2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期

北京市育才學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試卷

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.一副撲克牌中有“黑桃”“紅桃”、“梅花”、“方塊”四種花色，其中外輪廓既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義,中心對稱圖形的定義；理解定義：“如果一個(gè)平面圖形沿一條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

130°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對

稱中心.”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

故選：D.

2.在平面直角坐標(biāo)系’0V中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)⑷」"的是（）

A.v=?B.1C..m2D.i+l

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)它們的坐標(biāo)特征判斷即可.

【詳解】解：A、拋物線?「二'經(jīng)過點(diǎn)‘復(fù)°1,故符合題意；

B、雙曲線’不經(jīng)過點(diǎn)“:」“，故不符合題意；

c、拋物線】'=:不經(jīng)過點(diǎn)（6°）,故不符合題意；

D、直線「*'+1不經(jīng)過點(diǎn)（°，°）,故不符合題意；

故選：A.

3.一元二次方程+X-3-0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】分別寫出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)。、一次項(xiàng)系數(shù)6、常數(shù)項(xiàng)c,并算出根的判別式

一?。-的大小，即可判斷根的情況.

【詳解】解：一元二次方程為：-3-0,其中二次項(xiàng)系數(shù)斫2,一次項(xiàng)系數(shù)6=1,常數(shù)項(xiàng)c=-3,

3

根的判別式-4oc=1-4X2X(-3)=25>0；

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次函數(shù)根方判別式，解題的關(guān)鍵在于求出方程的若」>o,則有兩個(gè)不等

的實(shí)數(shù)根，若二=0,則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若4<0,則沒有實(shí)數(shù)根.

4.將拋物線二向上平移5個(gè)單位長度得到的拋物線是()

A.1/+5B『=F-5

C.F=(X+5)-D.F

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式在平移中的變化規(guī)律，掌握規(guī)律“左加右減，上加下減.”是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：二次函數(shù)向上平移5個(gè)單位，

得到二次函數(shù)丫二1-，

故選：A.

5.在一43c中，。4=C8,C。平分N47B,交月B于點(diǎn)、o.以點(diǎn)c為圓心，長為半徑作0°,

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了三線合一，切線的判定，直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線判定定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一即可得CCUAS,根據(jù)三角形切線的判定即可判斷.43是OU的切

線，進(jìn)而可得°。與力3的位置關(guān)系.

【詳解】如圖：

\-CA=CB,。。平分_』;’,

,C01AB,

,/。。為。°的半徑，

一45是＜7。的切線，

與45的位置關(guān)系是相切.

故選：B.

6.學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)后，小毓將圖案繞某點(diǎn)以相同角度a連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪

廓為正五邊形的圖案（如圖），則a不可能為（）

A.36°B,72°C,144°D,2160

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).由題意依據(jù)每次旋轉(zhuǎn)相同角

度，且旋轉(zhuǎn)了若干次剛好旋轉(zhuǎn)了的倍數(shù)，進(jìn)行分析即可得出答案.

【詳解】解：A.3W-'="°,即該圖案繞某點(diǎn)以36°連續(xù)旋轉(zhuǎn)，可設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正五邊形

圖案，該選項(xiàng)不符合題意；

B."2-5=71。，即該圖案繞某點(diǎn)以7了連續(xù)旋轉(zhuǎn)，可設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正五邊形的圖案，該選項(xiàng)符

合不題意；

C.360*2-5=144。，即該圖案繞某點(diǎn)以】44。連續(xù)旋轉(zhuǎn)，可設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正五邊形的圖案，該

選項(xiàng)不符合題意；

360。-216。=工

D.3,即該圖案繞某點(diǎn)以相同角度連續(xù)旋轉(zhuǎn)，不可設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正五邊形的圖案，

該選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

7.如圖，為。。的直徑，弦CD交43于點(diǎn)E,CA-CE,若乙4CE=5O°,則/C5Z)的大小為

()

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；由等腰三角形的性質(zhì)得上匚4E-65°,由同

弧所對的圓周角相等得，乙430=50°,由直徑所對的圓周角為直角得乙4c5=90°,即可求解；掌握

圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：以=8，乙4cH=50°,

ZCAff=1(1800-Z71C5(

=1(180°-50°)

=65。，

■：AD=AD,

ZABD=^ACE=50°,

???,45為0。的直徑，

Z>4CB=00,

：,ZAffC=90°-ZCAff

=90°-65°

-25*,

:.NCBD=ZABD+ZABC

=500+25°

=75。，

故選：c.

