大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2015-2024）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷）專題20概率統(tǒng)計(解答題)1．【2024年甲卷理科第17題】某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5，設p為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果p>p+1.65附：KP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得K2因為3.841<所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為96150用頻率估計概率可得p=又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5則p+1.65可知p>p+所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.2．【2024年新高考2卷第18題】某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若p=0.4，q=(2)假設0<p<q（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)0.686(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，∴比賽成績不少于5分的概率P=1（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙∵0∴===3∴P(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15，P(PX=P(P(∴E記乙先參加第一階段比賽，比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理E∴E=15(因為0<p<q，則p?q<0，則(p?q∴應該由甲參加第一階段比賽.3．【2023年新課標全國Ⅱ卷第19題】某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)(1)當漏診率pc=0.5％時，求臨界值c(2)設函數(shù)fc=pc+qc，當c∈95,105時，求【答案】(1)c=97.5，q(2)f(c)【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>所以c?95×0.002qc（2）當c∈[95,100]f(c)當c∈(100,105]時，f(c)故f(所以fc在區(qū)間95,105的最小值為0.024．【2023年新課標全國Ⅰ卷第21題】甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且PXi=1=1?PXi=0=【答案】(1)0.6(2)1(3)E【詳解】（1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件B所以，P=0.5（2）設PAi=PA即pi+構(gòu)造等比數(shù)列pi設pi+1+λ=25又p1=12,p1即pi（3）因為pi=1所以當n∈N?時，故E(5．【2023年高考全國乙卷理第17題】某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，y試驗序號i12345678910伸縮率x545533551522575544541568596548伸縮率y536527543530560533522550576536記zi=xi?yi(1)求z，s2(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥【答案】(1)z=11，(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【詳解】（1）x=y=z=zi=x故s（2）由（1）知:z=11，2s所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.6．【2023年高考全國甲卷理第19題】一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：<m≥m對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：Kk0.1000.0500.010P2.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，E(2)（i）m=23.4【詳解】（1）依題意，X的可能取值為0,1,2，則P(X=0)=C所以X的分布列為：X012P192019故E(（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m=23.2故列聯(lián)表為：<m≥m合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，K2所以能有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.7．【2022年新課標全國Ⅰ卷第20題】一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．P(B|A)（?。┳C明：R=P（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),附K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)R=6【詳解】（1）由已知K2又P(K2所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）(i)因為R=P所以R=所以R=P(ii)由已知P(A|又P(A|所以R=8．【2022年新課標全國Ⅱ卷第19題】在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)47.9歲；(2)0.89；(3)0.0014．【詳解】（1）平均年齡x

+55（2）設A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)}，所以P(（3）設B=“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：PB則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，此人患這種疾病的概率為P(9．【2022年高考全國乙卷理第19題】某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得i=110(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m附：相關系數(shù)r=i=1【答案】(1)0.06m2(2)0.97(3)1209【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值x樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值y據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m平均一棵的材積量為0.39（2）r==則r≈（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得0.060.39=186則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為120910．【2022年高考全國甲卷理第19題】甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)0.6；(2)分布列見解析，EX【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,P=P==0.16（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，PX=PX=PX=PX=即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望EX11．【2021年新課標全國Ⅰ卷第18題】某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）B類．【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100．PX=PX=PX=所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，EX若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100．PY=PY=PY=所以EY因為54.4<57.6，所以小明應選擇先回答12．【2021年高考全國乙卷理第17題】某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和（1）求x，y，s12，（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果y?【答案】（1）x=【詳解】（1）x=y=s1s2（2）依題意，y?x=y?13．【2021年高考全國甲卷理第17題】甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：KP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【詳解】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為150200乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為120200（2）K2故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.14．【2020年新課標全國Ⅱ卷第19題】為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO附：K2【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2×S0,150150,475合計0,7564168075,115101020合計7426100（3）根據(jù)2×K2因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO15．【2020年新課標Ⅲ卷理科第18題】某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2P(K2≥k)0.050

