專題06填空小壓軸題

|考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01新定義問題

考點(diǎn)02翻折問題

考點(diǎn)03旋轉(zhuǎn)問題

考點(diǎn)04相似三角形綜合題

考點(diǎn)05等腰三角形有關(guān)綜合題

考點(diǎn)。新定義冏題

1.（2025?上海靜安?一模）我們把常用的A4紙的短邊與長(zhǎng)邊的比叫作“白銀比”，把這樣的矩形稱為“白銀矩

形”.如圖，一張規(guī)格為A4的矩形紙片A5CD,將其長(zhǎng)邊對(duì)折（所為折痕），得到兩個(gè)全等的A5矩形紙片，

且44、斑這兩種規(guī)格的矩形紙片相似，那么這個(gè)“白銀比”為—.

AED

BFC

2.（2025?上海寶山?一模）一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)億0）,則稱f的值是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.例如：二次

函數(shù)y=a（x—3乂X+2）（"0）,無論a取何值（3,0）和點(diǎn)（-2,0）,所以3和-2是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.如果一

個(gè)二次函數(shù)有且只有一個(gè)“零點(diǎn)”-1,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是.（寫出一個(gè)符合要求的

函數(shù)解析式即可）

3.（2025?上海金山?一模）在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，將拋物線乙：y=aY+bx+c（其中。、b,c是常數(shù),

且"0）,以原點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)180。得拋物線；2,則稱4是4的“中心對(duì)稱拋物線”.已知拋物線%=/-3x-4,

將拋物線為向左平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B.將拋物線”的“中心對(duì)稱拋物線

%向右也平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為C、D.當(dāng)線段2C是線段48、8。的比例中

項(xiàng)時(shí)，"的值為.

4.（2025?上海嘉定?一模）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)分別是兩腰的黃金分割點(diǎn)時(shí)，我

們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AD=6,BC=10,點(diǎn)E、F分

別在邊A3、CD±.（AE>BE）,如果所是梯形ABCD的“黃金分割線"，那么跖=.

AD

5.（2025?上海虹口?一模）過三角形的重心作一條直線與這個(gè)三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角

形相似，那么我們把這條直線叫做這個(gè)三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點(diǎn)之間的線段叫做這個(gè)三角

4

形的“重似線段”.如圖，在VA3c中，AB=IO,tanB=~,tanC=2,點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，如

果線段DE是VABC的“重似線段"，那么小=.

考點(diǎn)“翻折冏效

6.（2025?上海金山?一模）在矩形A3CD中，AB=5,BC=13,點(diǎn)E在邊。C上，將矩形ABC。沿AE翻折，

點(diǎn)。恰好落在邊BC上的點(diǎn)尸處，那么EC的長(zhǎng)為.

7.（2025?上海黃浦?一模）將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對(duì)角線AC折疊，得到折痕AC；②

折疊紙片使邊CO落在折痕AC上，點(diǎn)。落在點(diǎn)尸處，得到折痕CM；③過點(diǎn)〃折疊紙片，使點(diǎn)DC分別

落在邊AD、3c上，展開得到折痕MN.如果矩形MDCN是一個(gè)黃金矩形，其中竺2=或二1,那么這張

CD2

矩形紙片的兩條鄰邊AB:BC=.

8.（2025?上海虹口?一模）如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AC=5,tanC=2,。是AC上的動(dòng)點(diǎn),

將△BCD沿翻折，如果點(diǎn)C落到△ABD內(nèi)（不包括邊），那么CO的取值范圍是.

A

9.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,3C=6.點(diǎn)E在邊上，連接3E,將AABE

沿著8E翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F,連接FD.如果那么點(diǎn)P到CD的距離為.

10.（2025?上海青浦?一模）梯形A3CD中，已知AT>〃3C,AB=CD,AD<BC,AD:DC=2.3.將梯形沿

過點(diǎn)。的直線折疊，點(diǎn)C落在AB上，記作點(diǎn)E,折痕與底邊2C的交點(diǎn)記作點(diǎn)如果。尸〃AB,那么

AE:EB=.

4

11.（2025?上海松江?一模）如圖，在VABC中，ZC=90°,tanB=-,E是邊AB上一點(diǎn)，將ABCE沿直線

AJ7

CE翻折，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，如果AB'IIBC,那么片的值為.

