-8,-2）u（j,+8）.

【小問2詳解】

若卅=1,則曲線C：（x-l「+（.丫+2『=3,可知圓，心W，2）,半徑為r=

||+2-11

則圓心（L21到線，K-丫-I-0的距離J---—V-,

所以|」8|=2/二/=2.

16.在四棱錐尸"CD中，底面.4BC0為矩形，PH1平面.48C0.點E.F分別在P8.PD上，且

-IF1PD.//,G分別為4。.48的中點.

（1）求證：PC1平面4EF；

⑵當，8=L?!。=L4P:2,求平面與平面FGH的夾角.

【答案】（1）證明見解析；

（2）60c.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理得證.

（2）以A為原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解.

【小問1詳解】

在四棱錐P-/8C。中，2,41平面.48（70,8Cu平面.48CO,則P/，8C,

由底面48C0為矩形，得8cl.48,Pdc,48=4/九18c平面PX8,

于是8C，平面而/Eu平面P44,則8c1AE,又AE1PB,8CDP8=8,

第12頁/共18頁

BC,PBc平面P8c,因此4E1平面P8c,而PCc平面P8C,

則.4E1PC,同理.4FiPC，又IE「=d.dEJFu平面JEF,

所以尸C1平面AEF.

【小問2詳解】

由(1)知，直線A8.乂D/P兩兩垂直，

以A為坐標原點，直線48.JD.JP分別為二軸建立空間直角坐標系,

則PI0,0,2)向4,0,0|,W(0,l,0|,C(4,2,0),G|2,0,0|,

由⑴知平面,■)1的法向量為定=(4,2,-2),PG=(2,0,-2|,PW=|0,1,-2),

PGn=2x-2z=0

設(shè)平面PB〃的法向量，i=U,.v,二)，貝葉一，令二=1，得戶

PH6=y-2z=0

lKnPC61

cos<?,PC)==2-所以平面,4￡F與平面廣(，'”的夾角為60°.

17.已知數(shù)列：q二滿足“二h,且2a“=24.數(shù)列也｝的前“和為1，"=q-4".

(1)證明：數(shù)列“：為等比數(shù)列，并求出數(shù)列|可：的通項公式；

[b

(2)求數(shù)列〈:的前n項和T,.

[s”s”+i.

【答案】(1)證明見解析，。"=2"+4"

⑵i—L-

22**+2-2

【解析】

第13頁/共18頁

【分析】（1）由等比數(shù)列定義可證明■。：為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式計算可得4=2"+4"；

（2）根據(jù)表達式利用裂項相消求和可得「.

【小問1詳解】

由已知得。-=2%+2-4",

因此如=4*1.42m-4”）

=2為常數(shù),

b“-4"

可得數(shù)列"V為等比數(shù)列.

即數(shù)列[七-41為首項為2,公比為2的等比數(shù)歹U；

可得4-4"=2",

即4=2"+4"

【小問2詳解】

由（1）可得4=。"-4"=2"+4"-4"=2",

打前”和為S"=2"—2

L*=1_______1__

S11sli“（2”“-2）（2"〃一2）2""一22"〃一2；

T1?I[III_1

所以"-22-225-2+25-224-2+24-225-2++2*+|-22"*:-2

￡1

"22n'2-2

18.古希臘數(shù)學家阿基米德得到：橢圓的面積等于圓周率R與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓

。的中心為原點，焦點6,后均在X軸上，歸￡|=26，其面積為2兀.

（1）求橢圓C的方程;

第14頁/共18頁

(2)4,4分別是橢圓C的左，右頂點，8.分別是橢圓c的上、下頂點，設(shè)P為第二象限內(nèi)橢圓C上

的動點，直線P8與直線圣4交于點N,直線從尸與直線X=2交于點A7,判斷直線MA'的斜率是否為

定值，若是求出這個值；若不是，說明理由.

【答案】(i)L+/=|

4-

(2)是，—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)|￡6|=2百，其面積為2兀，列出關(guān)于。、h、的方程組，求出a、h即可得結(jié)

果；

(2)設(shè)〃可得直線4P:r=—"―(x+2),直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，以及斜率

m+2

公式將直線的斜率用，〃表示，消去，〃即可得結(jié)果.

【小問1詳解】

橢圓C的中心為原點，焦點￡.后均在K軸上，

|巴總|=26,其面積為2Tl.

設(shè)橢圓C噌+￡=l(a>b>0)，

則。/黃二？)！，1-h?二3解得"二2”=1,

2

所以C的方程為三+1'=1；

4'

【小問2詳解】

4(-2,0),4伍0),4(0,1)出(0,-1)

41

設(shè)則一^+―r=l即4J?陰J』

nr

直線.4/:r=—"—(x+2)得帽‘Z.-40-1

m+2Im+2/

”一1/4mni4-5/1—5

直線8/:r=Ux+l與直線匕「一2r+：聯(lián)立得N——,—

m\m-2n-￥2m-2n+2)

第15頁/共18頁

m+2n-24n

卜m-2n+2m+2_(m+2n-2)(m+2)-4n(m-2n+2)nr-2mn+8,r-4n-4

4"i,2{m+2n-2)(m+2]2m2+4mn+8/i-8

m-2n+2

因為■!廣?M：=4即"I：=4-力i：代入上式

,、|4-4w|-2/n/j+8n--4/i-44?:_2nin-4>iI

得=---7-----TT---------------=----;----------=——

2(4-4w|+4mw+8n-8-8n'+4m/j+8n2

【點睛】方法點睛：探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求

出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值

.(3)存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.①當條

件和結(jié)論不唯一時要分類討論.②當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.③當條件

和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法很難時，采取另外的途徑.

19.從。點引出三個不共面的向量[月,工，它們之間的關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，則這個標架

；。:構(gòu)成右手標架，如圖所示.規(guī)定：>x八為一個向量，它的長度為“力卜ini,/,它的方向與向

量1/；均垂直，且使【。；譏灰片構(gòu)成右手標架.該運算滿足：Jxp.frj=|；

=cx^o+b|=cxfl+cxB.fJ,/為單位正交基底，且;。：；Jd；符合右手標架,

以L//的正方向為K軸、r軸、二軸的正方向建立空間直角坐標系，若所二行+/+反，貝U記

(1)證明：?xA=-|6xJ|.

(2)已知向量5=11,2,0),月二11,0,3),求ax八的坐標表示；

(3)①三棱錐",中，》x麗=(1,2,2),玩=(2,1,2|,求三棱錐。-48C的體積?.；

②請結(jié)合“”與“數(shù)量積”的幾何意義，用/反/力,.4彳表示平行六面體48CD-44GA的體積.

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【答案】（1）證明見解析

（2）16,-3,2）

41——?（AB