函數(shù)極限“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件全套可編輯PPT課件

取整函數(shù)y=，表示不超過x的最大整數(shù)，它的定義域D=.。。。012

-2-1。yx

-1

-21“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱若，有f(-x)=f(x),則稱f(x)為D上的偶函數(shù)；若,有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為D上的奇函數(shù).即是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件復(fù)合函數(shù)自由落體運動的動能

是速度的函數(shù)

，而速度

又是時間的函數(shù)

，物體的動能

與

的關(guān)系可以看成由函數(shù)

與函數(shù)

復(fù)合而成.由兩個函數(shù)，根據(jù)一定的規(guī)則得到一個新的函數(shù).由y和u的關(guān)系、u和x的關(guān)系，得到y(tǒng)和x的關(guān)系.什么意思？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

注：兩個函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵是內(nèi)函數(shù)的值域一定要在外函數(shù)的定義域中.什么意思？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件求反函數(shù)的三部曲：

解方程；交換x、y；確定定義域.函數(shù)與其反函數(shù)為什么關(guān)于y=x對稱？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件。。判斷題：不是所有的函數(shù)都有反函數(shù).在函數(shù)的定義中,對于定義域中的每一個值,都只能對應(yīng)唯一的一個值域中的y值.

所以如果函數(shù)有反函數(shù),當且僅當對于值域中的每一個y值,對應(yīng)著定義域中唯一的一個x值才可以.

也就是說不同的x不能映射到同樣的y的函數(shù)才有反函數(shù)。

如：任意三角函數(shù)都不存在反函數(shù)。但是指定某一特定區(qū)間為定義域時,可以存在反函數(shù).錯錯“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

基本初等函數(shù)：常量函數(shù)ｙ＝C（C為常數(shù)）；指數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)（α為實數(shù)）；對數(shù)函數(shù)

三角函數(shù)

反三角函數(shù)六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

初等函數(shù)

定義:基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)合運算

所得的由一個解析式所表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件。。判斷題：錯對“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

設(shè)函數(shù)，如果無限增大時，函數(shù)無限趨近于某個固定的常數(shù)a，則稱x趨于時，f(x)以a為極限，記作兩種特殊情況函數(shù)的極限（第一種）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

當n無限增大時，數(shù)列的通項的值無限接近于某一確定的常數(shù)，則稱當n趨于無窮大時數(shù)列以a為極限，記作

數(shù)列的極限（函數(shù)極限的特例）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

設(shè)函數(shù)f(x)在點的附近（點可以除外）有定義，如當

則稱a為函數(shù)f(x)，當

時的極限，

記作或者函數(shù)的極限（第二種）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

1.設(shè)函數(shù)ｙ=f(x)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，若當ｘ從的左側(cè)趨于時，f(x)趨于a,則稱f(x)當ｘ從的左側(cè)趨于時收斂于a,且稱a為f(x)在點的左極限，記作重要結(jié)論：兩種特殊情況

2.設(shè)函數(shù)ｙ=f(x)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，若當ｘ從的右側(cè)趨于時，f(x)趨于a,則稱f(x)當ｘ從的右側(cè)趨于時收斂于a,且稱a為f(x)在點的右極限，記作“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件極限的運算法則定理

則(1)若(3)(4)注：法則(1)、(3)可以推廣到有限個具有極限的函數(shù)的和與積的情況且法則對于(2)的情形也是成立.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“文科數(shù)學(xué)”課件求極限的原則：能代則代，不能代則化“抓大頭法”、分解因式后約分、通分、有理化等判斷極限的方法：

定義、兩邊夾定理、

左右極限值等“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮小量定義若

時，函數(shù)

則稱函數(shù)時的無窮小量（極限為0的變量）.f(x)為說明

除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小量.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)１

