專題08銳角三角函數(shù)

IP題型概覽

題型01銳角三角函數(shù)的定義

題型02解三角形

題型03解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一—俯仰角問題

題型04解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一一方向角問題

題型05解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一—坡度坡角問題

耳幣開IJ八八翻吉缶工仔的的引庇山田甘仙問旦而

敗翌01

銳角三角函數(shù)的定義

1.（2025?江蘇常州?一模）如圖所示為一張矩形紙片A5CZ）,E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊BC上，把該紙片

BF2

沿瓦折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G,H,GE與BC交于點(diǎn)0,用的延長線過點(diǎn)C.若而=§，則

sin的值是（）

【答案】A

【分析】由矩形和折疊的性質(zhì)可證明EB=EH=EC,通過等腰三角形的性質(zhì)得到G為CH中點(diǎn)，則由平行

線分線段成比例定理可得CO=。尸，那么設(shè)8廣=FH=2x,則CO=FO=3x,再由正弦的定義即可求解.

【詳解】解：連接EB,EH,EC,

H

?.?四邊形ABC。是矩形,

AB=CD,ZA=ZD=ZABC=90°,

E1為的中點(diǎn)，

AE=DE,

EABgEDC（SAS）,

EB=EC,

?折疊，

EB=EH,ZABC=ZFHG=ZA=ZEGH=90°,

EG//FH,EC=EH,

FOHG

GC7

EC=EH,EGLCH,

GC=GH,

FOHGi

----=-----=1,

OCGC

FO=OC,

BF_2

'CO"3'

.設(shè)BP=2x,則CO=FO=3x,

?折疊，

BF=FH=2x,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?廣東深圳?一模）在Rt^ABC中，已知/C=90。，sinA=^1,BC=10,則AB長為（）

A.12B.26C.24D.13

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形，利用正弦的定義即可求出

【詳解】解：,在RtZXABC中，ZC=90°,sinA=—,3c=10,

sinA

13

故選：B.

3.（2025?天津紅橋?一模）如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ADd.BC,垂足為D,則下列結(jié)論中正確

的是（）

cAB「AD

C.tanC-----D.tanC------

ABABBCCD

【答案】D

【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對(duì)題目中給出的四個(gè)

選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷即可得出答案.熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ZBAC=90°,AD±BC,

.nA。BC,,加］、口

??sinB=――,故A名曰快；

ABAB

「BDAD中、口

/.cosB=——-,故B車曰慶;

ABAB

ABAB

?-tanC=——,故C錯(cuò)底；

ACBC

Ar)

tanC=—,故D正確，

故選：D.

4.（2025?山東?一模）如圖，在由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,民C都在格點(diǎn)上，經(jīng)過點(diǎn)A,反。

的圓與小正方形一邊相交于點(diǎn)。，則cosNADC的值為（）

A2_V5_2岳n3屈

331313

【答案】D

【分析】本題考查了圓周角定理的推論，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角

定理的推論把求一ADC的余弦值轉(zhuǎn)化成求/ABC的余弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題.

首先根據(jù)圓周角定理的推論可知，ZADC=ZABC,然后在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出

cosZADC.

【詳解】解：如圖，連接AC、BC.

.,NADC和—ABC所對(duì)的弧長都是AC，

，根據(jù)圓周角定理的推論知，ZADC^ZABC.

'：ZBAC=90°

：.BC為直徑,

在Rt^ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知,

47?

cosZABC=——,

BC

BC=&+爰=屈，AB=3,

...cosZABC==3^1

5/1313

:.cosZADC=^^-

13

故選：D.

5.（2025?湖南長沙?一模）如圖，。的半徑。4與弦5c互相垂直平分，則NA￡B的度數(shù)為（）

B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，連接可得

cosN8OD=空=1,即得NBQD=60。，進(jìn)而由圓周角定理即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

OB2

【詳解】解：連接02,

?:.。的半徑04與弦8C互相垂直平分,

AO±BC,OD=-OA=-OB,

22

cosNBOD=——=—,

OB2

，N3OD=60°,

/.ZAEB=-ZAOB=-x60°=30°,

22

故選：A.

