解一元二次方程

后^勢備公式

1.一元二次方程的解法

⑴直接開平方法：形如（x+根）2=〃（〃巳0）的方程，可直接開平方求解.

⑵配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法.

⑶公式法:一元二次方程—+c=0的求根公式為1±而一4ac（戶4ac》0）.

2a

⑷因式分解法：可化為（ax+機(jī)）Sx+〃戶0的方程，用因式分解法求解.

2.根的判別式

⑴當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

⑵當(dāng)A-b2-4ac=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

⑶當(dāng)A=b2-4ac<0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

⑷當(dāng)A=b2-4ac20時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根.

3.根與系數(shù)的關(guān)系

b

X]+々=--

（1）基本關(guān)系：若關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）有兩個(gè)根分別為X1、X2,則a

c

%]?42=—

a

注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是/NO.

（2）已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有X1+X2、

X1X2的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

金於刷國果

1.（2023?廣州）解方程：X2-6X+5=O.

【分析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：分解因式得：。-1）（*-5）=0,

x—1=0,x—5=0,

—1?x?=5?

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程.

2.（2023?無錫）（1）解方程：2X2+X-2=0；

（2）解不等式組：尸+3>-2;

【分析】（1）方程利用公式法求解即可；

（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了

確定不等式組的解集.

【解答】解：（1）2X2+X-2=0,

?.?々=2,b=lc=—2,

?.從一4"c=a一4*2x(-2)=17,

-b土弁-4ac__1土布

:.x=

2a-—4

-1+717-1-屈

,XQ—

4-4

卜+3>-2x①

12x-5<l(2)'

解不等式①得x>T，

解不等式②得：x<3,

，不等式組的解集為：-l<x<3.

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式組，掌握公式法和解一元一次不等式的基本

步驟是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023?齊齊哈爾）解方程：x2-3.x+2=0.

【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為尤-2),再利用積為0的特點(diǎn)求解即可.

【解答】解：?.?/—3x+2=0,

.".(x-l)(x-2)=0,

x—1=0或x—2=0，

X]=1,%2=2?

【點(diǎn)評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能

因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解

一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用.

4.(2022?涼山州)解方程：X2-2X-3=0.

【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答.

【解答】解：原方程可以變形為(X-3)(x+1)=0

x-3=0或x+l=0

/.石=3,x2=—1.

【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程.注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且這兩個(gè)的和應(yīng)等于

一次項(xiàng)系數(shù).

5.(2023秋?阜新期中)請選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

⑴2/-4x-5=0；

(2)x+5=x2-25；

(3)x2_6x-7—0；

(4)3(x-2)2=x(x-2).

【分析】(1)先利用配方法得到(x-1)2=工，然后利用直接開平方法解方程；

2

(2)先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-6=0或x+5=0,然后解兩個(gè)一次方程

即可；

(3)先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-7=0或x+l=0,然后解兩個(gè)一次方程即可；

(4)先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-2=0或3x-6-x=0,然后解兩個(gè)一次方程即可.

【解答】解：(1)2?-4x-5=0,

X2-lx——,

2

x2-2x+l=—+1,

2

(x-1)2=—,

2

r.1=+714

2

所以XI=1+H_,X2=l-H_；

22

(2)x+5=x2-25；

方程化為一般式為x2-x-30=0,

(x-6)(x+5)=0,

x-6=0或x+5=0,

所以xi—6,xi--5；

⑶x2-6x-7=0,

(x-7)(x+1)=0,

x-7=0或x+l=0,

所以Xl=7,X2=-1；

(4)3(x-2)2=x(x-2),

3(x-2)2-x(x-2)=0,

(x-2)(3x~6-x)—0,

x-2=0或3x-6-x=0,

所以xi=2,X2=3.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

6.(2023秋?濱海新區(qū)期中)解下列方程.

(1)x2-6x-4=0；

(2)5x(3x+2)=6x+4.

