2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考平行四邊形證明高頻考點歸納練

1.(1)如圖1,在正方形ABC。中，點、E,尸分別在ADA3上，連接CE,0P交于點G,

當(dāng)￡＞尸=8時，請判斷與CE的位置關(guān)系，并寫出證明過程；

(2)如圖2,點尸為C。的中點，將正方形ABC。沿3尸折疊，點C的對稱點為G,連接CG

并延長交AD于點E,交BP于點K,連接DG并延長交A8于點R求證：CE=DF.

2.如圖1,菱形ABC。中，點E是對角線AC上一點，連接BE、DE.

圖2

⑴求證：BE=DE；

(2)如圖2,若/ABC=80。，點P在線段AO上，連接當(dāng)AAEF是等腰三角形時，請

直接寫出4￡戶的度數(shù).

3.如圖，在矩形ABCZ)中，AD=3,OC=10,點E是邊A3上一點，EB=9,連接DE,

EC.點M和點尸分別是邊BC和線段班上的動點，連接尸

DCDE'C

AEPBAEPB

圖1圖2

⑴求證：DAEs,EBC；

⑵如圖1,若PM=PB+CM,S^PBM=^~,求EP+3M的長；

(3)如圖2,將ZME繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E的對應(yīng)點￡在邊DC上，點A的對應(yīng)點A在

線段。尸上，DP交EC于卓、N,若PM=CM,求證：NM//AB.

試卷第2頁，共10頁

4.如圖1,四邊形ABCL（中，對角線AC,8?；ハ啻怪逼椒郑^A作AH_LCD于H交。D

于K,延長ZM至跖作NM4H的平分線，交BD于E,交BC于F.

（1）判斷四邊形A3C。的形狀并證明；

（2）如圖2,連接0H,判斷0〃與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）補(bǔ)全圖形：延長AH,交EC延長線于G,延長胡，交DC延長線于/,探究當(dāng)CG=及時,

比較后CH和GC的大小關(guān)系，并說明理由.

5.如圖①.點E為正方形A3CD內(nèi)一點.ZAEB=90°,將RtA4BE繞點8按順時針方向

旋轉(zhuǎn)90。，得至（點A的對應(yīng)點為點C）.延長AE交CE'于點元連接DE.

猜想證明：

（1）試判斷四邊形的形狀.并說明理由；

（2）如圖②.若94=讓.請猜想線段CP與FE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

解決問題：

(3)如圖①，若AB=15,CF=3,請直接寫出。E的長.

(1)如圖①，證明：BE=BF.

(2)如圖②，若NA￡?C=90。，。為AC的中點,G為所的中點，試探究OG與AC的位置關(guān)

系，并說明理由.

(3)如圖③，若NADC=60。，。為AC的中點,過點E作。C的平行線，并在其上取一點K(

與點r位于直線BC的同側(cè))，使斯=郎，連接CK,H為CK的中點，試探究線段與

出之間的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論給予證明.

試卷第4頁，共10頁

7.已知在正方形ABCD中，AB=6,點耳歹分別在邊AD,C。上，S.DE^DF,連接BE,

BD.

(1)如圖1,連接AF交8。于點G,若CF=2DF,求證：BG=3DG；

(2)如圖2,連接硬，BF,若NEBF=45°,求所的長；

ENDN

(3)如圖3,連接BF,過點E作垂足為交于點N,求證：—.

8.(1)如圖1,點E是邊長為12的正方形紙片ABC。的邊所在的射線DA上一動點，將正

方形沿著CE折疊，點。落在點尸處，把紙片展平，射線叱交射線48于點尸.根據(jù)以上

操作，求證：AP=EF.

(2)在(1)條件下，若點E是凡D的中點，如圖2,延長CP交48于點Q,點。的位置是

否確定？如果確定，求出線段BQ的長度，如果不確定，說明理由；

(3)在(1)條件下，如圖3,CE,交于點G,取CG的中點H,連接求的

最小值.

9.四邊形A3CD是一張平行四邊形紙片，將紙片沿著所折疊，使點8落在直線4。上的點

B'處，點A的對應(yīng)點為A,EB'和CD相交于點

(D如圖1,當(dāng)平行四邊形ABC。是矩形時：

①連接班，求證：四邊形E8F?為菱形：

②如圖2,若3c=2AB,當(dāng)點尸與點C重合時，NECB'=；

(2)如圖3,當(dāng)平行四邊形A3CO滿足NABC=60。，AE=AB=2,且H為C。的中點，求此

時EF的長度.

試卷第6頁，共10頁

10.如圖，正方形ABCD的邊長為4,在平面內(nèi)取一點E（不與點。重合），連接DE,以DE

為邊作正方形DEfG（D,E,F,G四點逆時針分布），連接AE,CG.

