第五章一元一次方程（題型清單）

01思維導圖

等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等

一

如果a=b?那么a±b=b±c°

元

式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍然相等。

一如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（cwO）,那么⑥=（1）

次

方合并同類項）

程解一元一次方程合并同類項與移項

W]|把等式一邊的某項變號后移到另一近

解一元一次方程（二）--去括號與去分母

實際問題與一元一次方程

02知識速記

知識點1一元一次方程

1.概念：只含一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程;

標準式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a>b是已知數(shù)，且aWO）；

2.方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值

知識點2等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等;

如果a=b,那么a土c=b土c;

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等;

如果a=b,那么ac二be;如果a=b,cwO,那么@；

知識點3：含參一元一次方程

1

1、次數(shù)含參：主要考察一元一次方程定義

2、常數(shù)項含參：求解一個常數(shù)項含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題

3、解已知或可求：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)

知識點4：解一元一次方程

解一元一次方程的步驟：

L去分母

兩邊同乘最簡公分母

2.去括號

(1)先去小括號，再去中括號，最后去大括號

(2)乘法分配律應滿足分配到每一項

注意：特別是去掉括號，符合變化

3.移項

(1)定義：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊；

(2)注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數(shù)的項移到左邊，其余項移到右邊.

4.合并同類項

(1)定義：把方程中的同類項分別合并，化成“ax=b”的形式(awO)；

(2)注意：合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母不變.

5.系數(shù)化為1

(1)定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得x=-；

a

(2)注意：分子、分母不能顛倒

知識點5：一元一次方程的實際應用

審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關系

設:設未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關系、相等關

系、倍數(shù)關系以及若干倍多或少個數(shù)字列方程

解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關數(shù)量的值驗:檢驗所求的解是否符合題意，

是否符合實際意義。

03題型歸納

題型----元一次方程的定義

2

例題：下列方程中是一元一次方程的是（）

A.2%=3yB.x=9

C.x2+|（x-1）=1D.2=x

例題：已知方程（k-l）x四+1=0是關于工的一元一次方程，則方程的解等于（）

A.1B.0C.-1D.-

2

鞏固訓練

1.下列方程是一元一次方程的是（）

A.3%—5y=2B.

,333

r7

C.2x2+9%=0D.7x-2=-

X

2.把方程含=1.5的分母化為整數(shù)，可得方程（）

A.-=1,5B.-=15C.—=1.5D.-=15

7777

3.已知關于x的方程（3。+1）/一q%+4=0是一元一次方程，則〃的值為（）

A.0B.-C.1D.--

33

4.已知（a-l）x|a|+3=10是關于％的一元一次方程，貝la的值為.

題型二等式的性質(zhì)

例題：運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（）

A.若ac=be,則a=bB.若巴=%則a=b

cc

C.若2a—b=4,貝Ub=4—2aD.若一1%=6,則％=2

鞏固訓練

1.已知等式。=力，下列變形不正確的是（）

A.3a-2=3b—2B.-3a=-3bC.—=—D.a+1=b-1

55

2.在物理學中，導體中的電流/跟導體兩端的電壓U、導體的電阻R之間有以下關系：1=\去分母得

R

IR=U,那么其變形的依據(jù)是（）

A.等式的基本性質(zhì)1B.等式的基本性質(zhì)2

C.分數(shù)的基本性質(zhì)D.去括號法則

3.如圖，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放（）個。.

3

\A^\A/\p/\A^\C/\rp/\nA/\?/

△△△

A.1B.2C.3D.4

4.將方程3%+y=6寫成用含式的代數(shù)式表示y為（）

A.y=6—3xB.y=3x—6C.T-2D-久=2*

題型三一元一次方程的解

例題：已知％=2是關于％的一元一次方程2%+m-4=0的解,則7H的值為（）

A.0B.2C.D.1

鞏固訓練

1.下列方程中，解是x=T的是（）

1.31,Y3

A.-2x=4B.12%—3=-1C.——X—1=——D.——X+1=-

2424

2.整式nix-的值隨久取值的變化而變化，下表是當x取不同值時對應的整式的值：則關于x的方程-7nx+

n=8的解為.

X-10123

mx—n-8一4048

3.若x=2是方程8—3x=a久的解，則口=

4.若x=0.5是關于x的方程2a比一36-5=0的解，則代數(shù)式3a-9b-10=

題型四解一元一次方程

例題：解下列方程:

(1)3%=2%+1；(2)3%+2=4(2x+3)；

23x4-1。,0.2—xy.1—3%

(3)--------------=Z；(4)---------1.5=------

一34'70.32.5

鞏固訓練

1.下列各題正確的是（）

A.由7x=4%-3移項得7x-4x=3

B.由與二=1+辭去分母得2(2%—1)=1+3(%—3)

4

C.由2(2久-1)-3(%-3)=1去括號得4x-2-3%-9=1

D.由2(x+l)=x+7去括號、移項、合并同類項得x=5

2.將3(x-1)-2(x-3)=5(1-%)去括號得()

A.3K—1—2.x—3=5—xB.3x—1—2,x+3=5—x

C.3%―3—2%—6—5-5%D.3%—3—2%+6=5—5久

3.解方程：

(1)5%+2=-8；(2)3%-4(2%+5)=%+4；

/八%

x-1x+2_4-x⑷的—2一x涓+1

(3)36~21.

