【導(dǎo)數(shù)?？夹☆}題型歸納】【真題+模擬精選】

［題型梳理I

【題型1:在某點(diǎn)出的切線方程】

1.明確切線的定義：切線是指一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線。對(duì)于函數(shù)y=/（x）,在點(diǎn)（%,為）處

的切線，是當(dāng)割線的兩個(gè)端點(diǎn)無限趨近于該點(diǎn)時(shí)，割線的極限位置所確定的直線。

2.求切線斜率：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)/■'（%）就是曲線y=/（x）在點(diǎn)

（%,/（%））處切線的斜率上。所以，首先需要對(duì)函數(shù)/（%）求導(dǎo)，然后將x=/代入導(dǎo)函數(shù)/'（X）中，得到

切線的斜率左=/'（%）。

3.確定切點(diǎn)坐標(biāo)：已知要求切線方程的點(diǎn)為（不，%），其中為=/（?。?。這個(gè)點(diǎn)既在曲線上，也在切線上。

4.使用點(diǎn)斜式求切線方程：點(diǎn)斜式方程為y-%=左（%-%）,將求得的斜率左=/'（%）和切點(diǎn)坐標(biāo)（為,%）

代入點(diǎn)斜式方程，即可得到曲線y=/（%）在點(diǎn)（%,%）處的切線方程y-/（毛）=f\x0）（x-x0）。

【例題1】（2024?全國甲卷?高考真題）設(shè)函數(shù)“X）X,則曲線y=〃x）在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩

坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

【例題2】（2023?全國甲卷?高考真題）曲線y=工在點(diǎn)1,：處的切線方程為（）

e-e-e3e

A.y=—xB.y=-xD.y=—x+——

4224

-1

【例題3】（2021?全國甲卷?高考真題）曲線丫=上;在點(diǎn)（T-3）處的切線方程為

相似練習(xí)

【相似題1］（2019.天津.高考真題）曲線y=cosx-捺在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為

【相似題2】（2019?全國I卷?高考真題）曲線丁=3（/+刈^在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為

【相似題3］（2015?新課標(biāo)II?高考真題）已知曲線y=x+ln尤在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線，=加+（〃+2）尤+1相

切，則a=.

【題型2：過某點(diǎn)的切線方程或未知切點(diǎn)的切線問題】

1.判斷該點(diǎn)是否在曲線上

把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，如果等式成立，則該點(diǎn)在曲線上；否則，該點(diǎn)不在曲線上。

2.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%,%）,因?yàn)辄c(diǎn)（%,%）在曲線上，所以%=/（%）。

對(duì)函數(shù)y=/（x）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)/'（X）。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)（％,%）處的切線斜率k=f\x0）..

由點(diǎn)斜式可得切線方程為y—=/（x0）（x-x0）o

3.當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（芯,/），則%=）（%）。

對(duì)函數(shù)y=/（x）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)/（X）,那么切線斜率左=/'（西）。

由點(diǎn)斜式寫出切線方程y-yx=f'（xJCx—西）。

因?yàn)榍芯€過已知點(diǎn)（小，%），將其代入切線方程可得%=/（xJUo-^）

又因?yàn)?=/（藥），所以得到關(guān)于花的方程，解這個(gè)方程求出演的值。

將占的值代入％=/（石）和%=/'（%）,再利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程。

I"21

【例題1】（2007?全國?高考真題）已知曲線丫=L一31nx的一條切線的斜率為:，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

42

A.3B.2C.1D.；

【例題2】（2022?新高考全國H卷?高考真題）曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為,.

【例題3】（2020?全國I卷?高考真題）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程

為.

相似練習(xí)

【相似題1］（2004?湖南.高考真題）經(jīng)過點(diǎn)P（—1,2）且與曲線y=3尤2—4x+2在點(diǎn)處的切線平行的直

線的方程是.

【相似題2］（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的

切線經(jīng)過點(diǎn)（e,l）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是—.

