2024-2025學(xué)年初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科期中練習(xí)

考試時(shí)間：120分鐘滿分：100分

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一

個(gè).

1.方程f+2x=l的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是()

A.1.2.0B,1.2,1c,1.2--1D.1.-24

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程F=1整理成一般式為/+、=1=0,

方程f+21=1的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是1,2,-1,

故選：C.

2.下列2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)的運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是()

建*。喙

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形.根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解即可.

【詳解】解：A.不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B.不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.不是:中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D,是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線『=先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物

線的解析式是()

.r=(.v+2)3+3.r=-(.r-2)3+3

D.

33

c.r=-(.v+2)+3D.r=-(.T-2)-3

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵；因此此題可根

據(jù)“左加右減，上加下減”進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意可得平移后的拋物線解析式為丁=-（*-）

故選：B.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)月（圓一2）和點(diǎn)2（1力）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。一6的值為（）

A.-3B,-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征是解題的關(guān)鍵；根

據(jù)“點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)"可得”=-1，匕然后代入求解即

可.

【詳解】解：由點(diǎn)工（°「2）和點(diǎn)3（"）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知0=?1力=2,

/.=-1-2=-3；

故選A.

5.用配方法解一元二次方程Y-6x+g=0,配方后得到的方程是（）

A（》一

60=44n（x-6r=28

C（-V-3）3=17D（X-31=1

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，在兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平

方，把左邊轉(zhuǎn)化為完全平方式即可求解，掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:移項(xiàng)得，

配方得，f-6.1+9=-3+9,

即（x-3/=l,

故選：D.

6.若拋物線對(duì)稱軸為直線工=1,與彳軸交于點(diǎn)則該拋物線與光軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

AG。）B.（T。）cP。）D.（W

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線對(duì)稱性及對(duì)稱軸為直線*=1求解.

【詳解】解：拋物線對(duì)稱軸為直線工=1,點(diǎn)A坐標(biāo)為

由拋物線的對(duì)稱性可得圖象與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（S0

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.

7.如圖，4?是8的切線，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，連接CD,AC,力C交。。于點(diǎn)2,若

NC=10°,則N4的度數(shù)是（）

A.40°B.45。C,50°D,55°

【答案】c

【解析】

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵；連接0。由題意易得/%=90°,/00（7=/0=2（）°,然后可得乙400=40°,進(jìn)而問題

可求解.

【詳解】解：連接。。,如圖所示：

:幺。是的切線，

:.^ODA=90°,

...。。=8,/。=20。，

?-?ZOBC=ZC=20°，

...ZZOZ）=2ZC=40o,

.?.乙4=90。-乙4。。=50。；

故選c.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線】'=一丁+加工+"的圖象在第三象限存在兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)相同的

點(diǎn)，則拋物線丁=一,一（"一1口+”的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先根據(jù)題意可得：拋物

線】'=-f+桁1+”的圖象與直線1二1在第三象限有兩個(gè)交點(diǎn)，再結(jié)合圖象與兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸可得答

案.

【詳解】解：.??拋物線的圖象在第三象限存在兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，

，拋物線丁=-1+加X+”的圖象與直線】'=X在第三象限有兩個(gè)交點(diǎn)，

m1m

...J'=―/+加工+”的對(duì)稱軸為直線'=亍，】'=_{一（加_1口+，7的對(duì)稱軸為直線'二m一不，

m\m1

x=-x=-----x=—

：.2與22關(guān)于直線4對(duì)稱，

=一/一（加一1）X+"的圖象不經(jīng)過第二象限；

故選：B

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.拋物線丁=+4'+1的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（2,5）

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，直接將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)進(jìn)行解答即可，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?-V=7'+4X+1=-（1）2+5,

...拋物線L7’+4x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（75）,

故答案為：仁'5）.

10.已知a是方程V+X-2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式（“+D的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵；由題意易得

+=2,然后代值求解即可.

【詳解】解：骨是方程0+2r-2=0的一個(gè)根,

.*.fl3+2a-2=0,gpa:+2a=2,

.(a+1)2=J+?a+l=3.

故答案為3.

11.某個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)xNl時(shí)，y隨尤的增大而增大，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】y=(x-1)2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)當(dāng)xNl時(shí)，y隨x的增大而增大，可以得到該函數(shù)的圖象開口方向和對(duì)稱軸尤的取值范圍，

然后即可寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)解析式.

