2025年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之圖形點的旋轉(zhuǎn)（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，/A=30°,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△

DBE,延長AC分別交瓦），DE于點、F,G,連接BG.下列結(jié)論：①/PGE=120°；②AGLBD；③

DG=BG；④AG=DE+BE,其中正確的是（）

C.①②③D.①②③④

2.（2025春?沛縣月考）如圖，將aABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△?!'B'C.若NBCA=80°,

則NACB的度數(shù)是（）

A.50°B.30°C.20°D.10°

3.（2025?魚臺縣一模）如圖，△OZ5C是由△04B繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，若點。恰好落

在AB上，且NAOC的度數(shù)為100°,則NC的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.35°D.40°

4.（2025?興隆臺區(qū)模擬）央視2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”為主題，與全球華人相約除夕、歡

度農(nóng)歷新年.下面是中心對稱圖形的是（）

A.8g

5.(2025?偏關(guān)縣一模)如圖，在Rt^AOB中，NB=90°,以。為坐標原點，0A所在直線為x軸建立平

面直角坐標系，將△A02繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A03,若點2的橫坐標為3,=竽，則點

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(-5,3)

6.(2025?秦淮區(qū)校級模擬)如圖，△ABC是由△ABC以點。為位似中心放大得到，△A9C還可以看作

是△ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次平移和1次位似；②1次旋轉(zhuǎn)和1次位似；③2

次軸對稱和1次位似；④1次軸對稱、1次旋轉(zhuǎn)和1次位似.其中所有正確結(jié)論的序號是()

A'

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

7.（2025春?歷城區(qū)校級月考）如圖，尸是等邊△ABC外一點，把8尸繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°到BP1,已

知/APiB=150°,PiA=l,PiC=2,則等邊△ABC的邊長為（）

A.V6B.V7C.2A/2D.V13

8.（2025春?西城區(qū)校級月考）下列圖形中，是軸對稱圖形不是中心對稱圖形的是（）

9.（2025?河南一模）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移。（?>0）個單位，再繞原點按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角度，這樣的圖形運動叫做圖形的p（小。）變換.如：點尸（1,2）按照p（3,90°）

變換后得到點P的坐標為（-5,1）,則點。（1,-1）按照p（2,75。）變換后得到點。，的坐標為（）

10.（2024秋?吳興區(qū)期末）如圖，在RtaABC中，NC=90°,NA=30°,AB=4,點。是直角邊AC

上的一個動點，連結(jié)BD,以3。為邊向外作等邊△BZ5E,連結(jié)CE,在點。運動的過程中，線段CE的

最小值為（）

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?渝中區(qū)校級月考）如圖，以等邊△ABC的邊CB為斜邊在△A2C外作RtABCD,/BDC=

90°,ZBCD=30°,將CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段CE,平移線段CB使得點C與D重合，

得到線段。R連接ER點M,N分別為線段BZ）,EF的中點，連接MN,AN,若MN=1,則線段AN

的長為________________.

12.（2025春?南京月考）如圖，將△A8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<180°），點

B的對應(yīng)點。恰好落在邊BC上.若。ELAC,ZCAD=24°,則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為.

13.（2025?市北區(qū)校級一模）如圖，在矩形ABCD中，42=10,BC=6,點〃是48邊的中點，點N是

邊上任意一點，將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°,點N旋轉(zhuǎn)到點N',則△MBN'周長的最小

值為_____________________

14.（2025?槐蔭區(qū)一模）如圖，在正方形A8C。中，48=4,點E、F分別在邊A8、CD上,MBE=DF,

將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MF,連接AM,則線段AM的最小值

為.

15.（2025春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，點尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點，若B4=3,PB=4,PC=5,則

AB2—.

16.（2025?浦口區(qū)校級模擬）用一張矩形紙片剪一個等邊三角形.

第一步，如圖（1）,對折矩形紙片ABC。（A8>3C）,使AB與CO重合，得到折痕EF,把紙片展平;

第二步，如圖（2）,再一次折疊紙片，使點。落在跖上的加處，并使折痕經(jīng)過點A,得到折痕AG；

第三步，如圖（3）,沿GM折疊紙片，得到折痕GH.

第四步，沿AG,GM裁剪矩形紙片，得到△AGH.

（1）說明△AGH是等邊三角形.

（2）已知矩形紙片一邊長為3,另一邊長為a.對于每一個確定的。的值,都能剪出最大的等邊三角形.畫

出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

（3）如圖（4）,用一張邊長為4的正方形紙片A8CD剪一個等邊三角形，使這個等邊三角形的三個頂

17.(2025春?沈河區(qū)校級月考)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點分別為點A(1,3),8(0,1),

C(3,2).