【相似題3］（2008?江蘇?高考真題）直線y=是曲線y=lnx,x>0的一條切線，則實(shí)數(shù)少=

【題型3：切線的條數(shù)問題】

1.設(shè)切點(diǎn)

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（為,%）,其中為=/（/）。因?yàn)榍芯€是在切點(diǎn)處與曲線相切的直線，所以設(shè)出切點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵第一步。

2.求切線方程

對(duì)函數(shù)y=/（x）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)/'（X）。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)（毛,光）處的切線斜率

k=f（X。）。

由點(diǎn)斜式可得切線方程為丁一%=/（Xo）（x-%o）。

3.代入已知點(diǎn)

如果是過某已知點(diǎn)（花,％）作曲線的切線，將該點(diǎn)代入切線方程，得到/（%）區(qū)-/）。

4.轉(zhuǎn)化為方程求解

將為=/Oo）代入上式，得到關(guān)于飛的方程。此時(shí)方程的解的個(gè)數(shù)就是切線條數(shù)。一般來說，這個(gè)方程可

能是一個(gè)超越方程或高次方程，需要通過分析函數(shù)的性質(zhì)來確定解的個(gè)數(shù)。

5.分析函數(shù)性質(zhì)

構(gòu)造函數(shù)：將關(guān)于飛的方程變形為g（x0）=O的形式，構(gòu)造函數(shù)g（x）,

求導(dǎo)分析單調(diào)性：對(duì)g（x）求導(dǎo)，分析其單調(diào)性和極值情況。通過判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值與0的關(guān)系，

來確定函數(shù)g（x）與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程g（Xo）=O的解的個(gè)數(shù)，從而得出切線條數(shù)。

【例題1】（2021.新高考全國I卷.高考真題）若過點(diǎn)（。力）可以作曲線y=e，的兩條切線，則（）

A.eb<aB.e<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

【例題2】（2025?江西新余.模擬預(yù)測）過，軸上一點(diǎn)（0⑷可以作函數(shù)/（力=三+d一》圖像的3條切線，則

。的取值范圍是：（）.

【例題3】（2024?山東?模擬預(yù)測）若過點(diǎn)（1,附可以作y=（x+l）e'的三條切線，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(一6J,2e)D.(e,2e)

相似練習(xí)

【相似題1］（2022?新高考全國I卷?高考真題）若曲線y=（x+a）e'有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值

范圍是.

【相似題2］（2425高三下?湖南永州?開學(xué)考試）若曲線y=住＜0）與曲線y=e”有三條公切線，貝必的

取值范圍是.

【題型4：公切線問題，切線垂直問題】

1.明確兩條曲線的方程

設(shè)兩條曲線分別為y=/(%)和y=g(x),清楚它們的具體表達(dá)式，以便后續(xù)進(jìn)行求導(dǎo)等運(yùn)算。

2.分別求兩條曲線的導(dǎo)數(shù)

對(duì)/(X)求導(dǎo)得f\x),對(duì)g(x)求導(dǎo)得g'(x)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率，所以/'(%)

和g'(x)分別表示兩條曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率。

3.設(shè)公切線與兩條曲線的切點(diǎn)

設(shè)公切線與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(占,％),與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(X2,y2)。

則％=/(%)，%=8(々)。

4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出公切線方程

，

對(duì)于曲線y=/(x),在點(diǎn)(和必)處的切線方程為=/(x1)(x-x1),即

y=/'(石)》+/(石)一為/'(玉)o

對(duì)于曲線y=g(x),在點(diǎn)(/，％)處的切線方程為y-y2=g(x2)(x-x2),即

，

y=g(x2)x+g(x2)-x2g,(x2)。

5.利用公切線的條件建立等式

因?yàn)槭枪芯€，所以兩條切線方程表示的是同一條直線，那么它們的斜率和截距都相等。

可得方程組］/(~)=g(X2),。

(x1)=^(x2)-x2^(x2)

