4<04號(hào)K與系等K候合（金基洋系等W）

十年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1不等式2019?全國(guó)卷、2018?全國(guó)卷、2017?山東卷、1.梳理等式的性質(zhì)，理解不

的性質(zhì)2016?浙江卷、2016?北京卷、2016?全國(guó)卷、等式的概念，掌握不等式的

（10年5考）2015?浙江卷性質(zhì)，能夠利用不等式的性

2024?全國(guó)新I卷、2024?上海卷、2023?全國(guó)質(zhì)比較不等式的大小關(guān)系

考點(diǎn)2解不等新I卷、2.理解、掌握基本不等式及

式2020?全國(guó)卷、2019?全國(guó)卷、2019?天津卷、其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：

（10年10考）2018?全國(guó)卷、2017?天津卷、2015?江蘇卷、“一正，二定，三相等”，能

2015?廣東卷正確處理常數(shù)“1”求最值，能

用拼湊等思想合理使用基

本不等式求最值，能熟練掌

2024?北京卷、2021?全國(guó)乙卷、2021?全國(guó)新握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用

考點(diǎn)3基本不

I卷于函數(shù)和解析幾何的求解

等式

2020.全國(guó)卷、2015?四川卷、2015?陜西卷過(guò)程中求最值

（10年4考）

2015?湖南卷、2015?福建卷3.本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的

?？純?nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件

等式考查拼湊思想來(lái)使用

基本不等式求最值，或者和

其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏

上。

分考小精準(zhǔn)練)

考點(diǎn)01不等式的性質(zhì)

1.(2019?全國(guó)?高考真題)若a>b,則

A.ln(t/-Z?)>0B.3a<36

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

【答案】C

【分析】本題也可用直接法，因?yàn)椤?gt;>，所以°-6>0,當(dāng)。-6=1時(shí)，ln(a-6)=0,知A錯(cuò)，因

為尸3,是增函數(shù)，所以3。>3〃，故B錯(cuò)；因?yàn)槟己瘮?shù)y=V是增函數(shù)，…所以/>>3,知c

正確；取。=1力=-2,滿足a>b,1=網(wǎng)<同=2,知D錯(cuò).

【詳解】取。=28=1,滿足。>。，ln(a->)=0,知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3">3〃=3,知B錯(cuò)，

排除B；取"1]=-2,滿足1=時(shí)<網(wǎng)=2,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)槔酆瘮?shù)y=苫3是增函數(shù)，

a>b,所以〃3>53,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、累函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯

推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

2.(2018?全國(guó)?高考真題)設(shè)6=log?0.3,則

A.a+b<ab<GB.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【詳解】分析：求出工=陛0.3。2,：=00.32,得到；的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.

abab

詳解：.?.F=log0.2°3,b=/og2°3

.?.-=log0.302,-=Zog0.32

ab

11…

?一+工=/z叫30,4

ab

八111目口八a+b1

..0<—i—<1,即0<----<1

abab

又a>0,b<0

/.ab<0BPab<a+b<0

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題.

3.（2017?山東?高考真題）若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

A17

bz、-bA1

A.<2+—<—<log2{a+b）B.-<log2（4Z+/7）<?+—

-1i/1、br1/,、1

C.log（（7+/?）<—<a+<b

a+—<2D.log2（tz+/?）^^a

【答案】B

【詳解】因?yàn)閍>8>0,且歷=1,所以a>l,0<6<l,.q〈l,k）g2（a+b）〉log22?^=L

設(shè)=X-x,（x>1）,則/\x）=2'ln2-l>0,所以f（x）=2~（尤>1）單調(diào)遞增,

1>a+4+6nJ

所以2曾>log（（7+b）,所以選B.

bb2

【名師點(diǎn)睛】比較易或?qū)?shù)值的大小，若塞的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或

對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)

較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

4.(2016?浙江,高考真題)已知a,b>0,且awl,bwl.若log06>l,則

A.(a-W-l)<0

B.(a—l)(a—Z?)>0

C.(i)-lXi-a)<0

D.(b-l)(b-a)>0

【答案】D

【詳解】試題分析：loga>log“a=l,

當(dāng)a>l時(shí)，b>a>\,.".a-l>0,b-a>0,b-l>0,a-b<0,

/.(a-1)(Z?—1)>0,(a—1)(〃-3(0,(b-1)(Z?-a))0.

