安徽省蚌埠市2025屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集"={0』,2,3},集合3={0,1},則樂8=()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.“x>l”是“—>一，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=白，貝|z的共軌復(fù)數(shù)是（）

2-1

12121212

A.——+-iB.---------iC.-+-iD.------i

55555555

4.已知三棱錐夕-ABC的體積為1,VA5C是邊長為2的正三角形，且B4=2,則直線B4

與平面ABC所成角的正弦值為（）

B.f「V3

A-—2.-D.1

2

sin[x-]J=§,貝ljcosx=()

5.已知

A—^/3+2A/2RV3+2V2「1+276-1+2新

666-6~

6.已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S”,5“=%-2且4=1,則（

A.數(shù)列{4}是等比數(shù)列B.a2a4=afC.。4+%＜。5+。6

D.數(shù)列電}是等比數(shù)列

7.在四邊形A8CD中，2AB=3DC，AB=（1,72）,而=（也-1）,則該四邊形的面積為（）

l515

A.4B.2-\/2C.—D.

T

8.已知拋物線y?=2px（P>0）的焦點(diǎn)為E經(jīng)過點(diǎn)P的直線/與拋物線相交于點(diǎn)P,Q

（點(diǎn)尸在第一象限），若|PF|=2|QF|,則直線/的斜率為（）

A.1B.72C.拒D.272

二、多選題

9.進(jìn)入3月份后，受冷暖空氣的共同影響，我市氣溫起伏較大.現(xiàn)記錄了3月上旬(1日

-10日)我市的日最高氣溫如下(單位：。C)：24,23,3,4,7,12,12,16,15,19,則

下列說法正確的是()

A.3月上旬我市日最高氣溫的極差為20℃B.3月上旬我市日最高氣溫的平均數(shù)為

13.5℃

C.3日-10日我市日最高氣溫持續(xù)上升D.3月上旬我市日最高氣溫的60%分位數(shù)為

15.5℃

22

10.已知雙曲線C：上-上=1(m>0)的一條漸近線方程為尤-2y=0,點(diǎn)K，F(xiàn)?分別是

m2

c的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，4分別是c的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F?的直線/與c相交于P,Q點(diǎn)，

其中點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)，記直線PA的斜率為K，直線尸&的斜率為則()

A.雙曲線C的焦距為2而B.131—1尸6|=4&C.|尸。|>40

D.k'k?=~

11.已知函數(shù)/(x)=21其中。為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是()

[X-ax+l,x>0,

A.當(dāng)2時(shí)，/(x)有最小值

B.當(dāng)。<0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增

C.VaeR,7(元)的圖象上都存在關(guān)于了軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)

D.當(dāng)。=2時(shí)，記/(x)=f(/(x))T,若網(wǎng)幻有5個(gè)零點(diǎn)，貝

三、填空題

12

12.已知x>0,7>0,x+y=\,則—+一的最小值為____.

尤y

13.在VABC中，AB=6,AC=3,點(diǎn)。在上且CD=23D,則AD的取值范圍是.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)(o>0,0<^<1),若/,：[=1，/^=0,且在

區(qū)間上單調(diào)，貝'

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知橢圓C：m+2=1(°>6>0)的離心率為:，點(diǎn)尸3,，在橢圓C上.

ab，12/

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)。(0,6)的直線(非y軸)交橢圓于A,8兩點(diǎn)，以48為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,

求直線A2的方程.

16.已知函數(shù)/。)=111(以)+幺，其中a>0.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)的圖象在尤=1處的切線方程；

⑵若/>0)2In。恒成立，求。的取值范圍.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，AB=BC=CA=2,AD=CD=屈,

⑴求證：3￡>2平面夫4?；

(2)求平面的與平面PCD夾角的余弦值.