8.計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比，下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同

階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：

當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段的長度記為.下列描述正確的是（）

A.當(dāng)演V當(dāng)時(shí),?N）＜*（嘲B當(dāng)d（幻＜d（引制X）〈與

C.當(dāng)*1=2與時(shí)，d（X］）=-d（\,iD.當(dāng)'1+'）=1時(shí)，d（'i）=d（、/

【答案】c

【解析】

【分析】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：線段AW最長為圓的直徑，先增加后減?。?/p>

A、當(dāng)天＜與時(shí)，3（、/可能大于」（二，），故不符合題意；

B、當(dāng)d（M）＜"工’時(shí)，、可能大于與，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)h+t=l時(shí)，小\/=3門」,故本選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)、1=二匕時(shí)，"mJ不一定等于故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸,一一3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】（川）

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答.

【詳解】解：點(diǎn)尸'二-3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是!一2,31,

故答案為：（々Ji.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為

相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.若關(guān)于X的一元二次方程F-工.+七=0有一個(gè)根為1,則實(shí)數(shù)k的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的根，把代入方程，建立關(guān)于上的一元一次方程，求解即可.

【詳解】解：把、=1代入方程，得

1-24<-0,

解得:t二1,

故答案為：1.

11.已知的半徑為5,若點(diǎn)尸在8內(nèi)，貝卜「尸5（填“>”，"="或）.

【答案】<

【解析】

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓的三種關(guān)系即可判斷得到答案.解題關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的三

種關(guān)系.

【詳解】解：的半徑為5,點(diǎn)P在O0內(nèi)，

：.0P<5.

故答案為：<.

12.請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,1）的拋物線的解析式.

【答案】y=x2+l.

【解析】

【詳解】此題答案不唯一，只要二次項(xiàng)系數(shù)大于0,經(jīng)過點(diǎn)（0,1）即可，如y=x2+l,y=x2+2x+l等.

13.2024年6月27日，”探秘古蜀文明一三星堆與金沙”展覽在北京大運(yùn)河博物館開幕.據(jù)了解,開幕

第一周的參觀人數(shù)為4萬人，第三周的參觀人數(shù)增加到516萬人.設(shè)參觀人數(shù)的周平均增長率為羽則可

列方程為.

【答案】4"+'?=5.76

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)第一周

的參觀人數(shù)為4萬人，設(shè)參觀人數(shù)的周平均增長率為X,則第二周為41+",第三周為4口+'1,根據(jù)

已知條件第三周人數(shù)，列出一元二次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)參觀人數(shù)的周平均增長率為，根據(jù)題意得：

4（l+x）a=5.76

故答案為：411+"=5.76.

14.如圖，將一-獨(dú)。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一.好石，若-n4s=11?！?一8=S°,則NC的度數(shù)為

B

【答案】30度##30°

【解析】

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得二C45,再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：；將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^DAE=U0°,

^BAC=^D.4E=11C°

v_5=4D°

..ZC=]g00-ZB-ZA4C=180o-40o-110o=30°.

故答案為:30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

15.斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書.律歷志》記載：“斛底，方而圜(huan)其外，旁有虎(tiao)

焉”.意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓”.如圖所示，

問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“虎旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓

與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺)，則此斛底面的正方形的邊長為尺.