圖1備用圖

（1）如圖1,當(dāng)點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，求證：AE=CG；

⑵在（1）的條件下，當(dāng)點E運動到與AE,G三點共線時，若DE=2,求AE的長;

（3）當(dāng)點E在平面內(nèi)運動時，若DE=2,請直接寫出△說的面積的取值范圍.

11.實踐操作矩形紙片ABC。中，AB=6,AD=4,現(xiàn)將紙片折疊，點A的對應(yīng)點記為點

P,折痕為"N（點N是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片展平.

初步思考（1）如圖1,當(dāng)點N在上，點M和點尸在DC上，AP與MN交于點、O.求

證：四邊形AMPN為菱形；

繼續(xù)探究（2）如圖2,在（1）的條件下，當(dāng)點尸與點C重合時，求4〃的長；

拓展延伸（3）如圖3,當(dāng)點N和點8重合，點M在AD上運動時（點M不與點A重合），

作/CBP的平分線，與的延長線交于點Q.求出點。到C。的距離，并直接寫出在點M

運動過程中，點。到直線AD的最大距離.

圖1

12.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD交于。點,,是，3AC的外角平分線，CF

平分工ACB,交BD于點G.

圖2

⑵求證：FG=V2CG;

(3)如圖2,連接。尸，若正方形ABCD的邊長為2,求的長.

試卷第8頁，共10頁

13.在正方形ABC。和正方形A￡FG中，E為3C上一動點(不與3、C重合)，G在C。延

長線上，

(1汝口圖1,判斷DG與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵如圖2連接EG、BD交于點P,連接CP,判斷AE與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶如圖3連接EG、BD交于點P,連接CV,若點E在運動的過程中，當(dāng)CP平分/ECF時,

過點尸做P”_LEC于點H,直接寫出P”與EC的數(shù)量關(guān)系.

14.如圖①，四邊形ABC。為正方形，E為對角線AC上一點，連接。E,BE.

圖①圖②圖③

(1)求證：BE=DE；

⑵如圖2,過點E作EFLDE,交邊BC于點、F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

①求證：矩形。EFG是正方形；

②若正方形A3。的邊長為9,CG=3及,求正方形DEEG的邊長；

(3)若正方形A58的邊長為4&,連接CG,如圖③，直接寫出CE+CG的值.

15.菱形ABCD中，點E為C。邊上一動點，射線AE與BC的延長線交于點尸，連接。尸,

射線BE與。尸交于點G.

⑴如圖1,E為CD中點，ZAEB=ZBCD.

①求證：BE~=CEBC；

②若AB=6,求線段EG的長；

(2)如圖2,點a在邊AD上，若/EBH=NBCD=60。,BE=4EG=2,求線段AH的長.

試卷第10頁，共10頁

《2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考平行四邊形證明高頻考點歸納練》參考答案

1.(1)DFLCE,證明見解析；(2)見解析

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，平

行四邊形的判定與性質(zhì)等知識,靈活運用全等三角形的性質(zhì)處理邊角關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

(1)運用印，證明RtZMF^RtCDE,^ZECD=ZFDA,由NEDA+NFE?C=90°得

/ECD+/CDF=90。,可得/DGC=90。，從而得DF_LCE；

(2)由折疊得3尸垂直平分CG,K為CG的中點，乙BKC=90。，運用ASA證明BCP咨ECD,

得BP=CE,再運用三角形中位線定理得出得出四邊形PBDF是平行四邊形，

可得BP=DF,從而得出CEnD尸.

【詳解】解：(1)DF±CE,

證明：??,四邊形ABC。是正方形，

AD=。，/A=ZADC=90°,

在RtADF和RtVDCE中，

[AD=DC

[DF^CE'

ARtD4F絲RtCDE'(HL),

ZADF=ZDCE,

ZADC=90°,

/.ZADF+ZFDC=90°,

：.NDCE+NFDC=90。,

：.NDGC=180°-(ZDCE+ZEDC)=180°-90°=90°,

：.DFLCE-

(2)?.,將.3PC沿3尸折疊，得到.BPG,

點C與點G關(guān)于直線3P對稱，

BP±CG,GK=CK,

???K為CG的中點，

:四邊形ABC。是正方形，

/.BC=CD,AB//CD,ZBCP=ZADC=90°,

ZPBC=ZECD=90°-Z.BCE,

答案第1頁，共35頁

在3cp和AECP中，

"NPBC=ZECD

<BC=CD,

ZBCP=ZCDE

一BCP^AECD(ASA),

：.BP=CE；

：K為CG的中點，尸為CO的中點，

二PK為▲CDG的中位線，

PK//DG,即3尸〃。F,

又AB〃CD,

四邊形BPDF是平行四邊形，

/.BP=DF,

'：BP=CE,

：.DF=CE.