18.某市舉行中學(xué)生排球比賽，甲、乙兩所學(xué)校代表隊(duì)爭奪比賽的冠軍，比賽采用三局兩勝

制.根據(jù)以往對戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為0.6,0.4,且每局比賽的

結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲代表隊(duì)奪冠的概率；

(2)比賽開始前，工作人員采購了5個(gè)新球作為比賽用球放在袋子中,新球一經(jīng)使用就變成“舊

球”，“舊球”可繼續(xù)使用.每局比賽前，裁判員從袋中的5個(gè)球中隨機(jī)取出一個(gè)球用于比賽，

且局中不換球.每局比賽結(jié)束后，將本局使用的球放回袋中，與袋中原有的球混合.記甲、

乙兩校代表隊(duì)決出冠軍后，袋中新球數(shù)量為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.已知有窮數(shù)列A：%,a2,am(m>3,mcN),設(shè)S={x|x=%一生,1<i<jVm},

記S中元素的個(gè)數(shù)為IS|.

⑴若數(shù)列A：0,2,4,12,求集合S,并寫出|S|的值；

(2)若A是單調(diào)數(shù)列，求證：TS|=加-1"的充要條件是“A為等差數(shù)列”；

（3）若機(jī)=2w+l,neN*,數(shù)列A由1,2,3,4,...?n,2〃這（w+1）個(gè)數(shù)組成，且這（〃+1）

個(gè)數(shù)在數(shù)列A中至少出現(xiàn)一次，求IS|的取值個(gè)數(shù).

試卷第4頁，共4頁

《安徽省蚌埠市2025屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DABCABCDBDABD

題號(hào)11

答案ACD

1.D

【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義，即可求解.

【詳解】由補(bǔ)集的定義可知，。3={2,3}.

故選：D

2.A

【分析】根據(jù)充分性和必要性兩方面判斷即可；

【詳解】因?yàn)樗詘<0或無>1,

貝!Jx>l可以推出Y>X,但尤2>x不能推出X>1.

故“尤>1”是“Y>x”的充分不必要條件，

故選：A.

3.B

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則求出復(fù)數(shù)z,再求z的共軌復(fù)數(shù).

ii（2+i）-l+2i12.

【詳解】因?yàn)?------F—1

2^i-（2-i）（2+i）555

17

所以z的共軟復(fù)數(shù)為-”旨.

故選：B.

4.C

【分析】由體積和底面積，可求出頂點(diǎn)P到底面AABC的垂直高度h,進(jìn)而由直線與

平面所成角的正弦值等于該直線與平面內(nèi)某條直線（投影）形成的直角三角形中，計(jì)算即可求

得結(jié)果.

【詳解】AABC是邊長為2的正三角形，其面積為：SABC=是X于=6.

△ADC彳

因?yàn)槿忮F尸-ABC的體積為1和底面積S4ABe=#）,

113

得：V=-xSiABCx/z=-x73x/I=l.^f：h=-j==^.

答案第1頁，共16頁

設(shè)直線PA與平面ABC所成角為。，所以豆皿=幺=走.

PA2

故選：C

5.A

【分析】利用同角的正余弦函數(shù)的平方關(guān)系求得cos[x-]｝進(jìn)而利用

￡

3

所以cosx=cos][x—g]+g=cos[x—g'osg-sin[x-g]sing

2A/211V32A/2-A/3

=----------X------------X--------=----------------------.

32326

故選：A.

6.B

【分析】由題意可得嘰=2(心2),又叫=3判斷AB；計(jì)算可得4+%>%+〃6判斷C；

a

an\

計(jì)算可得卜含判斷D.

【詳解】對于A,由S,=a向-2,可得S,T=4—2522),

兩式相減得S.一S,T=ainl-2-(a?-2)(n>2),所以%=aM-an(?>2),

所以am=2%2),所以&a=2(在2),

an

當(dāng)”=1時(shí)，Sl=a2-2,又4=1,所以a?=3,所以亍~=3,

所以數(shù)列｛q｝不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對于B,由A可知，數(shù)列｛?！埃サ舻谝豁?xiàng)，可構(gòu)成以外=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以a2a4=Y，故B正確；

對于C,由A可得見=f日l,n2=1\"

答案第2頁，共16頁

2534

所以。4+%=3x2+3x2=108,a5+a6=3x2+3x2=72,

所以%+%>%+/,故C錯(cuò)誤;

對于D,由C可得5]=1,邑=3+1=4,53=4+6=1。，

所以93所以數(shù)列電｝不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.C

__.7—■

【分析】由題意可得通，而，可求得S.ABD，由。C=：A2,可求以BCD，從而可求四邊

形的面積.