【答案】m

【解析】

【分析】如圖，根據(jù)四邊形為正方形，可得/。=90°,CD=DE,從而得到“是直徑,

ZECD=45°,然后利用勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，

FE

'：四邊形CDEF為正方形,

ZD=90°,CD=DE,

；.CE是直徑，ZECD=45

根據(jù)題意得：AB=2.5,C5=2.5-0.25x2=2,

：.CE，=CDrDE，=XD\

即此斛底面的正方形的邊長為W尺.

故答案為：事

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，勾股定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

16.若二次函數(shù)1:6：+”+c的部分圖象如圖所示，以下四個(gè)結(jié)論：①c<0；②2a-b=0；

③4a-2+c>0；④關(guān)于尤的不等式。/+?-?1)'>°的解集是-5<、<°.其中正確結(jié)論的序號(hào)的是

【答案】②③④

【解析】

【分析】本題考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)等判斷式子的符號(hào)，待定系數(shù)法，圖象法解一元二次不等式等；

①由圖象得%即可判斷；②由圖象得>,即可判斷；③由函數(shù)的對稱性得與1軸的另一個(gè)

交點(diǎn)為‘一”’1,可得當(dāng)<1時(shí)，J,當(dāng)、=-二時(shí)，即可判斷；④由交點(diǎn)式得可設(shè)

110門-1，門+3),求出。、b、c,即可判斷；能熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)等判斷式子的符號(hào)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：①由圖象得：，=3>0,

故此項(xiàng)錯(cuò)誤；

②由圖象得：

%-6=0；

故此項(xiàng)正確；

③由圖象得：(I。)，

與1軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(一1°,，

當(dāng)一3<xvl時(shí)，J'A。,

.當(dāng)a=_:時(shí)，

y-4a-+c>0.

故此項(xiàng)正確；

④???拋物線與1軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(L0),(一3.°I,

可設(shè)J=a<、T"r+3l,

;經(jīng)過(0,3),

a|0-lil0+3)=3

解得：a=-l,

3

r=-x-2x+3；

b=-2,c=3,

ax3+(fc-c)x

=—x3—5.x,

-Y-5.T>0的解集為是一、<Y<。；

故此項(xiàng)正確；

故答案：②③④.

三、解答題(共68分，17—22題，每題5分，23—26題，每題6分，27—28題，每題7

分)

17.解方程：xJ-6x+8=0.

［答案］x>=4,4=?

【解析】

【分析】方程移項(xiàng)，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可求解.

【詳解】解：x'-6*+g=0,

.?.X'-6K+9=-8+9,

.（A-3）3=1

??，

:.i7=1或1-?=-I,

解得：&=4,與=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程一配方法，掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

18.己知r是方程2/-、丫-1=0的一個(gè)根，求代數(shù)式"％-7+4的值.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是明確方程解的意義，整體代入求值；

把r代入方程，得出1,再整體代入求值即可.

【詳解】解：?”是方程。的根，

...2r3-7r-l=0.

3

Ar（2t-7）+4=2r-7/+4=5

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線了一'1'一一?經(jīng)過點(diǎn)O.

C1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

（2）求該拋物線的表達(dá)式；

（3）將該拋物線向上平移個(gè)單位后，所得拋物線與無軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

【答案】（1）G-D

⑵V=3（.T-3）3-1

（3）1

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）將點(diǎn)（二代入即可求出拋物線的表達(dá)式；

（3）根據(jù)頂點(diǎn)式函數(shù)解析式進(jìn)行平移即可；

【小問1詳解】

解：拋物線解析式為=4X-3）'-1,

故該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為｛3-「'，

故答案為：0.-D；

【小問2詳解】

解：將點(diǎn)U代入，得：2=d2-3--1

解得a=3,

故函數(shù)解析式為：尸二''-3)'-1；

【小問3詳解】

解：將該拋物線向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線與無軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

故答案為：L

20.如圖，A8為。。的弦，OCLLAB于點(diǎn)交。。于點(diǎn)C.若。。的半徑為10,OM-.MC=3:2,求

A8的長.

【解析】

【分析】連接04根據(jù)。。的半徑為10,0M-.MC=3：2可求出0M的長，由勾股定理求出4W的長,

再由垂徑定理求出AB的長即可.

