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文檔簡介

2026高考數(shù)學教材一一平面向量基本定理

目錄

i.平面向量基本定理定義.......................................................1

2.平面向量基本定理...........................................................1

3.推導過程和應用.............................................................2

4.歷史背景和數(shù)學家貢獻.......................................................2

5.平面向量基本定理證明.......................................................2

6.作業(yè)........................................................................3

6.1.基礎通關.................................................................3

6.2.能力進階.................................................................7

6.3.創(chuàng)新遷移................................................................14

1.平面向量基本定理定義

首先我們先來了解一下平面向量基本定理的概念:

如果e1,e2是同一平面的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向

量a,有且只有一對實數(shù)入1,入2,使a=LeI+入2e2;

我們學習了e是單位向量,那么同一平面內(nèi)的兩個不共線的單位向量e1和

e2組合在一起就稱為表示其所在平面內(nèi)的所有向量的一個基底,用{e],e2}表

Zj\O

2.平面向量基本定理

平面向量基本定理是指在同一平面內(nèi)的任意向量都可以表示為兩個不共線

向量的線性組合。具體來說,如果e】和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那

么對于該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對實數(shù)入1和入2,使得a=Mei+

A2e2o這個定理的核心要點包括以下幾個方面:

定理條件:兩個基底向量e1和e2必須不共線(即線性無關)。

存在性:平面內(nèi)任意向量a均可用這對基底線性表示。

唯一性:這種線性表示中的系數(shù)入1和入2是唯一確定的。

幾何實質(zhì):定理說明了平面向量空間的二維性,即所有向量可由兩個獨立

第1頁共16頁

方向的向量構造。

代數(shù)實質(zhì):建立了向量與有序?qū)崝?shù)對(入1,入2)的一一對應,這是坐標系建立

的基礎。

3.推導過程和應用

平面向量基本定理的推導過程包括以下幾個步驟:

基底條件:選取兩個不共線向量e1和e2作為基底,確保線性組合的獨立

性。

存在性證明:通過向量分解平行四邊形法則,證明任何向量都能表示為

入通1+入202°

唯一性證明:假設存在兩種表示方法會導致矛盾,從而證得系數(shù)的唯一

性。

幾何意義:建立了向量與坐標的一一對應關系。

4.歷史背景和數(shù)學家貢獻

平面向量基本定理是數(shù)學中關于向量空間理論的基礎之一。它為向量的坐

標表示提供了理論依據(jù),并且通過選擇不同的基底,可以靈活地建立坐標系以

簡化問題。該定理的推導源于向量加法的平行四邊形法則和數(shù)乘向量的封閉

性,體現(xiàn)了"基底”在向量運算中的核心地位。

5.平面向量基本定理證明

在了解了平面向量基本定理之后,我們需要對其進行證明。

首先,在學習平面向量的加法運算的時候,我們學習了向量加法的三角形

法則和向量加法的平行四邊形法則,根據(jù)法則,我們知道一個向量可以表示為

同一平面內(nèi)兩個向量的和,如:

第2頁共16頁

B

又通過上周學習的向量數(shù)乘運算,我們可以得到位于同一直線上的向量可

以由位于這條直線上的一個非零向量表示;

那么,針對上圖,我們?nèi)∨c向量a共線的單位向量e1和實數(shù)入1,則

2=入通1,我們?nèi)∨c向量b共線的單位向量e2和實數(shù)入2,則b=%e2,因此向量

a+b=2liei+入202,我們便得到了部分平面向量基本定理;

接下來我們證明定義中的“唯一性”:

假設存在p.1和p.2也可以表示向量a+b為y.lei+|j.2e2,則

Aiei+A2e2=|ilei+|i2e2,即(入(入2叩2/2=0,再假設入廣皿和A2-|i2不全

為零,則可以得到e1=K入2皿)/&-囪)k2或e2=[(入廣口)/(入2叩2)B,也就是說

存在非零實數(shù)可以使單位向量e1和e2相互表示,也就是說單位向量e1和e2是

共線的,這與已知的“ei,e2是同一平面的兩個不共線向量”相矛盾;

因此,我們可以得到人尸皿,入2注2,也就是說有且只有一對實數(shù)入1和入2

1兩足向量a+b=Lei+入262。

6.作業(yè)

6.1.基礎通關

(15分鐘30分)

1.設任1e}是平面內(nèi)一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是()

A.ei-e2與

B.2ei+3e2"^-4e]-6e2

Cei+2e2與2ei-e2

第3頁共16頁

111

D,-2ei+8e2與ei-4e2

【解析】選C因為只有不共線的兩個向量才能作為基底,選項A、B、D中

的兩個向量都是共線的,不可以作為基底,選項C中的兩個向量不共線,可作為基

底.

2.(2020?湖州高一檢測)在AOAB中,P為線段AB上的一點3=x3+y而,且

B?=2PA^lJ(]

2112

A.x=3,y=3B.x=3,y=3

1331

C.x=4,y=4D.x=4,y=4

【解析】選A.因為麗=2而,

所以詼芮+2函

21

即3加=23+函所以布=3瓦+3函

21

即x=3,y=3.

