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文檔簡介
北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《第一章三角形的證明》單元測試卷(帶答案)
學(xué)校:班級:姓名:考號:
一.選擇題(共10小題)
1.一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為3,6,則這個(gè)等腰三角形的周長是()
A.12B.12或15C.15D.無法確定
2.如圖,/XABC為等腰三角形,AB=AC,AD為3C邊上的中線,點(diǎn)P在AD上,連接P3、PC,
若P3=13,PD=5,則CD的長為()
3.下面幾組數(shù)中,能作為直角三角形三邊長的是()
A.2,4,6B.1,V2,V3C.8,V71D.6,6,6
4.如圖,已知線段A3,使用直尺和圓規(guī)作得直線I,交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)C在直線I上,若NAC3=110°,
則NACD=()
A.35°B.40°C.50°D.55°
5.如圖,/XABC中,AB=6cm,AC=9cm,NABC與NAC3的平分線相交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作DE〃
3C交A3于點(diǎn)。,交AC于點(diǎn)E,則△ADE的周長等于()cm.
A.12B.14C.15D.18
6.如圖,△ABC中,AB=AC,。是3C中點(diǎn),下列結(jié)論中不正確的是()
A
B
第1頁
A./B=/CB.AD平分NBAC
C.ADLBCD.AB=2BD
7.下列條件中,不能判斷△ABC是直角三角形的是()
A.AB:BC:AC=3:4:5B.AB:BC:AC=1:2:V3
C.NA-ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5
8.如圖,在RtZXABC中,ZB=90°ZC=30°,AD平分NA4c交3c邊于點(diǎn)D,若3C=6,則
BD的長度為()
A.2B.3C.4D.5
9.如果等腰三角形的兩邊長為2cm,4cm,那么它的周長為()
A.8cmB.10cmC.11cmD.8cm或10cm
10.如圖,在△ABC中,ZB=15°,ZC=90°,A3的垂直平分線分別交A3,BC于點(diǎn)D,E,若
BE=6cm,則AC的長是()
二.填空題(共6小題)
11.在一個(gè)RtAABC中,有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是.
12.如圖,在RtZXABC中,ZC=90°,3。是NA3C的平分線,DELAB,垂足為E.若AC=5,
DE=2,則AD的長為.
13.如圖,在RtZkABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC擴(kuò)充為等腰三角形A3D,使
擴(kuò)充的部分是以AC為直角邊的直角三角形,則CD的長為.
第2頁
A
14.如圖,在△A5C中、的垂直平分線分別交BC,于點(diǎn)與F.若4A/。是等邊三角形,EF
I-一-?1rh)+
0123\4M/5力
、、,
16.一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是.
三.解答題(共7小題)
17.如圖,A,B,8是直線/上的三個(gè)點(diǎn),AC,/于點(diǎn)A,3。,/于點(diǎn)3,且HC=HD,AB=7,AC
=5,BD=3,求AH的長.
18.已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,3DLAC于點(diǎn)。,ZABD=300,求證:△ABC為等邊三
角形.
19.一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中NR4c和NADC都應(yīng)為直角,工人師傅量的零件
第3頁
各邊尺寸:AD=8,AC=1Q,CD=6,AB=24,BC=26,請你判斷這個(gè)零件是否符合要求,并說
明理由.
20.如圖,/XABC中,ZA=36°,。在邊AC上,AD=BD=BC,求ND3C的度數(shù).
21.如圖1,在△ABC中,NABC和NAC3的平分線相交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作ER〃3C,分別交A3和
AC于點(diǎn)E和冗
(1)求證:△BE。是等腰三角形.
(2)若AB=5,AC=4,求△AER的周長.
22.如圖,這是某推車的簡化結(jié)構(gòu)示意圖.現(xiàn)測得BC=2dm,CD=8dm,AD=16dm,AB=18dm,
其中AD與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接(即NADB=90°),按照設(shè)計(jì)要求需滿足BC
LCD,請判斷該推車是否符合設(shè)計(jì)要求,并說明理由.
23.已知,如圖,△ABC是等邊三角形,3。是AC邊上的高,延長到E,使CE=CD,過。作
DF±BE于F.
