專題03動點(diǎn)問題中三角形、四邊形的存在性問題

幾何動態(tài)問題包括幾何動點(diǎn)問題、幾何線動問題和面動問題，本專題重點(diǎn)探究動點(diǎn)問題，線動和面動問

題，將在圖形變換專題中進(jìn)行探究。

幾何動點(diǎn)問題的考查面比較多，但總體看以考查點(diǎn)在幾何圖形中運(yùn)動時產(chǎn)生的線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，角度關(guān)系以及三角形、四邊形的存在性居多。線段和角度問題會在其他專題中進(jìn)行分析，在這里只討

論三角形和四邊形的存在性問題。

在解決幾何動點(diǎn)問題中的三角形和四邊形存在性問題時，一般有以下幾種情況：

1.等腰三角形存在性問題：在解等腰三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點(diǎn)的運(yùn)動而處于不斷變化的線段的

長度為無，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用X表達(dá)出三角形的各個邊長，利用等腰三角形的概念，有2條邊相等的

三角形是等腰三角形，進(jìn)行分類討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗。

2.直角三角形存在性問題：在解直角三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點(diǎn)的運(yùn)動而處于不斷變化的線段的

長度為x,其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達(dá)出三角形的各個邊長，利用勾股定理的逆定理，同時進(jìn)行分類討

論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗。

3.全等三角形存在性問題：在解全等三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點(diǎn)的運(yùn)動而處于不斷變化的線段的

長度為x,其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長，然后找出或者用x表示出動態(tài)三角形的各邊長，最

后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗。

4.相似三角形存在性問題：在解相似三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點(diǎn)的運(yùn)動而產(chǎn)生的處于不斷變化的

線段的長度為x,其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長，然后找出或者用尤表示出動態(tài)三角形的各邊

長，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗。

5.平行四邊形的存在性問題：在解平行四邊形存在性問題時，通常設(shè)出由動點(diǎn)的運(yùn)動而產(chǎn)生的處于不斷變化

的線段的長度為x,其次求出或者用x表示出平行四邊形、矩形、菱形或正方形的其他各邊的長度，最后利用

平行四邊形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗。

可見在解決此類問題時，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)x,并用x表示出各線段的長度，利用各幾何圖形的判定，列出方

程進(jìn)行求解，是此類題型的共性，但要注意，在解決此類問題時，要注意分類討論。

真題精析

例孽1

（2022?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB

方向以每秒后cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿2C方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)

動，設(shè)運(yùn)動的時間為/秒.

⑴如圖①,PQLBC,求r的值；

（2）如圖②，將小尸。。沿3c翻折至APQC,當(dāng)f為何值時，四邊形QPCP為菱形?

郵領(lǐng)

（1）根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

（2）作PDL3C于。，PELAC于E,證明出AABC為直角三角形，進(jìn)一步得出AAPE和APBD為等腰

直角三角形，再證明四邊形PECD為矩形，利用勾股定理在Rt^PCE、RhPDQ中,結(jié)合四邊形QPCP為菱

形，建立等式進(jìn)行求解.

［答案與解析】

【答案】⑴當(dāng)f=2時，PQ±BC

4

⑵當(dāng)，的值為（時，四邊形。尸CP為菱形

【詳解】（1）解：（1）如圖①，

VZACB=90°,AC=BC=4cm,

^AB=7AC2+BC2=V42+42=4V2(cm),

由題意得，AP=6tcm,BQ=tcm,

貝!|5P=(40-舊)cm,

,:PQtBC,

：.NPQB=90。,

：.ZPQB=ZACBf

：.PQ//AC,

(ZBPQ=ZBAC

[ZBQP=ZBCA9

二.△BPQs小BAC,

?B^=BQ

??嬴一茄，

.4忘-"t

??4&="

解得：t—2,

.,.當(dāng)f=2時，PQ_L8C.

(2)解：作尸8c于。，PELAC于E,如圖,

B

A

AP=,BQ=tcm,(0?t<4)

?.-ZC=90°,AC=BC=4cm,

???AABC為直角三角形，

\ZA=?B45?,

AAPE和"BD為等腰直角三角形，

:.PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,

2

CE=AC—AE=^4—t^cm,

???四邊形PECO為矩形,

PD=EC=（4_f）cm,

,BD=（4-，）cm,

/.QD—BD—BQ=（4—2/）cm,

在RtZ\PC石中，PC2=PE2+CE2=t2+（4-/）2,

在Rt^PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=（4-Z）2+（4-2，；

v四邊形。尸CP為菱形，

PQ=PC,

：.r2+（4-r）2=（4-z）2+（4-2z）2,

4

。=4（舍去）.

4

??/的值為

四與盛

此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方

程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

（2021?廣西河池?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,D,E分別是AB,

8c邊上的動點(diǎn)，以為直徑的。。交BC于點(diǎn)E

（1）當(dāng)4）=0尸時，求證：ACAD三4CFD；

（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且AD￡B是直角三角形時，求AO的長.

