安慶一中2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)

數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試題

命題：余曉燕審題：劉貴紅

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足二,""=則復(fù)數(shù)】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】由二?（l-i）=2i可得二==-1+i,

'11I1-1H1+H

故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1JI,位于第二象限.

故選：B

2.已知向量a=（1,2）,向量b=（x,-2）,且a_L（ab\,則實(shí)數(shù)x等于

A.9B.4C.0D.-A

【答案】A

【解析】

【分析】算出d-6的坐標(biāo)利用?-5）=0可得》的值.

【詳解】a-h=（\-x,4],又＜；|“-勺=0,故17+2x4=0,所以L”,故選A.

【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：（1）計(jì)算長(zhǎng)度或模長(zhǎng)，通過(guò)用；計(jì)算角，

cos=熊.特別地，兩個(gè)非零向量”垂直的充要條件是鵬=o.

3.圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么此圓錐的高是（）

A.1B.6C.GD.2

【答案】C

【解析】

第1頁(yè)/共15頁(yè)

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐母線，進(jìn)而求出圓錐的高.

【詳解】由圓錐的底面半徑為1,得側(cè)面展開(kāi)圖半圓弧長(zhǎng)為2兀，因此該半圓半徑為2,

即圓錐的母線長(zhǎng)為2,所以圓錐的高為,2,-r=瓜.

故選：C

4.如圖，。是.48上靠近8的四等分點(diǎn)，￡是.4C上靠近A的四等分點(diǎn)，尸是的中點(diǎn)，設(shè)幾二

Zc=￡,則7F=（）

A

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?。?<8上靠近B的四等分點(diǎn)，￡是』C上靠近A的四等分點(diǎn)，”是0E的中點(diǎn)，

一1—1—13——1I—3—1—3ab

所以/尸=—AD+—AE=—x—AB+—x—AC=-AB+-AC=—+一.

2224248888

故選：C

5.在正四棱柱48CD-4用GA中，45=4,44=5,E.F.G分別為側(cè)棱B4.C。,。叫上一點(diǎn)，則

AE+￡F+FG+（訊的最小值為（）

A.7281B.7283C.x/HTD.14

【答案】A

【解析】

【分析】將正四棱柱，488-A4cl。的側(cè)面展開(kāi)，由直線段最短求解.

【詳解】如圖所示:

第2頁(yè)/共15頁(yè)

將正四棱柱（圖i）的側(cè)面展開(kāi)，得到展開(kāi)圖（圖2）,

當(dāng)4E，F(xiàn)，G,4五點(diǎn)共線時(shí)，“4￡1+￡77+66+6.4取得最小值，

且最小值為J（4x4）=5：=JUT.

故選：A

6.如圖所示，已知正方形0'」‘8'L的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形斜二測(cè)畫法的直觀圖，則其

原圖形的周長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原圖形，結(jié)合圖形求解.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原得下圖：

因?yàn)樗倪呅?/8是邊長(zhǎng)為的正方形，貝打，‘￡'=JTo,r=JF,所以，08=2",

又因?yàn)椤?=1,0/108,則.48=+08,=+8=3，

同理可得8c=1,0C=3,

第3頁(yè)/共15頁(yè)

因此，原圖形的周長(zhǎng)為0.4+?8C-0C=I?3+1+3=8.

故選：B.

7.若月8c的內(nèi)角A、8、C所對(duì)的邊分別為a、6、c,。二二5.1="廠，則8的解的個(gè)數(shù)是()

D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理可算得$inB=(>；,所以8可能為大于A的銳角，也可能為鈍角，即8有兩解.

ab.?hsinA5sin3O°5

【詳解】由正弦定理可知一7=—^,所以sm8=--=--

sinAsinBa48

又因?yàn)樵谌切沃写筮厡?duì)大角，即因?yàn)閎>。，所以8>d,30°<B<I5OC

所以8可能為大于A的銳角，也可能為鈍角，即8有兩解.

故選：A.