【詳解】由通=(1,0),AD=(72,-1),可得相力=(1,?(倉-1)=應(yīng)-應(yīng)=。，

所以荏,亞，所以SAA.=J荏||而|=gx^/^^X勾■=■|,

又2徑=3覺，所以詼=g而，所以“卜=竿，

S-BCO=gxgMk4=gxgx3=l,

所以S4BC0=S&BCD+SAABD=1+5=5.

故選：C.

8.D

【分析】作出準(zhǔn)線加，過P,Q作準(zhǔn)線，"的垂線，垂足分別為N,M,利用拋物線的定義把拋

物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線/的斜率.

【詳解】設(shè)加是準(zhǔn)線，過尸作PN，〃z于N,過。作QM-L根于過。作QHLPN于a,

如圖，

則11P尸|=|PN尸|=|又|尸產(chǎn)|=2|。尸|,所以|PN|=2|QM|,

22

所以|尸〃|=|7VW|=|QM|=|Q尸|,所以|QH\=7|P2|-|PH|=2^2\QF\,

\QH\2y/2\QF\

所以tanN"PQ==2夜

\PH\\QF\

直線斜率為20.

故選：D.

答案第3頁，共16頁

【分析】求得極差判斷A；求得平均氣溫判斷B；8日到9日氣溫是下降的可判斷C；求得

60%分位數(shù)判斷D.

【詳解】對于A,3月上旬我市日最高氣溫的極差為24-3=21℃,故A錯(cuò)誤;

24+23+3+4+7+12+12+16+15+19

對于B,3月上旬我市日最高氣溫的平均數(shù)為=13.5℃,

10

故B正確;

對于C,3日-10日我市日最高氣溫不是持續(xù)上升，8日到9日氣溫是下降的，故C錯(cuò)誤；

對于D,氣溫由低到高排列為3,4,7,12,12,15,16,19,23,24,

又10x60%=6,故3月上旬我市日最高氣溫的60%分位數(shù)為"產(chǎn)=15.5℃,故D正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)漸近線方程得到方程，求出〃z=8,從而得到雙曲線C的焦距；B選

項(xiàng)，雙曲線定義得|尸耳I-1尸耳|=2a=4及；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，設(shè)P(餌〃)，則

222

n

mn144r77

----------=1?故k,k=--------D正確.

822m2-84

【詳解】A選項(xiàng)，雙曲線C：工-.=1(m>0)的漸近線方程為y=±、E，

m2Vm

又一條漸近線方程為尤-2y=0,故=L解得加=8,

Vm2

故°2=8+2=10,解得°=河，故雙曲線C的焦距為2如，A正確;

B選項(xiàng)，由A知，。=&=2&,由雙曲線定義得|正耳|-|「區(qū)|=24=4及，B正確;

C選項(xiàng)，^(710,0),當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，

!-==1中，令x=M時(shí)，y=±—,故|尸。|=&<4后，C錯(cuò)誤；

822

答案第4頁，共16頁

D選項(xiàng)，A(-272,0),4(272,0),

kk_nn_/_彳一」，D正確.

12m+2y/2m-25/2m2-8m2-S4

故選：ABD

11.ACD

【分析】分析x40和x>0的函數(shù)部分值域，然后綜合研究判斷A；利用分段函數(shù)單調(diào)性判

定方法分析判斷B；構(gòu)造關(guān)于〉軸對稱的點(diǎn)，得到關(guān)于x的方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問

題，利用零點(diǎn)存在定理判定C；利用數(shù)形結(jié)合法分析〃"）=/,的解的個(gè)數(shù)，確定/的

范圍，判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)“22時(shí)，當(dāng)x40時(shí)，/（尤）=2x3，，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?,2],

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x2-ax+1,對稱軸為x=,

最小值為培）=1口-4+1=-1+140,所以/Q）有最小值；

對于B,當(dāng)時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=2x3x,函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)%>0時(shí)，f（x）=x2-ax+1,對稱軸為％=?v。，函數(shù)單調(diào)遞增,

其中2x3°>O2—a.o+i,所以/（%）在R上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

對于C,設(shè)點(diǎn)（X,“X））（X>O）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（T,〃T））,需滿足〃T）=/（X）,

/(x)=x2-ax+l,/(-x)=2x3-x,BP%2-ox+l=2x3-x,

設(shè)g（x）=2x3-JC-x2+av-l（x>0）,則g（0）=1>0.

