安徽省師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合4={—2,—1,0,1,2,3},B=xy,則（）

A.{0,1,2,3)B.{-2,2,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

c什1-i3

2.右z=---，則Z+Z=()

i

A.-2iB.2iC.-2D.2

yr

3.設(shè)0＜。＜二，若tan^sin^=1,則cos＜9=()

2

A幣TB小TQy/5—10A/5+1

224.4

4.若向量Z=（2,2）,向量B滿足0-a），%,則“在Z上的投影向量的坐標(biāo)為

2

()

A-H

C.(1,1)D.(2,2)

5.已知尸,）=P（AB）=（,則尸（因町=

()

A.工

B.-C_p-

33J42

6.已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為「，2r,高為無(wú)，且2r+/z=8,當(dāng)圓臺(tái)的體積最

大時(shí)，圓臺(tái)的母線與底面所成角的正切值為（）

I

A.C.V3D.1

7.已知函數(shù)〃“=》+國(guó)（其中國(guó)表示不超過(guò)無(wú)的最大整數(shù)），則關(guān)于x的方程

?。?5手x1的所有實(shí)數(shù)根之和為（）

A.4B.5C.6D.7

8.記數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為%若國(guó)=〃,則同+同+…+廂的值不可能為

（）

A.96B.98C.100D.102

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知函數(shù)〃x）=sin2x和g（x）=sin[2x-4）,貝I]（）

A.〃x）和g（x）的最小正周期相同

B./⑺和g(x)在區(qū)間［。,為上的單調(diào)性相同

C.“X)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象

D.”力和g(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

10.已知尸為拋物線C：/二人的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)尸的直線與C交于A,

8兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線/于點(diǎn)尸，則()

A.OAOB=-3

B.若直線AB的斜率為1,則以線段A3為直徑的圓截,軸所得的弦長(zhǎng)為10

C.若西=通，則忸司=2|AF|

D.tan/OPR的最大值為克

4

11.設(shè)aeR,函數(shù)/(同=三-3辦+",則()

A.〃尤)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.若q>0,則當(dāng)x>0時(shí)，

C.若有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是(0,揖)

D.若存在s/eR,滿足」(ST)+〃s+r)=2f(s),則s/=0

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知雙曲線C：爾2+(m+1)丁=1的漸近線方程為y=±2x,則C的焦距

為.

13.設(shè)函數(shù)〃同=。國(guó)+2同，g(x)=el+e-x,若曲線y=〃x)與y=g(x)恰有3個(gè)公

共點(diǎn)，則。=.

14.己知正三棱錐D-A5c的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球。的球面上，則正三棱錐

。-ABC內(nèi)切球半徑的最大值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.某研究小組為了解青少年的身高與體重的關(guān)系，隨機(jī)從15歲人群中選取了9

人，測(cè)得他們的身高(單位：cm)和體重(單位：kg),得到如下數(shù)據(jù)：

樣

本均

123456789

號(hào)值

i

身

165157156173163159177161165164

高

Xi

體

重53464856574960455452

%

(1)若兩組變量間的樣本相關(guān)系數(shù)r滿足0.84廠|<1,則稱其為高度相關(guān)，試判斷青

少年身高與體重是否高度相關(guān)，說(shuō)明理由(「精確到0.01);

(2)建立〉關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)某同學(xué)身高為180cm時(shí)，體重的估計(jì)值

(保留整數(shù)).

9-29_29_____

參考數(shù)據(jù)：=400,=220，?》=77000,『y=8528,

Z=1Z=1Z=1

A/55?7.4.

?-磯

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)廠=“，經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=a+法中斜率

囪…)駐卜勺

VZ=1Z=1

n__

和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：b=上―......：—,a=y-bx.

Z(…)

Z=1

16.設(shè)函數(shù)f(x)=-^—(a>0).

⑴若〃尤)是增函數(shù)，求。的取值范圍；

⑵若▲，Z為“X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求/&)/(%)的取值范圍.

17.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB=2娓,PA=4,E,F分別為PB,PD的中

點(diǎn).

⑴證明：平面P4C_L平面CEF；

(2)若點(diǎn)G在棱PO上，當(dāng)直線CG與平面AEC所成角取最大值時(shí)，求PG.

18.己知橢圓C：[+，=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為E,離心率為弓，過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的

直線/交C于A,3兩點(diǎn)(B在線段”上)，當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，

\PA\=(3+242)\PB\.

(1)求C的方程；

(2)求△以8面積的最大值；

⑶過(guò)A且與1軸平行的直線與直線砥交于點(diǎn)證明：線段的中點(diǎn)在定直線

上.