6.分析方程求解及公切線條數(shù)

通過解方程組［0%)=g/”)、來確定苞和X,的值。

f(xj-xj(x1)=g(x2)-x2g(x2)

一般情況下，將/(x1)=g'(x2)進(jìn)行變形，用占表示4(或反之)，代入

/(石)一%/'(%)=8(%2)-々8’(%2)中，得到一個(gè)關(guān)于X］(或％2)的方程。

然后分析這個(gè)方程解的個(gè)數(shù)：

若方程有唯一解，則公切線有1條。

若方程有兩個(gè)不同的解，則公切線有2條。

若方程無解，則公切線不存在。

在分析方程解的個(gè)數(shù)時(shí)，可能需要對(duì)得到的方程進(jìn)行進(jìn)一步的變形和分析，比如構(gòu)造函數(shù)，通過研究

函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)來確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)，從而確定公切線條數(shù)。

【例題1】（2020?全國HI卷?高考真題）若直線/與曲線產(chǎn)4和尤2+y2=：都相切，貝心的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+gC,產(chǎn)｝x+1D.

【例題2］（2024?廣東江蘇?高考真題）若曲線y=e*+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+l）+a的切線,

則〃=.

【例題3】（2021?新高考全國n卷?高考真題）已知函數(shù)/?（》）=卜-1|,%<0,%>0，函數(shù)“X）的圖象在點(diǎn)

玉））和點(diǎn)3（%，/（々））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于兩點(diǎn)，則取值范圍是

相似練

【相似題1］（2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測）已知曲線y=d-x+2的切線與曲線y=ln（x+l）-。也相切，若

該切線過原點(diǎn)，則。=.

【相似題2】（2025?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）若曲線y=ln2尤在點(diǎn)尸（占,州）處的切線與曲線y=e"相切于點(diǎn)

/、1

Q（w，%），則1^+%=-

【相似題3］（2025?浙江?一模）在動(dòng)畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩

條曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，且曲線不重合,則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線y=/+。與丁=#x相切,

則a=.

【題型5：求函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)范圍】

1.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

。知識(shí)講解：對(duì)于函數(shù)y=f(x),在某區(qū)間內(nèi)，若f\x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；若f\x)<0,

函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是駐點(diǎn)，駐點(diǎn)對(duì)單調(diào)性判斷有重要意義。

。解題思路

i.對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)得尸(X)。

ii.令/''(x)=o.求駐點(diǎn)。

iii.依據(jù)駐點(diǎn)劃分定義域區(qū)間，判斷各區(qū)間/'(%)正負(fù)。

iv.根據(jù)尸(x)正負(fù)確定函數(shù)在各區(qū)間單調(diào)性。

2.已知單調(diào)性求參數(shù)范圍

。知識(shí)講解：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，是將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式恒成立問題，

再求解參數(shù)范圍。

。解題思路

若函數(shù)在區(qū)間/單調(diào)遞增，則/'(x)?0在區(qū)間/恒成立；若單調(diào)遞減，則/'(x)<0在區(qū)間/恒成立。

ii.把尸(x)之0(或/(x)<0)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)不等式。

iii.通過分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)等方法解不等式，得出參數(shù)取值范圍。

【例題1】(2023?新課標(biāo)II卷?高考真題)已知函數(shù)"x)=ae、-Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值

為(),

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【例題2】(2019?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)無)=ex+ae-尤(。為常數(shù)).若/(尤)為奇函數(shù)，則斫:

若/(x)是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

【例題3](2023?全國乙卷.高考真題)設(shè)。<0,1),若函數(shù)〃為=優(yōu)+(1+。)，在(0,+“)上單調(diào)遞增，則a

的取值范圍是.

相似練習(xí)一

【相似題1］（2014?大綱版?高考真題）若函數(shù)/（x）=cos2x+asinx在區(qū)間G，g）內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

62

值范圍是.