當(dāng)Ovavl時(shí)，:.0<b<a<l,.\a-l<0,b-a<0,b-l(0,a-b^0,

.1(a—1)。一D>O,(a-l)(。一3(0,。一DS—a)〉0.觀察各選項(xiàng)可矢口選D.

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在解不等式1。&匕>1時(shí)，一定要注意對(duì)。分為。>1和。<”1兩種情況進(jìn)行討論，否

則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

5.(2016?北京?高考真題)已知且x>y>0,則

11c

A.---->0

xy

B.sinx-siny>0

c.(1r-(|)?<o

D.lnx+lny>0

【答案】C

1111

【詳解】試題分析：A：由x>y>0,得一〈一，即土一二《蒯，A不正確；

xy獷解

B：由x>J>0及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知sinx-sin卜>0不一定成立;

C：由x>>'>0,得故。）'一4）'<0，C正確；

D：由X>N>0,得q>0,但xy的值不一定大于1,故lnx+lny=ln孫>。不一定成立，故選C.

【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的判斷：⑴常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法.

⑵兩個(gè)增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；

⑶奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上

有相反的單調(diào)性.

6.（2016,全國(guó)?高考真題）若》>1,0<c<l,則

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.log“c<log〃c

【答案】C

【詳解】試題分析：用特殊值法，令“=3,b=2,c=g得（>2]選項(xiàng)A錯(cuò)誤，3X2；>2X3；，

選項(xiàng)B錯(cuò)誤，logs：>log2g,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

因?yàn)閍logQblogaCTgc?（2-3）=恒°（^7T;.1<芹</<廢

lgbIgaIgblga

...1g：,Jg1>0...o<°<i...坨°<0。c<blog”c選項(xiàng)C正確，故選C.

Ig^lga

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】比較幕或?qū)?shù)值的大小，若幕的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.

7.（2015?浙江?高考真題）設(shè)6是實(shí)數(shù)，則”a+）>0"是"而>0"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】本題采用特殊值法：當(dāng)。=3,6=-1時(shí),a+b>0,但就<0,故是不充分條件；當(dāng)°=-3,6=-1

時(shí)，曲>0,但a+6<0,故是不必要條件.所以"a+6>0”是"而>0"的既不充分也不必要條件.故

選D.

考點(diǎn)：1.充分條件、必要條件；2.不等式的性質(zhì).

考點(diǎn)02解不等式

1.（2024?全國(guó)新I卷?高考真題）已知集合4=伸-5<丁<5},8={-3,-1,0,2,3},則4口8=（）

A.{-1,。}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2）

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={x|-指<將},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈為<2,

從而人9={-1，。}.

故選：A.

2.（2024?上海?高考真題）已知尤eR，則不等式*2一2》-3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/一2了-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程d-2x-3=0的解為》=-1或x=3,

故不等式/-2彳-3<0的解集為{x|-l<x<3},

故答案為：{x|-l<%<3}.

3.(2023,全國(guó)新I卷?高考真題)已知集合"={-2,-1,0,1,2},N=?-》-6叫，則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合”中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)镹={#2r_620}=(-8,-2]33，+8),而注={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)?={-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式￡_>620,只有-2使不等式成立，

所以McN={-2}.

故選：C.

4.(2020?全國(guó)?高考真題)已知集合4={闌/一3工一4<0},3=1』,3,5},則4門3=()

A.UB.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4之后利用交集中元素的特征求得AcB,得到結(jié)

果.

【詳解】由f-3尤-4<0解得-l<x<4,

所以A={x[—l<x<4},

又因?yàn)?={T,1,3,5},所以標(biāo)={1,3},

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合,

集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

5.(2019?全國(guó)?高考真題)設(shè)集合A={x|國(guó)-5x+6>0},B={x|x-l<0},則AnB=

A.(-00,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【詳解】由題意得，&={小{2或尤)3},2={小<1},則Ac3={x|x<l}.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目.