【分析】(1)移項(xiàng)后配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：(1)f-6x-4=0,

移項(xiàng)，得％2-6X=4,

配方，得x2-6x+9=4+9,

(x-3)2=13,

開方，得x-3=±Ji§,

解得：X1=3+V13,X2=3-

(2)5x(3尤+2)—6x+4,

移項(xiàng)，得5x(3x+2)-(6x+4)=0,

5x(3x+2)-2(3x+2)=0,

(3x+2)(5x-2)=0,

3x+2=0或5x-2=0,

解得：xi=-2,X2——.

35

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方

程的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等.

7.(2023秋?市南區(qū)校級期中)解方程：

⑴x(x-4)=4x76；

(2)2X2-8x+3=0(用公式法).

【分析】(1)先變形得到x(x-4)-4(x-4)=0,然后利用因式分解法解方程；

(2)先計(jì)算出判別式的值，然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：(1)x(x-4)=4x-16,

x(x-4)-4(x-4)=0,

(x-4)(x-4)=0,

?*.x-4=0或x-4=0,

??XI^X2^4;

(2)2x2_8X+3=0,

這里a=2,b=-8,c=3,

A=(-8)2-4X2X3=40>0,

._8±V40_4±V10

??Av----------------------,

2X22

?v,=4+VT534-VT3

22

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法解一元二次方程.

8.(2023秋?青山湖區(qū)校級期中)用合適的方法解下列方程:

(1)x2-10.r+21=0；

(2)9X2-(X-3)2=0.

【分析】(1)先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：(1)X2-10X+21=0,

。_3)(尤-7)=0,

x—3=0或x—7=0,

解得：％=3,x2=7；

(2)9X2-(X-3)2=0,

[3x-(x-3)][3x+(x-3)]=0,

3無一(x—3)=0或3元+(x—3)=0,

解得：\,x=—■

122-4

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能熟記解一元二次方程的方法是解此題的關(guān)鍵，注意：解一元二次

方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

9.(2023秋?臨高縣期中)計(jì)算

(1)(x-5)2=16.

(2)x1—x=3x+5.

【分析】(1)利用直接開平方法求解即可；

(2)整理后利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)(x-5)2=16,

x—5=±4,

玉=9,x[=1；

(2)x2—x=3x+5,

f—4尤—5=0,

(%-5)(工+1)=0,

「.X—5=0或無+1=0,

.,.玉=5,x2=-1.

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

10.(2023秋?江津區(qū)校級期中)解方程：

(1)x2+2%=0；

(2)2X2-2X=1.

【分析】(1)先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為尤=0或x+2=0,然后解兩個(gè)一次方程即可；

(2)先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

【解答】解：(1)x2+2x=0

x(x+2)=0,

x=0或x+2=0,

..王—0,%?=—2；

(2)2X2-2X=1,

2X2-2X-1=0,

a=2,b=—2,c=—lf

b2-4ac=(—2)2-4x2x(-1)=12,

-b土也？-4ac2±7122±2退1±73

x=-------------------=-----------=-----------=---------,

2a442

1+A/31一6

..Xi-,=.

r22

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解題的關(guān)鍵.

11.(2023秋?雙流區(qū)校級期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(1)f+4尤一4=0；

(2)(x-1)2=2(^-1).

【分析】(1)根據(jù)解一元二次方程-配方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)根據(jù)解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：⑴X2+4X-4=0,

x2+4x=4,

x2+4x+4=4+4,

（尤+2>=8,

x+2=±2^/5,

玉——2+2,\/2,x?-―2-21\/2；

(2)(X-1)2=2(X-1),

(X-1)2-2(X-1)=0,

(x-l)(x-l-2)=0,

(%-1)(%-3)=0,

%—1=0或x—3=0,

%]—1,%?=3?

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

12.(2023秋?天寧區(qū)校級期中)解方程:9/-(尤-1)2=0.

【分析】利用平方差公式將左邊因式分解，再進(jìn)一步求解即可.

【解答】解：?.?9/一(x-l)2=。，

；.9尤2_(彳-1)2=0,

(3%+x-1)(3%-x+1)=0,即(4x-1)(2%+1)=0,

則4x-1=0或2x+l=0,

解得X,=一;，無？=；?