(1)請在圖中畫出將AABC向左平移4個單位長度得到的△A1B1Q；

(2)請在圖中畫出將△ABC繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的282c2.

ZACB=90°，AC=BC=4,在AB上取一點D,使

=熱4點P在邊AC上運動，點。在射線C￡)上運動，在運動過程中使AP：。。=3：5,當

點尸到達點C時，點。、點尸同時停止運動.

(1)線段AB的長為.

(2)當尸。_LCD時，求A尸的長.

(3)當點P和點。到A8的距離相等時，求AP的長.

(4)作點尸關(guān)于直線A3的對稱點P,當直線PQ經(jīng)過△ABC一邊中點時，直接寫出AP的長.(寫出

一個即可)

19.(2025春?南京月考)(1)【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AOE,連接則是三角形.

(2)【類比探究】

如圖2,在等邊三角形ABC內(nèi)任取一點P,連接以，PB,PC,若PB=1,PC=3,ZAPB=150°,求

PA的長.

(3)【解決問題】

如圖3,在邊長為V7的等邊三角48C內(nèi)有一點P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求△APC的面積.

(4)【拓展應(yīng)用】

如圖4是A,B,C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量/AC8=30°,P為△ABC內(nèi)的一個動點，連接研，

PB,PC.求當E4+PB+PC的最小時NAPB的度數(shù).

圖1圖2圖3圖4

20.(2025?朝陽區(qū)校級一模)數(shù)學興趣活動課上，小致將等腰△ABC的底邊8c與直線/重合.

(1)如圖①，在△ABC中，AB=AC=4,120°,點P在邊BC所在的直線/上移動，根據(jù)“直

線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)AP的最小值是.

(2)為進一步運用該結(jié)論，在(1)的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當AP最短時，如圖②，在中，作

AD平分NA4P,交BP于點D,點、E、F分別是邊AD,AP上的動點，連接PE、ER小致嘗試探索PE+EF

的最小值，小致在AB上截取AN,使得AN=A尸，連接NE,易證從而將PE+EF轉(zhuǎn)化

為PE+EN,轉(zhuǎn)化到(1)的情況，則PE+EF的最小值為；

(3)解決問題：如圖③，在△ABC中，ZACB=90°,NB=30°,AC=6,點D是邊CB上的動點,

連接AD,將線段A。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AP,連接CP,求線段CP的最小值.

2025年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之圖形點的旋轉(zhuǎn)（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案cCCACABCAB

選擇題（共10小題）

1.（2025春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，NA=30°,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△

DBE,延長AC分別交8DDE于點,F,G,連接8G.下列結(jié)論：①NFGE=12Q°；?AG±BD；③

DG=BG；④AG=DE+BE,其中正確的是（）

C.①②③D.①②③④

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得NA8F=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得/AFB=90°,

判斷①；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，可得//6￡=120。，判斷②；連接A。，根

據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，可得判斷③；連接CE,根

據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AC=DE,BC=BE,根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，可得ABCE是等邊三角形,

CE=8E,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得BE=CE>CG+GE,進行判斷④即可.

【解答】解：：AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△O8E,

/.ZABF=6Qa,ZA=ZD,

VZA=30°,ZA+ZABF+ZAFB=180°,

；.30°+60°+ZAFB=180°,

AZAFB=90",

：.AGLBD；

???②正確;

：.ZDFG=90°,

VZA=ZD=30°，

：.ZDGF=60°,

：.ZFGE=120°,

???①正確;

連接AD

VAB=BZ),ZABF=60°,

???△A3。是等邊三角形，

：.ZDAB=60°,

VZA=30°,

：.ZDAF=30°,

在△ABG和△AOG中，

AD=AB

乙DAG=/-BAG=30°,

AG=AG

：.AABG^AADG(SAS),

:.DG=BG,

???③正確；

連接CE,

由旋轉(zhuǎn)可得：AC=DE,BC=BE,

'：AG^AC+CG,

：.AG=DE+CG,

VZCB￡=60°,BC=BE,

.,.△BCE是等邊三角形，

:.CE=BE,

VZFGE=120°,

:.BE=CE，CG+GE,

：.AG^DE+BE,

二④錯誤.

綜上，正確的是①②③.

故選：C.

【點評】本題考查等腰三角形，等邊三角形，全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系.

2.（2025春?沛縣月考）如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到AA'B'C.若/BCA=80°,

則/ACB'的度數(shù)是（）

A.50°B.30°C.20°D.10°

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】推理能力.