4.解下列方程

(1)3%-4=29(2)3%-2=-5(%+2)

3X-2

(3)4x-3(20-x)+4=0(/八4X)+=1=

2

5.解方程：

XY2x4-1

(l)5(y+6)=9-3(1-3y)⑵言--=1-----

24

6.解方程：

.2%-1《xx+3

(1)4-3(比-1)=9—x；Z(2)x-----1=------

-364

5

題型五同解方程

例題：已知方程2x=l-2（2x—3）的解和關于英的方程8—k=2（x+|）的解相同，求k的值.

鞏固訓練

1.若關于x的方程2光+3爪一1=0和方程5—30+1）=2同解，則爪的值等于.

2.若關于x的方程2x+3m-1=0和方程5-3（久-?1）=2同解，則的值等于.

3.關于x的方程6x+7=19與3久=18—3m的解相同，則機等于（）

A.-4B.-2C.-1D.4

題型六一元一次方程之利潤問題

例題：某超市為了吸引消費者，將甲種商品降價30%,乙種商品降價20%開展優(yōu)惠促銷活動，已知甲、

乙兩種商品的原銷售單價之和為2000元，某顧客參加活動購買甲、乙兩種商品各一件，共付1520元.

（1）甲、乙兩種商品的原銷售單價各是多少元？

（2）若在這次促銷活動中乙種商品仍可獲利20%,求乙種商品每件的進價是多少？

鞏固訓練

1.商店里把一件上衣按進價加20%作為定價，可總賣不出去，后來又按定價降價20%,以192元出售.賣

出后，這次生意盈虧為（）

A.虧48元B.虧8元C.不虧也不賺D.虧12元

2.某商店一件衣服標價280元，以七五折售出可獲利25%,則這件衣服的進價是元.

3.列一元一次方程解實際問題:重慶某水果超市銷售沃柑和紐荷爾兩種柑橘類水果,該超市第一次用6300

元購進沃柑和紐荷爾兩種水果，其中紐荷爾的件數(shù)比沃柑件數(shù)的一半還多25件.沃柑和紐荷爾兩種水

果的進價和售價如下表：

類別沃柑紐荷爾

6

進價（元/件）2230

售價（元/件）2940

（1）該超市購進沃柑和紐荷爾兩種水果各多少件？當這次購進的水果全部銷售后，共獲利多少元?

（2）該超市第二次購進沃柑和紐荷爾兩種水果的進價與第一次相同，其中沃柑的件數(shù)不變，紐荷爾的件數(shù)

是第一次的3倍，沃柑按原價銷售，紐荷爾打折銷售，第二次購進的兩種水果都銷售完所獲得的總利潤

比第一次獲得的總利潤多800元，求第二次紐荷爾是按原價打幾折銷售.

4.商品甲的成本是定價的80%；商品乙的定價是275元，成本是220元.現(xiàn)在商店把1件商品甲與2件

商品乙配套出售，并且按它們的定價之和的90%定價出售.這樣每套可獲得利潤80元.問商品甲的成

本是多少元？

5.近年來，隨著人們對健康生活的追求，體育健身越來越受到人們的喜愛和追捧，某體育器材專賣店的4、

B兩款體育器材非常暢銷，進貨價和銷售價如下表：

a款器材B款器材

進貨價/（元/個）4030

銷售價/（元/個）5645

（1）該專賣店用1100元購進了4,B兩款器材共30個，求兩款器材分別購進多少個？

（2）該專賣店進貨時，A款器材的進貨量是B款器材的一半，將進貨的體育器材全部售出，共獲利潤1380

元.求兩款器材分別購進多少個？

題型七一元一次方程之工程問題

例題：列一元一次方程解應用題

新蒲新區(qū)某校舉辦體育文化藝術節(jié)，七（2）班為了宣傳班上開展的活動，由甲、乙兩位同學制作宣傳

展板.已知甲同學單獨完成需要4天，乙同學單獨完成需要6天.