2.(1)見詳解

(2)80?；?5?；?0。

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(I)根據(jù)菱形的性質(zhì)得AD=AB,然后證明至△ZME,即可作答.

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得3C〃AD,NBAE=NDAE,ZBAE=ZDAE=50°,然后結(jié)合等腰

三角形的性質(zhì)，進(jìn)行逐個作圖，且根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)列式計算，即可作答.

【詳解】(1)解：：四邊形ABCD是菱形，

AZBAE=ZDAE,AD=AB,

"：AE=AE,

，△RAE9/\F>AE,

：.BE=DE；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形，

BC//AD,ZBAE=ZDAE,

,：ZABC=80°,

ZBAD=180°-80°=100°,

答案第2頁，共35頁

ZBAE=ZDAE=50°

V是等腰三角形,

ZAEF=180°—50°-50°=80°；

ZAEF=ZDAC=5Q°；

綜上：當(dāng)△AEF是等腰三角形時，的度數(shù)為80?；?5?；?0。.

3.(1)見解析;

⑵？;

答案第3頁，共35頁

(3)見解析.

【分析】（1）在矩形ABCD中，AD=3,DC=10,EB=9,得出3c=3,AE=1,即可

得——=——，結(jié)合ZA=ZB=90°,即可證明DAEs,EBC.

AEBC

(2)如圖，設(shè)CM=x,，則則BM=3—x,EP=9—y,在咫中，

勾股定理得出關(guān)系式孫=)3x,由工廁=與得：y(3-x)=?,兩式相結(jié)合得出

//22

13

x+y=y,即可求解EP+8M=12-x-y.

(3)證明△ZMP絲△CBE,得出AP=3E=9,即可得尸3=1,根據(jù)PM?=(3—冏/丫+a，

求出產(chǎn)M=g,得出需=1，由DC〃尸E得△DCVSAP￡N,得出第=器=1,

再證明△CWMs^xcEB,可得NCNM=NCEB,即可證明.

【詳解】(1)證明：如圖，在矩形ABC。中，AD=3,DC=10,EB=9,

：.BC=3,AE=1f

AD

~AEBC

ZA=ZB=90°,

:」DAEsEBC.

(2)解：如圖，設(shè)CM=x,BP=y,則尸加=尤+，

貝U&W=3—x,EP=9—y,

在用PBM中，（x+y）2=（3-x）2+y2,

.,.孫=￡-3X,

,?q15

*^APBM2

.\!y（3-x）=y

/.3y—xy=15,

.ar92J：

..3y-1--3xI=15,

3x+3y=學(xué),

13

..x+y=—,

2

:.EP+BM=9-y+3-x=12-x-y=n-^-=^-.

答案第4頁，共35頁

(3)證明：ZADE=ZADEr,ZADE=ZAPD,

,\ZADE=ZAPD,

???.DAE^EBC

：.,ZADE=ZBEC,

:.ZBEC=ZAPD,

9：ZDAP=ZCBE=9Q°fAD=BC,

：..DAP^^CBE(AAS)f

則APuBE：y

.\PB=AE=1,

PM=CM,

.\PM2=(3-PM)2+12,

.CM=5

…BM

■:DC//PE,

???DCNs&PEN,

,CN=DC=10一5

「EN~PE?

.CM=CN

,.BM—EN，

.CN二CM

?.CE-CB'

又ZNCM=/ECB,

.-.△CWS&JEB,

:.ZCNM=ZCEB,

:.NM//AB.

【點睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形

的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

4.(1)四邊形ABCD是菱形，證明見解析

(2)AE=yfiOH，理由見解析

答案第5頁，共35頁

（3）當(dāng)NC4/f=22.5。時，y/2CH=GC;當(dāng)NC4H>22.5。時，丘CH<GC;當(dāng)NC4H<22.5。

時，y/2CH>GC

【分析】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰直角三角

形的判定與性質(zhì)、

（1）利用菱形的判定可得結(jié)論；

（2）先利用菱形的性質(zhì)45=8,Q4=OC,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得至U

OH^OA^OC,利用垂直定義和等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出NZM"=90。-2/C4H,根據(jù)角

平分線的定義和角的運算得到ZAOE=45°,進(jìn)而得到AAOE是等腰直角三角形即可得出結(jié)

論；

【詳解】（1）解：四邊形河。是菱形，證明如下：

「四邊形ABC。中，對角線AC,8?；ハ啻怪逼椒?，

.??四邊形ASCZ）是菱形；

（2）解：AE=y[2OH.