第4頁
(1)求證:BD=DE;
(2)請猜想RC與3R間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
FC
參考答案與試題解析
一.選擇題(共10小題)
題號12345678910
答案CCBDCDDABD
一.選擇題(共10小題)
1.一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為3,6,則這個(gè)等腰三角形的周長是()
A.12B.12或15C.15D.無法確定
【分析】求等腰三角形的周長,即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長;題目給出等腰三角形
有兩條邊長為3和6,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)
系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解:若3為腰長,6為底邊長
由于3+3=6,則三角形不存在;
若6為腰長,則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.
所以這個(gè)三角形的周長為6+6+3=15.
故選:C.
2.如圖,ZVIBC為等腰三角形,AB=AC,AD為3c邊上的中線,點(diǎn)尸在AD上,連接P3、PC,
若P3=13,PD=5,則CD的長為()
DC
A.10C.12D.13
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理定理求解即可.
【解答】解:..工臺二人。,AD為3c邊上的中線
:.AD±BC,BD=CD
':PB=13,PD=5
BD=VBP2—PD2=V132—52=12
故選:C.
3.下面幾組數(shù)中,能作為直角三角形三邊長的是(〉
A.2,4,6B.1,V2,V3C.8,夕,1D.6,6,6
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理處理:計(jì)算判斷較小的兩邊的平方和是否等于第三邊的平方即可.
【解答】解:A、因?yàn)?2+42/62,所以2,4,6不能作為直角三角形三邊長,A選項(xiàng)不合題意;
B、因?yàn)楫a(chǎn)+(企)2=(8)2,所以1,夜,聲能作為直角三角形三邊長,3選項(xiàng)符合題意;
C、因?yàn)镮?+(夕)2力82,所以8,夕,1不能作為直角三角形三邊長,C選項(xiàng)不合題意;
D、因?yàn)?2+62/62,所以6,6,6不能作為直角三角形三邊長,。選項(xiàng)不合題意.
故選:B.
4.如圖,已知線段A3,使用直尺和圓規(guī)作得直線I,交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)C在直線I上,若NAC3=110°,
則NACD=()
A.35°B.40°C.50°D.55°
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知,直線/垂直平分A3,點(diǎn)C在直線/上,△ABC是等腰三角形,
由等腰三角形的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知,直線/垂直平分A3,點(diǎn)C在直線/上,△ABC是等腰三角
形
11
:.^ACD=^ACB=2x110°=55°.
故選:D.
5.如圖,/XABC中,AB=6cm,AC=9cm,NABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作DE〃
3c交A3于點(diǎn)。,交AC于點(diǎn)E,則△ADE的周長等于()cm.
第6頁
A
A.12B.14C.15D.18
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△30。與△COE是等腰三角形,即可得△ADE
的周長等于A3+AC解題即可.
【解答】解:,??3。平分NABC,C。平分NAC3
ZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB
,JDE//BC
:.ZBOD=ZOBC,ZCOE=ZOCB
:.ZABO=ZBOD,ZACO=ZCOE
:.BD=OD,CE=OE
AB=6cm,AC=9cm
:.AADE的周長為:AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+9=15(cm).
故選:C.
6.如圖,/XABC中,AB=AC,。是3c中點(diǎn),下列結(jié)論中不正確的是()
A.ZB=ZCB.AD平分NBAC
C.AD±BCD.AB=2BD
【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解答.
【解答】解:,?.△ABC中,AB=AC,。是3C中點(diǎn)
AZB=ZC(故A正確)
AD1BC(故C正確)
ZBAD=ZCAD(故3正確)
無法得到AB=23D,(故。不正確).
故選:D.
7.下列條件中,不能判斷△ABC是直角三角形的是()
A.AB:BC:AC=3:4:5B.AB:BC:AC=1:2:V3
C.ZA-ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5
第7頁
【分析】A.應(yīng)用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案;
B.應(yīng)用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案;
C.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案;
D.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.