6.（2025?山東濟(jì)寧?一模）如圖，在Rt^ABC中，CD是斜邊A3上的中線.已知C￡?=2,AC=3,則cos/OCA

的值是（）

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線可得

AB=2CD=4,AD=CD,進(jìn)而得NDG4=NA,然后利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：在RtZXABC,CO是斜邊48上的中線，CD=2,

：.AB=2CD=4,AD=CD,

Z￡>C4=ZA,

AB4

故選：C.

7.（2025?天津西青?一模）3cos30。+且的值等于（）

2

A.|B.且C.BD.2上

232

【答案】D

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣,

要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要

按照從左到右的順序進(jìn)行.首先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法，求出算式的值

即可.

【詳解】解：3cos30。+走

2

一3*3+走

22

35/3走

-2V

=2^/3;

故選：D.

8.（2025?廣東江門?一模）若銳角（z=30。，則cos。的值是（）

A.；B.立C.交D.1

222

【答案】B

【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)cosa=cos3（T=且即可得出答案.

2

【詳解】解：.??a=30。,

V3

???cosa=cos30°=——，

2

故選：B

9.（2025?天津?一模）括cos30。-1的值等于（）

A.4B.走一1C.石一1D.1

22

【答案】A

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，二次根式的乘法，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式乘法法則求解，最后合并即可.

【詳解】解：V3cos30°-1

=艮立一1

2

二一1

2

=5，

故選：A.

10.（2025?云南楚雄?一模）如圖，這是一塊三角尺ABC,其中/3=30。，ZC=90°,貝UcosA的結(jié)果為（）

A.|B.—C.BD.1

222

【答案】A

【分析】本題主要考查特殊角的函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值即可得到答案.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

求出NA=60。，即可得到答案.

【詳解】解：RtAABC,4=30。，ZC=90°,

.-.ZA=60°,

故cosA=cos60°=—,

2

故選A.

11.（2025?天津和平?一模）3sin30°的值等于（）

A.-B.—C.—D.73

222

【答案】A

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

13

【詳解】解：3sin30°=3x-=-,

22

故選：A.

12.（2025?四川瀘州?一模）因?yàn)閏os6（T=g,cos240°=-1,Kcos240°=cos（180°+60°）=-cos60°.由

此猜想，推理可知：當(dāng)。為銳角時(shí)，Wcos（180°+?）=-cos6Z,由此可知80210。=（）

A右R石c垃nV2

2222

【答案】B

【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，本題是信息題，按照"一般地當(dāng)a為銳角時(shí)有

cos(180o+Q)=-cosa"去答題.同時(shí)熟記特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵.

當(dāng)a為銳角時(shí)有cos(180°+a)=-cosc.把21?！?18?！?300代入計(jì)算即可.

【詳解】解：?.,cos(18(T+(z)=-cosa,

cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-(，

故選：B.

二、填空題

4

13.(2025?江蘇淮安?一模)如圖，在Rt中，/AOB=90。，且點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，點(diǎn)、B

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定.過上

8作AC_Ly軸，3D軸，根據(jù)條件得到：AC80D3,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出

SAC。:SAB”=4:9,利用相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過A、8作ACLy軸，軸，垂足分別為C、D,

ZAOB=90°,

???ZAOC+ZBOD=90°,

???ZDBO^ZBOD=90°,

???NDBO=ZAOC,

???ZBDO=ZACO=90°,

：.,ACO^ODB,

22

：.sAC0:SAB0D=OA:OB

49

???4在反比例函數(shù)y=—的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=—-的圖象上,

xx

._49_

,,SACO-S/XBQD=5：5=4：9,

.??絲=2=tanNABO,

OB3

2

故答案為：—.