【相似題2］（2025?湖北鄂州?一模）己知函數(shù)?。?（/+1取_"在［0,+8）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍

為.

【相似題3］（2025?山西?一模）設(shè)。>0,若函數(shù)〃x）=xlnx-x2+x在區(qū)間（a,y）上單調(diào)，貝的取值范

圍是?

【題型6：函數(shù)的極值與最值】

1.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值

。知識(shí)講解：函數(shù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0（但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)）。若在點(diǎn)與左側(cè)

f\x）>0,右側(cè)/（x）<0,則%為極大值點(diǎn)；反之,左側(cè)尸（x）<0.右側(cè)（（x）>0.

%0為極小值點(diǎn)。

。解題思路

i.對(duì)函數(shù)/（X）求導(dǎo)得了'（X）。

ii.令/''（x）=0,求解得到可能的極值點(diǎn)。

iii.以這些點(diǎn)劃分區(qū)間，判斷各區(qū)間廣（％）正負(fù)，確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),

進(jìn)而求出極值。

2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

。知識(shí)講解：函數(shù)在閉區(qū)間$［a,b］$上的最值，可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得。

。解題思路

i.按求極值步驟求出函數(shù)在開區(qū)間（a,。）內(nèi)的極值。

ii.計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)/（a）與f（b）的值。

in.比較極值與端點(diǎn)值，其中最大的為最大值，最小的為最小值。

【例題1】（2022.全國乙卷?高考真題）函數(shù)/（X）=COSx+（x+1）sinx+1在區(qū)間［0,2TT］的最小值、最大值分別

為（）

兀兀c3兀兀―兀兀一—3兀兀一

A.——，一B.------,一C.——+2D.------+2

22222222

b

【例題2】（2022?全國甲卷?高考真題）當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)/（x）=〃ln%+—取得最大值—2,則八2）=（）

X

A.-1B.——C.1D.1

2

【例題3】（2021?全國乙卷?高考真題）設(shè)若4為函數(shù)/（尤）=〃（4一。）2（%-人）的極大值點(diǎn)，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a2

相似練習(xí)

【相似題1］多選題（2023?新課標(biāo)II卷.高考真題）若函數(shù)/（x）=alnx+2+三既有極大值也有極小

XX

值，則().

A.bc>QB.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

【相似題2］（2022?全國乙卷?高考真題）已知犬二項(xiàng)和分另U是函數(shù)/（%）=2a"—eX2（。＞0且awl）的

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若石＜%，則〃的取值范圍是.

【相似題3］（2021.新高考全國I卷.高考真題）函數(shù)〃x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

【題型7：三次函數(shù)的性質(zhì)】

■:!

1.表達(dá)式：三次函數(shù)的一般形式為丁=。必+6/+0才+〃(。。0)。

2.單調(diào)性

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)先遞減后遞增再遞減，或先遞增后遞減再遞增。

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)先遞增后遞減再遞增，或先遞減后遞增再遞減。

其單調(diào)性可通過求導(dǎo)來確定，對(duì)丁=0?+6/+“+〃求導(dǎo)得了=3。/+25%+。，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來

判斷函數(shù)的單調(diào)性。

3.極值：三次函數(shù)可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，也可能沒有極值點(diǎn)。令丁'=3以2+2法+。=0,根據(jù)判別式

A=(2b)~—4x3ac=4(/—3?c)來判斷：

當(dāng)A>0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。

當(dāng)AVO時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)。

bb

4.對(duì)稱性：三次函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為％=———，將％=———代入函數(shù)可得

3a3a

到對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)。

5.零點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)。>0時(shí)，若函數(shù)的極大值大于0且極小值小于0,則函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)；若極大值等于0或極

小值等于0,則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；若極大值小于0或極小值大于0,則函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)。

