安徽省蚌埠市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

第I卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.斜率為-1的直線(xiàn)的傾斜角為()

A.—當(dāng)B.C-7D.半

2.已知向量五〃丸其中五=(1,1,2),5=(2,%,4),則%=()

A.2B.1C.-6D.-10

3.過(guò)點(diǎn)4(1,-2)且方向向量為萬(wàn)=(3,1)的直線(xiàn)的方程為()

A.x—3y-7=0B.3x—y-5=0C.3x+y-1=0D.x+3y+5=0

21

4.已知雙曲線(xiàn)Y,-y2=i(a>0)的漸近線(xiàn)方程為、=久，則。=()

A.1B.2C.4D.7

24

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為治,若52=I，則｛即｝公比為()

11

A.1B.|C.2D.3

6.已知圓心在久軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)M(-4,0),且與式軸、y軸分別交于4B兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)4B分別作K軸、y軸

的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)記為P,則點(diǎn)P的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)

7.已知數(shù)列｛5｝滿(mǎn)足：%_=2,a=斯一；(neN*),則=()

nan+l-1

98109

A-§B9C.豆D.-

8.已知雙曲線(xiàn)E?！?>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,F2,左、右頂點(diǎn)分別為4，點(diǎn)8的坐

標(biāo)為(0,6),P在雙曲線(xiàn)E上，P4是42^的中垂線(xiàn)，若△PBFi的周長(zhǎng)與△P&F2的周長(zhǎng)之差為1+C，則雙

曲線(xiàn)E的方程為()

A.y-y2=1B.x2-^=1C-j1-T=1D-y-ll=1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知圓C：O—l)2+(y+l)2=2,下列說(shuō)法正確的是()

A.圓心C的坐標(biāo)為(一1,1)B.半徑r=/2

C.圓C被直線(xiàn)y=x—1截得弦長(zhǎng)為傳D.直線(xiàn)3x+4y-3=。與圓C相切

10.在平行六面體ABC。-中，乙41aB=/.A±AD=4BAD=60°,AB=AD=AA1=1,下列結(jié)論

正確的是（）

A.ACr=y/~6

B.BDi1ArC

C.｛芯,灰豆,河｝可以作為空間的一個(gè)基底

D.J41c——2ABi+——AD-^

11.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：&=F2=1，4+2=Fn+1+&O￡N*）,下列說(shuō)法正確的是（）

A.Pn+i2%B.4+Fn+2>2Fn+1

C.F2025—F2000>25F1999D.F1013+^1014>F2+6023

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)B是點(diǎn)（-3,4,-5）在坐標(biāo)平面。孫內(nèi)的射影，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

13.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過(guò)對(duì)稱(chēng)

軸的截口B4C是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)后上，片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上?由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)后

發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)/2?已知BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)&,且8C1g,BC=3,=1,

則橢圓離心率為.

反14.已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足等式（a—l）2+（b—爪）2=5,若存在

射

鏡實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足不等式a?+w26-4a+15,則實(shí)數(shù)m的取

面

值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,

透明窗，

證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是力（4,0）,B（2,4）,C（0,3）.

（1）求邊4B上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)求垂足。的坐標(biāo).

16.（本小題15分）

已知拋物線(xiàn)C：y2=2p;c（p〉0）焦點(diǎn)為F,點(diǎn)在C上，且|MF|=3.

(1)求拋物線(xiàn)C的焦準(zhǔn)距；

(2)若力，B在拋物線(xiàn)C上，直線(xiàn)。力經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(-l,-1),直線(xiàn)BE平行于久軸，證明：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)工

17.(本小題15分)

2

已知等差數(shù)列｛&J和正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝,｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,且％,+a5=8,b4-b2=a5,S2n=2Sn+n,

b2n=2bn\neN*).

(1)求數(shù)列｛即｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

.號(hào)乎求數(shù)列&｝的前2n項(xiàng)和.

(3)若＜:?=

口九①為偶數(shù)、'

18.(本小題17分)

如圖，在直棱柱力BCD-a/iCDi中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,E,F分別是棱力B,BC的中點(diǎn)，DE1DrC.

(1)求證：CD1DE;

(2)若直線(xiàn)EF與平面/EC所成角的正弦值為余.

(i)求名到平面DiEC的距離；

(ii)求平面/EC與平面DLEF夾角的余弦值.

19.(本小題17分)

2

已知橢圓E：3+y2=1，A,B分別是E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)T是E上一點(diǎn)(T與4,8不重合)，過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)

4

12,滿(mǎn)足匕〃兀4,l2//TB,其中匕交E于M,N兩點(diǎn)，%交E于P，Q兩點(diǎn),其中P，M在%軸上方，直線(xiàn)TA,TB的

斜率分別為七，k2.

