第三章整式的加減知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

整

式

的

加去括號(hào)

減-合并同類項(xiàng)

整式的加減運(yùn)算

整式加減化簡求直

整式加減的應(yīng)用

整式加減中無關(guān)型問題

日歷中的規(guī)律

數(shù)字中的規(guī)律

圖形中的規(guī)律

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)1：代數(shù)式

i.定義：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做

代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

1

注意:

①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)；

②代數(shù)式中不含有“=、＞、＜、W”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子

一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問題的要符合實(shí)際問題的意義。

2.代數(shù)式的書寫格式：

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如2-xa應(yīng)寫作,a；

33

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“x”號(hào)，即“X”號(hào)不省略；

4

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般寫成分?jǐn)?shù)的形式，如44-(a-4)應(yīng)寫作——；注意：分?jǐn)?shù)線具有

a-4

“七”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。

⑥在表示和(或)差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，

如(。2一//)平方米。

知識(shí)點(diǎn)2：單項(xiàng)式

1.單項(xiàng)式定義

(1)定義：由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式。

說明：單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者單獨(dú)的一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).

r21

說明：(1)單項(xiàng)式的系數(shù)可以是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。如3/的系數(shù)是3；絲的系數(shù)是已；4.8。

33

的系數(shù)是4.8；

(2)單項(xiàng)式的系數(shù)有正有負(fù)，確定一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號(hào)

如—4孫2的系數(shù)是—4；—(2/y)的系數(shù)是—2；

(3)對(duì)于只含有字母因數(shù)的單項(xiàng)式，其系數(shù)是1或一1,不能認(rèn)為是0,如-a/的系數(shù)是/；的系

數(shù)是1；

2

（4）表示圓周率的n,在數(shù)學(xué)中是一個(gè)固定的常數(shù)，當(dāng)它出現(xiàn)在單項(xiàng)式中時(shí)，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部

分，而不能當(dāng)成字母。如2mxy的系數(shù)就是2.

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：

一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

說明：

（1）計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況。如單項(xiàng)式2/y2z

的次數(shù)是字母z,y,X的指數(shù)和，即4+3+1=8,而不是7次，應(yīng)注意字母z的指數(shù)是1而不是0；

（2）單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)。如單項(xiàng)式-24/y3z4的次數(shù)是2+3+4=9

而不是13次；

（3）單項(xiàng)式是一個(gè)單獨(dú)字母時(shí)，它的指數(shù)是1,如單項(xiàng)式m的指數(shù)是1,單項(xiàng)式是單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)時(shí)，一

般不討論它的次數(shù)；

4、在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號(hào)，通常將乘號(hào)寫作“*”或者省略不寫。

例如：lOOx/可以寫成100?f或100/

5、在書寫單項(xiàng)式時(shí)，數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).

知識(shí)點(diǎn)3:多項(xiàng)式

1、定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.

2、多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).

3、多項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù).

4、多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).

5、常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式里，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)4：整式

（1）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

（2）單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。

（3）整式不一定是單項(xiàng)式。

（4）整式不一定是多項(xiàng)式。

（5）分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。

3

知識(shí)點(diǎn)5：同類項(xiàng)

L定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2.合并同類項(xiàng)：

（1）合并同類項(xiàng)的概念：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。

（2）合并同類項(xiàng)的法則：

同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

（3）合并同類項(xiàng)步驟：

a.準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng)。

b.逆用分配律，把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號(hào)），字母和字母的指數(shù)不變。

c.寫出合并后的結(jié)果。

（4）在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意：

a.如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0.

b.不要漏掉不能合并的項(xiàng)。

c,只要不再有同類項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）。

說明：合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵是正確判斷同類項(xiàng)。

03題型歸納

題型一用代數(shù)式表示式

例題1.如圖，陰影部分面積的表達(dá)式為（）

12B

A.ab+-7ia-防-|囪2

4

鞏固訓(xùn)練

1.用代數(shù)式表示x的3倍與y的平方的差為（）

A.3%—y2B.3x—yC.(3x—y)2D.3(%-y)2

2.一個(gè)矩形的周長為30,若矩形的一邊長用字母x表示，則此矩形的面積為（）

A.x(15—%)B.x(30—%)C.x(30—2x)D.x(15+%)

4

3.甲數(shù)是a,比乙數(shù)的3倍少b,表示乙數(shù)的式子是（）

A.3a-bB.a+3—bC.(a+b)+3D.(a—b)+3

題型二用代數(shù)式的概念及意義

例題2.下列代數(shù)式符合通常書寫規(guī)范的是（）.