理由：由（1）知四邊形ABCD的形狀是菱形，

AAD=CD,OA=OC,

ZCAD=ZACD,

,：AHLCD,

：.OH=OA=OC,ZCAH+ZACD=90°,

：.ZC4H+ZG4D=90°,BPZCAH+ZCAH+ZDAH^90°,

：.ZDAH=90°-2ZCAH,

的平分線，交BD于E,

：.ZEAH=|AMAH=1（180°-ADAH）=45°+ZCAH,

ZAEO=ZEAH-ZCAH=45°,

”。后是等腰直角三角形，

AE=y/2OA=>f2OH;

（3）解：當(dāng)NC4H=22.5。時，亞CH=GC;當(dāng)NCAH>22.5。時，丘CH<GC;當(dāng)

NC4H<22.5。時，42CH>GC

如圖

答案第6頁，共35頁

M

A

圖2

設(shè)/C4H=a,由（2）可得NZMH=90°—2a

?.?四邊形ABC。是菱形；

AB//CD

：.NG=90°-ZHCG=90°-2a

'：AHLCD

：.ZHCG=2a

當(dāng)NHCG=NG時，即90。一2a=2tz,是等腰直角三角形，則CG=0CH

=22.5°

即當(dāng)NC4H=22.5。時，立CH=GC;

當(dāng)NG4H>22.5。時，貝U/Gc/HCG

CH<HG

■:CG=y[i，則CG?=2

,:CH?+HG。=2,CH<HG

2CH2<2,即辰H<逝

血CH<GC;

當(dāng)NG4H<22.5。時，同理可得，6CH>GC.

綜上所述，當(dāng)NC4H=22.5。時，直CH=GC;當(dāng)NC4H>22.5。時，0C”<GC;當(dāng)

NC4H<22.5。時，y[2CH>GC.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以

上知識是解題的關(guān)鍵.

5.（1）正方形，理由見解析；（2）CF=EF,證明見解析；（3）3a

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)

與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NA￡B=NCEZ=90。，BE=BE'，NEBE'=9?！?由正方形的判定

答案第7頁，共35頁

可證四邊形BEFE'是正方形；

(2)過點D作。于H,由等腰三角形的性質(zhì)可得AH=JAE,DHLAE,由“AAS”

可得△AD"絲△B4E,可得AH=BE=gAE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE',可得結(jié)論；

(3)作/5GLAE于G,根據(jù)勾股定理求出CE',再根據(jù)勾股定理求出AG,進(jìn)而求出GE,

根據(jù)勾股定理計算。E的長.

【詳解】解：(1)四邊形3EFE是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZAEB=NCE3=90。，BE=BE',NEBE'=90。

又,/NBEF=180°-ZAEB=90°

二四邊形是矩形

又,：BE=BE,

.,?四邊形3EFE'是正方形；

(2)CF=EF,證明如下：

如圖②所示，過點D作。垂足為H

ZDAH+ZADH=90°,

VDA=DE,DH1AE,

：.AH=-AE,

2

:四邊形A3CD是正方形，

AB=AD,ZDAB=90°,

：.ZDAH+ZBAE^90°,

：.ZBAE=ZADH,

在.AEB和中，

答案第8頁，共35頁

ZAEB=ZDHA

<NBAE=ZADH,

AB=DA

：.AE噲DH4（AAS）,

：.AH=BE,

由（1）知四邊形3EFE'是正方形,

/.BE=E'F,

AH=E'F，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CE'=AE,

FE'=-CE',

2

CF=FE',

，CF=FE；

（3）如圖①所示，作￡>G_LAE于G,

,/四邊形BEFE'是正方形

，BE=BE'=EF,

在RtCBE'中，由勾股定理得：CE'2+BE'2=BC2,

：.CE'~+{CE'-3^=BC2,

C￡=12或CE'=—9（舍去），

；.AE=CE=12,EF'=BE=9,

由（2）可知：AEB空DGA,

：.AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=3,

在Rt^OGE中，由勾股定理得：DE=ylDG2+GE2=>/122+32=3A/17.

6.（1）見解析

答案第9頁，共35頁

(2)GO±AC,見解析

(,3)AH=y/3OH,見解析

【分析】此題屬于四邊形綜合題，考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的

判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

(1)只要證明=即可.

(2)如圖②中，結(jié)論：GO±AC.證明ABG^CEG(SAS),可得G4=GC,即可解決問題.

(3)如圖③中，連接AK,BK,FK.首先證明四邊形屏KE是菱形，再證明ABK-CEK(SAS),

推出AK=CK,ZAKB=ZCKB,推出NW?=ZBXE=60。，推出ACK是等邊三角形，即可

解決問題.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//EC,AB//CD,

：.ZE=ZADF,ZEFB=ZEDC,

ED平分工ADC,

:.ZADF=ZEDC,

:.ZE=ZEFB,

：.BE=BF；

(2)解：結(jié)論GOLAC,理由如下：

如圖②中，連接BG,AG.