0.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由見解析.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為2+16+25100=0.43，等級為2的概率為5+10（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100（3）2×人次≤人次>空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228K2因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關.16．【2020年新課標Ⅱ卷理科第18題】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得i=120xi=60，i=1（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關系數(shù)r=i=1n（【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）詳見解析【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為120地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為200（2）樣本(xi,r=（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.17．【2020年新課標Ⅰ卷理科第19題】甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為12（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）116；（2）34；（3）【詳解】（1）記事件M:甲連勝四場，則P（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為P'=PABAB所以，需要進行第五場比賽的概率為P=1（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，記事件M:甲贏，記事件N則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以，甲贏的概率為PM由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為PN18．【2019年新課標Ⅲ卷理科第17題】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到PC的估計值為0.70（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.【答案】(1)a=0.35，b=0.10；(2)4.05，【詳解】(1)由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為0.15×乙離子殘留百分比的平均值為0.0519．【2019年新課標Ⅱ卷理科第18題】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）0.5；（2）0.1【詳解】(1)由題意可知，PX=所以P(2)由題意可知，PX=4包含的事件為“前兩球甲乙各得所以P20．【2019年新課標Ⅰ卷理科第21題】為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得?1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得?1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,?,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，(i)證明：{p(ii)求p4，并根據(jù)p【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）p4【詳解】（1）由題意可知X所有可能的取值為：?1，0，∴PX=?1=1則X的分布列如下：X?01P1αβ+α（2）∵α=0.5，∴a=0.5×0.8=（i）∵即p整理可得：5pi∴pi+1?p（ii）由（i）知：p∴p8?p作和可得：p∴∴p4表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p21．【2018年新課標Ⅱ卷理科第18題】下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為α+π3=π2,即α=π6）建立模型①：y=?