三、解答題

14.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，已知直線/和直線/上的兩點(diǎn)4B,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在直線/上方求作

RtVABC,使得tanC=g,點(diǎn)B為直角頂點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）

??/

AB

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖，以點(diǎn)8為圓心，以的為半徑畫弧與直線/交于點(diǎn)。，E,再分別以點(diǎn)D,

E,為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F,作射線防，在射線即上截取3G=GC=AB,連接AC,

401

可知tanC=——=-,則VABC即為所求作.

BC2

【詳解】解：如圖所示，RtZXABC為所作.

解三角形

1.（2025?內(nèi)蒙古?一模）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=2,AD=4,以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交BC

于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)N,則圖中陰影部分的面積為（）

48

A.兀B.3兀C.—71-2A/3D.-71—2^/3

33

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積，三角函數(shù)，連接AM,由矩形的性質(zhì)及余弦的定義可得

4D1

cosX.BAM=---=—,即得/BAAf=60°,再根據(jù)S陰影二S扇形AMN-SABM計(jì)算即可求解，正確作出輔助線是

AM2

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接40,

?四邊形ABCD是矩形,

ZABM=90°,

,**AB=2,AM=AD=4,

：.cosZBAM=^=-=~,BM=ylAM2-AB2=742-22=2A/3

???ZBAM=6Q0,

S陰影=S扇形AMN-SABM=一/0—X2X2A/3=-71-2^3,

故選：D.

2.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,5C=6,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE,DF±AE

于點(diǎn)八連接AC交。廠于點(diǎn)A/,則等的值為（

)

AD

C

986

B

?8-7-D.5-

【分析】如圖所示，延長。方交3C于點(diǎn)G,勾股定理求出AE=JAB?+BE?=5，得到

Q1Q]X7

sinZADF=smZBAE=-,求出AP=(，EF=AE-AF=5--=-,然后訐明出八ADFsAEGF,得到

空=空，代數(shù)求出GE=(,GC=GE+EC=^-+3=^-,然后證明出ADMs二CGM,得出

GEEF333

AMAD_6_9

MC~GC~16~8即可.

【詳解】解：如圖所示，延長。尸交5。于點(diǎn)G,

BC=AD=6,IB90?,

?.?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

BE=CE=-BC=3

2f

,:AB=4,

?**AE=JAB?+BE?=5，

sinZBAE=-=-,

AE5

;DF±AE,

：.ZADF^ZDAF=ZBAE^-ZDAF=90°,

：.ZADF=ZBAE,

3

???sinZADF=sin/BAE=-,

5

.AF3日口4/3

.?而=7即可=+

1Q7

???EF=AE-AF=5——=—,

55

???AD//BC,

???AADF^AEGF,

.ADAF

**GE-￡F?

18

?-?6一rf

GE7

5

7

：.GE=~,

3

???GC=GE+EC=-+3=—,

33

?：AD//BC,

J、ADMsCGM,

AM_AP_6_9

AMC-GC-l6-8.

T

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

3.（2025?貴州畢節(jié)?一模）已知如圖，在平行四邊形A3C。中，ZD=75°,AB=AC,sinZECB=—,則絲

2AD

的值為（）

DC

【答案】B

【分析】由平行四邊形得ZABC=NO=75。，AD=BC,又sinZECB=走，則NBCE=60。，過點(diǎn)B作BFLCE,

2

過點(diǎn)E作EHJ.BC,過點(diǎn)A作AGL3C,設(shè)BC=2a,解直角三角形分別求出正，CF,AF,BE的長，

等積法求出E"的長，勾股定理求出的長，平行線分線段成比例，求出AE的長，進(jìn)而求出餐的長即

AD

可.