【答案】C

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，ZBCB'^ZACA'=50°,由NACB'=NBCB'+ZACA'-ZBCA'即

可求解.

【解答】解：,??將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50。后得到B'C,

：.ZBCB'=ZACA'=50°,

VZACB'=ZBCB'+ZACA'-ZBCA',ABCA'=80°,

AZACB'=50°+50°-80°=20°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?魚臺縣一模）如圖，△OOC是由繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，若點D恰好落

在AB上，且NAOC的度數(shù)為100°,則/C的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.35°D.40°

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/4。。=30°,4。=。。，再求出NC。。，及NA,即可知NOOC的度數(shù)，

然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出/C的度數(shù).

【解答】解：:△ODC是繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，

AZAOZ）=30°,AO=DO,

VZAOC=100",

J.ZCOD^ZAOC-ZAOD^100°-30°=70°,ZA^ZADO=（180°-ZAOD）=＞（180°

-30°）=75°,

：./ODC=/A=15°,

AZC=180°-ZCOD-ZODC=180°-70°-75°=35°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.（2025?興隆臺區(qū)模擬）央視2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”為主題，與全球華人相約除夕、歡

度農(nóng)歷新年.下面是中心對稱圖形的是（）

A.8g

【考點】中心對稱圖形.

【答案】A

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可.

【解答】解：選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中

心對稱圖形；

選項8、C、。均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是

中心對稱圖形.

故選：A.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

5.（2025?偏關(guān)縣一模）如圖，在RtZkAQB中，ZB=90°,以。為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平

面直角坐標系，將△AOB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AO3,若點8的橫坐標為3,。4=學，則點

斤的坐標為（)

y

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(-5,3)

【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力.

【答案】C

【分析】分別過點B和點次作無軸的垂線，垂足分別為"，N,先利用相似三角形的判定及性質(zhì)求出

的長，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可求出點次的坐標.

【解答】解：分別過點B和點B'作無軸的垂線，垂足分別為M,N,

：.ZOBM+ZABM^ZABM+ZBAM,

：.ZOBM=ZBAM.

又,：/BMO=/AMB,

MBMOS^AMB,

:點B的橫坐標為3,且04=早

；.0M=3,AM=學，

:.BW=3*竽=16,

：.BM=4.

由旋轉(zhuǎn)可知,

OB=OB',/BOB'=90°,

：.ZBOM+ZB'ON=ZBOM+ZOBM=90°,

：.ZB'ON^ZOBM.

在AB'ON和AOB/中，

'/B'NO=/OMB

■乙B'ON=乙OBM，

、0B=OB'

:AB'ON冬AOBM(44S),

：.B'N=OM=3,ON=BM=4,

:.點B'的坐標為(-4,3).

故選：C.

【點評】本題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.(2025?秦淮區(qū)校級模擬)如圖，△A'BC是由△ABC以點。為位似中心放大得到，△ABC還可以看作

是△ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次平移和1次位似；②1次旋轉(zhuǎn)和1次位似；③2

次軸對稱和1次位似；④1次軸對稱、1次旋轉(zhuǎn)和1次位似.其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考點】幾何變換的類型.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】A

【分析】針對①②③④逐一畫圖分析即可得解.

【解答】解：①如圖，

\*/

''O"

假設(shè)△ABC沿AB所在直線向下平移得到UB“C

由圖很明顯可知“B"C”與△AB'C是位似圖形，

所以AABC經(jīng)過一次平移和一次位似可以得到8c,

故①正確；

②如圖，

假設(shè)AABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°,得到"B"C,

由圖很明顯可知AA“B“C與△A3C是位似圖形，

所以△ABC經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)和一次位似可以得到△ABC,

故②正確；

③兩次軸對稱之后，可以看作一次平移，

所以結(jié)合①我們可知，再通過一次位似圖形可以得到△ABC,

故③正確；

④如圖，

再繞點。旋轉(zhuǎn)180°得到八4"B”C”,

由圖很明顯可知其對應(yīng)點連線并未交于同一點，所以其與△ABC不是位似圖形，

故④錯誤；

故選：A.

【點評】本題主要考查了幾何變換類型，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

7.（2025春?歷城區(qū)校級月考）如圖，尸是等邊△ABC外一點，把BP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°到2P1,已

知NAP1B=15O°,PiA=l,FiC=2,則等邊△ABC的邊長為（）

A.V6B.V7C.2V2D.A/13

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股

定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】連接AP,PP,取AP的中點D連接。P,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證△PLBC

g△PBA（SAS）,APBP1為等邊三角形，得到AP=PiC=2,ZAPiP=90°,然后利用勾股定理得到

BP=PP1=V3,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推出NAPPi=30°,從而得到/APB

=90°,最后利用勾股定理即可得到AB.