解法一：因?yàn)?（力=2*37-犬+6-1在（0,+e）的圖像是連續(xù)不斷的，當(dāng)x―田時(shí),

g（x）--oo,

答案第5頁，共16頁

所以VaeR,函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,內(nèi))內(nèi)總有零點(diǎn)，故C正確;

解法二:設(shè)〃(x)=2x3r-1,丫(%)=-%2+依，當(dāng)x>max{a,O}時(shí),v(x)<0,當(dāng)x>log32時(shí),

M(X)<0,所以當(dāng)=max{0,a,log32}>0時(shí)，g(x)=〃(x)+v(x)<0,

所以對于任意的VqeR,函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,5)內(nèi)有零點(diǎn)，故C正確;

“、2x3x,x<Q,

對于D,當(dāng)。=2時(shí),ftY)—《圖象如圖所示:

[x1-2x+l,x>0,

解Y_2%+1=1(%>0)得％=2,^x2-2x+l=2(x>0)得x=l+0.

/("=〃/3)一的零點(diǎn)就是關(guān)于工的方程尸(》)="/(動(dòng)--0(記作①)的實(shí)數(shù)解的個(gè)

數(shù).

令M=/(X),/(")=/,則方程①的解集為對于關(guān)于〃的方程/(")=，(記作②)的每一個(gè)〃

的值，所得到的關(guān)于X的方程/(%)="(記作③)的所有的不同的解的集合，換言之函數(shù)/⑴

的零點(diǎn)的集合X=/(/(%))=?}=卜I“X)="J(“)=”，根據(jù)題意cardX=5.

方程②的解是函數(shù)y=/(")和y=r的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以參照y=/(x)的圖象與直線y=r

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)估計(jì)個(gè)數(shù)和范圍；方程③的解是函數(shù)y=/(x)的圖象與直線＞="的交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，其中"是方程②的每一個(gè)解.

方程③有解時(shí)，必有“20,方程②有解，必有此0,

因此下面可以只考慮此o的情況和方程②中的非負(fù)實(shí)數(shù)解.

(I)當(dāng)公。時(shí)，方程②有一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解a=1,方程③有且只有2解，故方程①只有2解，

答案第6頁，共16頁

不合題意；

(2)當(dāng)時(shí)，②只有2個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解%,4且。<%<1<%<2,

對于對方程③有三個(gè)解，對于的方程③有兩個(gè)解，

這5個(gè)解是直線y=%,y=%和函數(shù)/(X)的圖象的5個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

由圖可知顯然是不同的，所以這時(shí)方程①共五個(gè)解，即函數(shù)P(x)有且只有5個(gè)零點(diǎn)，符合

題意；

(3)當(dāng)r=l時(shí)，②只有1個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解"=2,此時(shí)方程③有兩個(gè)解，所以方程①有2解,

即產(chǎn)⑴只有2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

(4)當(dāng)te(l,2),方程②只有1個(gè)非負(fù)解"且2<M<1+及，此時(shí)③只有1個(gè)解，不合題意；

(5)當(dāng)7=2時(shí)，方程②有兩個(gè)解，/=0或2<〃2<1+3，

對于4=0,方程③有1個(gè)解；對于2<〃2<1+逝，此時(shí)方程③有1個(gè)解，故方程①只有2

個(gè)解，不合題意；

(6)當(dāng)/?2,+8),方程②只有一個(gè)解"且">2,此時(shí)方程③只有1個(gè)解，故方程①只有1

個(gè)解，不合題意.