【詳解】解：：當(dāng)近1時(shí)，y隨x的增大而增大，

，該函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸直線立1,

???符合該條件的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是y=(x-1)2,

故答案為：產(chǎn)(x-1)2,(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，注

意本題答案不唯一.

12.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1,點(diǎn)尸表示筒車

的一個(gè)盛水桶.如圖2,當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心。為圓心，1sm為半徑的圓，且圓

心在水面上方，若圓被水面截得的弦圈長(zhǎng)為4m,當(dāng)筒車工作時(shí)，則盛水桶在水面以下的最大深度為

_____m.

【答案】1

【解析】

【分析】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)。作交于點(diǎn)

C,交00于點(diǎn)以，則有HC=3C=2cm,然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。交48于點(diǎn)c,交°。于點(diǎn)/，如圖所示：

o

ZC=5C=-A8=2cm

???1c，

...OC=^AO2-AC2=1.5cm,

,?CH=OH-OC=\cm.

故答案為：1.

13.某工廠2022年生產(chǎn)1噸某產(chǎn)品的成本是700元，由于原料價(jià)格上漲，兩年后，2024年生產(chǎn)1噸該產(chǎn)

品的成本是850元，求該種產(chǎn)品成本的年平均增長(zhǎng)率.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為X,則所列的方程應(yīng)為.

［林案］700(1+x)‘=850

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用(增長(zhǎng)率問題)，充分理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)年平均增長(zhǎng)率為根據(jù)某工廠2022年生產(chǎn)1噸某產(chǎn)品的成本是700元，兩年后，2024年生產(chǎn)1噸該

產(chǎn)品的成本是850元，即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意可得：

700(1+.T)2=850

故答案為：7°°(l+x)="0.

14.如圖，A4BC中，48=40°,將二3C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<180°)后得到

△4DE,點(diǎn)石恰好落在上，Z￡AD=60°,則￡2==.

D

【答案】20

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

/C=80°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到月E=2C,ZCAE=則乙4EC=NC=80°,由此根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得花=EG二C4E=s0,ABAC=^EAD

...A月3。中，4=40。，ABAC=AEAD=60°,

ZC=ISO0-Z5-ZBZC=80°,

.?.ZZ￡C=ZC=80°,

.?.ZC^=180o-Zi4FC-ZC=20°,

.-=20,

故答案為：-0.

15.如圖在一個(gè)殘缺的圓的一段圓弧上任取兩點(diǎn)4B,連接A8,再作出A8的垂直平分線，交A8于點(diǎn)

D,交蠢于點(diǎn)°,如果知道曲CD的長(zhǎng)度，即可計(jì)算得出這個(gè)殘缺的圓的半徑，已知

AB=4>/3cm,CD=2cm,則圓的半徑為cm,陰影部分的面積為cm2.

【答案】①.4②.3

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)。為圓心，由垂徑定理的推論可知點(diǎn)。在直線G)上，連接。3、BC,利用線段垂直平分線

的性質(zhì)和勾股定理求出圓的半徑，進(jìn)而可得0°=。0,得到48垂直平分線"，即得

CB=OB=OC,得到NB0C=6O°,再證明AODB%C￡M(SAS)可得當(dāng)再=S向影因。，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)。為圓心，由垂徑定理的推論可知點(diǎn)。在直線C。上，連接OB、BC,

垂直平分

BD=AD=^AB=2^cm

^ODB=90°,

設(shè)圓估半徑為xcm,則OB=1cm,OD=（'一；）cm,

在中，爐，

.（x-2）2+（2>/3）2=.x2

??'f，

解得I,

圓的半徑為4cm,OD=4-2=2cm,

:.CD=OD,

垂直平分線。C,

???CB=OB，

：.CB=OB=OC,

為等邊三角形，

.?.乙8。。=60。，

?：OD=CD,AODB=ACDA,BD=AD,

.A。。性ACD4(SAS)

??

S-ODB='-血，

_60nx42_82

.屈再一

S：?B0D-———-yTOlll

8

—7C

故答案為：4,3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，勾股定理，扇形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分

線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線并判斷出色①。為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，△儂C與ACDH中，AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=120°,連接BO,點(diǎn)尸、

H、G分別為QE、BD、45的中點(diǎn)，則/陽G的度數(shù)為°；若47=6,2,在

△COE繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn)的過程中，則ARG旨面積的最大值是.