【解答】解：連接AP,PP1,如圖，

?/△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZABC=60°,

,：BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到BPi,

：.ZPBPi=60°,BP=BPi,

：.APBPi為等邊三角形，ZABC-NABPi=NPBPi-ZABPi,

在△P1BC和中，

RB=PB

乙P、BC=Z.PBA

BC=BA

：.4P1BC%4PBA(SAS),

：.P1C=AP,

：P1C=2,

：.AP=PiC=2；

,.,△PBPi為等邊三角形，

:.BP=PP\=BPi,NBPPi=/BPiP=60°,

VZAPiB=150°,

：.ZAPiP=ZAPiB-ZBPiP=150°-60°=90°,

VZAPiP=90°,PiA=l,AP=2,

：.PP1=J&P2_砒=互一12=V3,

：.BP=PPi=V3；

取AP的中點。，連接。P,

11

貝以。=DP=DP1=jXP=Jx2=1,

：.DPi=AD^APi,

：.AADPi為等邊三角形，

：.ZDAPi=60°,

AZAPPi=90°-ZDAPi=30°,

AZAPB=ZAPPi+ZBPPi=90°,

VZAPS=90°,AP=2,BP=?

.XB=7BP2+AP2=J（V3）2+22=V7,

等邊△ABC的邊長為夕.

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角

形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)

鍵.

8.（2025春?西城區(qū)校級月考）下列圖形中，是軸對稱圖形不是中心對稱圖形的是（）

C.

D./_____________

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】軸對稱圖形是指平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；而

在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形

叫做中心對稱圖形，據(jù)此進一步判斷求出答案即可.

【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形定義逐項分析判斷如下：

A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

2、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，本選項符合題意；

。、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別.熟練掌握該知識點是關(guān)鍵.

9.（2025?河南一模）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移。（a>0）個單位，再繞原點按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角度，這樣的圖形運動叫做圖形的p（。，。）變換.如：點尸（1,2）按照p（3,90°）

變換后得到點P的坐標為（-5,1）,則點。（1,-1）按照p（2,75。）變換后得到點。的坐標為（）

A（一旦絲R&_必

A.（2，2）2

一（—匹―yn'也_屈、

C.（）~2'JD.V2,

【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；坐標與圖形變化-平移.

【專題】新定義；推理能力.

【答案】A

【分析】由題易得點。（1,-1）向上平移2個單位所得點的坐標為（1,1）,以及與y軸夾角為

30°,進而求解即可.

【解答】解：如圖，由題知，將點Q（l,-1）向上平移2個單位所得點〃的坐標為（1,1）.

ZMOy^45°,

:將點（1,1）繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)75°,

：.ZMOQ'=15°-45°=30°,

過點。’作y軸的垂線，垂足為A,

則Q'2=冬。4=孚.

所以點。'的坐標為（—孝，孚），

故選：A.

【點評】本題主要考查了坐標的平移和旋轉(zhuǎn)，畫出圖形，利用特殊角求解即可.

10.（2024秋?吳興區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4,點。是直角邊AC

上的一個動點，連結(jié)8D,以8。為邊向外作等邊△BDE,連結(jié)CE,在點。運動的過程中，線段CE的

最小值為（）

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；垂線段最短；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角

三角形；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】延長BC到點R使尸C=3C,連結(jié)AF,FE,由NACB=90°,N54C=30°,AB=4,得FC

=BC=%B=2,可證明△ABF是等邊三角形，因為△8OE是等邊三角形，所以EB=DB,ZDBE=60a,

可證明△F8E0得/BFE=ZBAD^3Q°,可知點E在經(jīng)過點F且與AF垂直的射線FE上運

動，作CXLPE交射線FE于點X,則C8=*PC=1,由CE2C8,求得CE的最小值為1,于是得到

問題的答案.

