2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（共10小題，每題4分）

1.（4分）已知函數(shù)/（x）sinx,貝！JUm

△XTOAx

<3

AB.1c.—D.V3

-12

2.（4分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

A.(cos^)'=-sin^B.[ln(2x-l)J'=^j

C.⑵)/=2XD.(Inx)'=

3.（4分）有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品,現(xiàn)不放回從中取2件產(chǎn)品，每次一件，則在第一次取

得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（)

427

A.一B.-C.D.-

7336

4.（4分）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中,甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格

率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（）

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

5.（4分）在佃X-我5的展開式中，x3的系數(shù)為10,則°的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（4分）如果記錄了x,y的幾組數(shù)據(jù)分別為（0,1）,（1,3）,（2,5）,（3,7）,（4,9）,那么y關(guān)于x

的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)（）

A.（2,5）B.（1.5,2）C.（1,2）D.（1.5,4）

7.（4分）從4名男同學(xué)、3名女同學(xué)中選3名同學(xué)組成一支志愿者小隊(duì)，要求男、女都有，則不同的組

隊(duì)方案共有（）

A.60種B.50種C.40種D.30種

8.（4分）已知函數(shù)/（x）=x3+ax2+2x,則“aWl”是（x）在R上單調(diào)遞增”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

9.（4分）函數(shù)的=*的圖象大致為（）

1/17

yy

10.（4分）甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1?6,兩人

各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時，誰的牌點(diǎn)

數(shù)大誰勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對方多勝2次或平局4次時停止，記游戲停止時甲、乙

各出牌X次，則P（X=4）=（）

15511

A.——B.——C.-D.——

16326464

二、填空題：（共5小題，每題5分）

11.（5分）已知隨機(jī)變量X~N（2,o2）（o>0）,若尸（XV4）=0,8,則P（2<X<4）=.

12.（5分）已知。為常數(shù)，"WN*,+的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和均為32,則展開

式中x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

13.（5分）隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P（X=0）=；,則下列結(jié)論中：

①尸（X=1）=~

②。（X）=焉

③E（2￥+1）=~

?D（2X+1）=1.

正確結(jié)論的序號有.

14.（5分）關(guān)于x的方程2|x+a尸"有3個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

15.（5分）同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式（或不等式、方程式）通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或相近的式子，

然后通過同構(gòu)函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解題，此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或

不等式問題.如^=。乎與y=b歷6（可化為歷6?°歷”可以同構(gòu)為/（x）—xe^.若已知axe"'-幾x

-Inx,（a>0,x>l）恒成立，則a的取值范圍是.

三、問答題：（共6小題，共85分）

2/17

16.(15分)將6個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號1?6.現(xiàn)從中任取3個球，以X表示取

出球的最大號碼.

(1)求X的分布列；

(2)求X的期望及方差.

17.(14分)已知函數(shù)/(x)—Inx-x+1,

(1)求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(I))點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)和極值.

18.(14分)近年來，我國電影市場非?；鸨?，有多部優(yōu)秀國產(chǎn)電影陸續(xù)上映，某影評網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名

觀眾對某部電影的評分情況，得到如下表格：

評價等級★★★★★★★★★★★★★★★

人數(shù)23101075

以表中各評價等級對應(yīng)的頻率作為各評價等級對應(yīng)的概率，假設(shè)每個觀眾的評分結(jié)果相互獨(dú)立.從全國

所有觀眾中隨機(jī)抽取4名，

(1)求恰有3人評價為五星，1人評價為四星的概率；

(2)記其中評價為五星的觀眾人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.(14分)已知函數(shù)/㈤=必然，aER.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：xf(x)+ex>a.

22V2

20.(14分)橢圓C：r+v條=的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2,上頂點(diǎn)為“(0,1),離心率為彳.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)(-1,-1)的直線交橢圓C于4,3兩點(diǎn)，設(shè)直線M4,上0的斜率分別為所，42,證明：

ki與fo的和為定值.

21.(14分)如圖，設(shè)/是由"X”(〃23)個實(shí)數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中的表示位于第，行第/列

的實(shí)數(shù)，且滿足郵,aa,ain(z=l,2,,,,,n)與磯/,ay,?,,,anj(J=l，2,…，n)均是公差

不為0的等差數(shù)列.