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解

法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法求解.

13.(2023秋?金鳳區(qū)校級期中)解下列方程：

(1)2/+1=3X；

(2)2/+5y=y+2.(用配方法解方程)

【分析】(1)先移項(xiàng)，然后分解因式，得到兩個(gè)一元一次方程，解方程即可；

(2)先移項(xiàng)，再利用配方法求解即可.

【解答】解：⑴2X2+1=3X,

2x2-3x+1=0,

(2x-l)(x-l)=0,

2x—1—0x—1=0i

(2)2y2+5y=y+2,

2y2+4y=2,

;/+2y=1,

y~+2y+1=1+1,

(y+iy=2,

y+1=±-\/2

；.%=-1+^2,y2=-1—A/2.

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

14.(2023秋?龍泉驛區(qū)期中)用適當(dāng)方法解下列方程：

(1)4尤2-1=0；

(2)/一6尤-3=0.

【分析】(1)移項(xiàng)后開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)移項(xiàng)后配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：⑴4x2-l=0,

移項(xiàng)，得4*2=1,

開方得：2x=±l,

解得：玉=；，/=-；；

(2)%2-6x-3=0,

移項(xiàng)，得X?-6x=3,

配方，^#X2-6X+9=3+9,

(尤-3)2=12,

開方，得x-3=±也，

解得：尤]=3+2A/3,x2=3—2。^.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程

的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

15.(2023秋?歷城區(qū)期中)解下列方程：

(1)X2+4X-2=0；

(2)X2-1=2(X+1).

【分析】(1)移項(xiàng)后配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：⑴X2+4X-2=0,

x2+4x=2,

配方，得f+4x+4=2+4,

(x+2)2=6,

開方，得x+2=±?,

解得：X[=—2+\/6,x2=-2—A/6；

(2)x2-l=2(^+1),

移項(xiàng)，得V一l-2(x+l)=0,

(尤+1)(尤一l)-2(x+l)=O,

(x+l)(x-l-2)=0,

x+1=0x-1—2=0,

解得：％=—1,x2=3.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程

的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

16.(2023秋?和平區(qū)期中)解下列方程：

(1)2X2-4X-1=0；

(2)(x-3)(尤-2)=12.

【分析】(1)移項(xiàng)后方程兩邊除以2,再配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可;

(2)整理后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：(1)2X2-4%-1=0,

移項(xiàng),得2%2-4X=1,

除以2,得元2-2X=L

2

配方，得一2x+l='+l,

2

u-l)2=|>

開方得：x-l=±g，

右注7曰2+#_2-^6

角牛得：X=------,Xy—------；

1222

(2)(x-3)(x-2)=12,

整理得：^-5%-6=0,

(尤+1)(尤一6)=0,

x+l=O或x-6=0,

解得：玉=—1,x2=6.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程

的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

17.(2023秋?楚雄州期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒(l-x)=2x-2.

【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式即可.

【解答】解：移項(xiàng)，得：x(l-x)-2x+2=0,

因式分解，得：(l—x)(x+2)=0,

即：l-x=O或x+2=0,

解得：％=1,x2=—2.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵.

18.(2022秋?赫山區(qū)期末)解方程：尤2_4尤+3=0.

【分析】利用因式分解法解出方程.

【解答】解：X2-4X+3=0

(x-l)(x-3)=0

x—1=0,x—3=0

--1?X]—3>

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

19.(2022秋?南華縣期末)按要求解方程：

(1)x2+12x+27=O(配方法)；

(2)3X2-4X+1=0(公式法).

【分析】(1)移項(xiàng)，配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

(2)求出62一4a的值，代入公式求出即可.

【解答】解：(1)移項(xiàng)得：%2+12%=-27,

配方得：X2+12X+36=-27+36,

(x+6)2=9,

開方得：x+6=±3,

%]——3，x?=-9.