A.aX4B.1-aC.s+1D.(a+1)元

3

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式中，書寫正確的是（）

211

A.xz7y-B.1-mnC.%+yD.i(a+力)

J32

2.代數(shù)式5（y-5）的正確含義是（

A.5乘y減5B.y的5倍減去5

C.y與5的差的5倍D.5與y的積減去5

3.一種商品每件成本a元，原來按成本增加22%定出價(jià)格，現(xiàn)在由于庫存積壓減價(jià)，按原價(jià)的85%出售,

現(xiàn)售價(jià)是元.

題型三求代數(shù)式的值

例題3.若/+3乂的值為12,則3/+9x—2的值為（）

A.0B.24C.34D.44

鞏固訓(xùn)練

1.已知|優(yōu)|=5,\n\=4,且?n?i>0,則zn+九的值是（）

A.-9B.-1C.9D.9或一9

2.若代數(shù)式x+2y的值是3,則代數(shù)式2x+4y-2023的值是

3.若a2-3a+2=5,貝U3a2-9a+2022的值是.

題型四單項(xiàng)式的判斷

例題.有下列代數(shù)式:1“-2,8久3,一,其中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為（）

4m,—3,-a,12,x-

A.2個(gè)B.3個(gè)c.4個(gè)D.5個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.系數(shù)是，的單項(xiàng)式是()

X

A.--B.c.—5miD.-"1

5a5

5

2.下列代數(shù)式中，是單項(xiàng)式的是（）

A.-2B.-xy+yC.-xD.—2

3.代數(shù)式5%+y,|a2h,?，0.5,其中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

題型五單項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)

例題5.單項(xiàng)式-7的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A.系數(shù)是-5,次數(shù)是3B.系數(shù)是號(hào)次數(shù)是4

C.系數(shù)是號(hào)，次數(shù)是3D.系數(shù)是5,次數(shù)是5

鞏固訓(xùn)練

1.單項(xiàng)式-?的系數(shù)是,次數(shù)是.

2.單項(xiàng)式3y2的次數(shù)是,系數(shù)是.

題型六多項(xiàng)式的判斷

例題6.下列式子工ab,—,-+/+*一3中，多項(xiàng)式有（）

32xy

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.下列式子：2a2h3孫一2y2,學(xué),4,一TH,史M其中是多項(xiàng)式的有（）

211

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.代數(shù)式2a+6,—,-7,--a2bc,維中，多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（）

r42

A.2B.3C.4D.5

3.下列式子：①a2b+ab—〃；②0；③—半；④—％+三；⑤手;⑥上多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（）

3y2x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題型七多項(xiàng)式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)或次數(shù)

6

例題7.對(duì)于多項(xiàng)式7x2—3x-5,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.它是二次三項(xiàng)式B.各項(xiàng)分別是7/,3x,5

C.最高次項(xiàng)的系數(shù)是7D.常數(shù)項(xiàng)是-5

鞏固訓(xùn)練

1.多項(xiàng)式4a3b3一Qab+7a2b-15的二次項(xiàng)系數(shù)是,三次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是

次數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)是.

2.多項(xiàng)式2a3爐—3a2b+a-4的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)分別為.

3.多項(xiàng)式a，—2a2b+b4的次數(shù)是,項(xiàng)數(shù)是.

題型八多項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)中字母求值

例題8.如果多項(xiàng)式5久a—(b—3)x+6是關(guān)于X的二次二項(xiàng)式，那么a,b的值可能是()

A.a=l,b=3B.a=l,b=4C.a=2,b=3D.a=2,b=4

鞏固訓(xùn)練

1.多項(xiàng)式％2y17nl+(TH+l)%y+2是關(guān)于X,＞的三次二項(xiàng)式，則機(jī)的值是()

A.±1B.-1C.1D.±3

2.多項(xiàng)式％㈤-(TH-4)%+7是關(guān)于次的四次三項(xiàng)式，則機(jī)的值是()

A.-2B.4C.-4D.4或一4

題型九去括號(hào)和添括號(hào)

例題9.先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：

(l)(2m-3)+m—(3m—2)；

(2)4%—2(—5%+3%—6).