【詳解】解：由題意可得：ZABC=ZD=75°,AD=BC,

:sinNECB=—,

2

/.NBCE=60。,

過點(diǎn)B作BFLCE,過點(diǎn)E作團(tuán)過點(diǎn)A作AGL3C,

設(shè)BC=2a,

貝i」NCM=90°—60°=30°,

：.CF=；BC=a,BF=6CF=W，Z.EBF=ZEBC-ZCBF=45°,

/.EF=BF=^3a,

：.BE=-JlEF=屈a,

/.CE=CF+EF小+叫a,

,：SRE=-CEBF=-BCEH,

BCE22

(\+sl3^a-\[3a=2a-EH,

.??即=2±@q,

2

：.BH=^BE2-EH2=^^-a,

2

VAC=AB,AG±BC,

BG=-BC=a,

2

,口廠nrj3一百V3—1

..HG=BCr-BH=a---------a=--------a,

22

由題意可得：EH//AG,

--1

.AE_HGAE

??一,即/—-/―,

BEBHy/6a3—v3

-------a

2

AE=y/2a，

.AEAE叵a0

ADBC2a2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例，三線合一，等積法求線段,

熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?山東青島?一模）如圖，已知？390?,ZDAB=55a,/C4B=45。，AB=a,則CD的長是（）

A.cz-tan55°-?B.cz-sin55°-aC.a-cos55°-aD.-J3a-a

【答案】A

【分析】本題主要考查了利用三角函數(shù)比解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)比.

利用等腰直角三角形求出3C=AB=。，再利用tan/ZM2=空求出現(xiàn)＞長度即可得出答案.

AB

【詳解】解：在Rt^ABC中，/CAB=45。，

BC=AB=a,

tanZDAB=tan55°=

AB

/.BD=AB-tan55°=a?tan55°,

.\CD=BD-BC=atan550-a,

故選：A.

5.（2025?廣東惠州?一模）如圖，菱形Q4BC的邊長為2,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，拋物線y=〃/過點(diǎn)&若

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)及解直角三角形，過點(diǎn)B作y軸交y軸

于點(diǎn)。，求出與點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求解，求出5點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

ZAOC=60°,

???48=60。,

，BD=BCsinZBOC=2x—=73,CD=2cos60°=2x-=l,

22

網(wǎng)-6,-3),

把川-后―3)代入y=〃X2,

-3=3。，

..a=-1,

故選：A.

二、填空題

6.（2025?浙江湖州?一模）如圖，A3是，。的弦，半徑OC_LAB于點(diǎn)D,連結(jié)OA.若。的半徑長為10cm,

AB的長為則扇形OAC的面積是cm2（結(jié)果保留兀）.

【分析】本題考查了垂徑定理、解直角三角形、扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵.先根

據(jù)垂徑定理可得；42=5點(diǎn)cm,再解直角三角形可得NO=60。，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可

得.

【詳解】解：1,半徑OCAS于點(diǎn)￡）,的長為

AD=—AB=5拒cm,

2

,/。的半徑長為10cm,

OA=10cm,

在RtAOD中，[o=—=—=—,

snOA102

???NO=60。，

扇形。4c的面積是6071X102（cm2）,

3603v7

......,..507r

故答案為：.

2

7.（2025?廣東深圳?一模）如圖，RtAO5中，ZAOS=90°,頂點(diǎn)A5分別在反比例函數(shù)）=—（%>0）與

x

>=一9（彳<0）的圖象上，則

【答案】60

【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)A作AF_Lx軸于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E,得到SBOE=3,Saof=1,證明。臺(tái)即②口玄，得

到工典=3,得出絲=V^=tanNBAO,得到/區(qū)40=60。，即可得到答案.

SAF0{OAJOA

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AF_Lx軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)3作3E_Lx軸于點(diǎn)E,

?「點(diǎn)A5分別在反比例函數(shù)y=2（%>°）與丁=—9（%<0）的圖象上，

ZAOB=ZBEO=ZAFO=90°,

/.ZAOF+ZOAF=90°,ZAOF+ZBOE=90°,

/.ZOAF=ZBOE,

1.BEO^：OFA，

?uBEO

''q

u.AFO

—=yf3=tmZBAO,

OA

.\ZBAO=60°,

故答案為：60.