()2+2=
【解答】解:A.設(shè)AB=3a,BC=4a,AC=5a,因?yàn)?4+302=3tz(而)25",AC2=
(5a)2=25次,即432+502=4^,所以△ABC是直角三角形,故A選項(xiàng)不符合題意;
2222
B.設(shè)A3=o,BC=2a,AC=^a,因?yàn)?4+人。2=/+(B。)2=船2,3c2=(2a)=4tz,即AB+AC
=BC2,所以△ABC是直角三角形,故3選項(xiàng)不符合題意;
C.由NA+N3+NC=180°,/A-/B=/C,可得NA=90°,所以△ABC是直角三角形,故C
選項(xiàng)不符合題意;
D.因?yàn)镹A:NB:NC=3:4:5,所以180°=45°,zB=x180°=60°,zC=x180°=75°,
所以△ABC不是直角三角形,故。選項(xiàng)符合題意.
故選:D.
8.如圖,在RtZXABC中,ZB=90°,ZC=30°,AD平分NB4c交3C邊于點(diǎn)。,若3C=6,則
A.2B.3C.4D.5
【分析】先求出NC4B=60°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得/癡。=/。4。=30°,然后根據(jù)等角對等
邊得CD=AD,根據(jù)含30°角直角三角形的特征即可求解.
【解答】解:???/3=90°,ZC=30°
:.ZCAB=90°-30°=60°
:人。平分NC4B
i
:.^BAD=/.CAD=x60°=30°
:.ZCAD=ZC
:.AD=CD
VZBAD=3Q°,ZB=90°
:.AD=2BD
:.CD=2BD
第8頁
':BD+CD=BC
:.BD+2BD=6
:.BD=2
故選:A.
9.如果等腰三角形的兩邊長為2cm,4cm,那么它的周長為()
A.8cmB.10cmC.11cmD.8c機(jī)或lOc/n
【分析】分兩種情況:①底為2cm,腰為4c機(jī)時(shí),求出三角形的周長即可;
②底為4cm,腰為2c機(jī)時(shí);2+2=4,由三角形的三邊關(guān)系得出不能構(gòu)成三角形.
【解答】解:分兩種情況:
①底為2cm,腰為4cm時(shí)
等腰三角形的周長=2+4+4=10(cm);
②底為4c/n,腰為2cm時(shí)
V2+2=4
不能構(gòu)成三角形;
???等腰三角形的周長為10c機(jī);
故選:B.
10.如圖,在△ABC中,NB=15°,ZC=90°,A3的垂直平分線分別交AB,3C于點(diǎn)。,E,若
BE=6cm,則AC的長是()
B
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到3E=AE=6cm,推出NB4E=N3=15°,由三角形外角的
性質(zhì)得到NAEC=30°,然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.
【解答】解:.??£>£是線段A3的垂直平分線
.'.BE=AE=6cm
:.ZBAE=ZB=15°
:.ZAEC=ZBAE+ZB=3Q°.
VZC=90°
1
?\AC==3cm.
第9頁
故選:D.
—.填空題(共6小題)
11.在一個(gè)Rt^ABC中,有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是65°.
【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可.
【解答】解:在一個(gè)RtzXABC中,有一個(gè)銳角等于25°
則另一個(gè)銳角的度數(shù)為:90°-25°=65°
故答案為:65°.
12.如圖,在RtZXABC中,ZC=90°,3。是NABC的平分線,DELAB,垂足為E.若AC=5,
DE=2,則4。的長為3.
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE=DC=2,則可求出AD的長度.
【解答】解:由題意可得:DE=DC=2
:.AD=AC-DC=5-2=3.
故答案為:3.
13.如圖,在RtZXABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC擴(kuò)充為等腰三角形A3D,使
擴(kuò)充的部分是以AC為直角邊的直角三角形,則CD的長為6或4或7一.
--------------3-
【分析】分AD=A3、BA=BD、三種情況解答即可求解.
【解答】解:如圖1,當(dāng)AD=A3時(shí)
ZACB=90°
:.AC±BD
:.CD=BC=6;
第io頁
A
圖1
如圖2,當(dāng)時(shí)
圖2
VZACB=9Q°,AC=8,BC=6
:.AB=y/AC2+BC2=V82+62=10
:.BD=10
:.CD=BD-BC=10-6=4;
如圖3,當(dāng)AD=3D時(shí),設(shè)CD=x,則AD=3D=6+x
在RtZ^ACD中,AC2+CD2=AD2
82+%2=(6+x)2
解得%=7?
/.CD=Z;
故答案為:6或4或7(
14.如圖,在△ABC中、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)。F.若/。是等邊三角形,EF
=12cm.貝UBC=_24V3_cm.