綜上所述，若尸(無)有5個(gè)零點(diǎn)，則故D正確，

故選：ACD.

12.3+28/2五+3

【分析】利用代換1法，結(jié)合基本不等式求最小值即可.

【詳解】由題意得,+2=1+2](》+封=1+2+2+223+2立，

xyyjxy

當(dāng)且僅當(dāng)2=豈時(shí)，即x=Ji-l,y=2-應(yīng)時(shí)取等號(hào).

故答案為：3+2A/2.

13.(3,5)

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，NBAC=，,，e(0,兀)，可得A獷=17+8cos0,

利用即可求得AD的取值范圍.

答案第7頁，共16頁

【詳解】

由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48方向?yàn)闊o軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)/區(qū)4c=，,eqo,7i）,

因?yàn)樵赩ABC中，AB=6,AC=3,

則A（0,0）,8（6,0）,C（3cos03sin，

又點(diǎn)。在BC上且CD=2BD,

設(shè)Z）（x,y）,貝!|①=（x-3cos61,y-3sine）,9=（6-x,-y）,

又詬=2麗，貝!J（x-3cos，,y-3sin6＞）=2（6—x,-y）,

解得x=4+cos（9,y=sin6,所以AD=（4+cose,sine）,

所以=（4+cos3y+（sin0）2=17+8cos6,

因?yàn)閏os6e（-l,l）,所以由、（9,25）,則由卜（3,5）,

所以AD的取值范圍是（3,5）.

故答案為：（3,5）.

18

14.

【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（右片）內(nèi)的單調(diào)得出周期，進(jìn)而求得。，通過極值點(diǎn)和零點(diǎn)條件

建立關(guān)于。和。的方程，結(jié)合（P的范圍篩選合理解，驗(yàn)證單調(diào)性即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（X）的周期為T,由/卜：）=1，=0，

結(jié)合正弦函數(shù)圖象的特征可知,

71itTkT7兀TkT

—+—=一十一=>—H-------左EN.

34421242

答案第8頁，共16頁

7兀2兀,o=g（l+2左），左eN

故3（1+2米）g。+2左）

又因?yàn)?(x)在區(qū)間上單調(diào)，所以，故T>?

L3L3

77T7T.-._

加所以以-3（7-1-+-2-左T）>—3nk<3,keN

71/

即co—+（p=rmynGZ)且。<0苦

所以，當(dāng)左=0時(shí)，①=%,(p=一一-+n7i(neZ),'或。<。舍.

當(dāng)k=l時(shí)，'0=——+〃兀(〃￡Z),0=1，符合條件.

當(dāng)左=2時(shí)，co=—,0=一3^+九兀(〃￡Z),夕〉女或0<0,舍.

77v72

所以刃=?,"二】?

77

1Q

故答案為：—■

（2）y=±46x+6

【分析】(1)由己知可得。=2c,b2=3c2,代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求得橢圓方程;

(2)法一：設(shè)直線A3的方程為1=狂+6,并設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(國,%),(%,%),聯(lián)

1ns

立直線方程與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得芯+尤2=三2，玉々=廿%，由題意可

得西?礪=0,進(jìn)而計(jì)算可求得左，可求直線A8的方程.法二：將直線方程代入橢圓方程可

得31?：+2左］?1+3-/=0,由題意可得I上|>|,士f=T，求解即可?

c1

【詳解】(1)由e=￡==,得a=2c,則/=4C2=〃+C2,所以〃=3/,

a2

將點(diǎn)尸13,3代入橢圓方程得'+.=1,解得,2=3,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

129

(2)依題意直線48斜率存在，設(shè)直線A8的方程為〉=丘+6,并設(shè)點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為

(占,凹)，(x2,y2).

(方法一)

答案第9頁，共16頁

y=kx+6,

聯(lián)立方程消去y得（3+4左2）/+48依+108=0,

3x2+4y2=36,

3

依題意，△=（48%）2—4x108（4左2+3）=144（4左2—9）＞0,

口-484108

且不+々=-----T，=-----7，

123+4左2123+4左2

依題意礪.礪=0，即玉%2+（何+6）（仇+6）=0,

整理得（42+1）%%2+6左（玉+尤2）+36=0,

11121、108么1—48%,

從而（左+1）-__—y+6k-~~~—y+36=0,

3+4左23+4左2

3

「?216—364之=0,解得勺=-而，左2=后，滿足I左1＞萬.