有限個無窮小量的和也是無窮小量.性質(zhì)２

有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量.性質(zhì)３

常數(shù)乘以無窮小量仍是無窮小量.性質(zhì)４

有界函數(shù)乘以無窮小量仍是無窮小量.為什么是有限個？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮大量定義若時，函數(shù)

，則稱函數(shù)f(x)

為時的無窮大量.記作注無窮大量不是一個很大的數(shù)，它描述的是函數(shù)的一種狀態(tài)，若函數(shù)趨于無窮大，則必?zé)o界.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理如果當

時，f(x)為無窮大量,

則

為無窮小量；反之，如果當

時，f(x)為無窮小量，且

為無窮大量.說明據(jù)此定理，關(guān)于無窮大的問題都可以轉(zhuǎn)化無窮小來討論.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮小量與極限的關(guān)系定理

在自變量的某一變化過程中，函數(shù)f（x）以a為極限的充分必要條件是f（x）可以表示成常數(shù)a與某一無窮小量之和，即f（x）=a+α（x），其中α（x）為同一過程下的無窮小量.常用于簡化計算，抓主要矛盾“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件兩個重要極限連續(xù)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件兩個重要極限“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件第一個重要極限：說明

此極限公式也可表示為另一種形式“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件說明

此極限公式也可表示為另一種形式第二個重要極限：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件無窮小的比較“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件(1)如果，則稱

為同階無窮小量；

如果

，則稱f(x)與g(x)為等價無窮小量，記作如，則稱f(x)是比g(x)高階的無窮小量，

(4)如果，則稱f(x)是比g(x)低階的無窮小量.記作定義設(shè)

是同一變化過程中的兩個無窮小量，“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件例

無窮小的等價代換只能代換乘積因子！“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件例

但下面的解法是錯誤的！此處是0/0嗎？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件函數(shù)的連續(xù)性“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件連續(xù)的定義定義

設(shè)函數(shù)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)值的增量也趨于零，則稱f(x)在點處連續(xù)?！昂瘮?shù)y=f(x)在點的某個鄰域內(nèi)有定義”排除了哪些情況？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件連續(xù)的定義定義

設(shè)函數(shù)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)值的增量也趨于零，則稱f(x)在點處連續(xù)。

“如果當自變量的增量趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)值的增量也趨于零”排除了哪些情況？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件連續(xù)的定義

函數(shù)f(x)在點連續(xù)的另一種形式的定義定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)。為什么可以得到第二種形式的定義？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件左連續(xù)右連續(xù)

注：函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點既是左連續(xù)又是右連續(xù).定義如果一個函數(shù)在某個區(qū)間上的每一點都連續(xù)，則稱這個函數(shù)為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

設(shè)函數(shù)f（x）在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，則下列情形之一函數(shù)f(x)在點不連續(xù).

(1)在

處沒有定義；(2)雖在

處有定義，且

存在，但

(3)雖在

有定義，但

不存在.

這樣的點

稱為間斷點.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

間斷點分兩類：如果

是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限

及右極限

都存在，則稱

為f(x)的第一類間斷點；在第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.不相等者稱為跳躍間斷點.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理1連續(xù)函數(shù)的和差積商還是連續(xù)函數(shù)。定理2連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對應(yīng)區(qū)間上也是連續(xù)函數(shù)。定理3連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)還是連續(xù)函數(shù)?；境醯群瘮?shù)都是連續(xù)函數(shù)所以,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)在某點的極限，只需求出該點的函數(shù)值即可

，這就是為什么求極限時可以“能代則代”的原因。初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.5.4

(最值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

上連續(xù)，則在

上至少存在兩點

，使對

上一切的x，都有

,其中

和

分別稱為f(x)在

上的最小值和最大值.如圖0Xyab閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理1.5.5（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，且

，則對于f(a)與f(b)之間的任意數(shù)k，在(a,b)內(nèi)至少存在一點

使得

說明：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

上連續(xù)，則它必定能夠取得f(a)與f(b)之間的任意值k.0abyxk“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件推論（根的存在定理）若f(x)在閉區(qū)間