8.已知平面向量：，A,滿足同=1,V；=(1,11=I,=I,則/>+/的最小值為()

A.1B.6C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨設(shè).=11.01,A=(x?y1),￡=由己知可得

n必-1=0,由向量的加法和模的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨設(shè)"=IL0I,b=(xl,yl),c=(x2.yj,

貝ija，E=X=1,ac=x2=9he=XjX2+V|y,=y,y2-1=0,

所以W+Z卜++=IM+=咒+川+「22卜3-7=2,

當(dāng)且僅當(dāng)M=±l時(shí)等號(hào)成立,

因此，W+的最小值為2.

故選：C.

二、多選題(每小題6分，共18分)

9.已知向量。=(x,3],/>=|5,2i,則下列結(jié)論正確的是(

第4頁(yè)/共15頁(yè)

-.6

A.若uH6,則工=一~-B.若。一％,則N=-《

C.若同=5,則x=4D.若x=3,則：j=2l

【答案】BD

【解析】

【分析】由兩個(gè)平面向量平行、垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算可分別判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，由平面向量的模、數(shù)量積的

坐標(biāo)公式計(jì)算可分別判斷C項(xiàng)、D項(xiàng).

--15

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若。〃b,則2*-15=0,得*=彳，故A項(xiàng)不正確.

..,A6

對(duì)于B項(xiàng)，若“_卜，貝U5A+6=0,得1=-彳，故B項(xiàng)正確.

對(duì)于C項(xiàng)，若，小5,則6+9=5,得*=±4,故C項(xiàng)不正確.

對(duì)于D項(xiàng)，若x=3,則」、=3>：5?5>:：1,故D項(xiàng)正確

故選：BD.

10.對(duì)于ABC,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若cos.4=cos8,則.48C為等腰三角形

B.若,4>8,貝ij、inA>sinB

C.若6=8,c=10,8=60。，則符合條件的有兩個(gè)

D.若sin：」+sin：8<sin：C,則ABC是鈍角三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,利用函數(shù)1=C°S'單調(diào)性判斷；對(duì)于B,由正弦定理判斷；對(duì)于C,求出sinC判斷即可;

對(duì)于D,由正弦定理得。：+卜<「，再利用余弦定理判斷.

【詳解】對(duì)于A,若cos/=cos8,因?yàn)楹瘮?shù)丫=co$\在（0,兀?上為單調(diào)函數(shù)，所以」B；

所以X8C為等腰三角形，所以A正確；

ah…

對(duì)于B,若.4>B,可得a>〃，由正弦定理一~-=——=2R,

sinAsinB

可得2Rsin』>2Rsin8,可得sin』>sin8,所以B正確；

n

對(duì)于C,因?yàn)閟inC=巴10=沙>I,所以符合條件的有。個(gè)，所以c不正確；

b8

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對(duì)于D,若$血:4-sin2<sin;C，由正弦定理得口：+b：<”，

則cosCJr'-，-<0,因?yàn)镃e（0,兀j,所以CeJn,

labU）

所以.48。是鈍角三角形，所以D正確.

故選：ABD.

11.如圖1,一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛

有。升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P（圖2）,則（）

A,若往容器內(nèi)再注入。升水，則容器恰好能裝滿

B.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

C.將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)產(chǎn)

D.任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)圖1中水的高度為力：，幾何體的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)為人，利用水的體積,

得出力與力：的關(guān)系，從而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一判斷.

【詳解】設(shè)圖1中水的高度力：，幾何體的高為自，底面正方形的邊長(zhǎng)為八；

25

則圖2中水的體積為6%即：/久=〃（九-h:）,解得九=-h2,

所以正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半是錯(cuò)誤的，即B錯(cuò)誤.

225

對(duì)于A,往容器內(nèi)再注入a升水，水面將升高1h:,則用+即/>,,容器恰好能裝滿，A正確；

對(duì)于C,當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，占容器內(nèi)空間的一半，

所以水面也恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，C正確；

對(duì)于D,任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，始終占容器內(nèi)空間的一半，所以水面都

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恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,D正確.