當(dāng)a<0時(shí)，情況與a>0時(shí)類似，只是極大值與極小值的大小關(guān)系相反。

6.漸近線：三次函數(shù)沒有漸近線。

7.值域：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?一°°,+00)；當(dāng)a<0時(shí)，值域也為(一°°,+00)

b

8.拐點(diǎn)：三次函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y"=6依+26,令y"=。，解得x=———,所以三次函數(shù)

3a

hh

、=0?+6/+5+〃的拐點(diǎn)為(———,/(———)),這也是函數(shù)的對(duì)稱中心。在拐點(diǎn)處，函數(shù)的凹凸性發(fā)生

3a3a

改變。

例題8

【例題1】多選題(2024?廣東江蘇?高考真題)設(shè)函數(shù)f(無)=(X-1)2(X-4),則()

A.尤=3是/Xx)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)</(x2)

C.當(dāng)1cx<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)一1(尤<0時(shí)，/(2-x)>f{x}

【例題2】多選題(2022?新高考全國I卷?高考真題)已知函數(shù)/(》)=尤3-x+l,則()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【例題3】多選題(2025?河北石家莊?一模)函數(shù)/(x)=(x+l)(x2-x+a)(?eR)，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)。=一2時(shí)，/(元)的極小值為0

B.若/(%)有3個(gè)零點(diǎn)4,%，W，則xl+x2+x3=0

C.若g(x)=/(x)+。,則g(x)為奇函數(shù)

D.當(dāng)—2<a<0時(shí)，/(x)在區(qū)間(-8,-1)上單調(diào)遞增

相似練習(xí)

【相似題1］多選題(2025?遼寧鞍山?二模)已知函數(shù)/(力=丁+加+樂+c滿足〃0)=0,"1)=1,則()

A.a+b=c

B.對(duì)于任意a>0,/(無)有三個(gè)零點(diǎn)

C.對(duì)于任意a<0,/(尤)有兩個(gè)極值點(diǎn)

D.存在a>0,使得點(diǎn)。，/⑴)為曲線y=〃x)對(duì)稱中心

【相似題2］多選題(2025?江西宜春?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=J-3--10x,下列說法正確的是()

A./(x)有3個(gè)零點(diǎn)

B./(無)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-24)對(duì)稱

C./(x)既有極大值又有極小值

D.經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)且與/(x)的圖象相切的直線有2條

【相似題3］多選題(2425高三下?甘肅白銀?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(力=-雙3+3/+1,則下列命題中正確

的是()

A.0是的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)一1<0<0時(shí)，/(a-l)</(fl)

C.若a=1,貝U4-2022)+/(-2023)+f(2024)+“2025)=12

D.若存在極大值點(diǎn)心且/(為)=/(々)，其中x產(chǎn)尤2，則%+2%=。

【題型8：函數(shù)的零點(diǎn)問題】

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對(duì)給定的函數(shù)/（X）求導(dǎo)，得到廣（口。通過導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)。

2.分析函數(shù)單調(diào)性：根據(jù)r（x）的正負(fù)性確定函數(shù)y（x）的單調(diào)區(qū)間。令r（x）>。，解得的區(qū)間為函數(shù)的

單調(diào)遞增區(qū)間；令/''（；0<0,解得的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。

3.確定函數(shù)的極值點(diǎn)和極值：令/（x）=0,求出函數(shù)的極值點(diǎn)。將極值點(diǎn)代入/（無）中得到對(duì)應(yīng)的極值。

這些極值對(duì)于判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)非常關(guān)鍵。

4.分析函數(shù)的端點(diǎn)值或極限值：計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的值，或者考慮當(dāng)x趨近于正無窮、負(fù)無窮時(shí)函數(shù)

的極限值。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，來確定函數(shù)與工軸的交點(diǎn)情況。

5.根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)：如果函數(shù)在某區(qū)間兩端點(diǎn)的值異號(hào)，即那么在區(qū)間