12.（2025?上海普陀?一模）VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。在邊BC上，CD=2,如圖所

示.點(diǎn)E在邊A3上，將VBDE沿著DE翻折得其中點(diǎn)8與點(diǎn)丁對(duì)應(yīng)，8E交邊AC于點(diǎn)G,B'D

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如果是等腰三角形，那么BE=.

A

13.（2025?上海崇明?一模）四邊形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,AD=8,將AB

沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在四邊形ABCD的對(duì)角線上，折痕交邊BC于點(diǎn)尸（點(diǎn)P不與點(diǎn)

14.（2025?上海楊浦?一模）已知矩形ABCD（AD>45）,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，將AABE沿BE翻折，點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在對(duì)角線AC上，那么tanZFBC=.

考點(diǎn)砧我轉(zhuǎn)同題

15.（2025?上海閔行?一模）在等腰VABC中，AB=AC,是邊上的高，將線段AD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針

FF□nF

旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E,即與邊A3交于點(diǎn)P,且▼=[,如果也與相似，那么筆的值為—.

DF2AB

16.（2025?上海寶山?一模）如圖，已知VA3C,AB=AC=4,ZB=30°,。是邊BC的中點(diǎn)，線段AB繞

點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A3',線段AE與AC,BC分別交于點(diǎn)E,b,如果AEFC是直角三角形，那么

4E的長(zhǎng)是.

17.（2025?上海嘉定?一模）如圖，將一塊含30。角的實(shí)心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內(nèi)繞

著它的重心G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。.如果這塊三角板的斜邊長(zhǎng)12厘米，那么運(yùn)動(dòng)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面

積為平方厘米.

G'

考點(diǎn)%相他三育冊(cè)除含題

18.（2025?上海松江?一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)及F、G分別在邊AB、BC、AD上，且AE=8/=DG,

如果AE:3E=1:2,那么空的值為

連接CE、FG,交于點(diǎn)H,

HF

如圖，在中，＞是的中線，右，：

19.（2025?上海靜安?一模）AABC3￡AABCBC=2BD,AC=6tanA=

那么AB的長(zhǎng)為—.

C

20.（2025?上海黃浦?一模）如圖，將矩形A5CD平移到矩形EFG”的位置（點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠，

點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)G）,邊EH與CD交于點(diǎn)、M,邊EF與BC交于點(diǎn)、N,其中DW:MC=3:2,BN:CN=3:2,

如果M、N兩點(diǎn)的距離為。，那么A、E兩點(diǎn)的距離為.（用含。的代數(shù)式表示）

G

F

21.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在一副三角尺中，ZBAC=NEDF=90°,4=30。，ZE=45°,AB=EF,

分別過點(diǎn)A、點(diǎn)。畫AG、。〃交邊BC、邊跖于點(diǎn)G、點(diǎn)H,如果AG分割VA3C得到的兩個(gè)三角形與

4G

分割△。跖得到的兩個(gè)三角形分別相似，那么—的值為.

DH

22.（2025?上海楊浦?一模）如圖，已知正方形ABCD與正方形CFG”,尸為CD邊上一點(diǎn)，GP的延長(zhǎng)線交

23.（2025?上海奉賢?一模）如圖，RtAABC和RtADEF中，NBAC=NEDF=90°,AB=3,AC=4,DE=4,DF=8,

點(diǎn)M在邊2c上，點(diǎn)N在邊防上，A〃分割VABC所得的兩個(gè)三角形分別與DN分割江）跖所得的兩個(gè)三

角形相似，那么線段DV的長(zhǎng)是.

寸點(diǎn)笫等牘三龜形嘶關(guān)除合題

4

24.（2025?上海普陀?一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中（如圖），點(diǎn)43在反比例函數(shù)y=—位于第一象限的

x

圖像上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，OA=OB.如果△Q4B的重心恰好也在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像

25.（2025?上海徐匯?一模）如圖，四邊形ABCD中，AC±AB,BD±CD,BD=CD,如果A3=根,=

且加＜〃，那么AD的長(zhǎng)是（用含根/的式子表示）.