上連續(xù)，且

(即f(a)、f(b)異號)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點

即方程在(a,b)內(nèi)至少有一個根說明：連續(xù)的曲線y=f(x)端點在x軸的兩側(cè)時，則曲線與x軸至少相交一次.。0abxy“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件導(dǎo)數(shù)的概念

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件函數(shù)由此及彼用函數(shù)式解釋大千世界

世界是一部用數(shù)學(xué)語言寫成的書極限極終趨勢連續(xù)過程萬象導(dǎo)數(shù)變化快慢“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件一.導(dǎo)數(shù)的定義存在,若極限設(shè)函數(shù)在

的某個鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)在處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù).記作:或“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件1.變速直線運動的瞬時速度

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件2.曲線的切線斜率“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件二.用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)——求導(dǎo)三步曲(1)求增量:;(2)算比值:;(3)取極限:.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（1）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件利用（1）（2）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件利用（2）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件故有：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件三、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定理:左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件左極限：

右極限：

左連續(xù)：右連續(xù)：函數(shù)在某點連續(xù)函數(shù)在該點既是左連續(xù)又是右連續(xù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件名稱表達式判斷條件備注極限左右極限都存在，而且相等極限值不一定等于該點的函數(shù)值連續(xù)左右極限都存在，而且相等，而且等于該點的函數(shù)值在該點的極限值等于該點的函數(shù)值可導(dǎo)左右導(dǎo)數(shù)都存在，而且相等導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值沒有必然聯(lián)系，但是可導(dǎo)一定連續(xù)四、極限、連續(xù)、可導(dǎo)的判斷“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件Y=f(x)在x0處可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)一定存在極限反之不然可導(dǎo)是“光滑”的連續(xù)人生只要處處連續(xù)，不必處處可導(dǎo).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件如果f(x)為開區(qū)間

內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且

及

都存在，那么就稱

為閉區(qū)間[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù).如果對于任一

，都有,那么就稱

為開區(qū)間

內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù).“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線xyαM在點

處的切線的斜率,即“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件如果函數(shù)在點處可導(dǎo),則曲線在點

的切線方程為如果

為無窮大,

切線方程為曲線在點

的法線方程為“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件例：研究的導(dǎo)函數(shù).？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件/m/cxqnngwx#material/wkaa2tea“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件導(dǎo)數(shù)的運算“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理并且可導(dǎo)處也在點分母不為零們的和、差、積、商則它處可導(dǎo)在點如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu一、四則運算“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件推論“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈式法則)關(guān)鍵在清楚

復(fù)合過程“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件推廣“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).定理)(0)()(xfyyyxjj￠.)(1)(yxfj=￠=1￠=且有也可導(dǎo)，在對應(yīng)區(qū)間內(nèi),那么它的反函數(shù)且內(nèi)可導(dǎo)，在某區(qū)間如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)即為什么需要？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件基本導(dǎo)數(shù)公式表“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件高階導(dǎo)數(shù)微分

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件一.高階導(dǎo)數(shù)定義的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點的二階導(dǎo)數(shù),則稱1.如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點可導(dǎo),二階導(dǎo)數(shù)為什么表示成

，而不表示成

或

？記作:“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件2.同樣若處可導(dǎo),在點記作:在點的三階導(dǎo)數(shù),為函數(shù)導(dǎo)數(shù)在點則稱的四階導(dǎo)數(shù)表示:？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件2.同樣若處可導(dǎo),在點記作:在點的三階導(dǎo)數(shù),為函數(shù)導(dǎo)數(shù)在點則稱的四階導(dǎo)數(shù)表示:？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件3.一般地,在點處可導(dǎo),記作:在點的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點的n階導(dǎo)數(shù),若則稱“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件二、微分的定義定義：如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)