【分析】利用SAS可證得一月⑵冬蘇可，于是可得也）=砥，NCAQ=NC38,根據(jù)三角形的中

位線定理可證得面=郎，即△尸HG是等腰三角形，利用平行線的性質(zhì)、角的和差關(guān)系及三角形的內(nèi)

角和定理可推出/斤可°=60°,于是可證得ARGH是等邊三角形，易證得邊長(zhǎng)為。的等邊三角形的面積

MS—3AD2

為4,因而可得皿一4~=16,根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可知愈＜HC+C0,

因而，當(dāng)A、。、。三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)。在幺。延長(zhǎng)線上時(shí)，4。取得最大值，此時(shí)

AD=AC+CD=^,據(jù)此即可求出ARGH面積的最大值.

【詳解】解：：=ADCE=120°,

ZACD+ZDCB-ZBCE+Z.DCB,

NACD=NBCE,

在口和A5CE中,

AC=BC

ZACD=ZBCE

CD=CE

..A4CZ)%BC?(SAS),

:.AD=BE,/CAD=NC8E,

；點(diǎn)尸、H、G分別為DE、BD、48的中點(diǎn),

GH--ADHF--BE

..GH4。且2,HF"BE且2

■：AD=BE,

GH=HF,

JHG是等腰三角形，

■：GH//AD,

^HGB=ADAB,

:HF//BE,

..dHD=NEBD,

又,:乙GHD=ADBA+AHGB,

4FHG=4FHD+NGHD

=AEBD+ADBA+AHGB

=ACBE+^CBD+^DBA+AHGB

=^CAD+ACBD+ZDBA+ZDAB

=(Z.CAD+NDAB)+(ZC3Z)+ADBA)

=ACAB+ACBA

=180°-ZJ4C5

=180°-120°

=60°,

"HG是等邊三角形,

即AFGH是等邊三角形，

如圖，是邊長(zhǎng)為。的等邊三角形，AP是底邊上的高,

PM=PN^MN=La

LP=4LM，-PM，=^a3-,a)=

S^=—MNLP=—xax—a=—a3

.對(duì)dFGH來說，

S.g=%H，

4,

?rGH=-AD

又2,

.'當(dāng)皿取得最大值時(shí)，S-FM取得最大值，

在“。。中，AD<AC+CD,

-當(dāng)A、°、。三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，心取得最大值，

此時(shí)，AD=AC+CD=6+2=8,

Sb=—AD3=旦8'=46

：xFGH面積的最大值是4萬

故答案為：6°,4相.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的定

義，兩直線平行同位角相等，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，三線合一，

勾股定理，三角形的面積公式，三角形三邊之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題

7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：/=4x+5.

［答案］=_1力=5

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；先移項(xiàng)，然后

再根據(jù)十字相乘法可進(jìn)行求解方程.

【詳解】解：方程可變形為；-4x-5=0,

.(x+l)(.x-5)=0

.?.x+l=o或*-5=0,

解得：』=一1與=5.

18.如圖，四邊形&C。的頂點(diǎn)都在上，邊BC為直徑，延長(zhǎng)艮4、CD交于E且=

求證：CD=DE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)等邊對(duì)等

角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等可得出/0=/月，根據(jù)等角對(duì)等邊得出30=BE,根據(jù)圓周角定理可得出

BD1CE,最后根據(jù)等腰三角形三線合一即可得證.

【詳解】證明：?.?OE=ZM,

:"E=4EAD,

?.?四邊形4300的頂點(diǎn)都在°。上，

.-.ZC+Z5TW=180O,

又/瓦4。+/尻4。=180。，

-,AEAD=^C,

；.Z.C=ZE,

.-.BC=BE,

?.?8C為oo直徑，

:^BDC=9Q°,即BD_LCE,

:.CD=DE.

19,已知：如圖，在L4SC中，AB=AC.求作：△/30的外接圓.

BC

下面是小張的作法：

①如圖，作6C的垂直平分線4；

②作AC的垂直平分線4,與4交于點(diǎn)0；

③以。為圓心，Q4長(zhǎng)度為半徑作圓.

則。。是A&C的外接圓.