（。,。）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，進(jìn)一步確定零點(diǎn)的具體個(gè)數(shù)。

【例題1】（2023?全國乙卷?高考真題）函數(shù)〃x）=d+依+2存在3個(gè)零點(diǎn)，貝心的取值范圍是（）

A.(-?),-2)B.(-8,-3)C.(T,T)D.(-3,0)

【例題2】（2015?新課標(biāo)1?高考真題）設(shè)函數(shù)〃尤）=，（2尤-1）-仆+°,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)尤。,

使得了（不）<。，則”的取值范圍是（）

【例題3]（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=x|x-4-Inx有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

A.（-<?,1）B.（l,+oo）C.（-<?,1]D.[1,+co）

相似練習(xí)

【相似題1]（2024.廣東.一模）函數(shù)〃x）=lnx與函數(shù)g（x）=md+；有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則小的取值范圍

是（）

A.D.

【相似題2】(2025?廣東汕頭?模擬預(yù)測)已知函數(shù)了⑺^叫一十廣設(shè)8⑺少⑸一依+即若函數(shù)

\~x+1,X>1,

g(尤)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【相似題3](2025?江西九江?二模)己知函數(shù)〃尤)=6出+1)+/-1恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【題型9：構(gòu)建函數(shù)比較大小】

1.觀察式子特征，構(gòu)造函數(shù)

分析結(jié)構(gòu)相似性：觀察待比較大小的兩個(gè)式子，尋找它們結(jié)構(gòu)上的相似之處，以此為依據(jù)構(gòu)造函數(shù)。

例如，若兩個(gè)式子都形如了(X)與g(x),且/(X)和g(x)中X的次數(shù)、運(yùn)算關(guān)系有規(guī)律，可嘗試構(gòu)造

h(x)=f(<x)-g(x)?比如比較產(chǎn)與x+1的大小，可構(gòu)造丸(x)=H—x—1。

考慮常見函數(shù)模型：聯(lián)系常見函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，如指數(shù)函數(shù)y=e"(y'=e，)、對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx

(y=-,x>0幕函數(shù)y=x"(y'=nxn-l)等。若式子中出現(xiàn)xlnx,可構(gòu)造y=xlnx,其導(dǎo)數(shù)

X

y=lnx+lo

2.對(duì)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)

運(yùn)用求導(dǎo)公式和法則：準(zhǔn)確運(yùn)用求導(dǎo)公式(X")'=〃X"T、(靖)'=蜻、(lnx)'=工等，以及求導(dǎo)的四

X

則運(yùn)算法則(M土V)'="土，，(MV)-UV+UV.(2)'=(VWO)對(duì)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)。例如，對(duì)

vv

丸(x)="—x—1求導(dǎo)，根據(jù)上述公式和法則可得〃'(x)=。

3.分析導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)單調(diào)性

判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)：根據(jù)給定的X的取值范圍，分析導(dǎo)數(shù)/i(x)的正負(fù)情況。例如在丸(x)=e“-x-1中，

當(dāng)尤>0時(shí)，ex>1>所以無'(x)=e*-1〉0：當(dāng)x<0時(shí)，0<e“<1，則”(x)=e*-1<0。

確定函數(shù)單調(diào)性：由導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性。當(dāng)〃(x)〉0時(shí)，函數(shù)/z(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)

"(x)<0時(shí)，函數(shù)/z(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞減。所以/i(x)="—x—1在(―8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上

單調(diào)遞增。

4.利用函數(shù)單調(diào)性比較大小

找到對(duì)應(yīng)自變量值：確定所比較大小的兩個(gè)數(shù)在構(gòu)造函數(shù)定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)的自變量占，x2o例如要比較

與0.5+1的大小，此時(shí)占=0.5。

依據(jù)單調(diào)性判斷：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，若不<々且函數(shù)在區(qū)間（芯，％2）單調(diào)遞增，則/2（七）</2（>2）；若函