19.已知數(shù)列｛4｝滿足420,且（2%+2-綜+1-q）（%+2-2%+i+%）=0.

⑴若。4=2出=4%=4,求滿足條件的。3的值；

⑵設(shè)集合A=｛"|%=。｝,

（i）若4=｛1,4,7｝,證明：的，&，/成等比數(shù)列；

（ii）若4=｛。）,左｝（其中7＞/＞左＞3）,且出=4+1,求4+i的最大值.

參考答案

I.【答案】C

Inxx>0

【詳解】因?yàn)?=%>=即解得x>l,

x2-l>0,

所以3=卜忖>1},則Ac3={2,3},

故選C.

2.【答案】D

【詳解】因尸=7,j5=i，則2=1^=1±1=^1^=1-：1,

iii

則z=l+i，z+z=l—i+l+i=2?

故選D.

3.【答案】B

［詳解］tanOsin6="=1__cos=1,所以cos26,+cos6^-l=0，

cos。cos6

解得cos。=-^或cos。=~~-（舍），

22

故選B.

4.【答案】C

［詳解］由僅_々）_L〃可得僅_〃）?々=0,即方?Q=Q2=W=8,

一行-

且，在2上的投影向量為2—i=々2,2）=（1/）

2|?18

故選C.

5.【答案】A

_1O

【詳解】因?yàn)镻（國(guó)=2（"）="所以P（8）="

1

尸(B)-尸(AB)

=i-4=-

-麗-33

4

故選A.

6.【答案】D

【詳解】因2r+/z=8,則％臺(tái)/+4/+2/）=（口%=|■兀/（8-2r）,

因2r+/z=8/>0,/z>0,得0v〃v4,

令V（廠）=（兀（8--2r3）,0<r<4,貝IjVr（r）=j7i-（16r-6r2）,

QQ

貝iJT⑺>0得0<r<；；V⑺<0得;<r<4,

則V(r)在(o，|]上單調(diào)遞增，在(|，“上單調(diào)遞減，

則當(dāng)『=|時(shí)，V(r)取得最大值，止匕時(shí)〃=8-g=|,

故圓臺(tái)母線與底面所成角的正切值為J—=1.

2r—r

故選D.

7.【答案】A

【詳解】?。?尤+[無(wú)]S=Y￡-1,即區(qū)=4+Y1,

3九

因?yàn)閤-l<[x]Vx,所以可得x-1〈5-IVx,解得0<尤<2,

當(dāng)x=2時(shí)，滿足題意；

當(dāng)l〈x<2時(shí)，即1=a-1,解得x="滿足題意；

當(dāng)0<x<l時(shí)，即0=?3比-1,解得尤=2；,滿足題意，所有實(shí)數(shù)根之和為2+2；+4；=4,

2333

故選A.

8.【答案】D

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，聞=圖=1,設(shè)q=-1,

當(dāng)心2時(shí)，\Sj=n-l,則寓―國(guó)+國(guó)」=2〃—1,

BP\an\<2n-l,所以++…+|%（,區(qū)1+3+-+19==100,

%=（2〃-1）（-1）"時(shí)取等,故D錯(cuò)誤；

若q=（2〃一1）（一1）",?>4,且4=1,a2=l,a3=-5,

止匕時(shí)|%|+|?|—,+|tZ]0|=1+1+5+7H---F19=98；

若=（2〃—1）（—1）,幾>4,且〃1=1,%=—3,%=—1,

止匕時(shí)|q|+|%|+,?,+k（）|=1+3+1+7+9H--F19=96.

故A,B,C正確.

故選D.

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A：〃x）和g@）的最小正周期均為兀，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：當(dāng)xe,,：1時(shí)，2xe（0,3，所以/（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)xe[o,3時(shí)，2》一方4一全2],所以g（x）單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：“X）的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為選

項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：/-x]=sin[9-2x]=sin[2x-5]=g（x）,選項(xiàng)D正確.

故選ABD.

10.【答案】ACD

22

【詳解】設(shè)直線AB：x=ty+1,8（肛％），其中，&=小,%=?