（1）請(qǐng)你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補(bǔ)全圖形.

（2）小李看到他的作法后靈機(jī)一動(dòng)，找到了A&C的內(nèi)心.下面是小李的作法:

直線4與月C交于點(diǎn)。，連接交40于點(diǎn)/,則點(diǎn)/是乙力》。的內(nèi)心.

請(qǐng)你補(bǔ)全下面證明.

...4_LaC,%經(jīng)過點(diǎn)0,

：.AC=CD（①）（填推理的依據(jù)），

...乙43。=_②—（③）（填推理的依據(jù)）.

AB=AC,：.^BA0=^CA0.

與HO交于點(diǎn).?.點(diǎn)/是乙430的內(nèi)心.

【答案】（1）見解析（2）垂徑定理，-CBD,等弧所對(duì)的圓周角相等

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）利用垂徑定理和圓周角定理可證明結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解：如圖，°。是△￡°的外接圓.

【小問2詳解】

證明.如圖，

’2經(jīng)過點(diǎn)。，

.?.HC=C￡）（垂徑定理）（填推理的依據(jù)），

：.AABD=￡CBD（等弧所對(duì)的圓周角相等）（填推理的依據(jù)）.

,"叫AB=AC,

；,ABAO=ACAO.

:。方與幺。交于點(diǎn)/,

...點(diǎn)/是心力*。的內(nèi)心.

故答案為：垂徑定理，4CBD,等弧所對(duì)的圓周角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形的外心和

內(nèi)心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

20.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表所示：

X012345

y30~1038

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;

2345

2~+

（3）當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為

［答案］⑴J'=/_4x+3

（2）圖象見詳解（3）-lSj'<8

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;

（1）根據(jù)表格代值進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)描點(diǎn)、連線可進(jìn)行求解；

（3）由（2）中圖象，結(jié)合求函數(shù)值，求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為J'=aT+bx+c,由表格可得：

c=3

<a+6+c=0

4a+26+c=-1

a=1

<6=—4

解得：Ic=3,

...該二次函數(shù)的解析式為J'=Y-4》+3；

【小問2詳解】

解：由題意可得函數(shù)圖象如下：

2F

3F

4F

5b

6h

【小問3詳解】

解:當(dāng)x=-l時(shí)，y=(T)'-4x(-l)+3=8,

當(dāng)*=3時(shí)，y=3'-4x3+3=o,

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為：

.?.當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為_1?尸<8；

故答案為：-1--v<8.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系1°丁中，5（-1,C將caBC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到耳G（點(diǎn)4,4,’1分別是點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.

-J_I_I_I-------1I_I_I_!_>

（1）在圖中畫出-440i；

（2）LHBC旋轉(zhuǎn)到一44G的過程中，點(diǎn)c經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為；

（3）先將點(diǎn)2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到心，再將點(diǎn)8》向右平移一個(gè)單位，向上平移/I個(gè)單位得到筑，使用

落在一4必01內(nèi)部（不含邊界），直接寫出力的取值范圍為.

【答案】（1）圖見詳解

凡

---兀

（2）2

（3）2<h<4

【解析】

【分析】本題主要考查弧長(zhǎng)公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握弧長(zhǎng)公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是

解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可先標(biāo)出點(diǎn)4,4,g的位置，進(jìn)而問題可求解；

（2）由題意可得℃=而，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式可進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)題意結(jié)合（1）中圖形可直接進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：如⑴圖可知：。。=“。+39+（。-2（=而

,nnrJTJ

..?點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為一180-2；

-V-1-37r

故答案為2；

【小問3詳解】

解：點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的2口一"，由將點(diǎn)^2向右平移一個(gè)單位，向上平移九個(gè)單位得到±3,則

B3cs,

要使用落在一481G內(nèi)部(不含邊界)，由圖可知：力的取值范圍為2<方〈4；

故答案為？<h<4.

22.已知關(guān)于x的方程/+(上一3)K斤-1)=0.

(1)求證：無論％為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%,與，且卜1一占卜3,求人的值.

【答案】⑴見詳解(2)"I=2K=-4

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及

根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；

(1)由題意可根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；

(2)由題意得』+與=一k+3,玉與=一？a一11,然后代入進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意得：

223

△=6-4ac=(jt-3)+8(Jt-l)=^+2i+l=(A：+l)>01

無論%為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

解：由題意得："1+/=一上+3，*\!=一2住一1),

?.?Nf卜3,

33

.(xj-Ay)=(Xj+xa)-=(「-3)'+8(無.1)=9

,*''?