6.(2019?天津?高考真題)設(shè)xeR,使不等式3/+尸2<0成立的x的取值范圍為.

【答案】

【分析】通過(guò)因式分解，解不等式.

【詳解】+x-2<0,

BP(x+l)(3x-2)<0,

2

即-1<x<—,

故1的取值范圍是(T：).

【點(diǎn)睛】解一元二次不等式的步驟：⑴將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；⑵解相應(yīng)的一元二次方程；⑶

根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向畫圖；⑷寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有:

①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正，對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯(cuò)；③結(jié)果未按要求寫成集合.

7.(2018?全國(guó)?高考真題)已知集合人={由2-尤-2>0},則”=

A.{x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}

C.{x|x<-l}u|x|x)2}D.1x|x<-1}u{xI%22}

【答案】B

【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出二7-2>0的解集，從而求得集合A,

之后根據(jù)集合補(bǔ)集中元素的特征，求得結(jié)果.

詳解：解不等式V-x-2>0得彳<-由>2,

所以A={x[x<-1或x>2},

所以可以求得CRA={X|T〈XW2},故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中,

需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.

f-x+3,無(wú)W1,

8.（2017?天津?高考真題）已知函數(shù)/（尤）=721設(shè)。€尺，若關(guān)于x的不等式“x）2|[+a|

XH—,X>1.2

在R上恒成立，則。的取值范圍是

474739r~39

A.[---,2]B.C.[一26,2]D.[—2^r3,—]

16161616

【答案】A

【詳解】不等式小注為-+⑴（*）,

yyQ

當(dāng)工《1時(shí)，（*）式即為一爐+x-3<—+tz<x2-x+3,-x2+--3<a<x2--x+3,

又一小+彳-3=一（％—；）2_2（_￥（%=；時(shí)取等號(hào)），

24161b4

V—?jiǎng)?wù)+罵桀（X=1時(shí)取等號(hào)），

2416164

4739

所以---<a<—,

〃1616

9Y?3?r9

當(dāng)x〉l時(shí)，（*）式為一％?—\-a<x-\—,—x<a<—I—,

x2x2x2x

又一|■兀一2=-（1%+2"-26（當(dāng)x=3叵時(shí)取等號(hào)），

2x2x3

^+->2AEI=2（當(dāng)％=2時(shí)取等號(hào)），

2xV2x

所以-2a。42,

47

綜上—故選A.

16

【考點(diǎn)】不等式、恒成立問(wèn)題

【名師點(diǎn)睛】首先滿足“%）之>。轉(zhuǎn)化為-/⑴-白江/⑺V去解決，由于涉及分段函數(shù)問(wèn)題

乙乙乙

要遵循分段處理原則，分別對(duì)尤的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對(duì)每種情況根據(jù)X的范圍，利用

極端原理，求出對(duì)應(yīng)的。的范圍.

9.（2015?江蘇,高考真題）不等式2，」<4的解集為.

【答案】（-t2）.

【詳解】試題分析：本題是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)式的大小比較，這種題目需要先把底數(shù)化為相同的

形式，即底數(shù)化為2,根據(jù)函數(shù)是一個(gè)遞增函數(shù)，寫出指數(shù)之間的關(guān)系得到未知數(shù)的范圍.

...2廠-工<4，

<2，

=是一個(gè)遞增函數(shù)；

二/一工<2=-1<%<2

故答案為卜-1<x<2）.

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊性

10.（2015,廣東,高考真題）不等式--_3*+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

【答案】（T,l）

【詳解】由-/-3犬+4<0得：T<x<l,所以不等式*_3x+4>0的解集為（Tl）,所以答案應(yīng)

填：（T1）.

考點(diǎn)：一元二次不等式.

考點(diǎn)03基本不等式

1.（2024?北京?高考真題）已知（/%）,（%,%）是函數(shù)'=2'的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）

A.logB.