D

A

BC

專題06填空小壓軸題

|考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01新定義問題

考點(diǎn)02翻折問題

考點(diǎn)03旋轉(zhuǎn)問題

考點(diǎn)04相似三角形綜合題

考點(diǎn)05等腰三角形有關(guān)綜合題

考點(diǎn)。新定義冏題

1.（2025?上海靜安?一模）我們把常用的A4紙的短邊與長(zhǎng)邊的比叫作“白銀比”，把這樣的矩形稱為“白銀矩

形”.如圖，一張規(guī)格為A4的矩形紙片A5CD,將其長(zhǎng)邊對(duì)折（所為折痕），得到兩個(gè)全等的A5矩形紙片，

且44、斑這兩種規(guī)格的矩形紙片相似，那么這個(gè)“白銀比”為—.

AED

BC

【答案情

【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，理解題意，掌握相似多邊形的各邊的比是解題的關(guān)鍵.

分別表示出原矩形的長(zhǎng)和寬，折疊后的長(zhǎng)與寬，結(jié)合題意“白銀比”進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：設(shè)矩形紙片長(zhǎng)為AD=BC=a,寬為AB=CD=b,

折疊后矩形的長(zhǎng)為6,寬為;〃，

I

根據(jù)題意可得，）工,

ab

./_1

??/一屋

解得，2=也，

a2

故答案為：變.

2

2.（2025?上海寶山?一模）一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)?,0）,則稱/的值是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.例如：二次

函數(shù)＞=4(%-3乂X+2)("0),無論4取何值(3,0)和點(diǎn)(-2,0),所以3和-2是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.如果一

個(gè)二次函數(shù)有且只有一個(gè)“零點(diǎn)”-1,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是.(寫出一個(gè)符合要求的

函數(shù)解析式即可)

【答案】y=(x+l)2,答案不唯一

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.根據(jù)“零點(diǎn)”的定義可知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)

(-1,0),據(jù)此寫出一個(gè)函數(shù)的解析式即可.

【詳解】解：???一個(gè)二次函數(shù)有且只有一個(gè)“零點(diǎn)”-1,

.??這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y=(x+l)2,答案不唯一.

故答案為：y=(x+l)2,答案不唯一.

3.(2025?上海金山?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線乙：y=aY+bx+c(其中b、c是常數(shù),

且"0),以原點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)180。得拋物線%則稱4是乙的“中心對(duì)稱拋物線”.已知拋物線為=/-3彳-4,

將拋物線％向左平移”個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B.將拋物線為的“中心對(duì)稱拋物線”

上向右也平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為C、D.當(dāng)線段BC是線段48、8。的比例中

項(xiàng)時(shí)，”的值為.

［答案］21±5^

4

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移、比例的性質(zhì)

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的變換，比例的性質(zhì)，根據(jù)題意，求出C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出A3,

BD,3C的長(zhǎng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，得至=列出方程進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解:?.-y1=x-3x-4,

.??當(dāng)/=——3%-4=0時(shí)，解得：玉=4,%=-1,

???拋物線％=/-3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,0),(-1,0),

???當(dāng)拋物線必向左平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度后，新的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(4-n,0),(-l-n,0),即:

拋物線外的“中心對(duì)稱拋物線”％與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（TO）,（1,o）,

「必向右也平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，

???平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（T+",0）,D（l+”,0）,

AB=4-n+l+n=5,BC=4-7z+4-M=|8-2n|,BD=4-n-l-n=\3-2r^,

???線段BC是線段A3、BD的比例中項(xiàng)，

???BC2=ABBD,

.??（8-2〃）2=5|3-2小

解得：w=21+5A/5.

4

故答案為：〃=21±5>.

4

4.（2025?上海嘉定?一模）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)分別是兩腰的黃金分割點(diǎn)時(shí)，我

們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=6,BC=10,點(diǎn)E、/分

別在邊A3、CD±.（AE>BE）,如果所是梯形ABCD的“黃金分割線"，那么所=.

BC

【答案】2君+4

【知識(shí)點(diǎn)】黃金分割、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解

【分析】本題考查黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作AG〃CD交所于點(diǎn)證明

FHAF

AAEHSAABG,得到等=嚷，求出E"的長(zhǎng)，利用&7+FH求出所的長(zhǎng)即可.