鞏固訓(xùn)練

7

1.將下列各式去括號(hào)，并合并同類項(xiàng).

(l)(7y—2%)—(7%—4y)(2)(—h+3a)—(a—b)

(3)(2x-5y)—(3%—5y+1)(4)2(2-7%)-3(6%+5)

2

(5)(—8x+6x)—5(公—+0(6)(3Q2+2a—1)—2(Q2—3a—5)

題型十同類項(xiàng)和合并同類項(xiàng)

例題10.已知單項(xiàng)式4久2ym與單項(xiàng)式_3比陟6是同類項(xiàng)，則加一元的值為()

A.-4B.8C.4D.-8

鞏固訓(xùn)練

1.下列各題中的兩個(gè)項(xiàng)，不屬于同類項(xiàng)的是()

22222

A.2xy-^—^yxB.1與-3?C.ab-^5x10baD.1n12rl與n27n

2.若5a與一2立3>+1是同類項(xiàng)，則代數(shù)式2%+3y的值()

A.4B.3C.2D.1

3.若單項(xiàng)式2久mTy2與單項(xiàng)式1%2yn+l是同類項(xiàng)，則小點(diǎn)的值為()

A.2B.-2C.3D.-3

題型十一整式的加減運(yùn)算

例題11.化簡：

(1)3(2%-7y)-(4x-10y)；(2)3a2-(3b+4a2)-4(b-7a2-76).

鞏固訓(xùn)練

8

1.化簡：

(1)%—(2%—y)+(3%-2y)；

(2)2(a2b+3ab)—(2ab—a2b—1).

2.已知A—4a2+2a—1,B——2a?+6a—1.求:

(1)271-B；

(2)—34-2B.

3.化簡

(1)—xy2+3y2x+x2；

(2)3(—ctb+2a)—(3a—b)+3ab.

題型十二整式的加減中的化簡求值

例題12.先化簡，再求值：

(l)2a2—[a2—2(aZ?—ab2)+2ab]+3ab2,其中a=-3,b=2

(2)(2——2y2)—3(%y3+%2)+3(%y3+y2),其中久=—1,y=2

鞏固訓(xùn)練

9

1.先化簡，再求值：4xy+(3x2-2xy)-2(3xy+6),其中久=—l,y=2.

2.先化間，再求值：—2(鼻a?+2a—1)+3(a+—a?),其中a=-5.

3.先化簡，再求值：2(a?b+ab?)—2(a2b—1)—a/—2,其中a=1,b=—3.

題型十三整式加減的應(yīng)用

例題13.小紅臥室的窗戶上半部分是由4個(gè)扇形組成的半圓形，下半部分為4個(gè)大小一樣的長方形組成

的大長方形，小長方形的長和寬的比為3:2,已知小長方形的長為a.

(1)求這個(gè)窗戶的面積和窗戶外框的總長.

(2)小紅想給窗戶上方做裝飾物，裝飾物所占的面積為上半部分半圓面積的求窗戶中能射進(jìn)陽光的部

分的面積(窗框面積忽略不計(jì)).

鞏固訓(xùn)練

10

1.體育分值在中考總分中的比例逐漸加大，某校為適應(yīng)新中考要求，決定采購一批某品牌足球和跳繩,

用于學(xué)生訓(xùn)練，學(xué)校查閱天貓網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)足球每個(gè)定價(jià)129元，跳繩每條定價(jià)19元，現(xiàn)有A,2兩家網(wǎng)

店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案，A網(wǎng)店：買一個(gè)足球送一條跳繩；8網(wǎng)店：足球和跳繩

都按定價(jià)的90%付款，已知學(xué)校要采購足球100個(gè)，跳繩x條(尤＞100).

(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示在這兩家網(wǎng)店購買，各需付款多少元？

(2)若x=300時(shí)，通過計(jì)算說明此時(shí)在哪家網(wǎng)店購買較為合算？

2.如圖，長為60cm,寬為x(cm)的大長方形被分割成7小塊，除陰影4,B外，其余5塊是形狀、大小完全

相同的小長方形.其較短一邊長為y(cm).

(1)從圖中可知，這5塊完全相同的小長方形中，每塊小長方形較長邊的長是cm(用含y的代數(shù)

式表示).

