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文檔簡介
2026高考數(shù)學教材一一平面向量基本定理
目錄
i.平面向量基本定理定義.......................................................1
2.平面向量基本定理...........................................................1
3.推導過程和應用.............................................................2
4.歷史背景和數(shù)學家貢獻.......................................................2
5.平面向量基本定理證明.......................................................2
6.作業(yè)........................................................................3
6.1.基礎通關.................................................................3
6.2.能力進階.................................................................7
6.3.創(chuàng)新遷移................................................................14
1.平面向量基本定理定義
首先我們先來了解一下平面向量基本定理的概念:
如果e1,e2是同一平面的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向
量a,有且只有一對實數(shù)入1,入2,使a=LeI+入2e2;
我們學習了e是單位向量,那么同一平面內(nèi)的兩個不共線的單位向量e1和
e2組合在一起就稱為表示其所在平面內(nèi)的所有向量的一個基底,用{e],e2}表
Zj\O
2.平面向量基本定理
平面向量基本定理是指在同一平面內(nèi)的任意向量都可以表示為兩個不共線
向量的線性組合。具體來說,如果e】和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那
么對于該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對實數(shù)入1和入2,使得a=Mei+
A2e2o這個定理的核心要點包括以下幾個方面:
定理條件:兩個基底向量e1和e2必須不共線(即線性無關)。
存在性:平面內(nèi)任意向量a均可用這對基底線性表示。
唯一性:這種線性表示中的系數(shù)入1和入2是唯一確定的。
幾何實質(zhì):定理說明了平面向量空間的二維性,即所有向量可由兩個獨立
第1頁共16頁
方向的向量構造。
代數(shù)實質(zhì):建立了向量與有序?qū)崝?shù)對(入1,入2)的一一對應,這是坐標系建立
的基礎。
3.推導過程和應用
平面向量基本定理的推導過程包括以下幾個步驟:
基底條件:選取兩個不共線向量e1和e2作為基底,確保線性組合的獨立
性。
存在性證明:通過向量分解平行四邊形法則,證明任何向量都能表示為
入通1+入202°
唯一性證明:假設存在兩種表示方法會導致矛盾,從而證得系數(shù)的唯一
性。
幾何意義:建立了向量與坐標的一一對應關系。
4.歷史背景和數(shù)學家貢獻
平面向量基本定理是數(shù)學中關于向量空間理論的基礎之一。它為向量的坐
標表示提供了理論依據(jù),并且通過選擇不同的基底,可以靈活地建立坐標系以
簡化問題。該定理的推導源于向量加法的平行四邊形法則和數(shù)乘向量的封閉
性,體現(xiàn)了"基底”在向量運算中的核心地位。
5.平面向量基本定理證明
在了解了平面向量基本定理之后,我們需要對其進行證明。
首先,在學習平面向量的加法運算的時候,我們學習了向量加法的三角形
法則和向量加法的平行四邊形法則,根據(jù)法則,我們知道一個向量可以表示為
同一平面內(nèi)兩個向量的和,如:
第2頁共16頁
B
又通過上周學習的向量數(shù)乘運算,我們可以得到位于同一直線上的向量可
以由位于這條直線上的一個非零向量表示;
那么,針對上圖,我們?nèi)∨c向量a共線的單位向量e1和實數(shù)入1,則
2=入通1,我們?nèi)∨c向量b共線的單位向量e2和實數(shù)入2,則b=%e2,因此向量
a+b=2liei+入202,我們便得到了部分平面向量基本定理;
接下來我們證明定義中的“唯一性”:
假設存在p.1和p.2也可以表示向量a+b為y.lei+|j.2e2,則
Aiei+A2e2=|ilei+|i2e2,即(入(入2叩2/2=0,再假設入廣皿和A2-|i2不全
為零,則可以得到e1=K入2皿)/&-囪)k2或e2=[(入廣口)/(入2叩2)B,也就是說
存在非零實數(shù)可以使單位向量e1和e2相互表示,也就是說單位向量e1和e2是
共線的,這與已知的“ei,e2是同一平面的兩個不共線向量”相矛盾;
因此,我們可以得到人尸皿,入2注2,也就是說有且只有一對實數(shù)入1和入2
1兩足向量a+b=Lei+入262。
6.作業(yè)
6.1.基礎通關
(15分鐘30分)
1.設任1e}是平面內(nèi)一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是()
A.ei-e2與
B.2ei+3e2"^-4e]-6e2
Cei+2e2與2ei-e2
第3頁共16頁
111
D,-2ei+8e2與ei-4e2
【解析】選C因為只有不共線的兩個向量才能作為基底,選項A、B、D中
的兩個向量都是共線的,不可以作為基底,選項C中的兩個向量不共線,可作為基
底.
2.(2020?湖州高一檢測)在AOAB中,P為線段AB上的一點3=x3+y而,且
B?=2PA^lJ(]
2112
A.x=3,y=3B.x=3,y=3
1331
C.x=4,y=4D.x=4,y=4
【解析】選A.因為麗=2而,
所以詼芮+2函
21
即3加=23+函所以布=3瓦+3函
21
即x=3,y=3.