BGAB

【詳解】解：過點(diǎn)A作AG〃CD交跖于點(diǎn)H,

???EF是梯形ABCD的“黃金分割線”,

AE_#-I

AD//BC//EF,

AB

四邊形ADFH,ADCG均為平行四邊形,

.-.HF=CG=AD=6,

:.BG=BC-CG=4,

■：AG//CD,

：.AAEH^AABG,

.EH_AE_>/5-l

2

??-￡//=275-2,

■.EF=EH+HF=2y/5+4；

故答案為：2店+4.

5.（2025?上海虹口?一模）過三角形的重心作一條直線與這個(gè)三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角

形相似，那么我們把這條直線叫做這個(gè)三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點(diǎn)之間的線段叫做這個(gè)三角

4

形的“重似線段”.如圖，在VABC中，AB=10,tanB=-,tanC=2,點(diǎn)、D、E分別在邊AB、AC上，如

果線段OE是VABC的“重似線段”，那么DE=.

【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】如圖，作AG_LBC于G,求解AG=8,BG=6,CG=4,3G=6+4=10,AC=A/82+42=4A/5-

作VA3c的中線AF,。為VABC的重心，線段。E是VA3C的“重似線段”，分兩種情況：當(dāng)AADEsAABC

時(shí)，當(dāng)△AD'E'SAACB時(shí)，過B作交AC于再進(jìn)一步求解即可.

4

【詳解】解：如圖，作AGL5C于G,AB=10,tanB=-,tanC=2,

AG4AGc

?,*=,=2,

BG3CG

AG=8,BG=6,CG=4,

BG=6+4=10,AC=/8。+4==4y[5，

作VABC的中線AF,。為VABC的重心,

,AQ_2

??—―，

AF3

???線段DE是VABC的“重似線段”,

???當(dāng)△ADE1coAABC時(shí)，

ADDE

???AADE=，---=~~~，

ABBC

.-.DE//BC,

ADAQ2

??瓦一瓦—"

ADDE2

??而一而-3’

DE=—,AD=—,

：.ZAE'D'=ZABC,ZAD'E=Z,C,—=—=

ABACBC

■.BA=BC=10,

■■.ZC=ZBAC,AH=CH=2s/5,

：.ABAC=AAD'E',8〃=加一（2肩=4小,。在3H上,

■■.AE'^iyE,

..BQ2

.成一

；3=竽

4

???tanZAE'D'=tanZABC=-,

3

口則=有,

E'H-3

D'E'=AE'=AH+HE'=26+石=36.

on

綜上：DE=，或3非;

故答案為：與■或3?；

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)分朝折冏效

6.（2025?上海金山?一模）在矩形A3CD中，AB=5,3c=13,點(diǎn)E在邊DC上，將矩形ABCD沿AE翻折，

點(diǎn)。恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處，那么EC的長(zhǎng)為.

12

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理.

先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AO=3C=5,AS=CD=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=A￡>=5,訪=DE,在RMABF

中，利用勾股定理計(jì)算出斯=12,則Cb=l,設(shè)CE=x,則DE=EF=5—x,然后在RbECF中根據(jù)勾股

定理得到f+儼=（5-尤『，解方程即可得到無即可求解.

.■.AD=BC^13,AB=CD^5,

?.?矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在BC邊上的尸處,

AF=AD=13,EF=DE,

22

在RtAABF中，■:BF=VAF-AB=12>

■■.CF=BC-BF=13-12=1,

設(shè)CE=x,貝！|￡>E=￡F=5—x

在Rt^ECF中，CE2+FC2=EF2,

■.x2+l2=（5—尤）二

12

解得X=

12

故答案為二.

7.（2025?上海黃浦?一模）將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對(duì)角線AC折疊，得到折痕AC；②

折疊紙片使邊CD落在折痕AC上，點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，得到折痕CM；③過點(diǎn)"折疊紙片，使點(diǎn)。、C分別

落在邊AD、BC±,展開得到折痕MN.如果矩形MDCN是一個(gè)黃金矩形，其中絲=或二1,那么這張

CD2

矩形紙片的兩條鄰邊AB:BC=.