8.（2025?江西宜春?一模）如圖，等邊VA05的邊長為2,若點(diǎn)C（0,道）繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后，恰好與VA03的某

邊上的點(diǎn)P重合，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，分點(diǎn)P與。4邊上的點(diǎn)

4重合，點(diǎn)P與邊上的點(diǎn)心重合，點(diǎn)尸與02邊上的點(diǎn)心重合三種情況討論求解即可，

【詳解】解：???△。鉆為等邊三角形，

二ZAO3=ZABO=60。，（M=O3=AB=2.

當(dāng)點(diǎn)P與。4邊上的點(diǎn)A重合時(shí)，則ou=oc=Q,

過點(diǎn);作單）_Lx軸于點(diǎn)。，

，OD=OPrcosZAOB=73x1=^,

P[D=OPt-sinZAOB=s/3x^-=^,

當(dāng)點(diǎn)P與AB邊上的點(diǎn)鳥重合時(shí)，連接。鳥，則。鳥=OC=g,過點(diǎn)心作鳥軸于點(diǎn)E.

設(shè)BE=a,則鳥2=2〃，OE=2-a,

2222

由勾股定理得OP^-OE=P2E=P2B-BE,

22

即（石『一（2-0）2=（2fl）-a,

解得。=g，

：.OE=2--=~,^E=B￡-tan60°=—,

2222

二點(diǎn)2

當(dāng)點(diǎn)P與08邊上的點(diǎn)己重合時(shí)，則。鳥=省,

二點(diǎn)月（石，。卜

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是咚,|或|考或（后0）,

9.（2025?山東濟(jì)寧?一模）如圖，已知P是線段48上的動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A,B重合），AB=6,分別以AP,

尸3為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△居?和等邊△PFB,連接砂，設(shè)EF的中點(diǎn)為G；連接尸G,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則PG的最小值是.

【分析】分別延長AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為中點(diǎn)，則G的運(yùn)行

軌跡一的中位線MV,得出MN〃AB,從而求得尸G<AM且PG大于等于上W與AB間垂線段的長

【詳解】解：如圖，分別延長AE、即交于點(diǎn)”，

??AAEP,△電B分別是等邊三角形，

ZA=ZAPE=ZAEP=NFPB=NB=NPFB=&）。,

/.AH//PF,PE//BH,ABH是等邊三角形，

二四邊形EPFH為平行四邊形，

EP與HP互相平分.

??,G為斯的中點(diǎn)，

：.G正好為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡為.“4B的中位線MN,

/.MN//AB,PG<AM,

當(dāng)P在A8中點(diǎn)時(shí)，PH±AB,PG的值最小，

:.是等邊三角形，

AH=AB=6,

PH=AH-sin60°=3y/3,

：.PG=-PH=—

22

/.PG的最小值時(shí)速，

2

故答案為也.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點(diǎn)G移

動(dòng)的規(guī)律，判斷出其運(yùn)動(dòng)路徑，綜合性較強(qiáng).

4

10.（2025?遼寧撫順?一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=10,tanD=-,在直線BC上取一點(diǎn)E,使BE=2,

連接AE,在AE的右側(cè)作NE4F,^ZEAF=ZA￡C,射線AF交直線3C于點(diǎn)尸，則M的長為

【答案】6或12

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形，結(jié)合圖形作垂線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題

意，分①點(diǎn)E在線段上；②點(diǎn)E在CB延長線上2種情況討論，作AGJLBC于點(diǎn)G,根據(jù)菱形的性質(zhì)

和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)即可求解.

