福建省上杭縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.已知函數(shù)/（x）=s欣-X,則八0）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.以A,3分別表示某城市的甲、乙兩個區(qū)在某一年內(nèi)出現(xiàn)停水的事件，據(jù)記載知P（/）=S35,

P⑻=0.30,/忸）=0.15,則兩個區(qū)同時發(fā)生停水事件的概率為（）

A.0.6B.0.65C.0.45D.0.045

一I

3.已知空間向量凡2）,一（2,1,2）,若2,5與3垂直，則〃等于（）

32_3_2

A.5B.3C.2D.§

4.已知四面體/BCD如圖所示，點E為線段CD的中點，點尸為V/3C的重心，則而=()

:A

C

IAB--AC--ADIAB--AC--AD

A.362B.332

^AB--AC--AD^AB--AC--AD

C.333D.362

pi

/(x)=——

5.函數(shù)x的大致圖象為()

V_LJP

1

Fc.i^D.0

6.設(shè)〃x)在R上存在導(dǎo)數(shù)/'(X),滿足/'(x)+〃x)>°,且有〃2)=2?。。)>2的解集為(

)

A.(-8,1)B.(-叫2)C.(L+00)D.(2，+°°)

g(x)=ex--x2+（b—\}x

7.若函數(shù)2存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是（）

0

A.[0,+s)B,(°叱)c.(-°°>]D.（一8，。）

en

8.設(shè)。=3、b=7t,c=e（e為自然對數(shù)底數(shù)），貝Ua,b,c大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB_a>c>bc.c>a>bD.c>b>a

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

9.下列說法命題正確的是（）

A.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點“23一5）,2（0,-2,-2）,。（-2,-5,1）,則/，民。三點共線

B.若直線/的方向向量為°=平面a的法向量為拓=（一貝〃〃。

c.已知B=（回°，T）,則￡在B上的投影向量為工

OP=—OA+mOB+nOC（n,meR）

D.己知三棱錐點尸為平面NBC上的一點，且2、，則

1

m+n=—

2

10.現(xiàn)有編號依次為1,2,3的三個盒子，其中1號盒子裝有1個紅球和3個白球，2號盒子裝

有2個紅球和2個白球，3號盒子裝有4個紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三個盒子

中任取一盒，再從中任意摸出一球，記事件A表示“取得紅球”，事件3表示“取得白球”，事件

G表示“球取自，號盒子”，則（）

A."3n尸?B)=|

P(5)=—〃?/)=；

B.V712c

D.J

11.函數(shù)“x）=（x+l）（?7+a）（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。=-2時，/（無）的極小值為0

B.若“X）有3個零點不，X2,則尤1+尤2+尤3=0

C.若g（x）=/（x）+a,則g（x）為奇函數(shù)

D.當(dāng)-2<a<0時，/（X）在區(qū)間（一雙-1）上單調(diào)遞增

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.現(xiàn)有10道四選一的單選題，學(xué)生李華對其中8道有思路，2道題完全沒有思路，有思路的

題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任猜一個答案，猜對答案的概率為0.25,李華從10道題

中隨機選擇1題，他做對該題的概率為

13.已知平面。的一個法向量”=（一2,一21），點/（T，-3,0）在平面。內(nèi)，則點尸（-2,1,4）到平面

a的距離為

14.已知后＞。，對任意的不等式?。ㄇ?1）2exlnx恒成立，則k的取值范圍是

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（13分）已知函數(shù)或+5在》=-2處取得極值-8.

⑴求實數(shù)6,。的值.（2）求函數(shù)/（X）在區(qū)間［一33］上的最大值和最小值.

16.（15分）如圖，在空間四邊形/8CO中，已知朋\N分別是線段8C、的中點.

（1）設(shè)C4=a,C8=B,CD=c,試用向量￡、加、工表示疝和國;

（2）若空間四邊形是棱長為2的正四面體，求直線和CN夾角的余弦值.

17.（15分）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布

程碑，開辟了人機自然交流的新紀(jì)元ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知

是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某學(xué)

組設(shè)計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個

紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球.

（1）從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；

（2）拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4,從甲箱子隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于

5,從乙箱子中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率；

（3）在（2）的條件下，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.

18.（17分）如圖，在三棱錐P-/8C中，平面PNC,平面NBC,PA1AC,NB/C=9O。，點

D,E,N分別為棱尸PC,8c的中點，M是線段的中點，PA=4,AB=AC=2.

⑴求證：上亞//平面5?！?；

（2）求直線磁與平面BDE所成角的正弦值；

2

（3）己知點〃在棱尸/上，且直線N"與直線BE所成角的余弦值為3,求線段的長.