(2)?/a=3,b=—4rc=l,

.?./_4QC=(-4)2—4x3xl=4>0,

4±A/42±1

x------=----，

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

20.(2023秋?隴縣期中)解方程：

(1)X2-4X+1=0；

(2)5x-2=(2-5x)(3x+4).

【分析】(1)運(yùn)用配方法解答即可；

(2)運(yùn)用因式分解法解答即可.

【解答】解：(1)?.?*_4x+l=0,

JC—4x=-1,

/.x~-4尤+4=—1+4，

(X-2)2=3,

x_2-sf3元—2=-A/3,

玉=2+A/3,x2=2—^/3；

(2)?.?5x-2=(2-5x)(3x+4),

5x—2+(5x—2)(3x+4)=0,

.?.(5x—2)(l+3x+4)=0,

5x—2=0或i1+3x+4=0,

解得％=：,x2=-J.

【點(diǎn)評】本題考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步驟：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；(2)把

二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最

好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).

21.(2023秋?信陽期中)解方程：

(1)x2-6x+3=0；

(2)x(x-2)=x-2.

【分析】(1)利用配方法解方程；

(2)利用因式分解法解方程.

【解答】解：(1)移項(xiàng)，得*一6》=一3,

酉己方，得/-6彳+9=-3+9,

(x-3)2=6,

由止匕可得x—3=±A/6,

玉=3+瓜,x2=3-\/6.

(2)x(x-2)-(x-2)=0,

(尤一2)。_1)=0,

x—2=0或x—1=01

.?X]=2,x?—1?

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解

法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法求解.

22.(2023秋?涼州區(qū)校級期中)按要求解下列方程：

用配方法解：(1)X2-4X+1=0.

用公式法解：(2)X2-V2X--=0.

4

【分析】(1)利用配方法求解可得；

(2)利用公式法求解可得.

【解答】解：(1)?.?爐一4%=一1,

.-.X2-4X+4=-1+4,即(%—2)2=3,

則x-2=±6,

玉=2+^/3,x2=2—y/3；

(2),.?Q=1,b=,c=--f

4

A=(-^)2-4xlx(-^)=3>0,

則苫=拒±百,

2

_V2+V3._貶-g

區(qū)0n%一,%2一,

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

23.(2023秋?灌云縣期中)解方程：

(1)(尤-2)2=9；

(2)2X2-3X-1=0.

【分析】(1)利用直接開方法求出x的值即可；

(2)利用公式法求出x的值即可.

【解答】解：⑴(X-2)2=9,

X~2=±y/9=±3,

玉=5,x?=—1；

(2)2X2-3X-1=0,

△=(-3)2-4X2X(-1)=9+8=17,

3±#73±折

X=----------=-------，

2x24

3+A/173-V17

%=---,%

4

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接開方法和公式法是解題的關(guān)鍵.

24.(2023秋?武侯區(qū)校級期中)(1)2(X-3)=X2-9；

(2)2X2-3X-1=0.

【分析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：(1)方程整理得：2(x-3)-(x+3)(x-3)=O,

分解因式得：(無一3)(2-尤一3)=0,

(x-3)(-%-1)=0

解得：芯=3,=-1；

(2)這里。=2,/?=-3,c=—l>

△=/—4ac=9+8=17,

3-y/173+y/17

力44

【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，直接開平方法，以及公式法，熟練掌握各種解法是解本

題的關(guān)鍵.

25.(2023秋?岳陽縣期中)解方程：

(1)9/=25；

(2)/一2%一15=0.

【分析】(1)利用直接開平方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：⑴9尤2=25,

225

X=——，

9

55

%=?。?=一§；

(2)X2-2X-15=0,

(x-5)(x+3)=0,

則尤一5=0或x+3=O,

解得石=5,&=—3.

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法.

26.(2023秋?梁溪區(qū)校級期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)2X2+2X-1=0；

(2)x(x-1)=2(%-1)；

(3)4(尤-2>=9(2x+l):

(4)(2尤一1)2_3(2尤-1)=4.