3.(2020?長沙高一檢測)如圖,在正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F滿
足赤二2而,那么證=(]
1111
A.2AB-3ADB.3AB+2AD
1211
C.2AB-3ADD.4AB+2AD
1212
【解析】選C記=萩+市=2丘+33=2與-3/.
【補償訓練】
如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點,F為CE的中點,則下=
第4頁共16頁
)
c
3113
A.4A5+4ADB.4AB+4AD
131
C.2AB+ADD.4AB+2AD
1
【解析】選D.根據(jù)題意得:標=2(菽+蠢),
1
又菽二標+X5,標=2福
1
所以至二2AB+ADH-AB
31
=4AB+2AD.
4.如圖所示,在6x4的方格中,每個小正方形的邊長為1,點O,A,B,C均為格點
(格點是指每個小正方形的頂點),則詼?方=
【解析】設水平向右和豎直向上的單位向量為e】和e2,則
|ei|=|e2|=l,ei-e2=0,
由題圖可知,詼=3e1+2e2,標=6ei-3e2,
夜?IS=(3ei+2e2H6e1-3e2)
=18eJ+3q-e?—6e/=12.
答案:12
:
5.已知ei,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,^a,b不能作為基底,則實數(shù)k等
于
【解析】因為a,b不能作為基底,所以a,b共線,可設aCb,入CR,則k61-e2=A
第5頁共16頁
k=-A,
(0—p)、一1=4
-!,即kei-ezCez-入e],因為e1,e2不共線,所以
所以k=l.
答案:1
補償訓練
已知eie不共線,a=ei+2e2,b=2ei+入e2,要使{a,b}能作為平面內(nèi)的一個基底,
則實數(shù)人的取值范圍為
【解析】若能作為平面內(nèi)的一個基底,
則a與b不共線.
a=ei+2e2,b=2ei+入e2,由a±kb即得入黃4.
答案:(-8,4)U(4,+8)
6.(2020?臺州高一檢測)如圖,在4ABC中,AB=2,AC=3/BAC=60。,還二2五,
CE
=2EB.
(1)求CD的長;
(2)求標?送的值.
B
1
【解析】⑴因為無=2命,所以命與贏,
1
所以而=XB-M=3戢
1—-—?
所以|而|=5AB—AC
./4AB2——TAB-AC+AC2
HX4--x2x3x-+9V67
32--
第6頁共16頁
V67
即CD的長為??;
12
(2]DE=BE-BD=-3CB+3AB
1211
=-3(AB-AC)+3AB=3AB+3AC,
所以熊?選=戢.]A■9A,
11
--*2—.......*------0-
=3AB+3AB?AC
4117
=3+3x2x3x2=3.
6.2.能力進階
(30分鐘60分)
一、單選題(每小題5分,共20分)
l.A,B,0是平面內(nèi)不共線的三個定點,且瓦=a,55=b,點P關于點A的對稱點
為Q,點Q關于點B的對稱點為R,則同等于()
A.a-bB.2(b-a)
C.2(a-b]D上-a
1
【解析】選B.如圖,a4(5?+說),
11
b=2(由+屈),相減得b-a=2(?-OP),
所以訟=2(b-a).
11
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點,則而=
()
第7頁共16頁
1111
A.2AB-2ADB.2AD-2AB
1111
C.3AB-3ADD.3AB-3AB
【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,
11
AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點,
一一]
212121r
DG=DF+FG=3DC+2FE=3AB+2(FD+DE)=3AB+2[3八“丁八口”J
2lr.11
=3AB+2卜目人電一A耳=2AB.2AD.
3.已知非零向量近,崩不共線,且2i?=x無+y9,若礪=入標(入CR),則x,y滿
足的關系式是()
A.x+y-2=0B.2x+y-l=0
C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0
【解析】選A.由談二人族,
得將一而二入◎一兩,
即方二(1+入)5X-入畫
又2O?=xOA+yOB,
%=2+2A,
所以①=一2尢消去入得x+y=2.
1
4.如圖QA二AM,0B=30N,下列以。為起點的向量中,終點落在陰影區(qū)域內(nèi)的
第8頁共16頁
11
A.0A+20BB.20A+30B
3131
C.40A+30BD.40A+50B
【解析】選C.設點C在線段AB上,
則存在實數(shù)入40,1]使得菽=入百,
所以友=(1閃出+人瓦,若友=x^+y而,
X+y=1,
xe[o,1],
([0,1],
同理可證若點C在線段MN±,OC=xlOM+ylON,
pi+7i=1,
ki£[0,1],
則點C在線段MN上Q1°,1],
因為而二2麗加=3函
12
對于A,OA+2OB=2OM+3ON,
12
因為2+3>1,
所以向量無+255的終點不在陰影內(nèi).
1111
對于B,2QA+3OB,H^J2+3<1,
所以終點落在AOAB內(nèi);
11
所以向量23+3瓦的終點不在陰影內(nèi);
3131
對于C,40A+30B=80M+90N,
3131
因為4+3>1,而8+9<1;
第9頁共16頁
31
所以向量43+3瓦的終點在陰影內(nèi);
3131
對于D,4OA+5OB,S^J4+5<1,
31
所以向量43+53的終點不在陰影內(nèi).