【詳解】解：如圖，連接04

|oc=1x10

0M=55=6.

VOCLAB,

：.ZOMA=90°,AB=2AM.

在中，AO=10,0M=6,

.??AM-=川O'-6"=8.

：.AB^2AM=16.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵.

21.己知關(guān)于x的一元二次方程1+（2-w）r+l-?-0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若"；<0,且此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3,求"；的值.

【答案】（1）見解析；（2）〃；二7

【解析】

【分析】（1）證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；

（2）用機(jī)表示出方程的兩個(gè)根，比較大小后，作差計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：...一元二次方程/

1

?△~?2-I'J?-411—t?|

-4川?4-4?4川二次’.

???，，:>0，

.-.A>0.

該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：：一元二次方程.加工+1?k7,

解方程，得n=-i,占=巾-1.

,/m<o,

：.

?該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3,

一］一（m-I）=3

,切二7.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的非負(fù)性

是解題的關(guān)鍵.

22.下面是小明設(shè)計(jì)的“作圓的內(nèi)接等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。.

求作：。。的內(nèi)接等腰直角三角形ABC.

作法：如圖,

①作直徑AB；

%

②分別以點(diǎn)AB為圓心，以大于2的長為半徑作弧，兩弧交于M點(diǎn)；

③作直線M0交。。于點(diǎn)C,D；

④連接AC,BC.

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接MA,MB.

OA=OB,

：.MO是AB的垂直平分線.

：.AC=.

；AB是直徑，

/.ZACB=（）（填寫推理依據(jù)）.

.?.△ABC是等腰直角三角形.

【答案】（1）見解析；（2）BC,90°,直徑所對的圓周角是直角

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)。任作直線交圓于A8兩點(diǎn)，再作A2的垂直平分線OM,直線交。。于點(diǎn)C,

D；連結(jié)AC、8C即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)得出AC=BC,根據(jù)圓周角定理得出NACB=90。即可.

【詳解】（1）①作直徑A2；

LAB

②分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于二的長為半徑作弧，兩弧交于M點(diǎn)；

③作直線交。。于點(diǎn)C,D；

④連接AC,BC.

所以AABC就是所求的等腰直角三角形.

(2)證明：連接M4,MB.

'：MA=MB,OA=OB,

是AB的垂直平分線.

：.AC=BC.

,：AB是直徑，

/./AC8=90。(直徑所對的圓周角是直角).

...△ABC是等腰直角三角形.

故答案為：BC,90°,直徑所對的圓周角是直角.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作

圓內(nèi)接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=血+2無+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)4(0,—3),B(l,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y<0時(shí)，x的取值范圍.

【答案】(1)》=—+八-3；⑵

【解析】

c——3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，將坐標(biāo)代入解析式得出"+二+。=°解方程組即可;

(2)先求拋物線與x軸的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求方程、：+?\'-3=0的解，再根據(jù)函數(shù)><0,函數(shù)圖像位于x軸

下方，在兩根之間即可.

【詳解】解：(1)拋物線】?=6'+：：T+C經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3),8(1,0)代入坐標(biāo)得：

c=-3

o+1+c=0，

解得，

所求拋物線的解析式是y=”十八-L

⑵當(dāng)y=o時(shí)，Y+1x-3=0,

因式分解得：=

???1+S=（X1—1=0，

?近=3口

當(dāng)y<0時(shí)，函數(shù)圖像在x軸下方，

.?.y<0時(shí)，尤的取值范圍為-3<x<l.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組，掌握待

定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系、侖’中，一。45的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為°e，0）,H50],5（4.-3）,將

4OAB

繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A'.

（2）直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)：

（3）求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑詬的長（結(jié)果保留丸）.

【答案】⑴見解析⑵

【解析】

【分析】本題主要考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定

理以及弧長公式.

（1）根據(jù)要求作圖即可；

（2）由圖即可判斷;

（3）先計(jì)算出。8=Jy+型=5,再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，夕即為所求.