DC

B.四邊形ABCD是平行四邊形，ZADC=90°,

四邊形MCO是矩形,

:.ZABC=ZABE=90°,

由(1)可知：BE=BF,

.NEBF=90°,EG=FG,

=/E=45°,NGBF=ZGBE=45°,

答案第10頁，共35頁

G為EF的中點,

:.BG=GE=GF,

NDCE=9伊,

:.ZE=ZEDC=45°,

；.DC=CE=BA,

ZABG=ZE=45°,AB=EC=DC,BG=EG,

.二ABG絲CEG(SAS),

:.GA=GCf

。為AC的中點，

GO±AC.

(3)解：AH=6OH,理由如下：

如圖③中，連接AK,BK,FK.

DC//AB,

圖③

:.BF//EK,

QBF=EK,

二?四邊形圓旌是平行四邊形，

根據(jù)(1)可得BF=BE,

???四邊形由KE是菱形，

四邊形ABC。是平行四邊形，

ZADC=ZABC=60°,ZDCB=ZDAB=120°,

「.NEB尸=120。，

ZKBE=ZKBF=60°,

BF=BE=FK=EK,

KBE,XB尸都是等邊三角形，

.\ZABK=ZCEK=60°fZFEB=ZFEK=30°f

;./CDE=/CED=30。,

答案第11頁，共35頁

:.CD=CE=BA,

BK=EK,

ABK^CEK(SAS),

：.AK=CK,ZAKB=ZCKEf

:.ZAKC=ZBKE=60°,

WACK是等邊三角形,

O為AC的中點，H為CK的中點,

:.AK=2OH,AHLCK,

AH=AK-cos300=—AK=y/3OH.

2

7.(1)見解析

(2)1272-12

(3)見解析

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作

輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明ADFGsAS4G即可解題;

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得到￡F=2A￡=2CF,設(shè)CF=AE=m,

EF=2m,可得DE=圓,列方程，進(jìn)而求出所的長;

FNFH工即

⑶連接跖交即于點〃推導(dǎo)ENHjBFH,即可得到而=而

ENEH+NH

，根據(jù)==和砥=8后等量代換即可解題.

西-BH+FH

【詳解】(1)證明：是正方形,

:.AB=CDfAB//CD,

.\ZGDF=ZABG,NGFD=NBAG,

DFGsBAG,

BGAB

CF=2DF,

..AB=CD=3DFf

BGAB3。尸

即BG=3DG；

PG-DF-DF

(2)解:ABCD是正方形，DE=DF,

答案第12頁，共35頁

:.AE=CF,BA=BC,ZA=NC=90°,

RtZ\A￡B^RtACFS（HL）

:.BF=BE,

3D是所的垂直平分線,

NEB產(chǎn)=45°,

ZEBD=ZFBD=-ZEBF=22.5°,

2

ZABE=ZCBF=ZABD-ZEBD=22.5°,

如圖,

ZA=Z.EMB=90°,ZABE=NMBE=22.5°,BE=BE,

圖2

AAffiE（AAS）,

同理可得ACBF/AMBF,

：.CF=AE=EM=FM,

設(shè)CP=AE=m,EF=2m,

DF=DE=

近m+m=6

:.m=6近—6

:.EF=2m=12形-12；

(3)解：如圖，連接斯交8。于點H,

由（2）可知瓦＞_LEF,BE=BF,

答案第13頁，共35頁

/.AHEN+AENH=ZNBM+ZBNM=90,

：.ZHEN=ZNBM,

ZEHN=ZBHF=90,

:公ENHs^BFH,

ENEHNHENEH+NH

——二——=——,即nn——=--------,

BFBHFHBFBH+FH

DE=DF,Z.EDB=45,

：.EH=HF=DH,

EN__EH+NH_DH+HN_DN

'1SF~BH+FH~BH+DH-BD'

BF=BE,

ENDN

一薪一訪’

8.(1)見詳解；(2)點。的位置確定，3。=9；(3)最小值為3舊-3

【分析】(1)如圖，設(shè)CE,DF交于點G,由軸對稱性質(zhì)可得：CEA.DF,DE^EF,再結(jié)

合正方形的性質(zhì)可證明ADmZ)CE(ASA),從而得出DE=AP,進(jìn)而問題可求證；

(2)連接E。，由折疊可知EFuDE,由題意可知進(jìn)而可得AE=EF可證明

Rt一在Q(HL),從而AQ=A尸，設(shè)2。=無，貝ijFQ=AQ=12-無，然后根據(jù)勾股

定理可建立方程進(jìn)行求解；

(3)取C。的中點O,再取OC的中點/,連接OG,HI,BI,依次求得OG=；C￡>=6,

HI=^OG=3,BI=3A/17,可得BH2BI-HI=3?-3,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設(shè)CB,。尸交于點G,