【分析】(1)原式利用公式法求出解即可；

(2)原式移項(xiàng)后，利用因式分解法求出解即可;

(3)原式直接開方即可求出解；

(4)原式利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：(1)這里a=2,6=2,c=—1,

?.?△=4+8=12>0,

-2±2道-1±拒

..X——，

(2)移項(xiàng)得：x(x-l)-2(尤-1)=0,

分解因式得：(x-l)(x-2)=0,

解得：％=1,x2=2；

(3)開方得：2(x-2)=3(2x+1)2(x-2)=-3(2x+1),

解得：jq=――,x=-;

14-28

(4)方程移項(xiàng)得：QI)?-3(2-4=。，

分解因式得：(2x-l-4)(2x-l+l)=0,

解得：士=g，x2=0.

【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接開平方法，熟練掌握各自的解法是解本題

的關(guān)鍵.

27.(2023秋?洞口縣期中)解方程.

(1)2尤2_3尤+1=0；

(2)(3尤一4)2-(4x+l)2=0.

【分析】(1)找出。，b,C的值，計(jì)算出根的判別式的值大于0,代入求根公式即可求出解;

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)2X2-3X+1=0,

這里々=2,/?=—3,c=l,

VA=9-4X2X1=1,

3+-J13±1

X=----------

2x24

L

芯=1,%2

2’

(2)(3尤一4一(4x+l)2=0,

[(3x-4)+(4x+l)][(3x-4)-(4%+l)]=0,

(7x-3)(-x-5)=0,

解得玉=3，%=-5

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法,

因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.

28.(2023秋?水城區(qū)期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

(1)(21)2=4；

(2)4尤2-4》+1=0；

(3)X2-2X-2=0.

【分析】(1)根據(jù)直接開平方法解方程即可求解;

(2)根據(jù)因式分解法解方程即可求解;

(3)根據(jù)配方法解方程即可求解.

【解答】解：(1))(2尤一I)?=4,

2x—1=±2,

31

%=5，%2

2

(2)4f-4x+l=0,

(21)2=0,

(3)X2-2X-2=0；

x?—2尤+1=3,

(1)2=3,

x-l=+-J?>,

X]=1+,x2=1—?s/3.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的方法，解決本題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

29.(2023秋?日照期中)解一元二次方程：

@(5X-4)2-(4-5X)=0；

②尤2—4元一10=0；

③婷—4X-5=O.

【分析】①根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可；

②根據(jù)配方法解一元二次方程即可；

③根據(jù)公式法解一元二次方程即可.

【解答】解：①(5X-4)2_(4-5X)=0,

(4-5x)(4-5x-l)=0,

(4-5x)(3-5x)=0,

二.4-51=0或3-5%=0,

43

Xj=-9%2=~；

@X2-4X-10=0,

x2—4x+4=14,

.?.(x-2>=14,

x—2=+-\/14，

Xy—2+J14,x?=2-A/14；

③3/一41一5二0,

」a=3,b——4,c——5,

b~-4ac=16-4x3x(-5)=76>0,

4土際2土護(hù)

2x3

2+M2-719

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

30.(2023秋?惠山區(qū)期中)解方程：

(1)%2-4X-5=0；

(2)X2-4X-2=0.

【分析】(1)方程利用因式分解法求解即可；

(2)方程利用配方法求解即可.

【解答】解：⑴尤2-4x-5=0,

(x-5)(x+l)=0,

九一5=0或尤+1=0,

解得％=5,x2=-1；

(2)X2-4X-2=0,

x2—4x=2,

x2—4x+4=2+4,

(X-2)2=6,

x—2=,

..玉=2+,x-2=2-.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解的方法以及配方法是解答本題的關(guān)鍵.

31.(2023秋?隆回縣期中)解方程：

(1)2X2-6X+1=0；

(2)2x(x—3)+x=3.

【分析】(1)直接利用公式法求解即可;

(2)先移項(xiàng)，再提取公因式即可.