解：由圖可知，點(diǎn)3'的坐標(biāo)為'-371.

【小問3詳解】

解:由圖可知，。5=舟+>=5,

,90nx55

/.=---------=-n

1802,

5

-I兀

答:BB1的長二.

25.如圖，排球運(yùn)動(dòng)場的場地長15m,球網(wǎng)高度二'Xm,球網(wǎng)在場地中央，距離球場左、右邊界均為

一名球員在場地左側(cè)邊界練習(xí)發(fā)球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一

部分，某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點(diǎn)的高度為］m.當(dāng)排球飛行到距離球網(wǎng)3m時(shí)達(dá)到

最大高度二5m.小毓建立了平面直角坐標(biāo)系（1個(gè)單位長度表示1m）.求得該拋物線的表達(dá)式為

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）畫出小毓建立的平面直角坐標(biāo)系；

（2）判斷此次發(fā)球是否有效，并說明理由.（注：排球過球網(wǎng)且落在對方場地內(nèi)為發(fā)球有效）

【答案】（1）建立平面直角坐標(biāo)系見解析

（2）無效，理由見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了建立二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，熟練掌握二次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)該拋物線的表達(dá)式，得頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到建立的平面直角坐標(biāo)系是以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的

直線為X軸，所在的直線為y軸，即可求解；

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，判定是否過網(wǎng)，根據(jù)，=12,判定是都出界，即可求解.

【小問1詳解】

1,5

'=一—x3+—

?..該拋物線的表達(dá)式為'7二'二，

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（〈。昌二）,

???當(dāng)排球飛行到距離球網(wǎng)3m時(shí)達(dá)到最大高度二5m.

根據(jù)題意得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為目1-A

???小毓建立的平面直角坐標(biāo)系是以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為X軸，0月所在的直線為y軸，

如圖所示：

右邊界

1——?

Jx

【小問2詳解】

發(fā)球無效.理由：

根據(jù)題意得：點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為3,

當(dāng)x=3時(shí)，尸?2,375>2,24,

二排球能過球網(wǎng).

當(dāng)】=12時(shí)，.v=05>0

???排球出右邊界，

發(fā)球無效.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,機(jī)）和（2,及）在拋物線「=-.+以上.

（1）若機(jī)=0,求該拋物線的對稱軸；

（2）若加〃<0,設(shè)拋物線的對稱軸為直線X=L

①直接寫出：的取值范圍;

②已知點(diǎn)（一1,yi）,（2,*）,（3,*）在該拋物線上.比較yi,>2,戶的大小，并說明理由.

【答案】⑴'一二；⑵①②"<“<外，見解析

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)（1,m），機(jī)=0,代入拋物線r=-1+3i,利用待定系數(shù)法求解解析式，再利用公

式求解拋物線的對稱軸方程；

（2）①先判斷力,"異號(hào)，求解拋物線”的對稱軸為：2x1-112拋物線與1軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)為：根據(jù)點(diǎn)（1,m）和（2,〃）在拋物線+標(biāo)上,則巾可得

1<i<2'從而可得答案；②設(shè)點(diǎn)（一1,yi）關(guān)于拋物線的對稱軸》=1的對稱點(diǎn)為（席??》）,再判斷

2<T0<3.結(jié)合拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，y隨X的增大而減小，從而可得答案.

【詳解】解:（1）:點(diǎn)（1,"Z）在拋物線了.7’+川上，m=0,

.-.-1+b-0.

;.b=1.

所以拋物線為：'=

11

X=----------=——

.1.該拋物線的對稱軸為-*1-112.

（2）①;EvO,則切，力異號(hào)，

x=-―=gb=t.

而拋物線J=_f+h的對稱軸為：2x（T）-

令y=0.則-x'+bx=O.

解得：維=°.4=瓦

所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：‘-'"L'b'UL

...點(diǎn)（1,機(jī)）和（2,n）在拋物線F-上，

m>0.?<0.

：A<b<2,

11..1,

/.—<—b<1,—<r<1.