?X-/"V+1

2，，整理得丁-49一4=0,則%%=-4,y+必=4乙

y=4x

OA.OByi2L-I-4=-3,A正確；

=16+y1y2

直線AB的斜率為1,則此時(shí)，t=],

**?|AB|=J1+產(chǎn)也一刃=&X-4yly2=&x^32=8,

設(shè)M為A8中點(diǎn),

22

2L+A

又占+尤2=44=（必+%）--24%=16+8=3，

2-—2一8—8—

易知”（3,2）,所以以為直徑的圓截y軸所得弦長(zhǎng)為24^^=2近，B錯(cuò)誤；

過(guò)4B分別作/的垂線，垂足分別為M,N,因?yàn)橹?而，則力為一與8的中點(diǎn),

所以2|4田=怛叫，由拋物線的定義可知，2\AF\=\BF\,C選項(xiàng)正確;

設(shè)/與x軸交于點(diǎn)Q,因?yàn)槎圆环猎O(shè)130/b。=21曲/。也=2/>0,

2f-1t<tA/2

所以tanZOPF=tan(ZFPg-Z(9P2)=

1+2/-1+22M4

當(dāng)且僅當(dāng)/=在時(shí)取等號(hào)，D選項(xiàng)正確.

2

故選ACD.

11.【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，?.?尸(力=3(心一力,

二當(dāng)aWO時(shí)，單調(diào)遞增，“X)無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)4>o時(shí)，/'(x)>0得尤>々或x<-&,r(x)<0,得

則/(x)在卜8,-，?)和(/?,+8)上單調(diào)遞增，在［-'V^',上單調(diào)遞減,

此時(shí)“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)。>0,%>0時(shí)，

由上述知，“力在(G,+8)上單調(diào)遞增，在［o,G］上單調(diào)遞減，

3/3丫

則=a3_2/=|a?_［-1>-1,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)aWO時(shí)，〃尤)單調(diào)遞增，〃尤)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意;

當(dāng)4>0時(shí)，若“X)有3個(gè)零點(diǎn)，

.3

/(_&)=_/+2〃>0

則由單調(diào)性可知必然有,，解得。€(0,網(wǎng)).

/(6)=a3-2a2<0

而當(dāng)ae(0,&)時(shí)，/(-l-a)=-l,/^>/3a)=a3>0,

.?"(x)在區(qū)間卜1-。,-&),(_?,?),(G,技')中分別各有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)

正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，?：f(s-t)+f(s+t)-2f(s)=6st2,

.?./(s_r)+/(s+t)=2/(s)等價(jià)于s=0或r=0,.-.^=0,故D選項(xiàng)正確.

故選BCD.

12.【答案】5

.......上上=1,,11

【詳解】易知m<0,m+1>0,11，得出/=----和=---,

------m+1m

m+1m

FT?4

因?yàn)闈u近線方程為y=±2x,故22=4=——解得加=-工，

所以彳一亍一，所以C的焦距為2、5+巳=5.

13.【答案】1

【詳解】易知"X)與g(x)均為偶函數(shù)，

若曲線y=/(x)與y=g(x)恰有3個(gè)公共點(diǎn)，則/(o)=g(o),

所以2同=2,解得a=±l,

當(dāng)a=—l時(shí)，”力=2-此值域?yàn)?9,2］,

由g(x)=e，+eT22,所以此時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意;

當(dāng)4=1時(shí)，/(x)=W+2,

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=x+2,g(%)=e'+e

設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=ex+e~x-x-2,

則/2,(x)=ex-e-v-l,記5(%)=爐一尸一1

則s，(x)=e*+er>0恒成立,

所以九'(耳=6］「-1在(0,+e)上單調(diào)遞增，

11Q

又〃(l)=e——l>e---l=e-->0,//(0)=-1<0,

所以存在飛使〃(%)=0,

且當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，/?,(x)<0,//(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(/,+e)時(shí)，//(x)>0,//(%)單調(diào)遞增，

即存在%?0,1),使力(%)</1(0)=0,X/z(2)=e*2+e-2-4>0,

所以函數(shù)/z(x)=g(x)-/(力在(0,+8)有一個(gè)零點(diǎn)，

即曲線y=/(x)與y=g(x)在(0,+8)有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上所述曲線、=/(%)與,=8(%)共有3個(gè)公共點(diǎn)，符合題意.

14.【答案】|

【詳解】設(shè)正三棱錐O-ABC的底面VA3c邊長(zhǎng)|AB|=2a,￡)到平面ABC的距離為〃,

所以(I?+怎］=1，a2=|(2/z-/z2),

所以AH)S表xJ/z2+；=6〃(4+[3川+/)，

V=gxy/3a2h=；S表x廠,

^a2h二

h

-J2-J(j2+3〃-j2-.2—〃(j2+3.—j2—/z)

l2+3h

1+5/2—/z+，2+3〃4h4

V2-h

不妨設(shè)根=目,〃=反五'所以3歷+*=8,所以「=巴丁,

2J7

設(shè)m=《―cos。，n=25/2sin0，

2a0.n2瓜0、

—cos02V2sme--------cos0

所以r=33

4

cos2011c.兀)1

I222%I6-1

"33"3

所以內(nèi)切球半徑的最大值為:

15.【答案】（1）相關(guān)，理由見(jiàn)解析

（2）y=0.62x-49.68，身高為180cm的某同學(xué)，體重大概為62kg

【詳解】(1)§(%,.-jc)(y,-J-9xy=77000-8528x9=248.