7

(1)甲、乙合作需要_____天完成；

(2)若由乙同學先做1天，再由甲、乙兩位同學合作完成.問還需幾天可以完成展板的制作？

鞏固訓練

1.完成某項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需8天完成.現(xiàn)在甲先做了3天，乙再參加合做，求完

成這項工程甲、乙合做了多少天.若設完成此項工程甲、乙合做了久天，則下列方程中正確的是()

A.—+-=1B.—+—=1

128128

C.-+-=1D.三+二+二=1

12812128

2.一項工程，由甲、乙兩個工程隊合作完成.已知甲工程隊單獨完成需要4天，乙工程隊單獨完成需要

6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若先由乙工程隊單獨做1天，再由甲、乙兩隊合作完成.問還需幾天可以完成這項工程？

3.哈佳高鐵建設工程中，有一路段由甲、乙兩個工程隊負責完成.甲工程隊單獨完成此項工程需60天,

比乙工程隊單獨完成此項工程多用30天，若甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程.

(1)甲、乙還需要合作多少天完成？

(2)如果甲工程隊每天需工程費500元，乙工程隊每天需工程費700元，若甲隊先單獨工作若干天再由乙

工程隊完成剩余的任務，支付工程隊總費用24000元，求甲隊工作的天數(shù).

4.勞動教育課程已經(jīng)成為中小學生的必修課，被納入人才培養(yǎng)的全過程.云南某中學整理學生的勞技作

品，由一名老師整理要45h完成.現(xiàn)計劃由一部分老師先做lh,然后再增加3名老師與他們一起做5h,

可完成這項整理工作.假設每位老師的工作效率相同，應先安排多少名老師整理？

題型八一元一次方程之行程問題

例題：周末，小明和爸爸在3000m的環(huán)形綠道上騎車鍛煉，他們在同一地點沿著同一方向同時出發(fā)，騎

行結(jié)束后兩人有如圖所示的對話.

8

爸爸，你要10分鐘

才能第一次追上我.

飛7不過我騎完一圈

時你才騎了半圈.

⑴請根據(jù)他們的對話內(nèi)容，求出小明的騎行速度；

(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分鐘，小明和爸爸在跑道上相距1000m?

鞏固訓練

1.如圖，沿著邊長為90米的正方形，按ATB—……方向，甲從力以63米/分的速度，乙從B

以72米/分的速度同時行走，當乙第一次追上甲時是在正方形的某個頂點處，則這個頂點是()

A.頂點AB.頂點8C.頂點CD.頂點。

2.輪船往返A、B兩港之間，逆水航行需要3小時，順水航行需要2小時，水流速度為3千米/時，則船

在靜水中的速度是千米/時.

3.A、B兩地相距64千米，甲從A地出發(fā)，每小時行14千米，乙從B地出發(fā)，每小時行18千米.若兩

人同時出發(fā)相向而行，則需幾小時兩人相距16千米？

4.一群驢友排成一列在野外旅游，隊長在隊伍中，數(shù)了一下他前后的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)前面的人數(shù)是后面的兩

倍，他往前超了7位驢友，發(fā)現(xiàn)前面的人數(shù)和后面的人數(shù)一樣.

(1)這群驢友一共有多少人？

9

(2)這群驢友要過一座320米長的獨木橋，為安全起見，相鄰兩個驢友間保持固定的距離，行走速度為5

米/分，從第一位驢友剛上橋到全體通過獨木橋用了106分鐘時間，請問相鄰兩位驢友間的距離是多少

米？

5.一只救生船從港口開到出事地點要行840千米，船速每小時20千米，船上一架直升飛機，每小時可

飛行220千米，中途飛機起飛，提前到出事地點，這樣從船離港到飛機到達出事地點一共用了10小

時，飛機在船離港后多長時間起飛？

題型九一元一次方程之方案設計問題

例題：當今社會，隨著生活水平的提高，人們越來越重視自己的身心健康，開始注重鍛煉身體.某公司

計劃購買50個羽毛球拍和久個羽毛球，某體育用品商店每個羽毛球拍定價80元，每個羽毛球定價5元，

經(jīng)協(xié)商擬定了如下兩種優(yōu)惠方案(兩種優(yōu)惠方案不可混用)：

方案一：每買一個羽毛球拍就贈送2個羽毛球；

方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定價的90%付款.

⑴若x=100,請計算哪種方案劃算；

(2)若久＞100,請用含乂的代數(shù)式分別把兩種方案的費用表示出來；

(3)請你幫助公司寫出x取值不同時的所有劃算的購買方案.

鞏固訓練

1.某數(shù)學興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，房

客共六三，大比小多二一.后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人.

(1)求該房客大人，小孩各有多少人？

10

（2）假設店主李三公推出兩種訂房方案：

方案一：房客超過40人，超過的按原價八折優(yōu)惠，

方案二：大人原價，小孩半價.