(1)求證：卜1?七為定值；

(2)判斷|MN『+|PQ『是否為定值，如果是，求出該定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖，將橢圓沿48所在直線(xiàn)翻折，使得平面P力B，平面Q4B.判斷|MN『+|PQ『是否為定值，如果是,

求出該定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】???直線(xiàn)的斜率k=—1,且傾斜角a在［0,兀)內(nèi)，

???tana=—1,

???直線(xiàn)的傾斜角為多.

故選。.

2.【答案】A

【解析】因?yàn)榱?比a=(1,1,2),K=(2,%,4),

所以有之=工另，解得x=2,

2x4

故選：A

3.【答案】X

【解析】???過(guò)點(diǎn)(1,—2)且方向向量為(3,1),

???直線(xiàn)的斜率k=

1

?,?其方程為y+2=-(%—1),

整理，得久一3y—7=0.

故選：A.

4.【答案】B

2-1

【解析】由雙曲線(xiàn)r,一*=1((1>0),得其漸近線(xiàn)方程為y=士;久,

又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±如得瀉,則a=2.

故選：B.

5.【答案】C

【解析】由題意可知，數(shù)列｛/J的公比qK1,

貝琛=三%=1+Q2=5,q2=4,

因?yàn)閝>0,所以q=2,

故選C

6.【答案】D

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=(a+4)2,

令y=0,得x=-4或x=2a+4,則2(2a+4,0),

令％=0,得必=8a+16,則B(0,±V8a+16),

所以P(2a+4,±78a+16),所以yz=4x,

所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)，

故選：D.

7.【答案】A

【解析】由廝=’叱】■得即+1=2-1，ai=2,

a_1a

n+ln

11141151

貝t2226

n做--

一

=-=一----

u--3-3-445

?3敢---

?12?33451

212172121819

--7為-

------?6_--一-----

6^77J88

?6%--

?5-567

故選A.

8.【答案】B

【解析】因?yàn)镻4是的中垂線(xiàn)，所以IBA/=小加，阿|=小，

若^PBa的周長(zhǎng)與21PA2尸2的周長(zhǎng)之差為1+/7,

則IBF/+\BP\+IPFJ-\PF2\-\PA2\-\A2F2\=1+77,

即2a+Vc2+Z?2—(c—a)=1+V-7，①

易知田人|=閡41，所以c=2a,②

且c2=/+a2,③

解①②③組成的方程組可得《二行

則雙曲線(xiàn)E的方程為/—[=1.

故選：B.

9.【答案】BC

【解析】圓C:(%—l)2+(y+l)2=2,圓心為(1,一1),半徑為廠(chǎng)=，！，故A錯(cuò)誤，5正確;

對(duì)于C,圓心到直線(xiàn)y=x—l的距離為卓^=苧，

所以圓C被直線(xiàn)y=%—1截得弦長(zhǎng)為2J(72)2-(苧?=，石，故c正確;

對(duì)于D,圓心到直線(xiàn)3久+4y-3=0的距離為譬34

^32+425

所以直線(xiàn)3x+4y-3=0與圓C相交，故。錯(cuò)誤.

故選BC.

10.【答案】ABD

【解析】由題意得，AB2=AD2=磯2=1,

--->--->--->>>>1

AB-AD=AB-AAr=AD-AAr=1x1xcos60°=-,

對(duì)于選項(xiàng)A,AC^=AB+AD+AA^,

.-->2--->2--->2---->2--->--->--->----?---->--->

貝！Me=AB+AD+AA-,+2AB-AD+2AB-AAr+2AA1-AD

111

2-2-2-所以ACI=，5,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,B01=ADr-AB=AD+AAr-AB,

i41c—AC—AA-y—AD+AB—AA^,

則西?A^C=(AD+京-AB)?(AD+AB-鞏)

--->2---->2--->2---->--->1

=AD一力4-AB+2AAr-AB=l-l-l+2x1=0,

故BDil&C,故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樾?砧+庠=麗+4萬(wàn)，所以前，碩，砧是共面向量,

所以｛元，硬，河｝不可以作為空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，A^C=AC-AA1=AD+AB-AA^,

1__.3一1―.

—+2^。-2

———+AB^+—(^AB+XD)——(^AD+ZZj——AA^+AB+AD,

故A］。=—5AC—,故選項(xiàng)Z)正確.

故選：ABD.