圖1

由軸對稱性質(zhì)可得：CE1DF,DE=EF,

：.ZCGD=90°,

Z.DCG+ZCDG=90°,

答案第14頁，共35頁

四邊形ABC。是正方形，

AZADC=ZA=90°,CD=AD,

：.ZADP+ZCDG=90°,

：.ZADP=ZDCEf

???_AZ)此_0c石(ASA),

DE=AP,

???AP=EF；

(2)解：點。的位置確定，8。=9；理由如下:

如圖2,連接￡0,

由折疊可知：EF=DE,CF=CD=12,ZEFQ=ZEFC=ZADC=90°,

???點E是AO的中點，

???AE=DE,

：?AE=EF,

?：ZA=ZEFQ=90°,QE=QE,

：.RtAEQ^RtFEQ(HL),

??.AQ=FQ,

設(shè)5Q=光，貝Ij/Q=AQ=12—%,

在RtZkBCQ中，CQ=CF+FQ=24—x,BQ=x,BC=12,

A(24-X)2-X2=122,

解得：x=9,

???BQ=9；

(3)解：取CO的中點0,再取OC的中點/,連接OG,HI,BI,如圖3,

答案第15頁，共35頁

圖3

,?ZCGD=90°,

/.OG=-CD=6,

2

:點》是CG的中點，則m是-COG的中位線，

HI=-OG=3,

2

ZBCD=90°,BC=AB=12,CI=-OC=-CD=3,

24

BI=7122+32=3V17，

?/BH>BI-HI=3sfn-3,

...當(dāng)8、H、/共線時，初的最小值為3j萬-3.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助

線，構(gòu)造三角形的中位線.

9.(1)①見解析；②75°

⑵3行-直

【分析】(1)①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到的=4及NB/M=NBAE,AB=A的,易證

ABE"A'B'E(SAS),得到8后=座',44￡3=/4￡?，，結(jié)合=ZA'跖，得到

ZBEF=ZB'EF,由平行線的性質(zhì)得到NBFE=N3/戶，進(jìn)而得到=,推出

BE=BF,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到5F=3'b，即可證明結(jié)論；②如圖，過點E作EH_L3C于

點、H,連接Aa交助于點O,證明四邊形是矩形，設(shè)AB=x,則=求出

OA^OH^x,OB=OE=x,證明OE"是等邊三角形，推出/。叫=60。，利用三角形內(nèi)

角和定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出NBEF=ZBFE=1(1800-ZEBF)=75°,再根據(jù)四邊形

EBFB'為菱形,求出NEFB'=NEFB=75。,即可解答；

答案第16頁，共35頁

(2)連接破，分別過點A,E作垂足分別為。,尸，證明

ABE"A'B'E(SAS),推出反E,A三點共線，再證明座=所，證明..年是等腰三角形,

求出NABE=NAE3=g(180O-Za4E)=30。，AQ=1,EQ=6BQ=EQ=^3,

BF=BE=2y/3,EP=B進(jìn)而求出3P=3,FP=2拒-3,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)①折疊的性質(zhì)得到鉆=AEZBAE=ZBAE,A6=A?,