【答案】1:2

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、黃金分割

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)"N與AC交于點(diǎn)H,

由矩形的性質(zhì)可得/MNC=90。，MN//DC,MD=NC,MN=DC,則=由折疊性質(zhì)可

知：ZMCD=ZMCP,ZNMC=AMCP,故MH=CH,設(shè)M￡）=（逐一1*,CD=2k,MH=CH=x,根

據(jù)勾股定理求出苫=丘叵4，則NH=叵口々，再證明ACBASAQVH,最后由相似三角形的性質(zhì)即可求解，

22

掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，設(shè)與AC交于點(diǎn)打，

M

D

?.?矩形MDCN是一個(gè)黃金矩形，

；.NMNC=90°,MN//DC,MD=NC,MN=DC,

：.ZMCD=ZNMC,

由折疊性質(zhì)可知：ZMCD=ZMCP,

：.ZNMC=ZMCP,

：.MH=CH,

..MD75-1

,:---=-----,

CD2

...設(shè)=CD=2k,MH=CH=x,

；.MD=NC=（非fk,MN=CD=2k,

,■，NH=MN-MH=2k-x,

在RtANHC中，由勾股定理得：NH2+NC2=CH2,

.?.（2Z:-x）2+[（^-l）?t]2=x2,解得：x=^^-k,

-_j5—^/5,y/s—1

NH=2k---------k=-------k7,

22

???MN//DC,

???^CBA^ACNH,

.T/c

,AB_NH_2_1,

:.AB:BC=1:2,

故答案為：1:2.

8.（2025?上海虹口?一模）如圖，在RtZ\ABC中，NA5c=90。，AC=5,tanC=2,。是AC上的動(dòng)點(diǎn),

將△放?沿翻折，如果點(diǎn)C落到內(nèi)（不包括邊），那么CO的取值范圍是.

A

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理與折疊問題、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，先解直角

三角形得到他=23C,再利用勾股定理求出=H；設(shè)點(diǎn)C折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,再分點(diǎn)E恰好在AC上

和點(diǎn)E恰好在上兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的CO的長(zhǎng)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???在RtZ\A5c中，/ABC=90。，tanC=2,

ABc

----=2,

BC

:.AB=2BC,

在RtZXABC中，由勾股定理得W2+502=4。2,

.-.（2BC）2+BC2=52,

BC=y/5,

設(shè)點(diǎn)c折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，

由折疊的性質(zhì)可得ZBDC=ZBDE=90°,則同理可得CD=1；

A

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E恰好在A3上時(shí)，過點(diǎn)。作小，3C于尸,

A

l，1!1\

BFC

由折疊的性質(zhì)可得NEBO=ZCBD=:/ABC=45°,

???DFtBC,

??.V5D廠是等腰直角三角形，

；.BF=DF,

DF

???在RtZXCD尸中，tanC=—=2,

??.BF=DF=2CF,

???BC=BF+CF=3CF=百，

,CD=^CF2+DF2=45CF=-

3

???當(dāng)點(diǎn)。落到△AB￡>內(nèi)（不包括邊）時(shí)，1<CD<1,

故答案為：

9.（2025?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,3C=6.點(diǎn)E在邊AD上，連接BE,AABE

沿著8E翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P,連接ED.如果那么點(diǎn)F到CO的距離為.

【答案】|5|4

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意畫出圖

形，根據(jù)AD〃3C,AG=FG,得出=再通過相等的角的三角函數(shù)值相等，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作叮，CD于點(diǎn)P,

???四邊形A3CD是矩形,

:.AD//BC,AD=BC=6,

?.?AG=FG,

AE=DE=-AD=3,

2

,BE:ylAE2+AB2=5，

??FD〃BE,

:.ZAFD=ZAGE=90°,

ZDAF=ZABE=ZCDH,

DFAF3

sinZDAF=—=sinZABE=——=-,

ADBE5

/.DF=6x-=—,

55

FP3

■.■sinZCDH=——=-,

DF5

10.（2025?上海青浦?一模）梯形ABCD中，已知AT>〃3C,AB=CD,AD<BC,AD:DC=2:3.將梯形沿

過點(diǎn)。的直線折疊，點(diǎn)C落在A2上，記作點(diǎn)E,折痕與底邊的交點(diǎn)記作點(diǎn)如果。尸〃那么

AE:EB=.