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．【答案】（1）利用模型①預測值為226.1，利用模型②預測值為256.5，（2）利用模型②得到的預測值更可靠．【詳解】（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y=99+17.5×9=256.5（億元）．（2）利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．（ii）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點(x22．【2018年新課標Ⅲ卷理科第18題】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析（2）80（3）能【詳解】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2）由莖葉圖知m=79列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515（3）由于K223．【2018年新課標Ⅰ卷理科第20題】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【答案】（1）0.1；（2）（i）490；（ii）應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導數(shù)求最值20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為fp因此f'p令f'p=0，得p=0.1.當p∈0,0.1時，f'所以fp的最大值點為p［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(f(p)=C（2）由（1）知，p=0.1（i）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B180,0.1，X=20×2+（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于EX>40024．【2017年新課標Ⅰ卷理科第19題】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布Nμ（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(u?3σ,u+（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(u?（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116i=116xi=用樣本平均數(shù)x作為μ的估計值μ，用樣本標準差s作為σ的估計值σ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(μ?3σ,附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ【答案】（1）PX≥1=0.0408，EX=0.0416（2）（?。┮娫斀?；（【詳解】（1）抽取的一個零件的尺寸在μ?3從而零件的尺寸在μ?3故X~因此PX≥X的數(shù)學期望為EX=16（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在μ?3一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在μ?3概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由x=得μ的估計值為μ=9.97，σ的估計值為由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在μ?因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.剔除μ?3σ剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115因此μ的估計值為10.02.i=1剔除μ?3σ剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115因此σ的估計值為0.008≈25．【2017年新課標Ⅲ卷理科第18題】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?【答案】（1）詳見解析；（2）300.【詳解】（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知的分布列為2003005000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則2n若最高氣溫位于區(qū)間，則1200-2n；若最高氣溫低于20，則=800-2n因此當00時，若最高氣溫不低于20，則2n，若最高氣溫低于20，則=800-2n，因此160+1.2n所以n=300時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．26．【2017年新課標Ⅱ卷理科第18題】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．附：，K2【答案】(1)0.4092；(2)列聯(lián)表見解析，有；(3)52.35kg.【詳解】（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.040+即PB新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068+即PC因此事件A的概率估計值為P(（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：箱產(chǎn)量<箱產(chǎn)量≥合計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計96104200K2所以有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關.（3）因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為0.004+箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為0.004+所以新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+27．【2016年新課標Ⅲ卷理科第18題】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：i=17yi=17(參考公式：相關系數(shù)r=i=回歸方程y=a【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【詳解】（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4，∑i=，.因為與的相關系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（Ⅱ）由y=9.327≈1.331a=所以，關于的回歸方程為：.將2016年對應的代入回歸方程得：.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.28．【2016年新課標Ⅱ卷理科第18題】某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥保費0.85a1.251.51.752設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）311；（Ⅲ【詳解】（Ⅰ）設A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故A（Ⅱ）設B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P又P(AB因此所求概率為3（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為X0.85a1.251.51.752P0.300.150.200.200.100.05EX=因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.2329．【2016年新課標Ⅰ卷理科第19題】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（1）求X的分布列；（2）若要求X，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）見解析.【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0．2，0．4，0．2，0．2，從而；；；；；；．所以的分布列為16171819202122（2）由（1）知，，故的最小值為19．（3）購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用.當n=19時，費用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；當n=20時，費用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值，故應選．30．【2015年新課標Ⅱ理科第18題】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A、B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293489581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度（不要求算出具體值，給出結(jié)論即可）：（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”，假設兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）0.44【詳解】（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評分的如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．（Ⅱ）記CACACBCB則CA1與CB1獨立，CA2與CBP(由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的概率分別為故P(CA1)=16故P(31．【2015年新課標Ⅰ理科第19題】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（xyw∑∑∑∑46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（?。┠晷麄髻Mx=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(【答案】（Ⅰ）y=c+dx；（Ⅱ）y=100.6+68x；（Ⅲ）（【詳解】（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+dx適合作為年銷售y關于年宣傳費用x（Ⅱ）令w=x，先建立y關于w的線性回歸方程，由于d=∑∴c=∴y關于w的線性回歸方程為y=∴y關于x的回歸方程為y=（Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?，當x=49時，年銷售量y的預報值y=年利潤的預報值z=（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預報值z=∴當x=13.62=6.8，即x=46.24故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.1．（2024·浙江金華·三模）在x2(1)在第一次取到有理項的條件下，求第二次取到無理項的概率；(2)記取到有理項的項數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)3(2)分布列見解析，2【分析】（1）根據(jù)題意，由二項式展開式的通項公式即可得到二項展開式中有3項有理項，6項無理項，再由條件概率公式代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得X的可能取值為0,1,2，然后分別計算其對應的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）由題可得二項式展開式的通項為Tr+1=令8?4r故二項展開式中有3項有理項，6項無理項．記事件A=“第一次取到有理項”，事件B=“第二次取到無理項”，所以PA=C則PB（2）由題意可得X的可能取值為0,1,2，PX=PX=PX=則分布列為：X012P511EX=12+16穗粒數(shù)10,2020,3030,4040,5050,60穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質(zhì)量（單位：g）分別為：38,46,42,40,44.(1)根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量（結(jié)果四舍五入到1kg）；公式：畝產(chǎn)量=畝穗數(shù)×樣本平均穗粒數(shù)×樣本平均千粒重(2)已知該試驗田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)，參考數(shù)據(jù)：若X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ【答案】(1)622kg；(2)該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種.【分析】（1）用每組區(qū)間的中點值乘以穗數(shù)求和除以100得到樣本平均穗粒數(shù)，再由題所給數(shù)據(jù)得到樣本平均千粒重，代入所給公式即可；（2）先根據(jù)數(shù)據(jù)求得μ,σ2，再由P【詳解】（1）該試驗田樣本平均穗粒數(shù)為15×樣本平均千粒重為38+所以這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量的估計值為40×（2）由（1）得μ=37σ所以σ=76由PX≥28>P故：PX≥所以該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種.