(1)根據(jù)是圓的直徑，可以得到NB尸。=90。，即/O尸C=90。，然后利用“HL”證明△QW絲△(7尸。即

可；

(2)因為三角形CEO為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類討論，由于三角形OE3是直

角三角形，所以O(shè)和尸都可以為直角的頂點(diǎn)，需要分兩類討論；當(dāng)NEOB=90。時，ZDEB<90°,ZCED

是鈍角，所以此時只能構(gòu)造EC=E。的等腰三角形，故取。點(diǎn)使平分N4C5,作OELAB交5c于E,

可以證明OE=Z>C,3.DE//DC,得到△5Z>Es2\R4C即可求解；當(dāng)NAE￡)=90。時，若三角形CED為等腰

三角形，則NEC￡>=NEDC=45。，BPEC=DE,利用三角函數(shù)或相似即可求出AD

[答案與解析】

【答案】(1)證明見解析；(2)|3■或13

【詳解】解：(1)???RD是圓的直徑，

:.ZDFB=90°,

:.ZDFC=90°9

在RtACAD和RthFCD中，

[CD=CD

[AD=FDf

:ACAD咨ACFD(HL)；

(2),?,三角形DE5是直角三角形，且N5V90。，

???直角頂點(diǎn)只能是。點(diǎn)和E點(diǎn)，

若N￡D5=90。，如圖在Ab上取。點(diǎn)使CD平分NAC5,作?！阓L45交5C于瓦

TCD平分N4C8,

:.ZACD=ZECD9

VZCAB=ZEDB=90°,

:.AC//DE9

:.ZACD=ZCDE9

:.ZECD=ZCDE9

:.CE=DE9

此時三角形ECD為E為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，三角形DEB是E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

設(shè)CE=DE=X9

在直角三角形ABC中3C=7AC2+AB2=5，

:.BE=5-X9

?:DE"AC,

:.△BDEs^BAC,

?DEBE

??一，

ACBC

.x_5-x

解得尤=?，

o

：.CE=—

8f

^DE//AC,

.ADCE

??一，

ABBC

15

45

若NDEB=90。,如圖所示，ZCED=90°9

??,△CEO為等腰三角形，

AZECD=ZEDC=4509BPEC=DC,

設(shè)EC=DC=y9

AC_3

VtanZB

~AB~4

DE_3

tanZB

4

?*.BE=—y,

3

,:BC=CE+BE=5,

4

**?y+]y=5

7

CE=CD=—

7

VsinZB=—=-,

BC5

如工25

sinZB7

3

：.AD=AB-BD=-

7

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠利

用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論求解.

精蹴融題

1.（2022?上海松江??？既＃┤鐖D1,在梯形A8CD中，NABC=90°,AD〃BC,A3=4,BC=5,Ar>=2.動點(diǎn)

P在邊2C上，過點(diǎn)尸作「F||CD,與邊A5交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作廠E||3C,與邊8交于點(diǎn)E,設(shè)線段

BP=

圖1圖2備用圖

(1)求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(2)當(dāng)△PFE是以尸E為腰的等腰三角形時，求BP的值;

(3)如圖2,作！P￡尸的外接圓OO,當(dāng)點(diǎn)尸在運(yùn)動過程中，外接圓。。的圓心。落在！PEF的內(nèi)部不包括邊

上時，求出3P的取值范圍.

2.(2022?廣東揭陽??？既?如圖1,在矩形A3CD中，AB=8,AD=10,E是CD邊上一點(diǎn),連接AE,

將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在3c邊上點(diǎn)尸處，延長AE交8C的延長線于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)求線段CE的長；

(2)如圖2,M,N分別是線段AGDG上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，S.ZDMN=ZDAM,設(shè)DN=x.

①求證四邊形為菱形；

②是否存在這樣的點(diǎn)N,使AOMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

3.(2022?浙江麗水?一模)在菱形ABCD中，AB=6,ZA=60°,點(diǎn)￡在AD邊上，AE=4,點(diǎn)尸是邊AB上

一個動點(diǎn)，連結(jié)EP,將△AEP沿￡?翻折得到AFEP.

(1)當(dāng)EF〃鉆時，求NAEP的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)尸落在對角線8。上，求證：ADEF3FP；

(3)若點(diǎn)尸在射線H4上運(yùn)動，設(shè)直線PF與直線3。交于點(diǎn)X,問當(dāng)AP為何值時，為直角三角形.

4.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模)如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)尸為對角線AC上的動點(diǎn)，連接。尸，將DP繞點(diǎn)

D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至使ZQDP=ZCDA,PQ與CD交于點(diǎn)E.

0

B

⑴求證：△PECsADPA；

（2）已知AD=5,AC=8,

①當(dāng)DPLAZ）時，求APEC的面積；

②連接CQ,當(dāng)AEQC為直角三角形時，求AP的長.

5.（2022?寧夏吳忠?統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,?B90?,AB=12cm,AD=15cm,

BC=20cm,動點(diǎn)￡從點(diǎn)A出發(fā)，在線段A。上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，動點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，在線

段CB上以每秒2c