費馬點與加權費馬點詳組總it

MB/題型?解讀/

知識點梳理

【希黑費與點】

【加權費馬點】

I

I

加17滿分?技巧/

知識點梳理

【常加費馬點】

【問題提出】如圖AABC所有的內(nèi)角都小于120度，在A4BC內(nèi)部有一點P,連接P4PB、PC,

當PA+PB+PC的值最小時，求此時N4PB與NAPC的度數(shù).

P

BC

【問題處理】如圖1,將AZCP繞著點C順時針旋轉60度得到則ZV1CP絲CP^CP',AP^A,P,,

又：/PCP'=60°,.?.△PCP'是等邊三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

如圖2,當且僅當點B、P、P\4共線時，P4+PB+PC最小，最小值為4B,此時/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費馬點結論：

①對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點，所以三角形的費馬點也叫三

角形的等角中心；

②對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

【如何作費馬點】如圖3,連接A4，，我們發(fā)現(xiàn)△AC4為等邊三角形，點P在4B上，同理，我們可以得到等邊

△氏4月，點P也在CB，上，因此，我們可以以AABC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形，相應連線的交

點即為費馬點。（最大角小于120°時）

圖3

【例1】如圖，在△4BC中，ZACB=9Q°，AB=AC=\,P是△/BC內(nèi)一點，求為+P2+PC的最小值.

【練習1】如圖，已知矩形/5CD,/2=4,3C=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為2C邊上任意一點，則M4+MD+ME

的最小值為.

【加權費馬點】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權費馬點問題，解決方法類似，也

是通過旋轉進行線段轉化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。

［知一學系讀】

當只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉特殊角度：血對應旋轉90°,百對應旋轉120°

另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中，邊長為4,P為三角形ABC內(nèi)部一點，求/尸+5P+J，PC的最小值

【練習2】在RtZXABC中，ZC=3,比=26，P為三角形ABC內(nèi)部一點，求4尸+5尸+也尸。的最小值

BCBC

【知二多系讀】

其實當三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.為最小系數(shù)3NH■外；

2.中國大小婚系mtor比例；

3.最大系數(shù)事定*修中心（例*最大au^PAir面，或以A為*修中心），關橋系數(shù)不為1的一條■盤南

在的三角第.

【例3】如圖，在AABC中，//C5=60。，8。=3，/C=4,在AABC內(nèi)部有一點P,連接尸4PB,PC,

則（1）!尸/+@尸8+尸。的最小值為_______（2）且尸/+工必+尸。的最小值為________

2222

AA

BCBC

【練習3】如圖，在△力BC中，/。5=60°，3。=36，/。=6,在448。內(nèi)部有一點「,連接尸4PB,PC,

則2PA+PB+亞PC的最小值為.

曜R/核心?題型/

普通費馬點最值問題

1.（2021濱州）如圖，在中，NZCB=90。，NA4C=30。，AB=2,點。是內(nèi)一點，則

/%+PB+PC的最小值為.

CA

2.問題背景：如圖1,將△力BC繞點4逆時針旋轉60°得到△力DE,DE與BC交于點P,可推出結論：PA

+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4JL點。是△MNG內(nèi)一點，則點。到4

MNG三個頂點的距離和的最小值是

圖2

3.如圖，在△力BC中，ZCAB=9Q°,AB^AC=2,P是△ABC內(nèi)一點，求雨+PB+PC的最小值.

4.已知，在△力BC中，ZACB=30°,AC=4,4B=J7（C8＞。）點P是AABC內(nèi)一動點，則而+PB+PC

的最小值為

A

P

B-C

5.如圖，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則M4+MD+

ME的最小值為.