對(duì)于D中，如圖所示，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí),

因?yàn)樗睦忮F的高為小，幾何體的高度為人，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為方，

1AuAFAM-AB1

可得4M=!生，由可得生巴=芻2,可得4人=?=%,

3AMABAM6

所以B81￡-CC?F的體積為fg=_x_bxAxb=_x—hx—h,xb=—h'hy,

26263-36

25,25,25

可得水的體積為匕=；6生，此時(shí)；bf?>；h'h,矛盾，所以D不正確.

363632

三、填空題（每小題5分，共15分）

12.已知A,B,C是表面積為36x的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且“二48二8c:3,則球心。到平面

ABC的距離為.

【答案】近

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得球的半徑為A和.48C的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)運(yùn)算求解即可.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,

則4nR=36x，解得R=3,

,=工=幣

由題意可知：H8C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，其外接圓半徑isin兀，

3

所以球心。到平面48C的距離為"=1R，-6=R.

故答案為：瓜.

13.已知復(fù)數(shù)二滿足|二」+2i|=3,則匕+22i的最大值為.

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【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義再由向量的三角不等式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋簁2-2i=:-1?233Ji,所以

|z+2-2i|=|z-1+2i+3-4i|<|z-1+2i|+13-4i|=3+3+（-4日=8，

所以匕+2-2i|最大值為8.

故答案為：8

14.在正方體/BCD-4與GA中，已知<4=7,點(diǎn)0在棱；14上，且.40=4,則正方體表面上到點(diǎn)0

距離為的點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為.

17兀

【答案】—

2

【解析】

【分析】確定點(diǎn)P為球心，半徑為的球在正方體每個(gè)面上的截面圖形，求出軌跡的長(zhǎng)度即可.

【詳解】依題意，因?yàn)?」=4,AA、=AB=A\B[=7,

故在工844上必存在點(diǎn)E.F滿足0E=OF=5,如圖所示.

AE=>JOE:-OA:=3=O,i>同理可得1/=4=,

所以44EO9AJ.OF,所以ZAEO=qOF,

又因?yàn)?4EO+N.4OE=1,所以/.4。/+乙40￡=三，

所以N￡OF=n-[ZAtOFZAOE\=:,即0￡，0F.

2

在平面〃淖18內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為加，

該軌跡是以為半徑的」個(gè)圓周，所以長(zhǎng)度為2兀x5x1=回；

442

同理，在平面』；D[）內(nèi)滿足條件的點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為包；

2

在平面』BCD內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以4為圓心，LF為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為2兀x4xl=2;r；

4

同理，在平面.48CZ）內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以、為圓心，花為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為2jrx3x5=蓑.

故軌跡的總長(zhǎng)度為—+—+2?+—=—.

7???

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故答案為：—^―

四、解答題（第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分）

15.已知48C的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,滿足4§M8二，記8§/1.

（1）求角A；

（2）若“=J7,6=2,求邊c及.48。的面積；

,兀

【答案】（1）4=5

,、3G

（2）3；二一

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角即可得結(jié)果；

（2）利用余弦定理可得c=3,結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤皊in8=j5/>cos/,由正弦定理得、in』、in8=TTsin8CirI，

且8e(0,兀|,則sin8w0,

可得sin4=J5cos/!,則tan,4「JJ,

又因?yàn)?e(0,ji),所以，=：.

【小問(wèn)2詳解】

2

由余弦定理得。：=V+J-2brco",Bp7=4+c-2x2xCxl

整理可得c：-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去)，

所以ABC的面積=-6csin/<=-x2x3x^l=b/I.

jm)-i、I

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16.已知同=4,W=3,(25-36卜(27+同=61.

（1）求向量；與公的夾角6；

⑵若心心傳_巾,

且§二=（I.求及

iJT

【答案】（1）0=三

（2）/=2；同=46

【解析】

【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算律和數(shù)量積定義即可求出8；

（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律求得/=2,再平方計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

由（2］哪2％61,可得7-療=61，因?yàn)橥?4,同=3,

12K

所以4x4--4x4x3cos0-3x}*=61，解得cos0=--,0<fl<x，所以。二—；

23

小問(wèn)2詳解】

所以E.C=/a?石+(竽Tb=/x4x3[-yj+^-y--zjx3：=0,

因?yàn)椤?fa+件中

整理得-15/+30=0,解得/=2,所以Z=2￡+±B,

3

所以5=(2a+：q=4o*+^-a-b+^-b

!Ax3:=64-32+16=48,

=4x4:+—x4x3x+

39

所以口=46.