第11頁
c
J,
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到/3=/3(4,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到NARC=60°,
從而可得N3,從而可得答案.
【解答】解:垂直平分
:.BF=CF,BC=2BE
ZB=ZBCF
???△ACR為等邊三角形
/.ZAFC=60°
ZB=ZBCF=30°
':EF=ncm
:.BF=2EF=2X12=24(cm)
:.BE=<BF2-EF2=12V3(cm)
:.BC=2BE=24V3(cm)
所以3c的長為24遮(cm).
故答案為:24V3.
15.如圖所示的數(shù)軸,點(diǎn)M表示的數(shù)是_g_.
一一一尸下、
0123\4M/5力
、、,/
、、一...,
【分析】根據(jù)勾股定理,實(shí)數(shù)與數(shù)軸解答即可.
【解答】解:如圖所示
由題意,可得AC=1,BC=4,AC±BC
第12頁
...在Rtz\ABC中,由勾股定理,得432=402+302
AB=yjAC2+BC2=Vl2+42=y/17
I.點(diǎn)M表示的數(shù)是g.
故答案為:V17.
16.一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是35°.
【分析】根據(jù)題意可得這個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是no。,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外
角的性質(zhì)求解即可.
【解答】解:???一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°
.?.180°-70°=110°
底角的度數(shù)是70°+2=35°
故答案為:35°.
三.解答題(共7小題)
17.如圖,A,B,8是直線/上的三個(gè)點(diǎn),AC,/于點(diǎn)A,3。,/于點(diǎn)3,且HC=HD,AB=7,AC
=5,BD=3,求AH的長.
【分析】設(shè)(x>0),從而可得BH=7-x,再分別在RtzMCH和RtABDH中,利用勾股定
理求出HC2,的值,然后根據(jù)“c=H。建立方程,解方程即可得
【解答】解:設(shè)AH=x(x>0),則-AH=7-x
:AC,/于點(diǎn)A,BD_U于點(diǎn)B
?*.Z\ACH和△3DH都是直角三角形
在RtAACH中,HC1=AC2+AH2=25+x2
在中,HD2=BD2+BH2=9+(7-x)2=58-14x+x2
':HC=HD
:.HC2=HD2,即25+X2=58-14%+x2
解得:x=||
故答案為:AH的長為弓.
14
18.已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,3DLAC于點(diǎn)。,ZABD=3Q°,求證:△ABC為等邊三
第13頁
角形.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NA3C=60°,根據(jù)“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊
三角形”即可得解.
【解答】證明:3DLAC于點(diǎn)。
ZABC=2ZABD
':ZABD=30°
:.ZABC=60°
又AB=BC
:.△ABC為等邊三角形.
19.一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中N84C和NADC都應(yīng)為直角,工人師傅量的零件
各邊尺寸:AD=8,AC=10,CD=6,AB=24,BC=26,請你判斷這個(gè)零件是否符合要求,并說
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷出△AC。、AABC的形狀,從而判斷這個(gè)零件是否符合要
求.
【解答】解:":AD=8,AC=10,CD=6,AB=24,3c=26
:.AD2+CD2=AC1,AB2+AC2=BC2
...△AC。、ZXABC是直角三角形
/.ZADC=9Q°,NA4c=90°
故這個(gè)零件符合要求.
20.如圖,/XABC中,ZA=36°,。在邊AC上,AD=BD=BC,求ND3C的度數(shù).
第14頁
B
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可.
【解答】解:???3D=A。
/.ZA=ZABD=36°
:.ZBDC=ZA+ZABD=12°
?:BD=BC
:.ZBDC=ZBCD=12°
:.ZDBC=180°-72°-72°=36°.
21.如圖1,在△ABC中,NA3C和NAC3的平分線相交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作分別交A3和
AC于點(diǎn)E和F.
(1)求證:△BE。是等腰三角形.
(2)若AB=5,AC=4,求的周長.
【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明△BE。是等腰三角形
(2)同理可得0E=3E,再由等腰三角形的性質(zhì)得。R=RC,則△ADE的周長=A3+AC,從而得
出答案.
【解答】(1)證明:?.?ER//3C
:.ZEO
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