整理得：(*+1)=9,

解得：與=?內(nèi)=-4.

23.一年一度的紅窗匯，是課程學(xué)習(xí)成果的展示、交流、分享和變現(xiàn)的平臺(tái)，是十一系的學(xué)子們期待的盛

會(huì).某社團(tuán)設(shè)計(jì)了一款文創(chuàng)產(chǎn)品，想要在紅窗匯售賣，為了解同學(xué)們的購買意向，社團(tuán)成員提前進(jìn)行了市

場(chǎng)調(diào)研.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，該產(chǎn)品的制作成本為每件30元，當(dāng)售價(jià)定為每件50元時(shí)，預(yù)計(jì)可以銷售80件，售

價(jià)每下降1元，預(yù)計(jì)可多銷售5件.

設(shè)該產(chǎn)品的售價(jià)下降尤元，預(yù)計(jì)銷售利潤(rùn)為y元.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出龍的取值范圍)；

(2)該產(chǎn)品的售價(jià)定為多少元時(shí)，預(yù)計(jì)可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】⑴J'=-5a，+2°x+160°

(2)該產(chǎn)品的售價(jià)為48元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1620元

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題是解題的關(guān)鍵;

(1)由題意可得銷售量為岱0+''I件，然后可得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)(1)中函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：由題意得：

(50-30-x)(80+5xi=-5.x3+20x4-1600

J

.-.y與尤的函數(shù)關(guān)系式為丁=一5丁+20x4-1600.

【小問2詳解】

解：由(1)可知：

y=-5x2+20x+1600=-5(x-2)3+1620

v-5<0,

.?.當(dāng)X=2時(shí)，即售價(jià)為48元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1620元；

答：該產(chǎn)品的售價(jià)為48元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1620元.

24.如圖，在RtZkMC中，乙4cB=90°,。為邊上的點(diǎn)，以也)為直徑作0。，連接8。并延長(zhǎng)交

。。于點(diǎn)E,連接CE,CE=BC.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)連接421,若。。=1,BC=2,求4后的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見解析

AE=§后

(2)5,詳見解析

【解析】

【分析】（1）連接CE,貝■48DC,由CE=BC,得NCEB=NCBE,而

￡ACB=90°,則NOEC-NO￡D+NCKB-NBDC+NCBE-90。，即可證明CE是GX?的切線；

（2）由勾股定理得OE'+C3=℃',而CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,所以

3

QD+-=（。0+1）,求得2,則2,如圖，過點(diǎn)E作監(jiān)14?交心于點(diǎn)凡利

用三角形的面積公式求得職的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求得AE的長(zhǎng).

【小問1詳解】

連接03,則OE=OD,

.1.Z.OED=NODE,

??2ODE=￡BDC,

：Z0ED=ZBDC,

?:CE=BC,

:/CEB=4JBE,

?.?403=90。，

ZOEC=ZOED+Z.CEB=NBDC+NOBE=90。,

?.?OE是。。的半徑，且CE_LC￡,

8是O。的切線.

【小問2詳解】

?.?NOEC=90。，

-,OE2+CE2=OC\

-：CD=\,BC=2,OE-OD,

,-.CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,

.oz)'+y=(OZ)+1)’

OD=OE=-

解得2,

35

OC=-+}=-

如圖，過點(diǎn)E作期^^愈交功于點(diǎn)尸,

B

-OE^EC=-OC^EF

.?.在RtZkOEC中，22

-x2=-xEF

EF=-

5,

在Rt△。昉中，OE=OF、E『,

.符叫9,

/.OF=0.9（負(fù)值舍去），

：.AF=OA+OF=2.4,

在RUAE9中，AE2=AF2+EF2,

AE=-j5

5（負(fù)值舍去），

的長(zhǎng)是5.