【答案】5:4

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、折疊問題、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解、根據(jù)等角對(duì)等

邊求邊長(zhǎng)

【分析】延長(zhǎng)FE,D4交于G,設(shè)位>=2m，則CD=AB=3〃z,由AD〃3C,DF//AB,知四邊形ABFD

是平行四邊形，有。尸=AB=3根，BF=AD=2m,ZB=Z4DR,根據(jù)將梯形沿過點(diǎn)。的直線折疊，點(diǎn)C落

在A3上，記作點(diǎn)E,可得NCFD=NEFD,EF=CF,DE=CD=3m,故ZDEF=NEFD,求出￡F=BP=2〃7,

2桃Ap1GF2Sm5

證明△。回G,可得二=丑,GF=4.5m,從而GE=GF—EF=4.5m—2m=2.5m,艮口可得把=4=衛(wèi)=2.

3mGFBEEF2m4

【詳解】解：延長(zhǎng)用，DA交于G,如圖：

設(shè)AD=2加，則CD=AB=3機(jī)，

■.AD//BC,DF//AB,

四邊形AB/刃是平行四邊形，

/.DF=AB=3nl,BF=AD=2m,/R=/ADF,

,?,將梯形沿過點(diǎn)。的直線折疊，點(diǎn)C落在A3上，記作點(diǎn)E,

:.NCFD=ZEFD,EF=CF,DE=CD=3m,

DE=DF=3m,

:.NDEF=NEFD,

\-DF//AB,

:./CFD=/B,ZEFD=ZBEF,

:.ZB=ZBEF,

EF=BF=2m,

\ZB=ZCFD=ZEFD=ZDEF,ZB=ZADF,

:.ZADF=ZDEF,

?：ZEFD=ZDFG,

^EFD^^DFG,

EFDF2m3m

——=——,即nn——=——,

DFGF3mGF

..GF=4.5m,

:.GE=GF—EF=4.5m—2m=2.5m,

??,GA//BF,

.AEGE_2.5m_5

一~^E~~EF~2m~4；

..AE:EB=5:4.

故答案為：5:4.

【點(diǎn)睛】本題考查梯形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形判定與性質(zhì)及等腰三角

形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

4

11.（2025?上海松江?一模）如圖，在VA3c中，ZC=90°,tanB=-,E是邊AB上一點(diǎn)，將△口“沿直線

AF

CE翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',如果那么）的值為-

Q9

【答案】]或（

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、折疊問題、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算與運(yùn)用，折疊的性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，掌握相似三角形

的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4

根據(jù)tanB=（，設(shè)AC=4x,3C=5x,運(yùn)用勾股定理可得AB=同心分類討論：如圖所示，將ABCE沿直

線CE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，AB'\\BC,設(shè)AB,C3'交于點(diǎn)運(yùn)用勾股定理可得鉆'=3%,由平行可

證AASRSABCF,可得解得BN=良，再證ABEFSA?，，可得QE_刀即可求解；

88次=工

將ABCE沿直線CE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，||8C,延長(zhǎng)B'A,CE交于點(diǎn)G,運(yùn)用勾股定理可得AB'=3x,

ApAG2x2

由折疊與平行的性質(zhì)可得3C=?C=?G,則AG=2無，再證△AGES&CE,得至！|子====-==即可

BBEBC5x5

求解.

4

【詳解】解：在VABC中，NC=90。，tanB=-,

nAC4

tanB=-----=—,

BC5

設(shè)AC=4x,BC=5x,

AB=y]AC2+BC2=J（4X『+（5X）2=屈x,

如圖所示，將ABCE沿直線CE翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，AB'\\BC,設(shè)AB,C2'交于點(diǎn)P,

AB'

BC=BfC=5x,ZBfAC=ZACB=90°,

在中，AB^y/^C）*2-*AC2=^（5X）2-（4X）2=3X,

r

vAB\\BCf

???AAB，F(xiàn)S@CF,

ABfAFBrF3

'BC-BF-CF-5?