2222

C.log?%；%D.log.%>&+%

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)占<々，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2為<2*,即。<%<%,

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得至土生>萬(wàn)尹2=手，即21±&>2*>0,

22

X+%2.

根據(jù)函數(shù)y=log2X是增函數(shù)，所以咋2號(hào)直>1嗎2{'=號(hào)，故B正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如％=。,%2=例則M=l，%=2,

可得logz^^logz^.O，】），即1?！┻?<1=&+々，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如再=-1,%=-2,則%=：,%=；,

可得bg224及=1°82：=陛23-3€（-2,-1）,即log?>-3=再+%2,故C錯(cuò)誤，

ZoZ

故選：B.

2.（2021,全國(guó)乙卷?高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.=lsinxl+|^|

4

C.y=2"+2D.y=]nx+

Inx

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等",

即可得出不符合題意，C符合題意.

【詳解】對(duì)于A,y=f+2x+4=（x+l）2+323,當(dāng)且僅當(dāng)尸-1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A

不符合題意；

對(duì)于B,因?yàn)?＜而小1,y=binx|+高224=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inR=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，

Sill

所以其最小值不為4,B不符合題意；

4L

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2工＞0,y=2，+22T=2'+/224=4,當(dāng)且僅當(dāng)2-2,即x=l

時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

對(duì)于D,y=lnx+-^-,函數(shù)定義域?yàn)椋∣,l）U（l，+00）,而In尤eR且In尤片0,如當(dāng)In尤=-1,y=-5,

Inx

D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等"的意義，再結(jié)合

有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

3.（2021?全國(guó)新I卷,高考真題）已知％B是橢圓C：三+口=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，

94

則閭的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到阿耳|+|〃囚=2。=6,借助基本不等式

即可得到答案.

|MFI|.|MF2|<^M±K^|

【詳解】由題，〃=9萬(wàn)=4,則|町|+幽閭=2a=6,

所以阿7訃|班|4網(wǎng)呼陽(yáng)）=9（當(dāng)且僅當(dāng)|嗎|=M用=3時(shí)，等號(hào)成立）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

22

4.（2020?全國(guó)?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線彳=。與雙曲線C：,W=l（a>0,6>0）的兩條漸近

線分別交于。I兩點(diǎn)，若AO國(guó)的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】因?yàn)閁1-1=l（“>0力>。），可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線x=a聯(lián)立方

aba

程求得O,E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得IE0,根據(jù)△ODE的面積為8,可得H值，根據(jù)2c=242+6，

結(jié)合均值不等式，即可求得答案.

22

【詳解】???勺-^=l（a>0,b>0）

二雙曲線的漸近線方程是y=土巳》

a

22

,??直線x=。與雙曲線C:十分=1（°>0乃>0）的兩條漸近線分別交于。，E兩點(diǎn)

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

X-ar_

聯(lián)立b,解得“u

y=—x[y=b

Ia

故。（。,6）

x=a

x=a

聯(lián)立b,解得

y=——%y=-b

、a

故

:.\ED\=2b

「.△ODE面積為：SAODE=；a義2b=ab=8

22

???雙曲線C撩_齊=1（〃>08>0）

-,?其焦是巨為2c=2荷+/>2y/2^b=2A/16=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=20取等號(hào)

??.C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均

值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和

計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.（2015?四川,高考真題）如果函數(shù)=（伽-2）尤2+（〃-8"+1（7讓0,〃20）在區(qū)間；,2上單調(diào)

遞減，則mn的最大值為

A.16B.18C.25D.—

2

【答案】B

【詳解】加/2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為尤=-丫.據(jù)題意，當(dāng)加>2時(shí)，-空122即2〃?+〃412.

m-2m-2

i----2m+H

,/yllm-n<——-—W6,「.加〃?18.由2根=〃且2m+〃=12得根=3,〃=6,當(dāng)機(jī)<2時(shí),拋物線開(kāi)口向下,

據(jù)題意得,-——<—BP"z+2〃W18.:>i2nm<+m<9,/.mn<—.由2"=加且加+2/=18得力=9>2,