3.(2020?長沙高一檢測)如圖,在正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F滿

足赤二2而,那么證=(]

1111

A.2AB-3ADB.3AB+2AD

1211

C.2AB-3ADD.4AB+2AD

1212

【解析】選C記=萩+市=2丘+33=2與-3/.

【補償訓練】

如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點,F為CE的中點,則下=

第4頁共16頁

)

c

3113

A.4A5+4ADB.4AB+4AD

131

C.2AB+ADD.4AB+2AD

1

【解析】選D.根據(jù)題意得:標=2(菽+蠢),

1

又菽二標+X5,標=2福

1

所以至二2AB+ADH-AB

31

=4AB+2AD.

4.如圖所示,在6x4的方格中,每個小正方形的邊長為1,點O,A,B,C均為格點

(格點是指每個小正方形的頂點),則詼?方=

【解析】設水平向右和豎直向上的單位向量為e】和e2,則

|ei|=|e2|=l,ei-e2=0,

由題圖可知,詼=3e1+2e2,標=6ei-3e2,

夜?IS=(3ei+2e2H6e1-3e2)

=18eJ+3q-e?—6e/=12.

答案:12

:

5.已知ei,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,^a,b不能作為基底,則實數(shù)k等

【解析】因為a,b不能作為基底,所以a,b共線,可設aCb,入CR,則k61-e2=A

第5頁共16頁

k=-A,

(0—p)、一1=4

-!,即kei-ezCez-入e],因為e1,e2不共線,所以

所以k=l.

答案:1

補償訓練

已知eie不共線,a=ei+2e2,b=2ei+入e2,要使{a,b}能作為平面內(nèi)的一個基底,

則實數(shù)人的取值范圍為

【解析】若能作為平面內(nèi)的一個基底,

則a與b不共線.

a=ei+2e2,b=2ei+入e2,由a±kb即得入黃4.

答案:(-8,4)U(4,+8)

6.(2020?臺州高一檢測)如圖,在4ABC中,AB=2,AC=3/BAC=60。,還二2五,

CE

=2EB.

(1)求CD的長;

(2)求標?送的值.

B

1

【解析】⑴因為無=2命,所以命與贏,

1

所以而=XB-M=3戢

1—-—?

所以|而|=5AB—AC

./4AB2——TAB-AC+AC2

HX4--x2x3x-+9V67

32--

第6頁共16頁

V67

即CD的長為??;

12

(2]DE=BE-BD=-3CB+3AB

1211

=-3(AB-AC)+3AB=3AB+3AC,

所以熊?選=戢.]A■9A,

11

--*2—.......*------0-

=3AB+3AB?AC

4117

=3+3x2x3x2=3.

6.2.能力進階

(30分鐘60分)

一、單選題(每小題5分,共20分)

l.A,B,0是平面內(nèi)不共線的三個定點,且瓦=a,55=b,點P關于點A的對稱點

為Q,點Q關于點B的對稱點為R,則同等于()

A.a-bB.2(b-a)

C.2(a-b]D上-a

1

【解析】選B.如圖,a4(5?+說),

11

b=2(由+屈),相減得b-a=2(?-OP),

所以訟=2(b-a).

11

2.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點,則而=

()

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1111

A.2AB-2ADB.2AD-2AB

1111

C.3AB-3ADD.3AB-3AB

【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,

11

AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點,

一一]

212121r

DG=DF+FG=3DC+2FE=3AB+2(FD+DE)=3AB+2[3八“丁八口”J

2lr.11

=3AB+2卜目人電一A耳=2AB.2AD.

3.已知非零向量近,崩不共線,且2i?=x無+y9,若礪=入標(入CR),則x,y滿

足的關系式是()

A.x+y-2=0B.2x+y-l=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

【解析】選A.由談二人族,

得將一而二入◎一兩,

即方二(1+入)5X-入畫

又2O?=xOA+yOB,

%=2+2A,

所以①=一2尢消去入得x+y=2.

1

4.如圖QA二AM,0B=30N,下列以。為起點的向量中,終點落在陰影區(qū)域內(nèi)的

第8頁共16頁

11

A.0A+20BB.20A+30B

3131

C.40A+30BD.40A+50B

【解析】選C.設點C在線段AB上,

則存在實數(shù)入40,1]使得菽=入百,

所以友=(1閃出+人瓦,若友=x^+y而,

X+y=1,

xe[o,1],

([0,1],

同理可證若點C在線段MN±,OC=xlOM+ylON,

pi+7i=1,

ki£[0,1],

則點C在線段MN上Q1°,1],

因為而二2麗加=3函

12

對于A,OA+2OB=2OM+3ON,

12

因為2+3>1,

所以向量無+255的終點不在陰影內(nèi).

1111

對于B,2QA+3OB,H^J2+3<1,

所以終點落在AOAB內(nèi);

11

所以向量23+3瓦的終點不在陰影內(nèi);

3131

對于C,40A+30B=80M+90N,

3131

因為4+3>1,而8+9<1;

第9頁共16頁

31

所以向量43+3瓦的終點在陰影內(nèi);

3131

對于D,4OA+5OB,S^J4+5<1,

31

所以向量43+53的終點不在陰影內(nèi).