6.4B、C、。四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之

間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長度CAP+BP+PQ+DQ+CQ）最小，則應當如何修建？最小

長度是多少？

2023?隨州中考真題

7.1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點4B,C,求平

面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，

該點也被稱為“費馬點''或"托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當。的三個內(nèi)角均小于120。時，如圖1,將△4PC繞，點C順時針旋轉60。得到A/'P'C,連接PP,

由尸C=PCtNFCP'=60。，可知△PCP為三角形，故PP'=PC,又PA=P4,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',4在同一條直線上時，尸/+尸3+尸。取最小值，如圖2,最小值為43,此時

的P點為該三角形的“費馬點”，且有N4PC=NBPC=NAPB=；

已知當“8C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/A4C2120。，

則該三角形的“費馬點”為點.

(2)如圖4,在△48c中，三個內(nèi)角均小于120。，且/。=摘8。=4食/4C3=30°,已知點P為。8c的“費

馬點“，求尸/+必+尸C的值；

(3)如圖5,設村莊4B,C的連線構成一個三角形，且已知/。=41<111食3。=2收01食44。3=60。.現(xiàn)欲

建一中轉站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊4B,C的鋪設成本分別為a

元/km,a元/km,J5a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果

用含a的式子表示)

廣東省江門市一模

8.如圖，在“3C中，NBAC=90°,AB=5,AC=，點尸為“8C內(nèi)部一點，則點尸到。BC三個頂點

之和的最小值是

武漢中考

9.問題背景：如圖1,將△N8C繞點/逆時針旋轉60°得到△/￡>￡,DE與BC交于點、P,可推出結論:

PA+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△"、心中，MN=6,ZM=75°,MG=4枝,點。是△"△心內(nèi)一點，則點。到

三個頂點的距離和的最小值是

圖1圖2

2023?四川宜賓?中考真題

10.如圖，拋物線了=/+反+0經(jīng)過點/（-3,0）,頂點為又（-1,間，且拋物線與y軸的交點B在（0,-2）和

（0，-3）之間（不含端點），則下列結論：

③當-3VxVl時，y<0；②當5M的面積為主叵時，a=--,

22

③當為直角三角形時，在“。8內(nèi)存在唯一點P,

使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9石.

其中正確的結論是.（填寫所有正確結論的序號）

一題四問，從特殊到一般

11.背景資料：在已知“BC所在平面上求一點尸，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是

法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點如圖

1,當“3C三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在AA8C內(nèi)部，當//必=/4?。=/。％=120。時，則

P/+P5+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊“8C內(nèi)有一點P,若點尸到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求//P8的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將A/BP繞頂點/旋轉到△NCP處，此時A/CP'WA/8尸這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段P4、PB、尸C轉化到一個三角形中，從而求出44PB=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與“8。的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點.請同學們探索以下問

題.

(2)如圖3,“3C三個內(nèi)角均小于120。，在“3C外側作等邊三角形“班'，連接C5',求證：CB'^^ABC

的費馬點.

(3)如圖4,在A7\48C中，ZC=90°,NC=1,N/BC=30。，點尸為AA8C的費馬點，連接4P、8P、CP,

求尸/+尸3+尸。的值.

(4)如圖5,在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接NE、BE、CE,且邊長/3=2；求AE+BE+CE

的最小值.

加權費馬點?單系數(shù)型

2023?武漢?慧泉中學校月考

3

12.如圖，RtZi/BC中，/CAB=30。,BC=~,點尸為內(nèi)一點，連接PA,PB,PC,則尸。+尸8+有川

的最小值為.

西安市鐵一中二模

13.已知，如圖在中，//C5=30。，BC=5,/C=6,在AA8C內(nèi)部有一點。，連接則

DA+DB+逝DC的最小值是?

2023?成都市鄲都區(qū)中考二模

14.如圖，矩形/BCD中，48=2,BC=3,點E是N3的中點，點廠是8C邊上一動點.將N3EF沿著E尸

翻折，使得點5落在點皮處，若點P是矩形內(nèi)一動點，連接PC、PD,則近尸C+PD的最

小值為.

加權費馬點?多系數(shù)型

15.在邊長為4的正△力BC中有一點P,連接24、PB、PC,求（工力P+BP+@PC）?的最小值

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16.在等邊三角形ABC