Z(x-x)(y-y)

;;248器儂，或幕=嚼加）

因?yàn)閺S=

出—)z(^-y),400x220

所以0.8V|r|<l,即身高與體重間是高度相關(guān)的;

八一&一元）（y一刃

=變=。.62,

（2）因?yàn)?=-----t----------；-----

沁一下）2400

所以°=7一菽=52-0.62X164=-49.68.

所以體重關(guān)于身高的回歸方程為y=0.62x-49.68,

所以當(dāng)x=180cm時(shí)，ya62kg.

即某同學(xué)身高為180cm時(shí)，體重大概為62kg.

16.【答案】（1）（0』

⑵

x2

xe（ax;-2ax+l\

【詳解】（1）由〃x）=——（a>0）,求導(dǎo)得廣（耳='二'

4+1'（加+1）

ex（ax2-2ax+l\

若〃尤）是增函數(shù)，即1（x）=',,\2

lax+1）

所以公？-2分+120恒成立，

因?yàn)椤?gt;0,則有△=4/-4a40,

解得0<a<l,即。的取值范圍是（。/；

（2）由（1）可知，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則。>1,

根據(jù)韋達(dá)定理得出占+了2=2,尤］尤2=L

a

QXi+X2e2e2

所以/（士）“尤2）=--------------X---------------=------------------------------------------------

QX^+1+1+(2X^+CIX2+12+a|4--4a，

ka

因?yàn)閍>1,所以—e[。,e2

所以〃石）/仇）的取值范圍是

17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）1

【詳解】（1）連接班）,設(shè)與AC相交于點(diǎn)0,連接P0.

VE,尸分別為PB,PD的中點(diǎn)，AEF//BD,

在正四棱錐尸-ABCD中，PO_L平面ABCD,

又：BDu平面ABCD,：.BDLPO,

又底面A3C￡>為正方形，ABDLAC,

VAC（｝PO=O,ACu平面PAC,POu平面PAC,

，班（工平面PAC,

：.E_F_L平面PAC,

：￡尸<=平面。斯，平面上4C_L平面CE產(chǎn).

（2）由（1）以及題意可知，在Rt^BOC中，BC=276,BO=CO=25

4，?，?PO=A/P^-CO2=2?

又：PO_LAC,BD1AC,BDLPO,

...以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,0P所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則0（0,0,0）,A（0,-2點(diǎn)0）,網(wǎng)230,0）,C（0,273,0）,味2瘋0,0）,P（0,0,2）,

￡（73,0,1）,

則/=（0,4也,0）,荏=（若,2石,1）,麗=卜2石,0,2）,PD=（-25/3,0,-2）.

：G在棱尸。上，.?.不妨設(shè)前=2兩（0V2V1）,

貝I]G（-2>/32,0,2-22）,CG=卜2辰,-2瓜2-22）.

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為處=（%y,z）,

n?AE=06工+26y+z=0

則即《

n-AC=O,4回=0

令％=-!,則y=o,z=6貝"=卜1,0,6).

設(shè)CG與平面AEC所成的角為。，

?0

sinr/="--國(guó)----=目<’遂.

則1J-5,當(dāng)且僅當(dāng)彳=1時(shí)等號(hào)成立.

|H|.|CG|415

???當(dāng)CG與平面AEC所成角取得最大值時(shí)，?G=M=1.

18.【答案】（1）《+y=1

2

⑵正

4

⑶證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）依題意二=3+2忘，所以“=也,

2—a

因?yàn)椤?走，所以c=i,

a2

所以從=?！?=1,

所以C的方程為:+產(chǎn)=1；

z1A1|

設(shè)直線/：x=my+2fA(%,yJ,B(x2,y2),易知尸(1,0)

!x=my+2(、、°_4W?

由《2c2cC可得，(〃/+2)y+4"沙+2=0,y+y=^—,yy=,

[x+2y-2=0')rn2+2療+2

222

A=(4??z)-4x(7?z+2)x2=8/T7-16>0,解得〃/>2,

△E4B的面積是VFR4與AFPB的面積之差，

___M&/叵

設(shè)J毋一2”所以白7=7-彳，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取”=

所以△EAB面積的最大值為正;

4

(3)直線FB：￡=『y+i,

%

%2—11

%=———V+1

,x9-1my?+1