。12…及

???

。21。22a2n

???

3/17

.??

斯1斯2Qnn

若根據(jù)條件0,能求出數(shù)表N中所有的數(shù)，則稱/能被P確定.

(I)已知"=3,分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表/能否被其確定：

條件0："已知。13,。22,。31”；

條件02：“已知。12,。21,。23，。33”.

(II)設(shè)條件P”任意給定數(shù)表N中的加個數(shù)"，“能被P確定，證明：加的最小值為2〃；

(III)設(shè)條件p“已知集合｛a沛=7,或W=〃+l,其中i=l,2,…，〃｝中的任意上個元素”，求后的最

小值，使得/能被p確定.

4/17

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CDBBDADDAD

一、選擇題：（共10小題，每題4分）

1.（4分）己知函數(shù)/（x）=sinx,則把，,黑一二（）

1V3l

A.—B.1C.—D.V3

22

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義及，（x）=cosx求出答案.

【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的定義知，"m噴學(xué)理=/（5，

4%一ozlx，6

.一7171

又f（x）=COSX,所以/（-）=COS^=—.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

2.（4分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.（cos^）r=~sin^B.[ln（2x-1）]'=

C.⑵）'=2工D.（lnx）'=^

【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對于a（cog）'=（￥）'=o,故/錯誤；

42

對于8,[/〃（2x7）]'=恭7，故3錯誤；

對于C,（2工）'=2》加2,故C錯誤；

對于。，（Zwx）'=p故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（4分）有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，現(xiàn)不放回從中取2件產(chǎn)品，每次一件，則在第一次取

得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（）

5/17

【分析】根據(jù)題意，分析可得在第一次取得次品的條件下，還有2件次品，4件正品，由古典概型公式

計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，在第一次取得次品的條件下，還有2

件次品，4件正品，

則在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率=1

63

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查條件概率性的計(jì)算，注意條件概率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(4分)已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格

率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是()

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解.

【解答】解：由題意可得，60%X95%+40%X90%=0.93.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(4分)在fax-舊5的展開式中，x3的系數(shù)為10,則°的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【分析】求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，然后令X的指數(shù)為3,求出x3的系數(shù)，進(jìn)而可以求解.

5rrr5

【解答】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為C5(ax)-(-后,=(-l)-a^c5x~^,r=0,1,

5,

令5-/=3,解得，=4,

則十的系數(shù)為1-1尸,?，?10,解得a=2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.(4分)如果記錄了x,y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),那么y關(guān)于x

的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)()

A.(2,5)B.(1.5,2)C.(1,2)D.(1.5,4)

【分析】利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本中心點(diǎn)(總J)求解.

6/17

―0+1+2+3+4。1+3+5+7+9

【解答】解:由題意可知,x=-----------------7----------------=2,二

y=55,

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)（2,5）.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了經(jīng)驗(yàn)回歸直線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.（4分）從4名男同學(xué)、3名女同學(xué)中選3名同學(xué)組成一支志愿者小隊(duì)，要求男、女都有，則不同的組

隊(duì)方案共有（）

A.60種B.50種C.40種D.30種

【分析】根據(jù)題意，按選出的男女人數(shù)不同，分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①選出的3人為1男2女，有=12種選法；

②選出的3人為2男1女，有CG=18種選法；

所以一共有18+12=30種選法.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題.

8.（4分）已知函數(shù)/（x）=X3W+2X,則是“f3在R上單調(diào)遞增”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)/（X）在R上單調(diào)遞增求出。的取值范圍，結(jié)合充分條件、必要條件的概念可得答案.