【解答】解：⑴2f-6x+l=0,

...△=(-6)2-4x2x1=36-8=28,

_6±A/28_6±2^_3±A/7

..X—————,

2x242

3+a3-幣

..x>—，XQ-；

22

(2)2x(x-3)+x=3,

2x(x—3)+(x—3)=0,

(九一3)(21+1)=0,

九一3=0或2x+1=0,

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法和因式分解法是解題的關(guān)鍵.

32.(2023秋?靜安區(qū)校級期中)4(1-以=25.

【分析】先兩邊都除以4,再利用直接開平方法求解即可.

【解答】解：???4(1—4=25,

/.(1-x)2=—,

4

貝1J1-兀=±』，

2

73

..=-f%2=一-?

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法.

33.(2023秋?石獅市期中)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(x-3)2=4；

(2)X2-4X+3=0.

【分析】(1)利用直接開平方即可求解；

(2)利用公式法即可求解.

【解答】解：(1)(X-3)2=4,

.*.x—3=±2，

.x—3=2x—3=-2,

解得：X]=5,%2=1；

(2)<2=1,b=—4,c=3,

△=&2-4ac=16—4xlx3=4>0,

4±V4

..x—,

2

??%]=3,x?—1?

【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分

解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

34.(2023秋?濱湖區(qū)期中)解下列方程：

(1)X2-2X-4=0；

(2)3x(x—1)=x—1.

【分析】(1)方程利用配方法求解即可；

(2)方程利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)X2-2X-4=0,

x2—2x=4,

無？—2x+1=5,

(尤-1)2=5,

X—1=上垂),

x=l±y/5,

%=1+\/51X]—1—；

(2)3x(x—1)=x—1,

3x(x-l)-(x-l)=0,

(x-l)(3x-l)=O,

x—1=0或3x—l=O,

解得％=1,尤2=g.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解答本題的關(guān)鍵.

35.(2023秋?西城區(qū)校級期中)解方程：

(1)X2-8X=0；

(2)x2-.r-l=0.

【分析】(1)先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為尤=0或x-8=0,然后解兩個(gè)一次方程即可；

(2)先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

【解答】解：⑴X2-8X=0,

x(x_8)=0,

%=0或%-8=0,

所以玉=0,%=8;

(2)%2一兀-1=。，

a=1?b=—lfc=—lf

△=(-1)2-4xlx(-1)=5>0,

l±y/5

X------9

2x1

1+61-君

?,%=~，%2=~?

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.

36.(2023秋?曲陽縣期中)(1)用公式法解方程：2X2+3X-1=0.

(2)用配方法解方程：x2-2x-2022=0.

(3)用因式分解法解方程(2x+3)2=(3x+2)2.

【分析】(1)先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(2)利用配方法得到(尤-1)?=2023,然后利用直接開平方法解方程；

(3)先移項(xiàng)，再禾U用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2x+3+3x+2=O或2x+3-3x—2=0,然后解兩個(gè)一次方程

即可.

【解答】解：(1)2X2+3X-1=0,

?JQ=2,b=3,c=—lf

.-.△=32-4x2x(-l)=17>0,

-3土歷

x=

2x2

-3+717-3-A/17

(2)x2-2x-2022=0,

x2—2x—2022,

x2—2x+1=2023,

(x-1)2=2023,

x-l=±j2023,

所以,=1+J2023,〃=1-。023；

(3)(2x+3)z=(3x+2y,

(2尤+3)2-(3x+2)2=0,

(2元+3+3x+2)(2尤+3—3x—2)=0,

2x+3+3x+2=0sS,2x+3—3x—2=0,

所以為=—1,x2=l.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法和配方法.