【點(diǎn)晴】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、切線的判定定理、勾股定理，

三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.“十一”當(dāng)天，某景區(qū)工作人員統(tǒng)計(jì)了上午7：30至下午16:30期間，累計(jì)進(jìn)入景區(qū)的游客人數(shù)與累

計(jì)離開景區(qū)的游客人數(shù)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，上午830時(shí)該景區(qū)已累計(jì)進(jìn)入游客1380人，從此時(shí)開始陸續(xù)有游玩結(jié)

束的游客離開.從上午730開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間記為統(tǒng)計(jì)時(shí)間則累計(jì)進(jìn)入景區(qū)游客人

數(shù)】’（單位：人）與累計(jì)離開景區(qū)游客人數(shù)二（單位：人）隨統(tǒng)計(jì)時(shí)間x（單位：h）

變化的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

統(tǒng)計(jì)

4

時(shí)間014567S9

r/h

累計(jì)

24013803300

進(jìn)入2400408047405280570060006180

景區(qū)

游客

人數(shù)

17

人

累計(jì)

離開

景區(qū)

游客\030060090012001500180021002400

人數(shù)

二/

人

探究發(fā)現(xiàn)，T與K,二與注之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)、連線的方式，補(bǔ)全了與工的函數(shù)圖象；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)、連線的方式，畫出二與/的函數(shù)圖象，并直接寫出二關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系

式為（不要求寫出自變量的取值范圍）；

M3

6600-

6000-

5400-

4800-

4200-

3(100-

3000-

2400-

1800-

1200-

600-

____?__?_?_?_?_?_?_?_?—>

o123456789x

（3）結(jié)合表格、圖象推斷，統(tǒng)計(jì)時(shí)間工大約為時(shí)，景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)最多（保留一位小數(shù)）；

（4）當(dāng)景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)達(dá)到3400人時(shí)，將觸發(fā)人流高峰黃色預(yù)警，則統(tǒng)計(jì)時(shí)間工大約為時(shí)，將首

次觸發(fā)人流高峰黃色預(yù)警（保留一位小數(shù)）.

【答案】（1）圖見解析

（2）圖見解析，二=300》一300

⑶7.5

（4）46

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，由表中數(shù)據(jù)可知，二與x之間的數(shù)量關(guān)系滿足一次函數(shù),

設(shè)二關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為二=h+b,利用表中數(shù)據(jù)列出二元一次方程組，解之，即可求出發(fā)、b的

值，于是得解；

(3)設(shè)剩余人數(shù)為"'，則一,通過表中數(shù)據(jù)計(jì)算出W的值并將其列入表格，然后結(jié)合表格、圖象

推斷即可得出答案;

(4)結(jié)合表格、圖象推斷即可得出答案.

【小問1詳解】

解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象如下:

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，二與I之間的數(shù)量關(guān)系滿足一次函數(shù),

設(shè)二關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式為二=6+6,

根據(jù)題意，得:

k+b=0

L%+6=300，

后=300

解得：［b=-300

..S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為二=300X-300,

故答案為：二=300x-300；

【小問3詳解】

解：設(shè)剩余人數(shù)為

則W=J

計(jì)算出W的具體數(shù)據(jù)，如下表所示(最后一行)：

統(tǒng)計(jì)

r

時(shí)間014567S9

x/h

累計(jì)

進(jìn)入

景區(qū)

游客240138024003300408047405280570060006180

人數(shù)

yl

人

累計(jì)

離開

景區(qū)

游客\030060090012001500180021002400

人數(shù)

人

剩余

人數(shù)

\138021002700318035403780390039003780

w/

人

從表中數(shù)據(jù)可以看出，剩余人數(shù)W的值以直線x=7.5為對(duì)稱軸，當(dāng)丫<75時(shí)，剩余人數(shù)W隨著X的增

大而增大，當(dāng)x>75時(shí)，剩余人數(shù)w隨著x的增大而減小，

-結(jié)合表格、圖象推斷，統(tǒng)計(jì)時(shí)間工大約為x=7.5時(shí)，景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)最多，

故答案為：7.5；

【小問4詳解】

解：..?當(dāng)1=4時(shí)，剩余人數(shù)w=3150,

當(dāng)x=5時(shí)，剩余人數(shù)w=3540,

結(jié)合表格、圖象推斷，統(tǒng)計(jì)時(shí)間工大約為1=4.6時(shí)，景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)將首次達(dá)到3400人，此時(shí)將首

次觸發(fā)人流高峰黃色預(yù)警，

故答案為:4.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，從表格獲取信息，用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式，解二元一次方程組，有理數(shù)的減法運(yùn)算，從函數(shù)圖象獲取信息等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系

數(shù)法求一次函數(shù)解析式并能從表格和圖象中正確獲取信息是解題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系XQF中，已知拋物線丁=--a'x+2a\

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）已知點(diǎn)尸（人仍），°（毛’心）是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于l-aS*S2-a,"'"T,都有

求0的取值范圍.