若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇哪種方案訂房更合算？

2.甲地欲往外地運輸一批水果，有火車和汽車兩種運輸方式，運輸過程中的損耗均為200元/時，其它主

要參考數(shù)據(jù)如下：

運輸工具途中平均速度（千米/時）運費（元/千米）裝卸費（元）

火車100152000

汽車8020900

（1）如果運往乙地，汽車的費用比火車的費用多1100元，求甲、乙兩地間的路程；（費用包含損耗、運費

和裝卸費）

（2）如果運往丙地，已知甲、丙兩地間的路程為100千米，通過計算選擇哪種運輸方式比較合算.

3.2024年4月1日-15日，是第41屆中國洛陽牡丹文化節(jié)，某旅游酒店計劃印制一批彩色宣傳冊.現(xiàn)

有甲、乙兩個廣告公司提供印制業(yè)務.甲公司的收費方式為每套彩色宣傳冊按定價5元的九折收費，另

收取1500元的服務費；乙公司的收費方式為每套彩色宣傳冊按定價5元收費，1500元的服務費按六折

優(yōu)惠，且甲、乙兩個廣告公司都規(guī)定一次印制數(shù)量不少于1000冊.

（1）設共印制彩色宣傳冊式式21000）套.甲廣告公司收費一元乙廣告公司收費一元（用含”的式子表示）；

（2）該旅游酒店選用哪個廣告公司所需費用較少？請通過計算說明.

4.小王看到兩個商場的促銷信息如圖所示.

11

乙商場海報

1.購買不超過100元不給予憂惠.

2、的實付過門00元但又不如過

200元的.全部打9.5折.

3.購買超過200斤的.200元那

而分打9.2折，超過200元的

那部分打8折.

(1)當一次性購物標價總額是200元時，在甲、乙商場實際付款分別是多少元？

(2)當標價總額是多少元時，在甲、乙商場購物實際付款一樣多？

(3)小王兩次到乙商場分別購買標價98元和150元的商品，如果他想只去一次該商場購買這些商品，你

能幫他計算可以節(jié)省多少元嗎？

題型十一元一次方程之數(shù)軸動點問題

例題：如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6,8是數(shù)軸上在點A左側(cè)的一點，且A,8兩點間的距離為

10.動點尸從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t(t〉0)秒.

―，BQ一尸二

'10'6_

⑴數(shù)軸上點B表示的數(shù)是;

⑵動點。從點2出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P,。同時出發(fā).求：

①當點P運動多少秒時，點尸與點。相遇？

②當點P運動多少秒時，點尸與點。間的距離為8個單位長度？

鞏固訓練

12

1.如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為4,點8是數(shù)軸上在點A左側(cè)的一點，且4、8兩點間的距離為8,

動點尸從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動.

?QBO<-PA

IlI11A

(1)數(shù)軸上點8表示的數(shù)是」

(2)運動1秒時，點P表示的數(shù)是」

(3)動點。從點8出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、。同時出發(fā)，當

點P運動一秒時，點尸與點Q相遇.

2.【知識背景】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具,如圖①，若數(shù)軸上點4點3表示的數(shù)分別為。方(6>a),

則線段AB的長(點A到點B的距離)可表示為b-a.

AB

?i>iiiii[i1111111111A

ab-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

①②

【問題情境】數(shù)軸上三點A,B,C表示的數(shù)分別為a,b,c,其中A在原點左側(cè)，距原點4個單位，b

是最大的負整數(shù)，C在原點右側(cè)，且4c=9,如圖②，動點〃從A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

數(shù)軸向左勻速運動，與此同時，動點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度速度沿數(shù)軸向右勻速運動，一

只電子狗。從3出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設移動時間為/秒(t>0).

【問題探究】

(l)a-,b—,c-?

(2)在數(shù)軸上是否存在一點P,使得力P=2BP,若存在，求點P對應的數(shù)；若不存在，說明理由.

(3)如果在C處豎立一塊擋板，當電子狗。到達C時，被擋板彈回，以同樣的速度向相反的方向運動，

問：當f為何值時，電子狗。到M,N的距離相等？并求出此時電子狗Q的位置.

3.數(shù)軸上有A,B,C三點，給出如下定義：若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系,

則稱該點是其它兩個點的“關聯(lián)點”.

13

ABC

IiI1I1?

012345

(1)如圖，數(shù)軸上點A,B,C三點所表示的數(shù)分別為1,3,4,點8到點A的距離AB=_，點8到點C

的距離是一，因為AB是BC兩倍，所以稱點B是點A,C的“關聯(lián)點”.

(2)若點A表示數(shù)-2,點8表示數(shù)1,下列各數(shù)-1,2,4,6所對應的點分別是6,。2，。3(4,其中是點A,

B的“關聯(lián)點”的是」

(3)點A表示數(shù)-15,點8表示數(shù)為20,P數(shù)軸上一個動點.

①若點P在點B的左側(cè)，且點P是點A、B的“關聯(lián)點”，求此時點尸表示的數(shù)；

②若點P