(2)分別計(jì)算陰影4B的周長(用含x,y的代數(shù)式表示).

(3)陰影2與陰影B的周長差會(huì)不會(huì)隨著x的變化而變化？請(qǐng)說明理由.

3.如圖，一塊長方形鐵皮的長為(7a+6)米，寬為(6+2a+2b)米.將這塊長方形鐵皮的四個(gè)角都剪去一

11

個(gè)邊長為(a+6)米的正方形，然后沿虛線折成一個(gè)無蓋的長方體盒子.

(1)求這個(gè)盒子底部的長和寬(用含a、6的式子表示，要求化簡);

(2)求這塊長方形鐵皮的周長(用含a、6的式子表示，要求化簡);

題型十四整式加減中的無關(guān)型問題

例題14一已知4=3x2+2xy+3y-1,B=3x2—3xy.

(1)計(jì)算A+2B；

(2)若4+2B的值與y的取值無關(guān)，求久的值.

鞏固訓(xùn)練

1.已知A=2x2+xy+2y—1,B—x2+xy.

(1)當(dāng)久=—Ly=2時(shí)，求4一2B的值；

(2)若24—4B的值與y無關(guān)，求x的值.

2.已知4--3x—4xy+3y,B——2x+xy.

12

⑴當(dāng)x+y=|,xy=—1時(shí)，求4—3B的值.

(2)若4—3B的值與x的取值無關(guān)，求y的值.

3.已知代數(shù)式4=3x2+2xy+2y,B—xy+x2—2x

(1)求4-3B；

(2)當(dāng)x=—l,y=2時(shí)，求4—3B的值.

(3)若4-3B的值與x的取值無關(guān)，求y的值.

題型十五日歷中的規(guī)律

例題15.如圖是某月的日歷.

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

282930

(1)通過計(jì)算說明，帶陰影的方框中的9個(gè)數(shù)之和與方框正中的數(shù)有什么關(guān)系？

(2)不改變方框的大小，如果將帶陰影的方框移至其他幾個(gè)位置試一試(方框內(nèi)必須有數(shù)字)，上述關(guān)系

還成立嗎？如成立，請(qǐng)說明為什么成立(盡量用數(shù)學(xué)語言表述)

【活學(xué)活用】

小剛是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，在發(fā)現(xiàn)教程中的用方框在日歷中移動(dòng)的規(guī)律后，突發(fā)奇想，將連續(xù)的偶數(shù)2,

4,6,8,排成如圖形式，并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察十字形框架中的

數(shù)字的規(guī)律，并回答下列問題：

246810

1214161820

2224262830

3234363840

(3)十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？

(4)設(shè)中間的數(shù)為x,用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和；

13

（5）若將十字框上下左右移動(dòng)，可框住另外的五位數(shù)，其它五位數(shù)的和能等于100嗎？如能，寫出這五位

數(shù)，如不能，說明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.在某月的日歷上用長方形圈到b,c,d四個(gè)數(shù)（如圖），如果d=15,那么a+6+c的值為（）

A.22B.25C.29D.30

2.如圖，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日歷中的五個(gè)數(shù)，則這五個(gè)數(shù)的和不可能是（）

3.下表是2。。2年12月份的日歷,現(xiàn)在用一個(gè)長方形在日歷中任意框出4個(gè)數(shù)請(qǐng)你用一個(gè)等式表示

a、b、c、d之間的關(guān)系.

S—二-四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

題型十六數(shù)字中的規(guī)律

例題16.觀察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…歸納

J4

各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得32。25的個(gè)位數(shù)字是（）

A.1B.3C.9D.7

鞏固訓(xùn)練

1.中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，把

各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼由高位到低位從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、萬

位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）

123456789

IIIinmimuTinrrw縱式

—====xX==橫式

中國古代的算籌數(shù)碼

A.IIIII±￥=TB.IIIIIXWIIIIT

c.HIIITXIIIIXD.Illll±￥llll±

2.等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)4、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為。和-1,若AdBC繞頂點(diǎn)沿順時(shí)針方向在

數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1,則連續(xù)翻轉(zhuǎn)若干次后，數(shù)2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

A.點(diǎn)4B.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.不確定

3.請(qǐng)觀察下列算式，找出規(guī)律并填空

工=1"D"=4=工_馴.

1X22'2X323'3X434,4X545,

（1）第10個(gè)算式是