19.(17分)已知函數(shù)"x)=e"6foc+l,g(x)3+2kR

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵令"x)=/'(x)-g'(x),當(dāng)左=1時，求"x)的極值點個數(shù)；

⑶令夕(x)="x)-g(x),當(dāng)。(x)有且僅有兩個零點時，求人的

范圍.

答案

題號12345678910

答案CDCDBDDBCDBCD

題號11

答案BD

1.c

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算求解即可.

［詳解］/'(x)=cosx-l,

則/'(0)=cosO-1=0

故選：C

2.D

【分析】由尸(/8)=「⑻?B)可求兩個區(qū)同時發(fā)生停止供水事件的概率.

【詳解】由題意可得尸(如=尸⑶尸(/1B)=0.30x0.15=0.045

故選：D.

3.C

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示計算可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得&"')'=°,即2鼠B-7=0,

3

可得2x(2+〃+4)一(2*2+2)。，解得-5.

故選：C

4.D

【分析】結(jié)合重心的性質(zhì)，利用向量的線性運算和基本定理直接求解即可.

EF=EA+AF=--(AC+AD\-x-

【詳解】由題知，2、732

=LAB--AC--AD

362.

故選：D

5.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可確定函數(shù)圖象.

【詳解】因為無，所以無，

當(dāng)x<o時,r(x)<°,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)%>0時，令/'(x)>。，得x〉l,令/'(x)<。得0<x<l,

所以/(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1，+8)單調(diào)遞增，當(dāng)元=1時，/(X)有最小值1,

只有選項B圖象符合.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)題目中已知了'(x)+〃x)>°和/(2)=2,以及不等式ei/(x)>2結(jié)構(gòu)特征可構(gòu)造函

數(shù)尸(x)=e"(x),xeR,再由函數(shù)的特殊值,。)和單調(diào)性性質(zhì)即可求解.

【詳解】令尸(x)=e"(x),xeR,

則尸'(x)=e'"'(x)+/(x)]>0,xeR,

所以函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，又由題尸(2)=e?/(2)=2e2,

所以eXx)>2,即e"(x)>2e2,即尸(x)"(2)的解集為{x|x>2},

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)e'-x+6-l<°有解，參變分離6<-e<+x+l有解，設(shè)

〃x)=-e，+元+1,則實數(shù)求導(dǎo)計算可得解；

g(x)=ex-—X2+(/)-1)x

【詳解】函數(shù)2的定義域為R,

求導(dǎo)得g'(x)=e、-X+6T,函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，

所以e工-x+6-l<0有解,即6<-e*+x+l有解,

設(shè)/(X)=Y*+X+1,則實數(shù)6</(x)max,

則/'(%)=-e"+l,令"x)=0,得工=0,

當(dāng)x<0時，/'(刈>0,/(》)在(一。，°)上遞增；

當(dāng)x>0時，/'(x)<0J(x)在(0，+°°)上遞減；

所以函數(shù)/(X)有最大值

因此6<0.

故選：D.

8.B

「/、Inx

iif(x)------

【分析】由hi〃=兀出3,lnZ)=eln7i,lnc=7t,且lna>lnc,構(gòu)造x利用導(dǎo)數(shù)研究單

In兀Ine

調(diào)性比較兀e大小，即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)lna=nln3,In6=eln7i,lnc=7i,顯然Ina>Inc,

In兀Ine

對于eln兀，兀的大小，只需比較兀'e大小，

、Inx、1-lnx

f(x)=-----/(x)=；—<0，/、「、

令X且xNe,則X,即/(X)在［e,+8)上遞減,

In7iIne

---<---

所以71e,故ln/?=eln7r<lnc=7c,

綜上，lna>lnc>lnb,故"c>6.

故選：B

9.CD

【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件計算可判定A,利用空間向量研究線面關(guān)系可判定B,根

據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算投影向量可判定C,利用四點共面的推論可判定D.

__.-2-5

［詳解］對于A,易知/5=(-2,-5,3),8C=(-2,-3,3),顯然三/三，所以不共線，即

A錯誤；

對于B,由題意可知存方=3X(-9)+0X0+(-1)X3=-30*0,所以工3不垂直，即B錯誤；

G,?bf0xy/3+1x0+4x(-1)「

——^b=-qb=-b

__W1小心)+02+(7)］

對于C,。在b上的投影向量為U,即C正確；

,11

對于D,由于48，C,尸四點共面，則2，所以2,即D正確.

故選：CD

10.BCD

【分析】對于A：利用全概率求產(chǎn)⑷：對于B：利用對立事件概率公式求°⑻；對于CD：根

據(jù)條件概率公式運算求解.