3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄档偷难獕簲?shù)值（單位：mmhg）．根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進行說明；(2)求40位患者在服用一段時間后，日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)n，并將日平均降低血壓數(shù)值超過n和不超過n的患者數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過n不超過n服用甲藥服用乙藥(3)根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異？附：K2P0.150.100.05k2.0722.7063.841【答案】(1)乙藥的療效更好，理由見解析(2)n=18.5(3)沒有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異【分析】（1）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析即可；（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析出中位數(shù)n，即可得到列聯(lián)表；（3）計算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）乙藥的療效更好．參考理由如下：（?。┯酶髯缘钠骄鶖?shù)說明．設甲藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，乙藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為y，由莖葉圖可知，x=y=因為ACC（ⅱ）用莖2和莖3上分布的數(shù)據(jù)說明．由莖葉圖可知，用甲藥有30%的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，用乙藥有65%的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，所以乙藥的療效更好．（ⅲ）用各自的中位數(shù)說明．由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為15，用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為21，所以乙藥的療效更好．（ⅳ）用各自的葉在莖上的整體分布說明．由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖1上，且關于莖1大致呈對稱分布；用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖2上，且關于莖2大致呈對稱分布，又用兩種降壓藥患者日平均降低血壓數(shù)值都分布的區(qū)間5,32內(nèi)，所以乙藥的療效更好．（2）由莖葉圖可知0,10內(nèi)有6個數(shù)據(jù)，30,40內(nèi)有3個數(shù)據(jù)，20,30內(nèi)有16個數(shù)據(jù)，3+16=且10,20內(nèi)的數(shù)據(jù)從小到大排列為11，12，12，12，12，13，14，14，15，15，16，17，18，18，19，所以中位數(shù)n=18列聯(lián)表如下：超過n不超過n服用甲藥713服用乙藥137（3）由于K2所以沒有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異．

4．（2024·四川成都·三模）“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時尚.甲、乙、丙三人為響應“綠色出行，低碳環(huán)?！碧栒?，他們計劃6月1日選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種．他們之間的出行互不影響，其中，甲選擇“共享單車”的概率為12，乙選擇“共享單車”的概率為23，丙選擇“共享單車”的概率為(1)若有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；(2)記甲、乙、丙三人中選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)9(2)分布列見解析，2312【分析】（1）利用條件概率公式求解；

（2）由X可能的取值，計算相應的概率，得分布列，由公式計算數(shù)學期望.【詳解】（1）記甲、乙、丙三人選擇“共享單車”出行分別為事件A，B，C，記三人中恰有兩人選擇“共享單車”出行為事件D，則P(又P(CD所以PC即若有兩人選擇“共享單車”出行，丙選擇“共享單車”的概率為911（2）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(P(P(P(X=所以X的分布列為X0123P11111故E(即X的數(shù)學期望為2312．

5．（2024·河北邢臺·一模）小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A(1)求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（k=0，1，2，?，10）的概率為Pk，則當k為何值時，【答案】(1)0.6(2)6【分析】（1）由獨立事件的乘法概率求出即可；（2）由二項分布中最大值的計算求出即可，可設Pk≥P【詳解】（1）設小張回答A類題正確的概率為PA，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為PB，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為由題意可得PA所以P=1所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得Pk設Pk即C10所以2×即2k+解得285又k∈Z，所以k=6時，Pk最大.