在點處的微分.記作：觀察，這個函數(shù)的微分為故上式可以表示為：沒有的要求！“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件怎么引入的？近似計算，簡化運算（應(yīng)用遠不止于此）定義：如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)

在點處的微分.記作：所以，微分的定義可以改寫為：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件視頻2.12無窮小量與極限的關(guān)系定理

在自變量的某一變化過程中，函數(shù)以

為極限的充分必要條件是

可以表示成常數(shù)與某一無窮小量之和，即

，其中

為同一過程下的無窮小量.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件近似計算，簡化運算記為微分dy近似代替Δy

Δx的高階無窮小量

？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件1.線性關(guān)系是最簡單的函數(shù)關(guān)系。2.非線性問題要簡化，可以“線性化”，就是用一個“合適的”線性模型去近似非線性模型。即非線性模型=線性模型+尾項），關(guān)鍵在于表示尾項，研究尾項，找到尾項可以被控制的逼近模型。3.把這個思想落實到函數(shù)上，就是，在點x0鄰近，能否有Δy=aΔx+尾項，尾項=Δy－aΔx能否滿足精度要求，忽略不計？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件故：求微分時,可先求導(dǎo)數(shù),再乘dx可微的條件函數(shù)在點處可微的充要條件是函數(shù)在點

處可導(dǎo).可以看作函數(shù)的微分與自變量的微分的商，所以導(dǎo)數(shù)也叫“微商”.將兩端同除以

，得.（至此，可以看作一個整體，也可以看作是兩者之商?。按髮W(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件三、微分的幾何意義觀察圖像也可知道：當很小時,所以微分的幾何意義是切線縱坐標的增量“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件四.微分的運算法則

1.微分基本公式(2)(3)(4)(5)(7)(1)(8)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件(16)(15)(9)(10)(11)(12)(13)(-1<x<1)(14)(-1<x<1)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件2.微分運算法則（1）函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)都可微，則“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（2）復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)

在相應(yīng)的點處可微，可微，即，無論u是自變量還是中間變量，微分形式保持不變，稱為一階微分形式不變性.則且“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件微分中值定理洛必達法則“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件一、微分中值定理“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（一）羅爾定理若函數(shù)

滿足下列條件：則至少存在一點使“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件區(qū)間內(nèi)有不可導(dǎo)的點兩端點的函數(shù)值不相等區(qū)間內(nèi)有不連續(xù)的點“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件羅爾定理的幾何意義:

如果連續(xù)曲線除端點外處處都具有不垂直x軸的切線，且兩端點處的縱坐標相等，那么其上至少有一條平行于x軸的切線.OABCabxy“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（二）拉格朗日中值定理若函數(shù)

滿足下列條件：則至少

一點

(a,b)，使“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

拉格朗日定理的幾何意義：曲線y=f(x)在該點的切線斜率與弦AB的斜率相等.如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少有一點，OabxyABC“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件羅爾定理的幾何意義:

拉格朗日定理的幾何意義：OABCabxyOabxyABC“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件設(shè)，則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù).設(shè)在(a,b)內(nèi)的任意x，都有，則（C為常數(shù)）.

推論1

推論2且f

(x)

0，“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件二、洛必達法則“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件則有（一）未定式型的極限有定義,1.

定理設(shè)函數(shù)和在點的某一去心鄰域內(nèi)在的某一去心鄰域內(nèi)存在,且和且滿足：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（二）未定式型的極限且滿足：1.

2.

和在的某一去心鄰域內(nèi)存在,且則有對于

時的未定式、同樣適用.定理設(shè)函數(shù)和在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義,3.