數(shù)單調(diào)遞減，則以為）>/?（%）。對(duì)于/?）="—x—1,因?yàn)樵冢?,+8）單調(diào)遞增，0.5>0,

/z（0）=e°-0-1=0,所以/z（0.5）=e"5—0.5—1>0,即e°5>0.5+l0

【例題1】

3111

（2022?全國甲卷?高考真題）已知二力=cos—,c=4sin—,則（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【例題2】（2022?新高考全國I卷?高考真題）設(shè)。=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【例題3】(2025?山西臨汾?二模)設(shè)。=lnO.9,Z?=-g,c=e°-9,貝|()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

相似練習(xí)

【相似題1］（2025?云南?一模）設(shè)a=L6=華，c=里，則“，b,c的大小關(guān)系為（）

e23

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【相似題2](2025?海南?模擬預(yù)測)若ln(〃+l)=0.2,ln(2A)=-ln3,e，=1.2,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【相似題3］（2024?甘肅?模擬預(yù)測）設(shè)曰=1.1,b=sina,c=e01,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【題型10：不等式的恒成立問題】

1.變量分離

將不等式中的參數(shù)與變量分離，使不等式一邊只含有參數(shù)，另一邊只含有變量及其函數(shù)形式。例如對(duì)

e'l

于不等式內(nèi)+1>，(尤>0)恒成立，可變形為。〉勺(%>0)o這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求右邊函數(shù)在給

x

定區(qū)間上的最值問題。

2.構(gòu)造函數(shù)

e'1

根據(jù)分離變量后的式子，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)。如上述例子中構(gòu)造函數(shù)(尤>0)。構(gòu)造函數(shù)

x

時(shí)要注意函數(shù)的定義域，需與原不等式中變量的取值范圍一致。

3.求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性

對(duì)構(gòu)造的函數(shù)/(%)求導(dǎo)，得到廣(%)。利用求導(dǎo)公式和法則準(zhǔn)確計(jì)算導(dǎo)數(shù)。例如對(duì)于/(x)=《L根

據(jù)除法求導(dǎo)法則(與=""丁,a=e1，"=6工，v=*，u=1，可得/f(x)=e"*，")=Of,

VVXX

接著分析尸(x)在定義域內(nèi)的正負(fù)性。通過對(duì)廣(九)進(jìn)一步分析(如再求導(dǎo)判斷其單調(diào)性等)，確定了(x)

的單調(diào)區(qū)間。例如設(shè)g(x)=(x—l)e*+l,對(duì)g(x)求導(dǎo)得g，(x)=x/,當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)在

(0,+8)單調(diào)遞增，g(x)>g(O)=O,即/(x)>0,所以在(0,+8)單調(diào)遞增。

4.求函數(shù)最值

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則最小值在區(qū)間左端點(diǎn)取

x\

得(若左端點(diǎn)取不到，則求極限值)；若單調(diào)遞減，則最大值在區(qū)間左端點(diǎn)取得。如/(%)=勺P在(。,+8)單

X

調(diào)遞增，lim—=1(利用等價(jià)無窮小或洛必達(dá)法則)，所以

%-o+x

5.確定參數(shù)范圍

Al

因?yàn)樵坏仁胶愠闪ⅲ詤?shù)大于函數(shù)的最大值或者小于函數(shù)的最小值。如由。〉勺e(x>0)恒

x

er1

成立，且/(x)=L〉l,可得aNl。若分離變量后是參數(shù)小于函數(shù)形式，則參數(shù)小于函數(shù)的最小值。

x

若分離變量不可行，則考慮第二種思路：

1.構(gòu)造函數(shù)

直接將不等式移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)g(x),使g(x)之0(或g(x)WO)恒成立。例如對(duì)于不等式6工之a(chǎn)x+1

恒成立，構(gòu)造g(x)=ex-?x-lo

2.求導(dǎo)分析

對(duì)