【解答】解：../G）在R上單調(diào)遞增，

：.f（x）=3;?+2辦+220恒成立，

△=4后-24W0,46<a<V6,

...“aWl”是"fG）在R上單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

丫2_1

9.（4分）函數(shù)/閏=卡的圖象大致為（）

7/17

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值加以分析，即可得到本題的答案.

x2_j

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的不滿足-X)=/(x),不是偶函數(shù)，所以排除C、。兩項(xiàng)，

當(dāng)x=0時，f(0)=-1<0,可知/項(xiàng)滿足條件，2項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的圖象與簡單性質(zhì)等知識，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(4分)甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1?6,兩人

各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時，誰的牌點(diǎn)

數(shù)大誰勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對方多勝2次或平局4次時停止，記游戲停止時甲、乙

各出牌X次，則尸(X=4)=()

15511

A.——B.——C.——D.——

16326464

【分析】分甲乙出牌的張數(shù)和甲乙勝負(fù)情況結(jié)合古典概率和二項(xiàng)分布討論.

【解答】解：甲乙每次出牌1張，若兩人出牌的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，

所以平局的概率0=條京=P

若甲勝，則結(jié)果有(2,1)、(3,2)、(4,1)、(4,3)、(5,2)、(5,4)、(6,1)、(6,3)、(6,5),

共9種，

所以甲勝的概率為“=忌=；，同理乙勝的概率也為:

各出牌4次后停止游戲，若4次全平局，概率為弓/=%，

若平局2次，則最后1次不能是平局，

另外2次甲全勝或乙全勝，概率為穹［尸x；x；x2=W，

若平局。次，則一方3勝1負(fù)，且負(fù)的1次只能在前2次中，概率為C：x；x分、2=春

8/17

所以P(X=4)=%+擊+卷=卷.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：(共5小題，每題5分)

11.(5分)已知隨機(jī)變量X~N(2,a2)(a>0),若尸(X<4)=0,8,則尸(2<X<4)=0.3.

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：隨機(jī)變量X?N(2,。2)(。>0),

則尸(X24)=P(XW0)=1-尸(X<4)=1-0.8=0.2,P(2<X<4)=^^^=0.3

故答案為：0.3.

【點(diǎn)評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

12.(5分)已知a為常數(shù)，"GN*,+的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和均為32,則展開

式中x的系數(shù)為270(用數(shù)字作答).

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2",可求得"；采用賦值法，令x=l可得各項(xiàng)系數(shù)和，求

得a；根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)，代入廠=2即可求得x的系數(shù).

【解答】解：???命+》的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=32,

??77=5；

令x=l,則必+丁展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(3+a)5=32,

解得：a=-1；

5r

則徐-，展開式通項(xiàng)為：Tr+1=C5(3x)--(_，=(_「35yx5f,(0WrW5),

令5-2r=l,解得：r—2,

則A=33c"=270x,.?.展開式中x的系數(shù)為270.

故答案為：270.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

13.(5分)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=0)=；,則下列結(jié)論中：

①尸(X=l)=1；

②。(X)=%;

9/17

③E(2A3-1)=]；

@D(2R1)=1.

正確結(jié)論的序號有①②④.

【分析】結(jié)合兩點(diǎn)分布的定義，期望、方差公式，即可求解.

【解答】解：P(X=0)=；,

則尸(X=l)=1-p(X=0)=|,故①正確；

D(X)=4x4=-yp,故②正確；

4416

E(2桿1)=2E(X)+1=2x]+/=多故③錯誤；

D(2A+1)=4D(X)=故④正確.

故正確結(jié)論的序號有①②④.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)分布的定義，期望、方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)關(guān)于x的方程2|x+a尸"有3個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為+8

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出＞="的斜率為2的切線方程，結(jié)合函數(shù)圖象得出。的范圍.

【解答】解：二?關(guān)于x的方程2|x+a尸"有3個不同的實(shí)數(shù)解，

.”=2,+旬與＞=y的圖象有3個交點(diǎn)，

設(shè)y=2x+6與相切,切點(diǎn)為(xo,yo),

好。=2

則=2切+6,解得6=2-2加2.

-yo=

10/17

，切線方程為y=2x+2-21n2,

令y=0得x=ln2-1,

-。<加2-1,解得a>1-Ini.

故答案為:(1-ln2,+°°).