-CF+B,F=CB,=5x,

??.CF=5x—B'F,

B'F3

"5x-BfF~59

15Y

解得，B，F(xiàn)=等,

o

同理，AF+BF=AB=441X^

???BF=y/4Ix-AF，

AF_3

V41X-AF-

解得，A/=

8

折疊，

ZCBE=ZCB'E,BE=B'E

■：AB'\\BC,

.-.ZCBA=ZB'AB,

：.ZEB'F=NEAB',且也叩=NA￡B',

AAB'EF^^AEB',

15x

B'EB'F

gpB'Ev

~AEAB78EB'=

AE3x

B'F5

整理得‘至二,

.?BEuBE,

AE8

BE5

f

如圖所示，將沿直線C￡翻折，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，AB\\BCf延長(zhǎng)？AC石交于點(diǎn)G,

???BrG\\BC,

??.NG=/BCG,ZBfAC=ZACB=90°,

,?,折疊，

ZBCG=ZBfCG,BC=B'C=5x,

../G=/B'CG,

??.B,C=B,G=5x,

在R^ACB'中，AE=-AC?=-（4I『=3九,

AG=B'G-AB'=5x-3%=2x,

VAG\\BC,

MAGESABCE,

AE_AG_2x_2

*BE-BC-5x-5；

AoO

綜上所述，矢的值為g或:，

EB55

QO

故答案為：K.

12.（2025?上海普陀?一模）VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。在邊BC上，CD=2,如圖所

示.點(diǎn)E在邊A3上，將V3OE沿著。E翻折得△B75E,其中點(diǎn)2與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，夕E交邊AC于點(diǎn)G,B'D

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如果△88G是等腰三角形，那么BE=.

【知識(shí)點(diǎn)】與圖形有關(guān)的問題（一元二次方程的應(yīng)用）、用勾股定理解三角形、折疊問題、相似三角形的判定

與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用、等腰三角

形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先畫出圖形，過點(diǎn)H作HFLB'E于點(diǎn)F,

確定如果△B'HG是等腰三角形，則只能是=設(shè)？￡=鹿=尤（0＜尤＜10）,則AE=10-x,再證出

50—5九40-4X

AAEG^AACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=1—,EG=1—,然后證出△印3△AEG,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得HG=更三出，從而可得的長(zhǎng)，最后在中，利用勾股定理求

24

解即可得.

【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：過點(diǎn)H作于點(diǎn)尸，

■.■ZACB=90°,

:.NDCH=90。,

???8E交邊AC于點(diǎn)G,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

ZB'HG=ZDCH+ZCDH=90°+ZCDH>90°,

如果△9HG是等腰三角形，則只能是NB'HG為頂角，B'H=GH,

：.ZB'=ZB'GH,

由對(duì)頂角相等得：ZAGE^ZB'GH,

；.ZAGE=NB',

由折疊的性質(zhì)得：/B=NB'，

.-.ZAGE=ZB,

?.?在VA3c中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD=2,

.??ZA+/3=90°,AB=y/AC2+BC2=10-BD=BC-CD=6,

ZA+ZAGE=90°,

.*.ZAEG=90°,即

由折疊的性質(zhì)得：HE=BE,B'D=BD=6,

設(shè)？￡=B￡=x（0vxvl0）,貝！JAE=AB-跖=10-%,

在△AEG和/XACB中，

ZAEG=ZACB=90°

ZA=ZA

??.AAEG^AACB,

AGEGAEAGEG10—x

——=——,即nn——=——

~ABBCAC1086

50-5x40-4x

解得AG=,EG=

33

SY-327Y-40

：.CG=AC-AG=^^,B'G=B'E-EG=,

33

VB,H=GH,HFIB'E,

7x-40

；.FG=LB，G=

26

又HFIB'E,

??AB〃HF,

:.^HFGs9

7x-40

,HG=FGHG

"AG~EG'50-5x~40-4x

35x—200

解得HG=

24

344-35r56-5X

HD=B'D-B'H=B'D-HG=,CH=HG-CG=^^,

2424

121234435

在RtZ\C￡>〃中，CH+CD=HD,即僅9二盤］+2=f~^

I24）I24.

解得x=?或》=三>10（不符合題意，舍去），

42

即5E=g,

42

故答案為：—.