【詳解】解：①若點(diǎn)E在線段上，如圖，作AG,5c于點(diǎn)G,則NAG8=NAGC=90。,

V菱形ABC。,

.-.BC=AB=10,ZABC=ZD,

4

/.tanZABC=tanD=—

3

A（Z4

，在RtzXABG中，tan/A3G=——=—

BG3

*e?設(shè)AG=4m,則BG—3m,

AG2+BG2=AB2,

/.（4m）2+（3m）2=102,

解得：m=2^m=-2（舍去），

.?.AG=8,BG=6,

BE=2,

,\EG=BG-BE=6-2=4f

NEAF=ZAEC,

；.AF=EF,

設(shè)AF=跖=x,貝=—￡G=x—4,

在Rtz\AGb中，AG2+GF2=AF2,

/.82+（X-4）2=d,

解得：x=10,

:.EF=10,

BF=BE-^-EF=2+10=12；

②若點(diǎn)石在CB延長線上，如圖，作AGLBC于點(diǎn)G,則NAG3=90。,

BE=2,

:.EG=BG+BE=6+2=8,

:.EG=AG,

.?V4GE是等腰直角三角形，ZAEC=ZEAG=45°,

ZEAF=ZAEC,

.\ZEAF=ZEAG,

，點(diǎn)"與點(diǎn)G重合,

.\BF=BG=6；

???綜上所述，所的長為6或12.

故答案為：6或12.

11.（2025?福建泉州?一模）一根鋼管放在〃V〃形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是6cm,若NAP5=60。,

P

【答案】（366一12萬7+364）

【分析】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積、解直角三角形、切線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.連接CP,由題意得PAP3都是OC的切線，得到NC4P=NCBP=90。，利用四邊形的內(nèi)角和定理得出

ZACB=120°,再證出RtACP^RtBCP,得到NAPC=ZBPC=30。，利用正切的定義求出AP的

2

長，最后利用陰影部分的面積=s,ACP+SBCP~S扇形CA5即可求解.

【詳解】解：如圖，連接CP,

由題意得，PAP8都是的切線，

:.CA±PA,CBLPB,

NCAP=NCBP=90°,

ZAPB=60°,

ZACB=360°-NCAP—NCBP—ZAPB=120°,

CA=CB,CP=CP,ZCAP=ZCBP=90°,

..Rt-ACi咤RtBCP(HL),

ZAPC=ZBPC=-ZAPB=30°,AP=BP,

2

(JA

在RtAAPC中，tanZAPC=——=tan30°,

AP

L

/.AP=---------=6A/3,

tan30°

BP=66,

,e?陰影部分的面積=SACP+S5"-S扇形CA5

=1x6x673+1x6x673-^^

22360

=^36\/3-12^jcm2.

故答案為：卜6方-12?).

三、解答題

12.(2025?黑龍江齊齊哈爾?一模)如圖，已知AB是，。的直徑，點(diǎn)C,。在上，BC=CD，連接

OD,CD,班＞,點(diǎn)E是線段AB延長線上一點(diǎn)，且=連接EC并延長交射線AD于點(diǎn)尸.

(2)若_BE=1,CE=幣,求陰影部分的面積.

【答案】(1)證明見解析

⑶1石

(2)—71------

64

【分析】(1)連接OC,可證又由垂徑定理可得OC，50,即得OC，￡F,即可求證；

(2)由切線的性質(zhì)得N&石=90。，設(shè)。半徑長為％,貝|QB=OC=x,OE=x+\,利用勾股定理可得

OC=\,OE=2,進(jìn)而由銳角三角函數(shù)得NE=30。，即可得NCOD=NCO石=60。，再根據(jù)

S陰影=S扇形COD-SCOD解答即可求解.

【詳解】(I)證明：連接OC,

?：ZAEC=ZABD,

???BD//EF,

,?*BC=CD，

：.OC±BDf

：.OCA.EF,

?；oc為。的半徑，

???￡F是。的切線；

(2)解：:EF是。的切線,

:.OCA.EF,

NOCE=90°,

設(shè)(。半徑長為x,則O3=OC=x,OE=x+l,

OC2+CE2=OE2,

Ax2+(73)2=(x+l)\

解得x=l,

OC=1,OE=2,

一OC1

?sinEp=------=-一,

OE2

：.ZE=3Q°,

：.NCQE=90。一ZE=60。，

BC=CD，

：.ZCOD=ZCOE=60°,

u：OC=OD,

???△COD為等邊三角形，

CD=OC=l,

過點(diǎn)。作陰，8于8，則NCO〃=L/COD=30。，CH=-CD=1,

22

?O1百_君

??Srnn=-CD*OH——X1X-,

COD2224

.?&_60”12省」上

???陰影一》扇形COD_360一彳.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?湖南湘西?一模）如圖，以為直徑的。經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作一。的切線交A3的延長線于點(diǎn)P,

。是C。上的點(diǎn)，且應(yīng);=&，弦AD的延長線交切線尸c于點(diǎn)E,連接AC.

ac

⑴求NE的度數(shù)；

3

⑵若，。的半徑為3,sinP=-,求的長.