二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有

選錯的得0分)

5.設0是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,給出下列向量組,其中可作為這

個平行四邊形所在平面的基底的是()

A.AD與XSB.正與工

C.市與BSD.55與5s

【解析】選AC對于A,xs與而不共線;對于B,5X=-工,則5X與前共線;對

于c,五與無不共線;對于D,5B=-55,則無與55共線屈平面向量基底的概念知

A、C中的向量組可以作為平面的基底.

6.(2020?德州高一檢測)若點D,E,F分別為4ABC的邊BC,CA,AB的中點,且

AB=a,BC=b,則下列結(jié)論正確的是()

111

A.DA=a-2bB.BE=-2a+2b

111

C.CF=-2a-bD.DF=2a+2b

【解析】選BC.因為點D為邊BC的中點,

11

所以XB=X5+而+2BC=a+2b,

1

所以市=-a-2b;

因為點E為邊CA的中點,

111

所以玩=2(BA+BC)=-2a+2b;

因為點F為邊AB的中點,

第10頁共16頁

1

所以CF=CB+BF=-BC-2AB

1

=-2a-b;

因為前二菽+前二a+b,

111

所以5?=2X6=-2a-2b.

三、填空題(每小題5分,共10分)

7.如圖,在平面內(nèi)有三個向量質(zhì),無,反,|加|=|班|=1,示與面的夾角為

120°,

V3

灰與加的夾角為30。,|無|二5,設OC=mOA+nOB(m,nGR),

則m+n=

【解析】作以OC為一條對角線的平行四邊形OPCQ,

貝I]NCOQ=ZOCP=90°,

在RtAQOC中,20Q=QC,|反|二5",

則|西|=5,|近|=10,所以|次|=10,

X|OA|=|dB|=l,

所以5?=10質(zhì),的=535,

所以OC=OP+OQ=10OA+5OB,

所以m+n=10+5=15.

答案:15

8.方格紙中向量a,b,c如圖所示,若?=入2+址),則入+|i=

第11頁共16頁

【解析】設水平向右,豎直向上的單位向量分別為.任,

貝!Ja=ei+3e2,b=3ei-e2,c=5e1+5e2/

0+3〃=5,

又c=M+此,所以(3於〃二5,

'X=2,

所以W=1,即入+產(chǎn)3.

答案:3

四、解答題(每小題10分,共20分)

9.如圖,已知在梯形ABCD中,AD||BC,E,F分別是AD,BC邊上的中點,且

BC=3AD,

通=為無力試以{,1)}為基底表示前,5?.

【解析】連接FA,DF.

1

因為ADIIBC,且AD=3BC,

1111

所以X5=3玩=3b,所l)!AE=2AD=6b.

11

因為說=2前,所以說=2b,

第12頁共16頁

1

所以同=麗屈=a-2b.

所以EF=EA+AF=-AE-FA

11a

6b—Ia—匕)=上〃—'

DF=DA+AF=-(AD+FA]

=1

b~\~(a—^-bb-a.

6

10.(2020?錦州高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的

中點,G為BE與DF的交點.若AB=a,AD=b

DC

A

(1)試以{a,b}為基底表示BE,DF;

(2)求證:A,G,C三點共線.

1

【解析】(l)BE=AE-AB=2b-a,

1

DF=AF-AD=2a-b;

(2)因為D,G,F三點共線,所以DG與DF共線,

所以存在實數(shù)入使得DG=入DF,

所以AG=AD+入DF

11

=b+入2=2入+a(1一現(xiàn)

因為B,G,E三點共線,所以BG與BE共線,

所以存在實數(shù)|1,使得BGjBE,

1

所以AG=AB+p,BE=a+|la+2|ib,因為a,b不共線,

第13頁共16頁

伊=1-〃,

所以I2/解得入土=3,

111

所以XS=3(a+b)=3(前+XB)=3AC,

所以A,G,C三點共線.

6.3.創(chuàng)新遷移

1.古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時,提出了分線段的“中末

比”問題:將一線段AB分為兩線段AC,CB,使得其中較長的一段AC是全長與另一

ACBC'"-I

段CB的比例中項,即滿足茄=瓦=2,后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù),把點C稱

為線段AB的黃金分割點,在4ABC中,若點P.Q為線段BC的兩個黃金分割點,設

.yi

X?=xlX5+yl^S,X5=x2XS+y2^/M2+y2=()

ACB

A

BPQC

后■!

A.2B.2

c.北DAI

【解析】選c.由題意知,第=讖+而

(「包)3-V5

=AB+XZBC=AB+/(AC-AB)

vS-l3\三

2—*,2—*

:-AB+乙AC,

第14頁共16頁

i/5-l

---?---A--A--A2.

同理,AQ=AB+BQ=AB+?BC

y/5-1

---A2---A---*

=AB+?[AC-AB]

3-VSy/5-1

2—*2—*

="AB+」AC.

V5-13-V5

所以xl=y2=

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