13.（2025?上海崇明?一模）四邊形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,4）=8,將AB

沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，點(diǎn)5的對(duì)稱點(diǎn)落在四邊形A3CD的對(duì)角線上，折痕交邊5C于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸不與點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查的折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)？落在對(duì)角線AC

上和落在對(duì)角線80上兩種情況，分別畫出圖形解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)？落在對(duì)角線AC上時(shí)，

由折疊可得，AB'=AB=5,PB'=PB,ZAB'P=ZABP=90°,

.?.NCB'P=90。，

■■ZABC=9Q°,AB=5,3c=12,

???AC=\lAB2+BC2=V52+122=13，

.-.B'C=AC-AB'=13-5=8,

設(shè)PB，=PB=x,則尸C=12—x,

PB'2+B'C2=PC2,

.-.X2+82=(12-X)2,

解得x=g,

如圖，當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)？落在對(duì)角線上時(shí)，設(shè)AP與3。相交于點(diǎn)G,

由折疊可得，AP±BD,

.-.ZAGB=ZBGP=90°,

-AD//BC,NABC=90。，

???/BAD=180?！猌ABC=180°-90°=90°,

??BD==V52+82=，

VS=-BDAG=-ABAD，

△ABBDD22

—xxAG=—x5x8,

22

vZBAG+ZABG=90°,NR5G+NABG=90。,

；?NPBG=/BAG,

又???ZBGP=ZAGB=90°,

*'?4BGPs&AGB,

BP_BG

'AB-AG?

25屈

即叫

540輛

89

綜上，PC長(zhǎng)為q■或不，

38

2671

故答案為,f：或r丁.

3o

14.(2025?上海楊浦?一模)已知矩形ABCD(AD>AB),點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，將沿8E翻折，點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上，那么tan/FBC=.

【答案】顯△正

44

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題、求角的正切值

【分析】延長(zhǎng)即交C。于點(diǎn)G,連接EG,由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AB//CD,

ZBAE=ZBCD=ZD=90°,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得=由折疊的性質(zhì)可得AE=￡E,

AB=FB,ZBAE=ZBFE=90°,由等邊對(duì)等角可得=利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得

ZEFG=180°-ZBFE=90°,由對(duì)頂角相等可得=,進(jìn)而可得NGB=NCFG,由等角對(duì)等

邊可得FG=CG,由點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)可得?!￡1=/）￡■,進(jìn)而可得DE=FE,利用HL可證得

RbEFG當(dāng)RtAEDG,于是可得FG=￡>G,進(jìn)而可得DG=CG,則CG=LCD=LAB,FG=-AB,即

—^―222

AB=2FG,BF=2FG,BG=3FG=3CG,利用勾股定理可得BC=JBG^—CG?=20CG，然后根據(jù)

tan/FBC=空即可得出答案.

BC

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)所交8于點(diǎn)G,連接EG,

四邊形ABC。是矩形,

:.AB=CD,AB//CD,NBAE=ZBCD=ND=90°,

:.ZBAF=ZGCF9

???將石沿跖翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)尸處，

:.AE=FE,AB=FB,NBAE=NBFE=9伊,

.\ZBAF=ZAFBf

ZBFE+ZEFG=180。，

ZEFG=180?！猌BFE=90°,

又?.,ZAFB=NCFG,

:./GCF=/CFG,

:.FG=CG,

?：ZEFG=9Q°,

..ZEFG=ZD=90°,

,?,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn),

/.AE=DE,

:.DE=FE,

又?:EG=EG,

RtAEFG^RtA￡DG（HL）,

:.FG=DG,

:.DG=CG,

.\CG=-CD=-AB,

22

:.FG=-AB

2f

:.AB=2FG,

，BF=2FG,

?.BG=3FG=3CG,

BC=A/BG2-CG2=^（3CG）2-CG2=2卮G,

.」an"C=^=n=3=",

BC2V2CG2V24

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，矩形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，折疊的性質(zhì)，等邊對(duì)等角,

利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，對(duì)頂角相等，等角對(duì)等邊，線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，線

段的和與差，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

?考點(diǎn)后於稔冏泉

15.（2025?上海閔行?一模）在等腰VABC中，AB=AC,是邊BC上的高，將線段AD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E,即與邊A3交于點(diǎn)F,且大;=[,如果AAFE與ADFB相似，那么~的值為

DF2AB

【答案】叵

4

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，^AFE^DBF,設(shè)M=根據(jù)相似求出加可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得：只能AAEES