【答案】⑴4=90。

24

(2)AE=y

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,證明NQ4C=NOC4,ZOAC=ZCAD,推出比〃力不，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

ZE=ZOCP.根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)運(yùn)用三角函數(shù)值在RtOC尸中求得OP,然后在RtAPE中求得即可.

【詳解】(1)解：連接OC,

?：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

BC=CD，

：.ZOAC=ZCADf

：.ZOCA=ZCAD,

：.0C//AE,

：.ZE=Z.OCP,

〈PE是的切線，C為切點(diǎn),

???ZOCP=90°.

：.ZE=90°；

3

(2)解：在Rt0cp中，。。=3,sinP=-,

OC_3

~OP~~5

，OP=5,

AE3

在RtAPE中，AP=5+3=8,sinP=——=-

AP5

24

AE=—

5

14.（2025?四川雅安?一模）如圖.在VABC中，。是A8的中點(diǎn)，連接CD,E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF〃AB

交AE的延長線于點(diǎn)F，連接

(2)如果AC=BC=遮，tan/ABC=2,求EG的長.

【答案】①見解析

喈

【分析】（1）由題得NA4E=NCFE,DE=CE,得到—DE4"CEF（AAS）,得出AE=EF；

(2)由,CEF,得到A￡>=CP,AE=￡F,由AC=8C=石，。是A8的中點(diǎn)，得到CD_LAB,得

出BD=CF,得到四邊形BOCF是矩形，求出8。=1,。=2,AE=EF=y/l,可證明尸G,得

#GCECE14山也

至U—=——=——=—,求出EG二"

FGBFCD23

【詳解】（1）證明：CF//AB,

:.ZDAE=ZCFE,

E是CO的中點(diǎn),

:.DE=CE,

ZDEA^ZCEF,

DEA^.CEF(AAS),

,\AE=EF；

(2)解：由(1)知注、CEF,

:.AD=CF,AE=EF,

。是AB的中點(diǎn)，

AD=BD，

:.BD=CF9

ABCF,

；.四邊形BDCF是平行四邊形，

AC=BC=也,

:.CD±AB,

四邊形3DCF是矩形，

:.CD=BF,CDBF,

CD

tanZABC=——=2,

BD

:.CD=2BD,

NBDC=9。。,

:.BD2+CD2=BC2

:.BD2^-4BD2=5,

:.BD=1,CD=2BD=2,

AD=BD=1,DE=CE=-CD=1,

2

AE=EF=7AD2+DE2=72，

CD//BF,

CEGsBFG,

.EG_CE_CE_1

'FG~BF~CD~2"

:.FG=2EG,

EG+FG=EF=y[l,

3EG=V2，

/.EG=—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定性質(zhì)，解

直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3

15.（2025?浙江紹興?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。在BC邊上，CD=4BD,AD±BC,sin^C=-.

(1)求tan/3的值；

(2)若45=10,求.AGO的周長.

【答案】(l)tanN3=3

(2)12A/1I0

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)和勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

An3

（1）設(shè)BD=x,則CD=4x,根據(jù)sin/C==—可得AC=5x,AD=3x,進(jìn)而可求出tanN5=3.

AC5

（2）在Rt△/記。中，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值為比6,進(jìn)而可求得ACD的周長.

【詳解】（1）解：設(shè)B￡>=x,因?yàn)镃D=4a）,貝l]CD=4x,

4n3

因?yàn)樗?AT）C=/ADB=90。，所以sin/C=——=—,

A.C5

因?yàn)锳C?=AEP+CZJZ,

所以AC=5x,AZ）=3x,

Art

所以tan/B="=3.