二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有
選錯的得0分)
5.設0是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,給出下列向量組,其中可作為這
個平行四邊形所在平面的基底的是()
A.AD與XSB.正與工
C.市與BSD.55與5s
【解析】選AC對于A,xs與而不共線;對于B,5X=-工,則5X與前共線;對
于c,五與無不共線;對于D,5B=-55,則無與55共線屈平面向量基底的概念知
A、C中的向量組可以作為平面的基底.
6.(2020?德州高一檢測)若點D,E,F分別為4ABC的邊BC,CA,AB的中點,且
AB=a,BC=b,則下列結(jié)論正確的是()
111
A.DA=a-2bB.BE=-2a+2b
111
C.CF=-2a-bD.DF=2a+2b
【解析】選BC.因為點D為邊BC的中點,
11
所以XB=X5+而+2BC=a+2b,
1
所以市=-a-2b;
因為點E為邊CA的中點,
111
所以玩=2(BA+BC)=-2a+2b;
因為點F為邊AB的中點,
第10頁共16頁
1
所以CF=CB+BF=-BC-2AB
1
=-2a-b;
因為前二菽+前二a+b,
111
所以5?=2X6=-2a-2b.
三、填空題(每小題5分,共10分)
7.如圖,在平面內(nèi)有三個向量質(zhì),無,反,|加|=|班|=1,示與面的夾角為
120°,
V3
灰與加的夾角為30。,|無|二5,設OC=mOA+nOB(m,nGR),
則m+n=
【解析】作以OC為一條對角線的平行四邊形OPCQ,
貝I]NCOQ=ZOCP=90°,
在RtAQOC中,20Q=QC,|反|二5",
則|西|=5,|近|=10,所以|次|=10,
X|OA|=|dB|=l,
所以5?=10質(zhì),的=535,
所以OC=OP+OQ=10OA+5OB,
所以m+n=10+5=15.
答案:15
8.方格紙中向量a,b,c如圖所示,若?=入2+址),則入+|i=
第11頁共16頁
【解析】設水平向右,豎直向上的單位向量分別為.任,
貝!Ja=ei+3e2,b=3ei-e2,c=5e1+5e2/
0+3〃=5,
又c=M+此,所以(3於〃二5,
'X=2,
所以W=1,即入+產(chǎn)3.
答案:3
四、解答題(每小題10分,共20分)
9.如圖,已知在梯形ABCD中,AD||BC,E,F分別是AD,BC邊上的中點,且
BC=3AD,
通=為無力試以{,1)}為基底表示前,5?.
【解析】連接FA,DF.
1
因為ADIIBC,且AD=3BC,
1111
所以X5=3玩=3b,所l)!AE=2AD=6b.
11
因為說=2前,所以說=2b,
第12頁共16頁
1
所以同=麗屈=a-2b.
所以EF=EA+AF=-AE-FA
11a
6b—Ia—匕)=上〃—'
DF=DA+AF=-(AD+FA]
=1
b~\~(a—^-bb-a.
6
10.(2020?錦州高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的
中點,G為BE與DF的交點.若AB=a,AD=b
DC
A
(1)試以{a,b}為基底表示BE,DF;
(2)求證:A,G,C三點共線.
1
【解析】(l)BE=AE-AB=2b-a,
1
DF=AF-AD=2a-b;
(2)因為D,G,F三點共線,所以DG與DF共線,
所以存在實數(shù)入使得DG=入DF,
所以AG=AD+入DF
11
=b+入2=2入+a(1一現(xiàn)
因為B,G,E三點共線,所以BG與BE共線,
所以存在實數(shù)|1,使得BGjBE,
1
所以AG=AB+p,BE=a+|la+2|ib,因為a,b不共線,
第13頁共16頁
伊=1-〃,
所以I2/解得入土=3,
111
所以XS=3(a+b)=3(前+XB)=3AC,
所以A,G,C三點共線.
6.3.創(chuàng)新遷移
1.古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時,提出了分線段的“中末
比”問題:將一線段AB分為兩線段AC,CB,使得其中較長的一段AC是全長與另一
ACBC'"-I
段CB的比例中項,即滿足茄=瓦=2,后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù),把點C稱
為線段AB的黃金分割點,在4ABC中,若點P.Q為線段BC的兩個黃金分割點,設
.yi
X?=xlX5+yl^S,X5=x2XS+y2^/M2+y2=()
ACB
A
BPQC
后■!
A.2B.2
c.北DAI
【解析】選c.由題意知,第=讖+而
(「包)3-V5
=AB+XZBC=AB+/(AC-AB)
vS-l3\三
2—*,2—*
:-AB+乙AC,
第14頁共16頁
i/5-l
---?---A--A--A2.
同理,AQ=AB+BQ=AB+?BC
y/5-1
---A2---A---*
=AB+?[AC-AB]
3-VSy/5-1
2—*2—*
="AB+」AC.
V5-13-V5
所以xl=y2=
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