17.如圖，某人開(kāi)車在山腳下水平公路上自A向8行駛，在A處測(cè)得山頂P處的仰角/P.40=30,，該車以

45kmh的速度勻速行駛4分鐘后，到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得仰角/尸80=45。，且cosN/O8=-'目.

3

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(1)求此山的高OP的值；

(2)求該車從A到B行駛過(guò)程中觀測(cè)P點(diǎn)的仰角正切值的最大值.

【答案】(1)手

(2)石

【解析】

【分析】(1)設(shè)OPuUm,由銳角三角函數(shù)表示出X。、B0,再在.4OB中利用余弦定理計(jì)算可得；

(2)設(shè)C是線段,48上一動(dòng)點(diǎn)，連接OC.PC,即可得到點(diǎn)C處觀測(cè)p點(diǎn)的仰角為/PC。，且

tanZPCO=—,求出0C的最小值，即可得解.

2OC

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)OP=xkm,在AP4O中，因?yàn)閠an/P/。=—,所以.40=—--=JT.t,

AOtan30°

x

同理，在中，BO=------=x,

tan45°

在.4。8中，由余弦定理得，8：=」0：-80：-2」0,8Ocos上.108=6廣，

由48=45x±=3,所以9=6/，解得(負(fù)值已舍去)，所以此山的高0戶為誣km；

6022

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得8。="3。=3五，.48=3,設(shè)C是線段X8上一動(dòng)點(diǎn)，連接OCJC,

22

則在點(diǎn)。處觀測(cè)p點(diǎn)的仰角為/PCO,且1211/戶。。="=正，

OC2OC

因?yàn)镃OSN/O8=-3,Q</.AOB<7i,所以sinN/08=Jl-cos'N4OB=誣,

33

第11頁(yè)/共15頁(yè)

當(dāng)"CL.48時(shí)，最短，記最小值為d,由s_“2=；/O-BOsinN4O8=；/B-d,

0n1瓜36瓜1,.々刀,曰.>J1.tanZPC0=——4——/=-=y/i

即一x——=—x3(/?斛佝d——，所以2OCyj2

2223222x—

所以該車從A到B行駛過(guò)程中觀測(cè)P點(diǎn)仰角正切值的最大值為75.

18.己知在銳角.48(?中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，2ucos5=2(h.

(1)求角A；

(2)若c=2,D為BC中點(diǎn)，AD=/j,求6；

(3)若。=2,求力+c的取值范圍.

【答案】(1)4=60

(2)。=4

(3)12^,41

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可得2sinJcosfi=2sinCsinB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和兩角和的三角函數(shù)

即可求解;

⑵由己知可得而=；前+；(,兩邊完全平方即可求解;

(3)由正弦定理可得〃=羋$訪8,。=士叵sinC,借助三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?。cosB=2c-/),

根據(jù)正弦定理，得2sinAcosB=2sinC-sinS,

所以2sin.4cos8=2sin|/+8lsinB,

所以?sin」co§8二2§in』co$8*2co$.4sin8?§in8,

第12頁(yè)/共15頁(yè)

即2cosAsinS=sinB,

因?yàn)閟in8h0,所以cos4=-1,

又4e(0,Ji),所以，=60；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?。?c中點(diǎn)，所以無(wú)5=工4月+：大，

22

喇珂=珂+阿+2"可，

所以7=1(4+/+2x2-ftcos60),

4

所以:(I,解得心4或/>=-6(舍去)，

故八二4；

【小問(wèn)3詳解】

由正弦定理：，一=一一=」一=」一=拽,

sinBsinCsinAsin603

所以b=@^sin8,c=^^-sinC，

33

因?yàn)椤苟?0，所以8+C=120,所以C=120-B,

所以b+c=(sin5+sinC|=^^[sinB+sin(120-8|]

呻sin8+4SB

sin8+—cos8

3122i22

=4sin(8+30),