BD

（2）解：在RtZXABD中，BD2+AD2=AB2.即尤？+9無=lOO,所以x=

所以，ACD的周長為3x+4x+5x=12x=12麗.

16.（2025?河南鄭州?一模）（1）【知識(shí)再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個(gè)元素一三個(gè)角，三條邊，由已

知元素求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個(gè)條件中，不能解直角三角形的是.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個(gè)銳角；③已知兩個(gè)角.

（2）【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個(gè)元素一三個(gè)角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的

過程叫解三角形.三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作為解三角形的常用工具.如圖1,已知VA2C

中，ZA=30°,ZB=45°,A8=5+58，解這個(gè)三角形；

（3）【延伸應(yīng)用】如圖2,VA3C中，AC=25COSA=—,BC=m,在解這個(gè)三角形時(shí)，若未知元素

2

都有兩解的優(yōu)的取值范圍是.

ABAB

圖1圖2

【答案】(1)(3)；(2)ZACB=105°,AC=10,BC=5母;(3)6＜利＜2代

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

掌握相關(guān)知識(shí).

(1)根據(jù)解直角三角形的定義可得結(jié)論；

(2)過點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)JD,由VABC中，ZA=30°,ZB=45°,可得NACB=105。，CD^AD,

AC—2CD,設(shè)CD=BD=x,貝！|AC=2x,AD=5+5A/3-x,根據(jù)tan/A==歹！J方程求出無，即可

AD3

求解；

(3)過點(diǎn)C作CE1AB,交A8的延長線于點(diǎn)E,由47=2有，cosA=#,可得CE=gaC=6,當(dāng)

3C=CE=m或BC2AC時(shí)，3C有唯一解，當(dāng)CE＜BC＜AC,即有＜小＜2有時(shí)，8C有兩個(gè)解，可得結(jié)

論.

【詳解】解：(1)不能解直角三角形的是已知兩個(gè)角，

故答案為：③；

(2)如圖1,過點(diǎn)C作。0,43于點(diǎn)。，

VABC中，ZA=30°,/3=45°,

ZACB=180°-Z4-ZB=180°-30°-45°=105°,CD=BD,AC=2CD,

設(shè)CD=BD=x,貝|AC=2x,AD=AB-BD=5+5yj3-x,

在RtACD中，tanZA=—=^,即——、—=—,

AD35+5V3-X3

解得：x=5,

*'?CD=BD=5,AC=2x=10,

BC=y[iCD=5近,

/.ZACB=10509AC=10,BC=542;

圖I

(3)過點(diǎn)C作CE人AB,交AB的延長線于點(diǎn)E,

AC=26cosA=—,

2

ZA=30°,

：.CE=-AC=y/3,

2

當(dāng)BC=CE=〃z或BCNAC時(shí)，8C有唯一解，

當(dāng)CE<3C<AC,即』<加<20時(shí)，BC有兩個(gè)解,

故答案為：A/3<m<2^3.

圖2

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用俯仰角問題

1.（2025?山東聊城?一模）光岳樓位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中國十大名樓

之一，光岳樓為中國既古老又雄偉的木構(gòu)樓閣，是宋元建筑向明清建筑過渡的代表作，在中國古代建筑史

上有著重要地位，1988年光岳樓被列為全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，享有"雖黃鶴、岳陽亦當(dāng)望拜”之譽(yù).某校

數(shù)學(xué)實(shí)踐小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量光岳樓的高度，他們制訂了兩個(gè)測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)

地測(cè)量.在測(cè)量仰角的度數(shù)以及有關(guān)長度時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果.下面是

兩個(gè)方案及測(cè)量數(shù)據(jù)（不完整）：

項(xiàng)

測(cè)量光岳樓的高度

目

方方案一：標(biāo)桿垂直立于地面，借助方案二：利用銳角三角函數(shù).測(cè)量：距離CD,

案平行的太陽光線構(gòu)成相似