【答案】（1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為卬'01

1,

.-<a<1

（2）。<°或2

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)配方法配成頂點(diǎn)式，然后問題可求解；

（2）由題意可分①當(dāng)°<°和。>°進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：由丁=a'-%"+2?配成頂點(diǎn)式可得：

y=-tax+a?|+a3=a（x-a）~+a3

...該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）；

【小問2詳解】

解：由題意可知。工0,則可分：

①當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=a,

???\-a>1,^-1<-1，

要使Ji<J‘2,則需滿足點(diǎn)p到對(duì)稱軸的距離要比點(diǎn)。到對(duì)稱軸的距離更遠(yuǎn)，

???點(diǎn)。到對(duì)稱軸的距離為°-（°-"=L點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為』一,即】一\一°：一，

.1.l-2a>l,解得:a<0；

②當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，要使】、<】、，則需滿足點(diǎn)尸到對(duì)稱軸的距離要比點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離

更近，

???點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離為°一（"1）=1,點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為忖一4

1

ClV—

當(dāng)玉>0時(shí)，需滿足l-a>a,即2,

...1-xx-a<2-2a

1a<1

.?二-2。<1,解得：2（與2相矛盾，故不符合題意）；

當(dāng)時(shí)，需滿足2-a<。，即

?.？a-24a-玉W2a-1,

解得：a<1(與a>1相矛盾，故不符合題意)；

1,

一<a<1

當(dāng)時(shí)，解得：2,此時(shí)0<2。一1<1,0<2-2<7<1,所以此種情況始終滿足

?"i<13；

1,

八-<a<1,

綜上所述：當(dāng)。<°或2時(shí)，都有

27.已知在AHBC中，AB=AC,ZACB=cx,作點(diǎn)B關(guān)于射線C4的對(duì)稱點(diǎn)口,連接CD,點(diǎn)知是

線段8上的動(dòng)點(diǎn)，連接將線段,繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°-？”,得到線段MM,連

(1)當(dāng)a=45。，且點(diǎn)"與點(diǎn)c重合時(shí)，如圖1,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求證：點(diǎn)石為3N的中點(diǎn)；

(2)當(dāng)45°<a<90。，且點(diǎn)M不與點(diǎn)c、。重合時(shí)，連接幺D,如圖2,(1)中的結(jié)論是否成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)圖和證明見詳解

(2)成立，理由見詳解

【解析】

【分析】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線所截線段成比例及全等三角形的性質(zhì)與

判定，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線所截線段成比例及全等三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)題意可直接進(jìn)行作圖，由題意易得乙川。是等腰直角三角形，AB=AD=CN,然后可證

△ABE'CNE,進(jìn)而問題可求證；

(2)在4。上截取一點(diǎn)凡使得MF=MD,設(shè)與C4交于點(diǎn)o,由題意可先證--NMD,

然后可得乙4FM=ADM=180°-a,則有N3DM=90°=/3。4進(jìn)而根據(jù)平行線所截線段成比例

可進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：所作圖形如圖所示：

是等腰直角三角形，

.-.ZC45=90°,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：AB=AD=AC,^CAD=9Q0,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CN=AB,ZACN=180°-2a=90°=ACAB,

?；ZAEB=4CEN,

...AA5E〈ACWE（AAS）,

BE=EN,

即點(diǎn)E為BN的中點(diǎn)；

【小問2詳解】

解：（1）中的結(jié)論成立，理由如下：

在4。上截取一點(diǎn)E使得MF=MD,設(shè)BZ）與CN交于點(diǎn)。如圖所示，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：C4垂直平分8。，

Z5OC=^COD=^BOA=%°,AB=AD=AC,ZACB=^ACD=a,^CAB=Z.CAD,

BO=OD,

ZABC=AACB=a=AADC,

,-,ABAC=ACAD=}3Q0-2a,ZCDO-90,-a,

,:MF=MD,

:.—MDF=Z.MFD=(X,

...ZDA/F=180°-2a,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：