22即2

?Aj<）\<r;.理由如下：

由題意可知，拋物線過原點(diǎn).

設(shè)拋物線與X軸另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為/.

:拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1,m），（2,〃），〃祇<0

：.l<x<2.

設(shè)點(diǎn)（-1,yi）關(guān)于拋物線的對稱軸丁=。的對稱點(diǎn)為（庠

;點(diǎn)（一1,yi）在拋物線上，

.?.點(diǎn)（％也在拋物線上.

由七T="（-D得％=>+1.

1,

一<t<1

?1，

：.2<2t+l<3.

.2<x0<3

由題意可知，拋物線開口向下.

.?.當(dāng)丁>，時(shí)，y隨x的增大而減小.

33,

—/、￡<一<小〈3

?.?點(diǎn)（［,/）,<、，］"，（3,萬）在拋物線上，且2,

.*<J'l

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的對稱軸方程，拋物線的對稱性與增

減性，掌握“利用拋物線的增減性判斷二次函數(shù)值的大小”是解本題的關(guān)鍵.

27.如圖，在AABC中，一艮4。=,AB-Ji/-1,延長CB,并將射線CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到射線/,。為射線/上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且3E=CD,連接。E,過點(diǎn)A作

.47"_L。二于M.

（1）依題意補(bǔ)全圖1,并用等式表示線段DM與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

AN=-DE

（2）取BE的中點(diǎn)N,連接AN,添加一個(gè)條件：CQ的長為,使得J成立，并證明.

【答案】（1）DM=ME,見解析；（2）CD=正,見解析

【解析】

【分析】（1）補(bǔ)全圖形，連接AE、AD,通過zA8E=zACr>,AB=AC,BE=CD,證明AABE三△AC。，得

AE=AD,再利用AMIDE于即可得到。M=EM.

（2）連接AD,AE,BM,可求出3「二0,當(dāng)CO=JZ時(shí)，可得BE=BC,由（1）得DM=EM,可

BM=-CD

知是△CQE1的中位線從而得到,BMWCD.得到乙4瀏/=135。=乙45區(qū)因?yàn)镹為5E中點(diǎn),

即=LBE=LCD

可知22從而證明^ABN三人鉆加壽到⑷V=AM,由（1）,AABEAACD,可證明

AN=AM=^-DE

ZEAB=ZDAC,AD=AE進(jìn)而得至!JNE4Z）=9O。，又因?yàn)椤＜纯傻玫蕉?

DM與ME之間的數(shù)量關(guān)系為DM=ME.

證明：連接AE1,AD,

,/NBAC=90。，AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°.

：.ZABE=180°-ZABC=135°.

???由旋轉(zhuǎn)，ZBCZ)=90o,

???ZACD=ZACB+ZBCD=135°.

???ZABE=ZACD.

'：AB=ACfBE=CD,

：.AABE之△ACD

AE=AD.

AM_LDE于M,

/.DM=EM.

(2)CD=S

證明：連接AO,AE,BM.

VAB=AC=1,ZBAC=90°,

BC=W.

VBE-CD-Q,

BE=BC.

:由（1）得DM=EM,

：.是△CZ）E1的中位線.

BMaD

：.2,BM//CD.

：.ZEBM=ZECD=90°.

丁NABE=135。,

???ZABM=135°=ZABE.

???N為BE中點(diǎn),

部jgmYcD

??一一?

???BM=BN.

AB=AB,

：.LABN/AABM.

：.AN=AM.

???由（1）,LABEQMACD,

：.ZEAB=ZDAC,AD=AE.

,/ZBAC=ZDAC+ZDAB=90°,

：.ZEAD=90°.

???DM=EM,

AM=1DE

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

28.對于平面直角坐標(biāo)系「中第一象限內(nèi)的點(diǎn)*工?。┖蛨D形陰，給出如下定義：

過點(diǎn)P作1軸和丁軸的垂線，垂足分別為M,N,若圖形印中的任意一點(diǎn)垃滿足O0T且bJ',

則稱四邊形尸，沙。"是圖