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

15.(5分)同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式(或不等式、方程式)通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或相近的式子，

然后通過同構(gòu)函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解題，此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或

不等式問題.如與>=6/泌(可化為〃仍?/"")可以同構(gòu)為/"(x)=xe(.若已知axe"-加x

-Inx,(a>0,x>\)恒成立，則a的取值范圍是_[g,+co)—.

【分析】根據(jù)題中所給同構(gòu)知識，設(shè)/(x)^xlnx-Inx,則不等式轉(zhuǎn)化為/(e"，)2/(x)(a>0)在x

>1時恒成立，利用/(x)=x/〃x-歷x的單調(diào)性，可將不等式轉(zhuǎn)化為(a>0)在x>l時恒成立，

兩邊取以e為底的對數(shù)，再參變分離，可求出。的取值范圍.

【解答】解：設(shè)/'(x)—xlnx-Inx,

ax

則ax*-ax=e"歷e"-/ne,

故不等式轉(zhuǎn)化為了(〃x)(x)(a>0)在x>l時恒成立，

f(x)=/?x+l-4則/(x)在xd(1,+8)上遞增，且/(1)=0,

所以xG(1,+8)時，f(x)>0,f(x)遞增，

因?yàn)閍>0,x>\,所以故/(e“x)2/G)(a>0)在x>l時恒成立，

等價于e。，》》(a>0)在x>l時恒成立，

即ax^lnx在x>1時恒成立，即a>電在x>1時恒成立，

、幾/、Inx、1，/、l~lnx、1

設(shè)g(%)=—,x>Lg(x)=%、，x>L

(1,e),g'(%)>0,g(x)遞增，(e,+°°),g'(%)<0,g(x)遞減，

所以g(x)rnax=g(e)=/，故壯(，即。的取值范圍是"，+00>.

故答案為：[3,+00).

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式恒成立問題以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.

三、問答題：(共6小題，共85分)

16.(15分)將6個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號1-6.現(xiàn)從中任取3個球，以X表示取

出球的最大號碼.

11/17

(1)求X的分布列；

(2)求X的期望及方差.

【分析】(1)由已知判斷隨機(jī)變量X的所有取值，并分別求解其概率，可得分布列；

(2)由(1)的分布列，利用期望和方差公式即可求解.

【解答】解：(1)由已知可得隨機(jī)變量X的可能取值有：3,4,5,6,

所以P(X=3)P(X=4)=式=5,P(X=5)=同=今/,P(X=6)=d=3=g,

所以X的分布列為：

X3456

p133

2020102

iei2i

⑵￡（X）=3x力+4x而+5x而+6x7=7,

八zs_（、21x21zA21x23（u21、23（右21x21_63

Dm=（3-T）x力+（4-7）X方+（5-7）x萬+（6-7）~'7=麗.

【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，屬于中檔題.

17.(14分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+l,

(1)求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(I))點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)和極值.

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.

【解答】解：(1)由題意得/㈤=：-1,

則，(1)=0,又/(I)=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

所以所求切線方程為y=0.

(2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),/㈤=?,

由，(x)>0,得0<x<l；由(x)<0,得x>l,

函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)7(x)的極大值點(diǎn)為1,極大值/(I)=0,無極小值.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

18.(14分)近年來，我國電影市場非?；鸨卸嗖績?yōu)秀國產(chǎn)電影陸續(xù)上映，某影評網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名

12/17

觀眾對某部電影的評分情況，得到如下表格:

評價等級★★★★★★★★★★★★★★★

人數(shù)23101075

以表中各評價等級對應(yīng)的頻率作為各評價等級對應(yīng)的概率，假設(shè)每個觀眾的評分結(jié)果相互獨(dú)立.從全國

所有觀眾中隨機(jī)抽取4名，

(1)求恰有3人評價為五星，1人評價為四星的概率；

(2)記其中評價為五星的觀眾人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【分析】(1)首先求出評價為五星、四星的頻率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；

(2)依題意可得X?8(4,力，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出所對應(yīng)的概率，即可得到概率分布列與數(shù)

學(xué)期望.