37.(2023秋?太和區(qū)期中)解方程：

(1)X2-6X-1=0；(配方法)

(2)2尤2_5尤+1=0；(公式法)

(3)(x-2)2+x(x-2)=0；(因式分解法)

(4)(x-3)(x-l)=5.(選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

【分析】(1)利用配方法得到。-3)2=10,然后利用直接開平方法解方程；

(2)先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(3)利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-2=0或x-2+x=0,然后解兩個(gè)一次方程即可；

(4)先把方程化為一般式，再利用配方法得到食-2)2=6,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：(1)X2-6X-1=0,

%2—6x+9=10,

(x—3>=10,

x-3=±Jio,

所以&=3+A/10,x2=3—A/10；

(2)2尤2—5元+1=0,

?/Q=2,b——5>c=lf

.-.△=(-5)2-4x2xl=17>0,

5+y/H

.,.X=

2x2

5+7175-歷

S.Xy=

44

(3)(X-2)2+X(X-2)=0,

(x2)(%—2+x)—0,

x—2=0或%一2+尤=0,

所以玉=2,%=1；

(3)(x-3)(x-l)=5,

方程化為一般式為九2一4兀-2=0,

爐—4%=2,

爐—4%+4=6,

—2)2=6,

x-2=土娓,

所以%=2+布，x2=2-R.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法和配方法.

38.(2023秋?漂陽市期中)解方程：

(1)(%-1y-9=0；

(2)2x(%一3)+(1-3)二0；

(3)2爐-X-1=0；

(4)x2—6x-16=0.

【分析】(1)利用直接開平方法解方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：(1)(無一I)?-9=0,

(x-1)2=9,

二.尤一1=±3,

％=4,x2=—2；

(2)2x(x-3)+(x-3)=0,

(x一3)(2%+1)=0,

...工一3=0或2%+1=0,

(3)2X2-X-1=0,

(x-l)(2x+l)=0,

「.％—1=0或2x+1=0,

11

％=1,x2=--.

(4)X2-6X-16=0,

(X8)(x+2)=0,

x—8=0x+2=0,

/.玉=8,X2=—2.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元

二次方程的方法有：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法.

39.(2023秋?武侯區(qū)校級期中)解方程：

(1)X2-2X-3=Q(用配方法求解)；

(2)x(x-I)=2(x-l).

【分析】(1)利用配方法得到(％-1)2=4,然后利用直接開平方法解方程；

(2)先移項(xiàng)得到%(%-1)-2(%-1)=0,再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為尤-1=0或1-2=0,然后解兩個(gè)一

次方程即可.

【解答】解：(1)/一2%—3=0,

x2-2x=3,

—2x+1=4,

(X-1)2=4,

x—\=±2,

所以占=3,x2=-1；

(2)x(x-1)=2(x-1),

x(x-l)-2(x-l)=0,

(尤—1)(尤_2)=0,

x-l=0或x-2=0,

所以占=1,%2=2.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

40.(2023秋?孟州市校級期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)2x2=3(2x+l)；

(2)3x(x-2)=2x-4.

【分析】(1)先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(2)先把方程變形為3x(x-2)-2(x-2)=0,再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-2=0或3x-2=O,然后

解兩個(gè)一次方程即可.

【解答】解：(1)方程化為一般式為2丁一6X-3=0,

a=2,b=—6fc=—39

△=(-6)2-4x2x(-3)=60>0,

6±2岳3土岳

x=-----------=----------,

2x22

(2)3x(x-2)=2x-4,

3x(x-2)-2(x-2)=0,

(九一2)(3九一2)=0，

x—2=0或3x—2=0,

2

所以玉=2,x2=—.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.

41.(2023秋?臨澤縣校級期中)解方程:

(1)2"9x+8=0；

(2)2(x-3)2=X2-9.

【分析】(1)先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(2)先把方程變形為2(尤--(尤+3)(尤-3)=0,再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-=0或x-9=0,然后

解兩個(gè)一次方程即可.

【解答】解：⑴2X2-9X+8=0；

?：a=2,b=-9,c=8,

.-.△=(-9)2-4X2X8=17>0,

9+7179-A/17

f44

(2)2(x-3)2=f-9,

2(X-3)2-(X+3)(X-3)=0,

(x-3)(2x-6-.r-3)=0,

x—3=0或2x-6-x—3=0,

所以為=3,%2=9.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.

2

42.(2023秋?金壇區(qū)期中)(1)(2X-1)-9=0S

(2)X2-4X-1=0；

(3)—6=0；

(4)(2x-l)(x