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件注意：洛必達法則不能用，并不代表極限不存在！極限不存在（x取nπ時，它就在2和0擺動）不滿足洛必達法則定理條件3：類似于抓大頭法抓大放小、抓主要矛盾“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件還是滿足洛必達法則可以用無數(shù)次，可以做一輩子，但還是解決不了問題！類似于抓大頭法抓大放小、抓主要矛盾還是滿足洛必達法則“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件洛必達法則不是萬能的沒有洛必達法則是萬萬不能的通過“化”，洛必達法則可以解決更多“未定式”“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件三.其它未定式的極限1.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件2.3.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件人類關(guān)心的兩大問題：最大、最小

有利的最大、有害的最小

利潤最大、成本最?。▎挝划a(chǎn)品）君子愛財取之有道最值定理“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.5.4(最值定理)

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

上連續(xù)，則在

上至少存在兩點

，使對

上一切的x，都有

,其中

和

分別稱為f(x)在

上的最小值和最大值.如圖：0Xyab“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件哪些點可能是最值點？端點值峰值——極大值谷值——極小值“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)異于x0的點x,稱x0為f(x)的極大（?。┲迭c；（或f(x)>f(x0)），則稱f(x0)為f(x)的極大值(或極小值）.如果恒有f(x)<f(x0)

定義

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件函數(shù)的增減性判別法bayOxAB，曲線上升AaOybxB，曲線下降定理1

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則

（i）如果在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，（ii）如果在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件不存在的點.

(iii)若在x0的兩側(cè)，f

(x)不變號，

定理2（極值存在的第一充分條件）設(shè)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在該鄰域（x0可除外）可導(dǎo)，x0為f(x)的駐點或使f

(x)

(i)若當x<x0時，f

(x)>0；則f(x0)是f(x)的極大值；

(ii)

若當x<x0時，f

(x)<0；則f(x0)是f(x)的極小值；則f(x0)不是極值.當x>x0時，f

(x)>0，當x>x0時，f

(x)<0，“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件不存在的點.

(iii)若在x0的兩側(cè)，f

(x)不變號，

定理2（極值存在的第一充分條件）設(shè)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在該鄰域（x0可除外）可導(dǎo)，x0為f(x)的駐點或使f

(x)

(i)若當x<x0時，f

(x)>0；則f(x0)是f(x)的極大值；

(ii)

若當x<x0時，f

(x)<0；則f(x0)是f(x)的極小值；則f(x0)不是極值.當x>x0時，f

(x)>0，當x>x0時，f

(x)<0，“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件且f

(x0)=0，f

(x0)

0，則

（ii）當f

(x0)>0時，f(x0)是f(x)的極小值.例求

的極值.

定理3（極值存在的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，

（i）當f

(x0)<0時，f(x0)是f(x)的極大值；令得駐點:解“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

由極值第二判別法,時,

有極小值:f(1)=4.由于所以,需用極值第一判別法判定:從而時,無極值.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件最大值、最小值問題（2）計算區(qū)間端點處的函數(shù)值；

求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值方法：（1）計算函數(shù)駐點與不可導(dǎo)點處的函數(shù)值；（3）對以上兩類函數(shù)值進行比較即得.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件不定積分的概念、性質(zhì)

第一類換元積分法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件逆過程熟悉乘法口訣做除法想乘法熟悉乘法口訣“湊”商“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件逆過程導(dǎo)數(shù)、微分的逆過程P.60第3題實際中，經(jīng)常要解決已知如知道速度函數(shù)，求位移函數(shù)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定義1

設(shè)函數(shù)f(x)與F(x)在區(qū)間I上有定義，若

則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義2

f(x)在區(qū)間I上全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分.

記作

“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件設(shè)在(a,b)內(nèi)的任意x，都有，則（C為常數(shù)）.