【詳解】由題意可得：PC"%2”")[,*G)=K(HG)4P(乖?

對于A：由全概率公式可得

尸⑷")")+小)中分9尸(加)小卜巖+3吆故人錯誤；

尸(5)=1-尸(/)=2

對于B：12,故B正確;

11

p(c)：尸(c/)尸CV(mcj

(11卜P(A)-A-2

7

對于CD：12故C正確;

尸(。2、(切G)

唳辦生》P(B)J--5

12故D正確.

故選：BCD.

11.BD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出“無)的極小值，即可判斷A；利用韋達定理求出"X)的零點之和判斷

B；利用奇函數(shù)的定義判斷C；利用"X)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(一。,-1)上的正負(fù)判斷口.

2

【詳解】對于A,當(dāng)。=一2時，/(X)=(X+1)(X-2)>則/'(x)=3(x-l)(x+l),

當(dāng)x<-l時，f'(x)>0；函數(shù)“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，八>)<0,函數(shù)/Xx)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，/'(x)>0,函數(shù)，(x)單調(diào)遞增;

所以/(1)=-4為的極小值，故A錯誤；

對于B,由"x)=(x+D(*r+")可知"-1是其一個零點，令士=一1,

令x2-x+a=0,設(shè)馬，》3是/一》+.=0的兩個根，由韋達定理得三+三=1,

所以，若函數(shù)/(X)的3個零點為多，%,馬,

則為+無2+苫3=-1+1=0,故B正確;

對于C,令g(x)=/(x)+a=/+(a—l)x+2a,當(dāng)a30時,

g(—x)=(—x)3+(Q—1)(—x)+2a——%3一(Q—l)x+2aw—g(x)

所以函數(shù)y=〃x)+a不是奇函數(shù)，故C錯誤;

對于D,廣。)=3*+°-1,

2

因為當(dāng)-2<"0時，-3<?-1<-1,當(dāng)xe(_co,T)時，3%>3,

所以/'(x)=3x°+a-1>0,

所以，當(dāng)時，“X)在區(qū)間(-8,7)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BD.

77

12.0.77/100

【分析】直接由全概率公式即可求解.

【詳解】由全概率公式可知，他做對該題的概率為尸=0?8x0.9+0.2x0.25=0.77.

故0.77.

2

13.3

【分析】運用空間中點到面的距離公式計算即可.

【詳解】由題意知，萬=(-1，4,4),則萬G=2-8+4=-2,|川=/(-2)2+(一2)2+12=3,

a——\AP——-n\=—2

所以點P到平面"的距離為3.

2

故答案為

14.口，+8)

【分析】構(gòu)造函數(shù)/G)=xe"(xeR),利用單調(diào)性得到米-INlnx,分離參數(shù)，求出

z、Inx+1「1?1

g(x)=--------―,+8

X，Le的最大值即可

【詳解】由條件得e-'(丘-1)?xhu=e毗.Inx,

構(gòu)造函數(shù)"x)=xe*(xeR),對其求導(dǎo)得/")=(x+l)e、，令/'(x)=0得》=_[,

于是當(dāng)x<T時，/函數(shù)"x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>7時，/a)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞

增.

因為人>°,星什00]所以日一i>_i,lnx>-l,根據(jù)/(辰_1拄/(向)，得到區(qū)-iNlnx,

分離參數(shù)得尤對Le九恒成立，

只需X

lnx+11

g(x)=，對其求導(dǎo)得短3=詈

構(gòu)造函數(shù)x

令g'(x)=O—<X<1g'(x)>°,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

得x=l,于是當(dāng)e時,

當(dāng)X>1時，g'(x)<°,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

所以g(x)皿x=g(l)=l,于是左21,因此k的取值范圍是I+").

故g

15.⑴％=-2,c=4

40

⑵最大值為百，最小值為-33

【分析】(1)先求導(dǎo)，根據(jù)已知列方程組即可求解；

(2)由(1)知/'G)=-3X2-4X+4,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，再求解區(qū)間端點處

的函數(shù)值與極值比較即可求解最值.

【詳解】(1)因為所以/'6)=一3/+2加+。，

因為/(x)在x=-2處取得極值-8,

fr(-2)=0[T2-4Hc=0

所以-2)=-8,所以卜+46-2c=-8,

b=-2

解得10=4,經(jīng)檢驗，符合題意,

所以b=2c=4.