.ABE—ABE(SAS),

：.BE=BE,ZAEB=ZA'EB',

由折疊的性質(zhì)得ZAEF=ZAEF,

/.ZAEF-ZAEB=ZA'EF—A!EB',即NBEF=ZB'EF,

???使點B落在直線AO上的點？處，平行四邊形ABCD是矩形，

AB'BC,

/.ZBFE=NB'EF,

NBEF=NBFE,

：.BE=BF,

由折疊的性質(zhì)得BF=B'F,

/.BE=BE=B'F=BF,

四邊形EfiFB'為菱形；

②如圖，過點E作3c于點X,連接AH交能于點。，

?.?四邊形ABCD是矩形，

ZBAE=ZABC=NEHB=90°,

，四邊形A5HE■是矩形，

：.OB=OE,BE=AH,OA^OH,

設(shè)AB=x,貝!EJH-x,

答案第17頁，共35頁

???點廠與點。重合，

BF=2x,

由①知四邊形￡BEB'為菱形，

BE=BF=2x,

：.BE=AH=2x,

OA=OH=x,OB=OE=x,

：.OE=OH=EH,

??..O即是等邊三角形，

JZOEH=60°,

???ZEBF=90°-ZOEH=30°,

ZBEF=ZBFE=1(180°-ZEBF)=75°,

???四邊形EBEB'為菱形,

：.NEFB'=NEFB=75°,

???點/與點C重合,

ZECB'=15°；

（2）解：連接3E,分別過點作垂足分別為Q,P,

折疊的性質(zhì)得至IAE=A'E,NBAE=ZBA'E',AB=A'B',

：.ABE^,-,A'B'E(SAS),

/.BE=BE；ZAEB=ZA'EB',

三點共線，

???B,E,A三點共線,

由折疊的性質(zhì)得ZAEF=ZAEF,

：.ZAEF-ZAEB=ZAEF-A'EB',即NBEF=ZB'EF,

V點3落在直線AD上的點E處，四邊形AB。是平行四邊形,

/.AB'BC,

答案第18頁，共35頁

/.ZBFE=ZB'EF,

/.ZBEF=ZBFE,

，BE=BF,

:四邊形ABC。是平行四邊形，/ABC=60。，

AB'BC,

：.ZBAE=120°,

"：AE=AB=2,

A梃是等腰三角形，

ZABE=ZAEB=1(180°-ZBAE)=30°,

AQ±BE,

：.ZAQE=90°,BQ=EQ,

：.AQ=^AE=1,

；?EQ=y]AE2-AQ2=6,

???BQ=EQ=6

：.BE=BQ+EQ=?.yf3,

：.BF=BE=2y/3,

?/ZEBF=ZABC-ZABE=30°,NEPB=90°,

EP=-BE=^3,

2

BP={BE。-ED?=3，

FP=BF-BP=2y/3-3,

EF=ylEP2+FP2=3V2-V6?

【點睛】本題考查了四邊形的綜合問題，涉及平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，菱形

的判定與性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰

三角矮星的判定與性質(zhì)等知識，綜合運用以上知識點是解題的關(guān)鍵.

10.(1)證明見解析

(2)714-72

答案第19頁，共35頁

(3)8-4>/2<SAABF<8+472

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AT)=CD,DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,推出

ZADE=NCDG,證明一ADE空CDG(SAS),即可得證；

(2)如圖，連接EG、DF,EG交D尸于點、0,可得AE=AO-EO,根據(jù)正方形的性質(zhì)得

DG=DE=2,NEDG=90°,DO=-DF=-EG=OE,NDOE=90°,

22

EO=DO=gEG=gdDE。+DG?=也,DF=EG=2&進(jìn)一步得

AO=《AD。-DO?=而,可得答案；

(3)如圖，連接OF,過點/作于點H,則FHWA尸，得出

SAABF=^ABHF=2HF<2AF,繼而得到AD-DFWAFWAD+DF(當(dāng)點A、F、。共

線時取“=”)，即4-20WA旌4+2夜，分兩種情況：當(dāng)點P在線段AD上時，當(dāng)點尸在

線段4)的延長線上時，分別求解即可.

【詳解】(1)解：：四邊形ABC。、四邊形OE/G都是正方形，

?.AD=CD,DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,

：.ZADC-NEDC=ZEDG-NEDC,即ZADE=ZCDG,

在VADE和CDG中，

AD=CD

-ZADE=NCDG,

DE=DG

：.ADE絲ACDG(SAS),

AE=CG；

(2)如圖，連接EG、DF,EG交DF于點、0,

VAE,G三點共線，

AE^AO-EO,

:四邊形DEfG是正方形，DE=2,

答案第20頁，共35頁

：.DG=DE=2,ZEDG=90°,DO=-DF=-EG=OE,ZDOE=90°,

22

/.EO=DO=-EG=-^DE^+DG1=-x722+22=y/2,

222

DF=EG=272，

,/正方形ABCD的邊長為4,

AD=4,

AO=^AD2-DO2=^42-（A/2）2=714,

AE=AO-EO=y/U-四,

AE的長為JiW-0；

（3）如圖，連接。尸，過點尸作用LAB于點H,

?點E在平面內(nèi)運動

FH<AF

,/正方形ABCD的邊長為4,

:.AB=AD=4,

：.SAABF=^ABHF=^x4HF=2HF<2AF,

由（2）知：DF=2V2,

/.AD-DF<AF<AD+DF（當(dāng)點A、F、。共線時取“=”）,

即4-2&4AF44+2a，

當(dāng)點P在線段AD上時，

此時點H與點A重合，且HF—AF=4—2^/2，

S鉆/=2H/=2x（4—2&）=8-4行；

當(dāng)點R在線段AD的延長線上時，

此時點H與點A重合，S.HF=AF=4+2y[2,

：.S.=2板=2x（4+2&）=8+4。

答案第21頁，共35頁

/.AABF的面積的取值范圍為8—4&<SAABFW8+40.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等