DiC,

11.【答案】ABC

【解析】對(duì)于a,由題意可得％+1—4=4-1（幾》2）,所以4+1》%，故A正確；

對(duì)于B,由于居2+2=Fn+1+Fn,

當(dāng)?222時(shí)，F(xiàn)n+Fn+2-2Fn+1=Fn+Fn+1+Fn-2Fn+1=2%—Fn+1=2Fn-Fn-Fn_r=Fn-Fn_r,

由4可知，當(dāng)ri》2時(shí)，F(xiàn)n>Fn_r,所以當(dāng)2時(shí)，F(xiàn)n+Fn+2>2Fn+1,

當(dāng)n=1時(shí)，F(xiàn)1+F3-2F2=l+2-2=l>0,

所以現(xiàn)+Fn+2N2Fn+「故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)閚N2時(shí)，F(xiàn)n+1>Fn,

所以F2025—/*2000>&999+尸1999+…+0999=25fli999，故C正確；

對(duì)于。，由七+2=Fn+1+&可得尸2023=尸2022+^2021=尸2021+^2020+尸2021=^^2021+尸2020=不斷

展開(kāi)，

又因?yàn)镕l。1？+&014=0015，

同樣尸2+/2023—1+「2023，

我們知道&是遞增數(shù)列，且F1015<尸2023+1（因?yàn)槭?023是由很多項(xiàng)遞推得到，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于&015），

所以「1013+F1014<尸2+&023，故。錯(cuò)誤.

故選ABC.

12.【答案】（一3,4,0）

【解析】點(diǎn)（-3,4,-5）在坐標(biāo)平面。町內(nèi)的射影點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)為0,即B（-3,4,0）.

13.【答案】1

【解析】根據(jù)題意，出。|=w-=3,|/Fi|=a—c=l,

又a2=h2+c2,解得a=2,c=1,

所以離心率e=￡=9.

a2

14.【答案】一5W7

【解析】(a-1產(chǎn)+(b-m)2=5表示點(diǎn)(見(jiàn)6)在以6(1,爪)為圓心，q=Y虧為半徑的圓上,

不等式a2+b2<2b-4a+15可化為(a+2)2+(b—I)2<20,

表示點(diǎn)(a,b)在以。2(-2,1)為圓心，半徑為上=2，虧的圓上及其內(nèi)部.

由于存在實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足不等式，則兩圓不能相離，

兩圓圓心距離為d=J(1+2產(chǎn)+(m—1尸=J(m-1)2+9,

所以dWq+上，

即J(m—1)2+9<AA5+2<5,

解不等式得到一5<m<7.

15.【解析】⑴AB中點(diǎn)為(3,2),

故邊4B上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為=若，

即久+3y—9=0.

(2)由題意知,k4c=旨=一右

則垂線(xiàn)BD的斜率冊(cè)。=一乙=號(hào)

故直線(xiàn)4C的方程為3x+4y-12=0,

直線(xiàn)BD的方程為4久-3y+4=0,

聯(lián)立yiC和BD方程,管+黑；匕“，解得垂足嗚芥).

1tt1人—DyT看一\J,。。

16.【解析】⑴由|MF|=如+%2+%3,得p=2,

即拋物線(xiàn)C的焦準(zhǔn)距為2.

(2)由(1)知C:y2=4%,直線(xiàn)。4方程為y=x,

由"(V==4xx,,得力(4,4)，

在y2=4%中令y=-1,得

所以直線(xiàn)AB方程為4x-3y—4=0,焦點(diǎn)9(1,0)在直線(xiàn)4B上，即直線(xiàn)48經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F.

17.【解析】⑴設(shè)｛%J的公差為d,｛%｝的公比為q，

述箋1+'得｛屋￡即…+1，

由｛It比6'又孰>0,得戰(zhàn)匚2、即匕=2f

（2）易知￡=器，

*=:+*+…+券，①

2,3,4n+1

—I—7H—7+???d-----,

222232n

①一②得力=j+[+蠢+…+/「箸

1n+lcn+3

=2+1—————=3------

2n-I2n2n

故及=6-累;

】+

(3)q+c3H-----Fc2n-i=aa3H------Fa2n_1

.n(n-l)2I

=Q2nH----------2=n+n,

2

c

Q++—1"2n=b2+b4A-------Fb2n

_2(l-4n)_22n+1—2

==,

1-43

oo2tl+l

故數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和為"+n--+—^―.

18.【解析】(1)因?yàn)橹崩庵?BCD—必位好心,

所以叫1平面ABC。，

又因?yàn)镈Eu平面48m

所以1DE,

因?yàn)?。E1DCDDr1DE,DDiCD]C=%,叫u平面CDD1c「u平面(:叫的,

所以DE1平面CDDiG，

又CDu平面CDDiQ,

所以CD1DE.

（2）①以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE,DC,DDi所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸,

如圖建立坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)DDi=h,

由題意知，。式0,0,〃)，￡(273,0,0),C(0,4,0),F(<3,3,0)>B1(2<3,2,4),

則前=(一門(mén),3,0)，庠=(20,0,-0,EC=(-2AA3,4,0),l\Bl=(273,2,0).

設(shè)平面DiEC法向量％=（比i，yi，Zi）,

-D]E=2A/3久i—hz、=0

由不妨令瓦=(2A<3A473)-

,n7,EC=-2V~3