數(shù)學(xué)大學(xué)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$在點(diǎn)$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.32.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-13.下列哪個是二階線性齊次常微分方程（）A.$y'+y=x$B.$y''+y=0$C.$y^2+y'=0$D.$y'''+y=0$4.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec=(2,-1)$的數(shù)量積為（）A.0B.1C.-1D.45.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$的行列式的值為（）A.0B.1C.2D.36.已知函數(shù)$y=\lnx$，則$y'$為（）A.$x$B.$\frac{1}{x}$C.$-\frac{1}{x}$D.$x^2$7.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值是（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.28.平面$2x+3y-z=1$的法向量為（）A.$(2,3,-1)$B.$(2,3,1)$C.$(-2,-3,1)$D.$(1,1,1)$9.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$（）A.收斂B.發(fā)散C.不確定D.部分和是常數(shù)10.方程$x^2+y^2=r^2$表示的曲線是（）A.橢圓B.拋物線C.圓D.雙曲線答案：1.C2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.A9.B10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些函數(shù)是奇函數(shù)（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.以下哪些是求極限的方法（）A.等價(jià)無窮小替換B.洛必達(dá)法則C.夾逼準(zhǔn)則D.泰勒展開3.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)（）A.不一定連續(xù)B.一定連續(xù)C.全微分不一定存在D.全微分一定存在4.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.$(AB)C=A(BC)$B.$A(B+C)=AB+AC$C.$(A+B)C=AC+BC$D.$AB=BA$5.關(guān)于向量組線性相關(guān)的說法正確的是（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組的線性組合系數(shù)不全為零C.向量組構(gòu)成的行列式值為0D.向量組構(gòu)成的矩陣秩小于向量個數(shù)6.下面屬于基本積分公式的有（）A.$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)$B.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$C.$\int\sinxdx=-\cosx+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$7.下列曲線屬于二次曲線的是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線8.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$的收斂情況可能是（）A.僅在$x=x_0$處收斂B.在整個實(shí)數(shù)軸上收斂C.在某區(qū)間$(x_0-R,x_0+R)$內(nèi)收斂D.在某區(qū)間$(x_0-R,x_0+R]$內(nèi)收斂9.空間直線的方程形式有（）A.點(diǎn)向式B.一般式C.參數(shù)式D.斜截式10.下列哪些是線性代數(shù)研究的主要對象（）A.矩陣B.向量C.線性方程組D.二次型答案：1.AB2.ABCD3.AC4.ABC5.ABD6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）2.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$一定存在。（）3.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。（）4.向量組中向量的個數(shù)越多，越容易線性相關(guān)。（）5.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收斂，則級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$一定收斂。（）6.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在某點(diǎn)全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在。（）7.平面束方程可以表示空間中所有的平面。（）8.函數(shù)$y=\tanx$的周期是$\pi$。（）9.若$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則$Ax=0$有非零解。（）10.數(shù)列極限和函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的極值。答：先求導(dǎo)$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$，$y'\gt0$；$0\ltx\lt2$，$y'\lt0$；$x\gt2$，$y'\gt0$。所以極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。2.計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$答：根據(jù)三階行列式的計(jì)算公式：\[\begin{align}&1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\=&1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)\\=&-3+12-9\\=&0\end{align}\]3.求微分方程$y'+y=e^{-x}$的通解。答：先求對應(yīng)齊次方程$y'+y=0$的通解，特征方程為$r+1=0$，得$r=-1$，齊次通解為$y=Ce^{-x}$。再設(shè)非齊次特解$y^=Axe^{-x}$，代入原方程得$A=1$，所以原方程通解為$y=Ce^{-x}+xe^{-x}$。4.簡述向量組線性無關(guān)的定義。答：如果向量組$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n}$，只有當(dāng)$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$時，$k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+\cdots+k_n\vec{\alpha_n}=\vec{0}$才成立，則稱向量組$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n}$線性無關(guān)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣可逆的條件有哪些，并舉例說明。答：矩陣$A$可逆的條件有：行列式$|A|\neq0$；$A$滿秩；$Ax=0$只有零解等。例如矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$|A|=1\neq0$，所以$A$可逆，其逆矩陣就是本身。2.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分有什么關(guān)系？答：多元函數(shù)全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，且全微分等于各偏導(dǎo)數(shù)與相應(yīng)自變量增量乘積之和。但偏導(dǎo)數(shù)存在，全微分不一定存在。比如函數(shù)$f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$在$(0,0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，但全微分不存在。3.在實(shí)際問題中，如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決優(yōu)化問題？答：先建立實(shí)際問題的目標(biāo)函數(shù)，確定自