【解答】解：(1)依題意樣本中抽取1人,評價為五星的頻率為尸5=磊=1評價為四星的頻率為尸4=

10_1

Tod~To'

所以從全國所有觀眾中隨機(jī)抽取4名，恰有3人評價為五星，1人評價為四星的概率尸=C?尸乂由=

27

面

(2)依題意X的可能取值為0、1、2、3、4,且X?5(4,9，

13

所以P(X=0)=C*T4=先,P(X=1)=C4(1-^)4=^

2

P(X=2)=C4(l一)2x(?=急，P(X=3)=C\(l—)/x弓尸=螺,

P(X=4)=CX4)4=%,

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X01234

P1125410881

256256256256256

所以￡田=4><9=3.

【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題.

19.(14分)已知函數(shù)的aER.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

13/17

(2)證明：切(x)+ex>a.

【分析】(1)求出了(x),分aWO、。>0討論可得/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)f(x)=Inx+p由/'(x)(1)=1得x/〃x+l2x,不等式M(x)+e*>a等價于x/〃x+ex>0,

令g(x)=x+/x-1,利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)的=華衛(wèi)=/.+?白>0,

當(dāng)aWO時，f(x)>0恒成立，

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上遞增，

當(dāng)a>0時，(0,a)時，/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

xG(a,+8)時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)aWO時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)減區(qū)間，

當(dāng)a>0時，/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(a,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,a).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)a=l時，f(x)=Inx+A且/(x)引"(1)—1,

所以xlnx+12%,

、

因h*為z的vxlnx+a

所以不等式貨(x)+e等價于％加r+e*>0,

令g(x)=x+ex-1,則/閏=]—ef在％>0時恒成立，

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上遞增，

所以當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)=0,

又xlnx+1則xlnx^x-1,

所以x歷x+e-1+ex>0,

所以》加:+e*>0,

所以貨(x)+ex>a.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

22V2

20.(14分)橢圓C：%Y+鑫V=/白>6>切的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)1,上頂點(diǎn)為M(0,1),禺心率為3.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)(-1,-1)的直線交橢圓C于4,8兩點(diǎn),設(shè)直線M4,"5的斜率分別為肌，左2,證明：

14/17

k\與ki的和為定值.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出。，6即可得橢圓C的方程.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)

算推理得證，再驗(yàn)證斜率不存在的情況即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題目：橢圓。胃+營="“〉6>。的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2,

V2

上頂點(diǎn)為M（o,1）,禺心率為；■.得6=1,

V2JMV2I—

由橢圓C的禺心率為-7，得------=―,解得a=V2,

2a2

所以橢圓。的方程為：—+y2=1.

（2）證明：由題：過點(diǎn)（-1,-1）的直線交橢圓。于4,8兩點(diǎn)，設(shè)直線加4,3的斜率分別為左1，

左2，

當(dāng)直線43的斜率存在時，設(shè)其方程為歹=左(x+1)-1,左W2,A(xi,ji),B(也，絲),

."Vkx+k-1

{)+2J,2=2消去x得：(2F+1)，+4后(后-1)x+2(k-1)2-2=0,

A=16后(k-1)2-8(20+1)[(左-1)2-1]=8(廬+2左)＞0,解得左＜-2或左＞0,

4k2—4k2k2—4k

修+'2=一去才'才，

因此曷+%=2左+生工+包2=2左+優(yōu)-2）?里士登=2,

X1x2xlx2

當(dāng)直線斜率不存在時，由I%；2）：?’得了=士孝，

不妨令/（一/,與），B（-1,一?。?則局+0=0_乙）+。，（,，）二2,

所以41與七的和為定值2.

【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定點(diǎn)及定值問題，屬于中檔題.

21.（14分）如圖，設(shè)/是由"初（〃23）個實(shí)數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中旬?表示位于第，行第/列

的實(shí)數(shù),且滿足mi,an,atn（z=1,2,…，ri'）與。1八ay,anj（J=l>2,…，〃）均是公差

不為0的等差數(shù)列.

15/17

anan.??

???

421422a2n

???

???

an\an2Qnn

若根據(jù)條件/能求出數(shù)表/中所有的數(shù)，則稱/能被〃確定.

(I)已知〃=3,分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表/能否被其確定:

條件0：“已知。13，<222,。31”；

條件02："已知。12，。21，。23