從而直線AB的方程為y=±?x+6.

（方法二）

將,二依+6即6=y-Ax代入3%2+4/=36,3x2+4y2=（y-kx）2,

整理得，3H+2（1+3-左2=0,

3

依題意，A=（2%y_4x3（3-公）＞0,：,\k\＞-,

依題意，A.A=lzL=_b解得左=±?，滿足

x{x232

所以4B的方程為〉=±#x+6.

16.（l）y=l

（2）a2—

e

【分析】（1）求導(dǎo)，得到廣⑴=0,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程;

（2）轉(zhuǎn)化為-xlnx,令g（x）=-xlnx,求導(dǎo)得到單調(diào)性和最小值,即可得出結(jié)果.

答案第10頁，共16頁

111

【詳解】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=lnx+-,貝廳'(冗)=——

XXXr

所以/")=0,又/⑴=1,

則所求切線方程為y=L

(2)f(x)>Ind；=>\n(ax)+—>lndi=>lnx+—>0,其中％>0,

XX

所以問題轉(zhuǎn)化為aN-xlnx(x>0)恒成立，

記8(%)=一九1口%,貝|g'(%)=-ln無一1,

令，(%)>。，得0<冗<,；令’(九)v。，得x>L

ee

所以g(x)在(0,：上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

g(x)的最大值為g[']=L,所以

ee

17.(1)證明見解析

⑵工

10

【分析】(1)根據(jù)條件中的幾何關(guān)系，說明&)_LAC,且加,以，即可證明線面垂直；

(2)根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面R1B和平面尸6的法

向量，代入平面夾角的向量公式，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)锳T>=CD,AB^BC,所以80是線段AC的中垂線，

即BD_LAC,

又PA_L平面ABC￡>,8Du平面ABC。，則BD_LX4,

由PAP|AC=A,PA,ACu平面PAC,

所以1平面PAC.

(2)設(shè)80與AC相交于點(diǎn)0,取PC的中點(diǎn)Q,連接0Q.因?yàn)?。是線段AC的中垂線，

所以。是AC的中點(diǎn)，則OQ〃叢，且。。=：舊1=1.

由PA_L平面ABC￡>,AC,3￡>u平面ABCD,得R4_LAC,PALBD,

所以O(shè)QLAC,OQ1BD.

由條件，可求得OB=JBC2_OC2=6，OD=y]CD2-OC2=273-

以麗，OC>而分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

易得4(0,-1,0),B(g,0,0),C(0,l,0),D(-2A/3,0,0),尸(0,-1,2).

答案第11頁，共16頁

p

ZA

_,___*viva,—

設(shè)平面B45的法向量為々=(a如4),PA=(0,0-2),PB=(6」,一2)，

n,?PA=-2Z]=0

由〈——?[―，取西=1,則％=—v3，Z]=0,

勺?PB=VS%,+%-2Z]=0

所以平面R4B的一個(gè)法向量為1=(1,-6,0).

設(shè)平面PC。的法向量為e=(%,%,Z2)，PC=(0,2,-2),PD=(-2A/3,1,-2),

fn??PC=2y?-2z?=0「「

由<______r,取%=26,則％=T，Z2=2V3,

n2-PD=-2真再+%-2z2=0

所以平面PCD的一個(gè)法向量為第=(T2石,2石).

7

所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為—

18.(1)0.648

⑵分布列見解析；期望為2.8928

【分析】(1)甲代表隊(duì)以比分2:0奪冠為事件A，比分2:1奪冠為事件4,分別求得P(A),

尸(4),可求甲代表隊(duì)奪冠的概率；

(2)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,分別求得對應(yīng)的概率，可得分布列，進(jìn)而可求數(shù)

學(xué)期望.