(2)由(1)知“x)=-Y-2/+4x,所以/(X)=_3X2_4X+4=(_3X+2)(X+2),

_2

“。)=0,得x-石或—_2,

當(dāng)xe[-3,-2)時，(。)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)”]之司時，/(x)>0,函數(shù)”x)單調(diào)遞增,

當(dāng)時，/。)<0,函數(shù)”x)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)"x）的極小值為/（-2）=-8,極大值為27；

又/（-3）=-3,43）=-33,

40

所以函數(shù)"x）在區(qū)間［T3］上的最大值為不，最小值為-33.

MA=a--b函」￡+匕

16.（1）2,22,

2

⑵3

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算求解即可.

（2）根據(jù)平面向量夾角公式求解即可.

MA=CA-CM=CA--CB=a--b

【詳解】（1）22

___.1_.1____1一

CN=-CA+-CD=-a+-c

2222

a-^b\-1-1-1-211-7

MA-CN=-ClH---C=—a——a-b+—c-a——c?b

(2)222424

=—x4x2x2x——i——x2x2x------x2x2x—=2

2422242

又和均為等邊三角形，...幽=31=7?下3.

設(shè)向量函與疝的夾角為e,則

2

???直線AM和CN夾角的余弦值為3.

J_

17.⑴3

2

⑵3

2

⑶5

【分析】（1）設(shè)出事件，運用條件概率公式求解即可;

（2）設(shè)出事件，運用全概率公式求解即可;

（3）設(shè)出事件，運用貝葉斯概率公式求解即可.

【詳解】（1）記事件A表示“抽出的2個球中有紅球”，事件8表示“兩個球都是紅球”,

3

?。?常10

C2QC23

則尸⑷=得磊尸（皿昭亮93

故10

（2）設(shè)事件C表示“從乙箱中抽球”，則事件。表示“從甲箱中抽球”，事件。表示“抽到紅球”,

則尸?=|[,%）=:|/（%）=＞（床）=|,

__14232

可得p（M=尸（CM+P（CZ））=P（C）P（0C）+P（C）尸

3

P（C）P（D\C）

P（C[Z））=

--2-=5

（3）在（2）的條件下3

18.（1）證明見解析

巫

⑵5

7

⑶4

【分析】（1）利用中位線得出線線平行，可得出面面平行，由面面平行的性質(zhì)證明即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角的正弦即可；

（3）設(shè)"（°，°，加）（°〈加"），利用向量法求直線與直線BE所成角即可得解.

【詳解】（1）取中點尸，連接MF,NF,如圖所示:

因為M，尸為中點，所以MF//8Z）,

又因為平面ADE,ADu平面出陽，所以九0//平面ADE,

因為Nr為中點，2E為P4PC中點，所以NF〃AC，DE〃AC

所以NF"DE,又因為NFU平面BOE,DEu平面RDE,

所以NF//平面50E,

又因為N/c兒/尸=尸，NF,MFu平面FMN,所以平面尸兒W//平面5DE,

又因為九Wu平面尸兒W,所以MV〃平面ADE.

（2）???平面PAC，平面/8C,平面R4Cc平面A8C=ZC,尸/‘AC,

尸/（=平面尸力（7,;.夕4_1平面尸/（7.

?.?/8<=平面/8。，；.PALAB,又NBAC=90°,

則以A為坐標(biāo)原點，"民"。，/尸所在直線分別為x/，z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8（2,0,0）,C（0,2,0）,0（0,0,2）,￡（0,1,2）,

所以麗=（0,-1,2）,麗=（2,0-2）,DE=（0,1,0）

設(shè)平面BDE一個法向量為元=（尤/，z）,

n-DB=0（x-z=0

所以匕?詼=0,所以（k。，

令x=l,則/=°，z=l,所以"=（L°』），

設(shè)直線CE與平面BDE所成角為。,

所以??國◎5,

Vio

所以直線CE與平面所成角的正弦值為飛一.

（3）設(shè)〃（0,0,機）（04機V4）,且N（l,l,0）,

所以而=（-1,-1,心）,礪=（-2,1,2）,

IcosNH,BE\=「1211+二時=27

所以J/+2.J1+4+43,解得4

19.(1)答案見解析

(2)兩個極值點.

k>-Q<k<-

⑶6或6

【分析】(1)求導(dǎo)，利用一次型含參討論求得單調(diào)性；

(2)求導(dǎo)，求“(X)的極值點個數(shù)即為求“(X)的變號零點個數(shù)；

，/、，6k+3kx2]

°'(x)=ex1---------——

(3)求導(dǎo)，整理得Ie'A易知，。(°)=°戶=°為一個零點,

分后4°和左>0分類討論.

【詳解】⑴/(X)的定義域為RJ'Oe-左，

當(dāng)上40時，/'(x)>()J(x)在R上單調(diào)遞增

當(dāng)人>0時，由f'(x)<°,得x?