推論2拉格朗日中值定理的推論一個函數(shù)的不同原函數(shù)之間只差一個常數(shù)C“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù),那么F(x)

C就是f(x)的不定積分,即求f(x)的不定積分只要求它的一個原函數(shù)F(x)再加任意常數(shù)C.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件注意：F（x）形式可以不一樣（八仙過海各顯神通去求（難））“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件視頻5.5第一類換元積分法2“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件注意：F（x）形式可以不一樣（八仙過海各顯神通去求（難）、如何知道對不對？）C不可少“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件二、基本積分公式和導(dǎo)數(shù)公式相比為什么少了3個？“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件求導(dǎo)公式“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件性質(zhì)1

1°性質(zhì)2

2°(k為常數(shù)k≠0）.性質(zhì)3

三、不定積分的性質(zhì)直接積分法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件直接積分法：在求積分問題時，可以直接根據(jù)基本公式和性質(zhì)求出結(jié)果.或者被積函數(shù)經(jīng)過適當?shù)暮愕茸冃危òù鷶?shù)和三角的恒等變形），再利用基本公式和性質(zhì)求出結(jié)果.這樣的積分方法叫做直接積分法.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理4.2.1（第一換元積分法）設(shè)具有原函數(shù)可導(dǎo)，則是

的原函數(shù)，即有換元公式

說明：第一換元積分法也叫湊微分法，關(guān)鍵在與將

數(shù)轉(zhuǎn)化為

形式,而

的原函在基本積分表中能夠找到.

（湊微分法）四、第一類換元積分法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件

積分表續(xù)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件第二類換元積分法分部積分法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件第一換元積分法（湊微分法），關(guān)鍵在與將

轉(zhuǎn)化為

形式,而

的原函數(shù)在基本積分表中能夠找到.

湊法百變，熟能生巧“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理4.2.2是的原函數(shù)，即有換元公式：這里

是

的反函數(shù).設(shè)

是單調(diào)可導(dǎo)

的函數(shù)，并且則

又設(shè)具有原函數(shù)

，第二類換元積分法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件第一類換元積分法和第二類換元積分法有什么異同？第一類換元積分法和第二類換元積分法都是通過變量代換，將不易求得的不定積分轉(zhuǎn)化為容易求得的不定積分.但是它們的代換形式上是不一樣的，前者是令

，后者是令

；前者是將

化為

，即

，后者是將

化為.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件類型(1)：根式代換

含有根式

的函數(shù)的積分，可令

化為有理分式的積分.與第一類換元積分法的“湊法百變”相比，第二類換元積分法對某一些類型的題目有“通用”的方法：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）

例1求解：令“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件類型(2)：三角代換三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令上述代換都要注意的選擇范圍“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件143但是也不絕對！用三角代換就會比較繁瑣，實際上用根式代換更簡單.如“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件類型(3)：當被積函數(shù)的分母含有變量因子x時，可采用倒代換例2

求令解：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件積分表續(xù)這兩個（三個）公式中，都不妨令“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件換元法小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）根式代換、三角代換、倒代換注意：1.要回代；2.三角代換的回代可借助“輔助三角形”；3.用什么方法，要具體問題具體分析.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件分部積分法分部積分公式：做哪些類型的題目？注意：u、v的選擇很關(guān)鍵“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件類型1：

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)).

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.類型2：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定積分的概念和性質(zhì)

微積分學(xué)基本定理“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定積分的概念和性質(zhì)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件以直（不變）代曲（變）近似到精確量變引起質(zhì)變數(shù)學(xué)中的常用方法“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定義定積分的定義并作和“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件注意：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（4）存在確定的極限，是指存在且唯一在上不可積取有理數(shù)時，取無理數(shù)時，“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值定積分的幾何意義“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件幾何意義：ab“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件對定積分的補充規(guī)定:說明

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。ǚe分的性質(zhì)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1òò=babadxxfkdxxkf)()((k為常數(shù)).性質(zhì)2性質(zhì)3補充：不論的相對位置如何,上式總成立.“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)5的推論：（1）（2）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件積分中值公式的幾何解釋：“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限小結(jié)3．定積分的性質(zhì)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件微積分學(xué)基本定理“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件考察定積分記積分上限函數(shù)一、變上限的積分“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理5.2.1另一種表述（原函數(shù)存在定理）“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”課件定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系