【詳解】(1)記甲代表隊(duì)奪冠為事件A,甲代表隊(duì)以比分2:0奪冠為事件A，比分2:1奪冠

為事件為，

P(Aj)=0.6x0.6=0.36,

P(4)=C0.6x0.4x0.6=0.288,

答案第12頁，共16頁

尸(A)=尸(A)+P(A,)=0.36+0.288=0.648,

所以甲代表隊(duì)奪冠的概率為0.648.

(2)比賽2局結(jié)束的概率為0.6x0.6+0.4x0.4=0.52,

比賽3局結(jié)束的概率為1-0.52=0.48,

隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,

P(X=4)=0.52x1+0.48x|x1=0.1232,

43

P(X=2)=0.48x-x-=0.2304,

44214

P(X=3)=0.52x-+0.48x-x-+0.48x-x-=0.6464,

55555

故隨機(jī)變量X的分布列為

X234

p0.23040.64640.1232

E(X)=2x0.2304+3x0.6464+4x0.1232=2.8928.

19.(1)S={2,4,8,10,12},|S|=5

(2)證明見解析

(3)2n

【分析】(1)利用列舉法寫出符合題意的所有的S的取值可能，得出|S1的值；

(2)“充分性”:A為等差數(shù)列：a,,ax+d,a1+1dq+(mT)d(d力0).則%-4—,

可知x=a廠q的最大值為(NT"，最小值為d,|S|=加-1成立；反之若|S|=M-1,不妨

設(shè)A是遞增數(shù)列，推理可得am-%<am-am_2<am-am_3<...<am-a2<-q,可得數(shù)列

A是等差數(shù)列；

⑶當(dāng)數(shù)列A由1,2,3,2"這”+1個(gè)數(shù)組成，則任意兩個(gè)不同的數(shù)作差，差值只可能為

±1,±2,±3,---,+(?-1)和士(2〃一1),±(2〃-2)廣.,土〃,共4〃-2個(gè)值，又因?yàn)?,2,3,…,〃,2”這〃+1

個(gè)數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)N=2〃+l次，所以數(shù)列A中存在％=%(■/),所以O(shè)eS,則可得

出2心|5區(qū)4"-1,再說明|S|可以取得2〃?4〃-1之間的所有整數(shù)，得到|S|的值為2”.

【詳解】(1)因?yàn)?=0,%=2,%=4,a4=U,貝"=a廠J4N的可能情況有：

%—q=2,a3-ai=4,a4-c^=12,a3-a2=2,a4-a2=10fg-q=8,

答案第13頁，共16頁

所以S={2,4,8,10,12},|S|=5.

(2)“充分性"：A為等差數(shù)列：%,%+d,q+2d,…，aA+(m-l)d(dwO).

則x=%-%=[%+(J-l)d]-[%+(z-1)J]=(j-i)d(1<z<j<m),

?能取從1到zn-1的每個(gè)整數(shù),故5={/2〃,3公..,(1-1)心,

因此|S|=m-l.

“必要性”：不妨設(shè)A為遞增數(shù)列：q,5,…,am,作運(yùn)算并比較如下：

a2-al<a3-al<a4-a1<---<am-a1,共(加-1)個(gè)互不相等的數(shù)，同理

a3-a2<a4-a2<a5-a2<---<am-a2<am-a},共。九一1)個(gè)互不相等的數(shù).

ali-a3<a5-a3<a6-a3<---<am-a3<am-a2<am-ax,共(加一1)個(gè)互不相等的數(shù).

am~an,-l<—am-2<一?！币?一。2V一%,共(771-1)個(gè)互不相等的數(shù)，

由|S|=,"-1及A的有窮性，知

。2—Q]==。4—。3=?,?=Q機(jī)—am-\?

即A為等差數(shù)列.

(3)因?yàn)閿?shù)列A由1,2,3,4,",2〃這(a+1)個(gè)數(shù)組成且項(xiàng)數(shù)為2”+1,所以數(shù)列A

中必有相等的項(xiàng)，則任意兩項(xiàng)的差值可能為0,±1,±2,+3,±n,±("+1),±("+2),…,

士(21),

其中，必有Oe