6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入m序號1234567m234681013y13223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與m的兩個回歸模型：模型①：y=4.1m+11.8;模型(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；(2)根據(jù)（1）選擇的模型，預測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程yy∑182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)R2【答案】(1)模型①的相關指數(shù)小于模型②的相關指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.(2)198.6【分析】（1）利用相關指數(shù)的定義判斷相關性即可.（2）將給定數(shù)值代入擬合模型中求預測值即可.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>∴所以，模型①的相關指數(shù)小于模型②的相關指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.（2）當m=100y?=21.3100?14.4=(1)完成下面的2×性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生女生合計(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α=0.001(3)從閱讀達標的學生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：χ2=nα0.100.050.010.001x2.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見詳解(2)“閱讀達標情況”與“性別”有關聯(lián)(3)分布列見詳解，E【分析】（1）根據(jù)分析閱讀達標與閱讀不達標的人數(shù)，以及閱讀達標的女生與男生的人數(shù)，進而可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計算χ2（3）由題意可知：X的可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意可知：閱讀達標與閱讀不達標的人數(shù)分別為200，200，閱讀達標的女生與男生的人數(shù)比為33據(jù)此可得2×性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生80120200女生12080200合計200200400（2）零假設H0由（1）可得：χ2依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，可知零假設H所以“閱讀達標情況”與“性別”有關聯(lián).（3）因為抽取5人中男、女生人數(shù)分別為33由題意可知：X的可能取值為0，1，2，則有：PX=所以X的分布列為X012P331數(shù)學期望為EX=0年份代號x12345廣告費投入y4.85.66.27.68.8并隨機調(diào)查了200名市民對該品牌新能源汽車的認可情況，得到的部分數(shù)據(jù)見下表認可不認可50歲以下市民703050歲以上市民6040(1)求廣告費投入y與年份代號x之間的線性回歸方程；(2)是否有90%的把握認為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度具有相關性？(3)若以這200名市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度情況估計整體情況，則從全市市民中隨機選取20人，記選到認可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為X，求X數(shù)學期望與方差.附：①回歸直線中y=bx+a，②k2=nP0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)y(2)沒有(3)E【分析】（1）計算出平均數(shù)后，結(jié)合所給公式計算即可得；（2）結(jié)算出卡方即可得.（3）由二項分布的期望、方差公式即可求解.【詳解】（1）x=1+則b=則a=6.6?（2）由題以可得k=200故沒有90%的把握認為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度具有相關性.（3）若以這200名市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度情況估計整體情況，則從全市市民中隨機選取1人，記選到認可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民的概率為P=60若從全市市民中隨機選取20人，記選到認可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為X，則X~所以X數(shù)學期望與方差分別為EX=20×310=6,D

i=i=∑∑∑∑∑444.81040.31.61219.58.06現(xiàn)有①y=bx+a和②y=nlnx+m兩種方案作為年銷售量y關于年廣告費x的回歸分析模型，其中a，b，m，(1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程，并預測年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少?(3)該公司生產(chǎn)的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費、研發(fā)經(jīng)費）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發(fā)經(jīng)費的投入，年研發(fā)經(jīng)費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發(fā)經(jīng)費影響外還受隨機變量ξ影響，設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N600,σ2附：①相關系數(shù)r=∑回歸直線y=a+bx②參考數(shù)據(jù)：40.3×1.612=8.06，403≈【答案】(1)模型②的擬合程度更好(2)y=5ln(3)0.3【分析】（1）分別求得模型①和②的相關系數(shù)r1，r（2）利用最小二乘法求解；（3）由凈利潤為200×5lnx+【詳解】（1）解：設模型①和②的相關系數(shù)分別為r1，r由題意可得：r1r2所以r1<r（2）因為n=又由v=15得m=y所以y=5v+4當x=6時，y=因此當年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.（3）凈利潤為200×5lnx+令gx所以g'x可得y=gx在0,5上為增函數(shù)，在5,所以gx由題意得：1400?ξ>1000，即Pξ<即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為0.3.

10．（2024·湖北黃石·三模）已知甲口袋中有m個白球，n?m個紅球（n>m，m，n∈N?），乙口袋中都是紅球，所有紅球與白球除了顏色再沒有其他差別.設(1)從甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2個球為白球的概率（m>2(2)化簡Sn(3)如果從甲口袋中任取1球是白球的概率為14【答案】(1)m(2)S(3)3【分析】（1）直接用全概率公式即可；（2）將Sn,m（3）使用條件概率的定義即可求解.【詳解】（1）設A,則PB故所求概率為mn（2）設從甲口袋中反復不放回地取出球，第1次取出白球發(fā)生于第k+1次取的過程中的概率為pk，這里則pk故Sn（3）設C,則PC=PD=12，故PE=PE所以PF故在第1次結(jié)果為紅球的條件下，求仍在這個口袋中取1球是白球的概率為328.

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