知識點.掌握分類討論及動點的思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

1324

11.(1)證明見解析；(2)AM=y；(3)y

【分析】(1)由折疊得到AO=PO,跖證明AON之11PoM(ASA),則=

而AN〃尸繼而得到四邊形AWPN是平行四邊形，由MV,A尸即可證明菱形；

(2)設(shè)菱形AMPN的邊長為x,則初=◎/=x,DM=6-x,然后對運用勾

股定理建立方程求解；

(3)①過點。作QGJ.BC,交3c的延長線于點G,延長G。交相)的延長線于點打,可

得四邊形ABGHQCGH均為矩形，則G〃=M=6,證明RtBPQ^RtBG2(HL),貝ij

BG=BP=6,而3C=AD=4,那么CG=2,故點。到CD的距離等于CG=2,即點。在

GH上運動；

②在DA延長線上截取AT=GQ,連接DT,則ZBAT=ZG=90°,可得.BAT￡SGQ(SAS),

再證明.BMT9BM<2(SAS),則MT=〃。，由于ZMBQ=45°,Q在GH上運動，故當(dāng)點

重合時，QH最大,設(shè)Q〃=y,則AT=GQ=6-y,貝|。。=。7=10-y,然后對

R3DHQ運用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：當(dāng)點M,p在。C上，點N在初上時，

由折疊知：MN是心的中垂線，

AO=PO,MNLAP,

???四邊形ABCD是矩形，

ABDC,

：.ZNA0=ZMP0,

又,：ZAON=ZPOM,

：.^AON^.POM(ASA),

；.AN=PM,

'：AN//PM,

.四邊形4WPN是平行四邊形，

,：MNLAP,

答案第22頁，共35頁

四邊形為菱形；

(2)解：設(shè)菱形AMPN的邊長為，，則助=的=X，

DM=6-x,

?.?四邊形ABCD是矩形,

:.?D90?,

AD2+DM2=AM2>

(3)解：①如圖，過點。作QGLBC,交BC的延長線于點G,延長GQ交4)的延長線

于點H,

四邊形ABGH,DCGH均為矩形,

?*.GH-AB-6,

由折疊知；ABM，

/.ZBPM=ZA=90°,BP=AB=6,

：.ZG=ZBPQ=90°,

,/BQ為NCBP的角平分線，

：.QP=QG,

；.RtBPQ^RtBG<2（HL）,

：.BG=BP=6,

VBC=A￡）=4,

CG=2,

答案第23頁，共35頁

.,?點。到CD的距離等于CG=2,即點。在GH上運動；

②如圖：在加延長線上截取AT=G。，連接￡)7,則Z￡L4T=NG=90°

RtABPe^RtAfiGg,PBM^ABM

?'-Z1=Z2./3=N4,BA=BP=BG,

Zl+Z2+Z3+Z4=Z4BC=90o,BAT^BGQ(SAS)

.-.Zl+Z4=45°,Z2=Z5,BT=BQ,

.-.Z2+Z3=Z5+Z3=45°,

NTBM=NQBM=45°,

BM=BM,

BMT-2Ag(SAS),

：.MT=MQ,

：NMBQ=45。，。在GH上運動，

當(dāng)點重合時，QH最大,如圖:

設(shè)QH=y,則AT=GQ=6_y,

/.DQ=DT=AD+AT=4+6—y=10-y,

V四邊形ABGH,DCGH均為矩形，

.-.ZH=90o,DH=CG=2

：.DH2+HQ；=DQ2,

答案第24頁，共35頁

/.22+/=(10-^)2,

24

解得：y=g,

24

；?點Q到直線AD的最大距離為了.

【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形

的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識點，難度較大,解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識點，

正確添加輔助線.

12.(1)ZF=45°

(2)見解析

(3)273

【分析】(1)先證得=可得=即可得出答案；

(2)連接AG.由8D為正方形ABCD的對角線，可得點A和點C關(guān)于BD對稱，得出G4=GC,

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得？G4C1GCA,從而求得/4GE=/G4C+/GC4=45°.可證

得/用6=90°，再證明即可；

(3)連接的.由NAFC=45o,/ABL>=45。，可得出A,￡B,G四點共圓，可求得

/FAG+/FBG=180°,/BAG=NBFG,再由ZFAG=90°,可得

ZFBD=90°,ZBFG=ZBCF,可得出BF=BC.再求解即可.

【詳解】(1)解：,?^EAF=ZF+ZACF,ZEAB=ZABC+ZACB,

又?AF平分/E4B,CF平分NACF,

:.2ZEAF=ZABC+2ZACF,

:.2NF=/ABC,

,-.ZF=45°；

(2)證明：如圖1,連接AG.

QAC,8。為正方形ABCD的對角線,

圖1

二點A和點C關(guān)于即對稱，ZACB=45°,

:.GA=GC,