【解答】解：延長5C到點尸，使尸C=3C,連結(jié)ARFE,

VZACB=90°,ZBAC=30°,A8=4,

1

:?FC=BC=^B=2,NAB/=90°-ZBAC=60°,

：.FB=2BC=4,

:?FB=AB,

???AAB尸是等邊三角形，

ZAFB=60°,

???△50月是等邊三角形，

；?EB=DB,ZDBE=60°,

：.ZFBE=ZABD=60°-/DBF,

在AFBE和△A3。中，

FB=AB

Z.FBE=乙ABD,

、EB=DB

：.AFBE^AABD(SAS),

；?NBFE=NBAD=30°,

ZAFE=ZAFB+ZBFE=90°,

...點E在經(jīng)過點尸且與AF垂直的射線壓上運動，

作CHLFE交射線FE于點H,則ZCHF=900,

1

，CH=*FC=1,

■:CENCH,

：.CE^1,

，CE的最小值為1,

故選：B.

F，、

:'、、、、E

/>■

D

AB

【點評】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形

的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

填空題（共5小題）

11.（2025春?渝中區(qū)校級月考）如圖，以等邊△ABC的邊為斜邊在△A8C外作RtZXBCD,ZBDC=

90°,NBCD=30。,將CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段CE,平移線段CB使得點C與D重合，

得到線段。R連接ER點M,N分別為線段BZ）,所的中點，連接MN,AN,若MN=1,則線段AN

的長為.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平移

的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】V13.

【分析】依據(jù)題意，連接AE,AF,BF,CF,先證出四邊形是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位

線定理可得CE=2"N=2,再利用勾股定理求出CM=挈，從而可得CF=馬等，然后證出△AB尸絲△

CBF,AACE咨AABF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4E=4尸=CF=^NCAE=NBAF,從而可

得NEAF=60°,最后證出所是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得求出EN,結(jié)合

在Rt^AEN中，利用勾股定理求解即可得.

【解答】解:如圖，連接AE,AF,BF,CF,

E

A

F

由平移的性質(zhì)得：BC=DF,BC//DF,

四邊形BCDF是平行四邊形，

：.BD,互相平分，CD=BF,CD//BF,

:點M是8。的中點，

.?.點M也是C尸的中點.

又：點N是EF的中點，MN=1,

：.CE=2MN=2(三角形的中位線定理)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE=2,ZDCE=60°.

在RtZkBCDZBDC=9Q°,ZBCD=30°,

:.BC=2BD.

：.CD=VBC2-SD2=V3B0=2.

：.BD=竽.

又；點M是BD的中點，

：.DM==字.

CM=y/CD2+DM2=挈

又：點M是CP的中點，

ACF=2CM=

'：CD//BF,/BCD=30°,

AZCBF=180°-ZBC￡>=150°.

VAABC是等邊三角形，

：.AB=CB=AC,ZBAC^ZABC^ZACB=60°,

AZABF=360°-ZCBF-ZABC=150°,

NABF=NCBF.

在△ABF和△CBF中，

AB=CB

Z.ABF=乙CBF,

BF=BF

：.AABF^/XCBF(SAS).

.AT-,2739

..AF=CrFU=-—.

VZACE=ZACB+ZBCr>+Z￡>CE=150°,

NACE=ZABF.

■:CD=CE,CD=BF,

：.CE=BF.

在AACE和AAB尸中，

AC=AB

Z.ACE=匕ABF,

CE=BF

：.AACE^AABF(SAS).

：.AE=AF=NCAE=ZBAF.

：.NEAF=/BAE+/BAF=NBAE+NCAE=ZBAC^60°.

...△A所是等邊三角形.

,2回

..ErFr=AAEt7=―—.

又：點N是跖的中點，

-1log

：.EN=^EF=啜ANLEF,

:.AN=<AE2-EN2=V13.

故答案為：V13.

【點評】本題主要考查了平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、

三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用等知識，綜合性強,

通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵.

12.(2025春?南京月考)如圖，將△A8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△&￡)區(qū)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)，點

8的對應(yīng)點。恰好落在邊BC上.若DELAC,ZCAD=24°,則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為48°.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】48°.

【分析】先求出NADE=66°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出N8=66。，AB=AD,然后利用等邊對等角求

出乙M>8=66。，最后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：如圖，

AZAFZ)=90°,

VZCAD=24°,

AZAZ)E=180°-ACAD-ZAFD=180°-24°-90°=66°,

■:旋轉(zhuǎn),

：.ZB=ZADE=66°,AB=AD,

：.ZADB=ZB=66°,

AZBAD=180°-ZB-ZABD=180°-66°-66°=48°,

即旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是48°.

故答案為：48°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的熟練掌握.

13.(2025?市北區(qū)校級一模)如圖，在矩形ABC。中，AB=IO,8c=6,點M是AB邊的中點，點N是

A。邊上任意一點，將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°,點N旋轉(zhuǎn)到點N',則周長的最小

值為5+5時.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】5+5V5.

【分析】由點M是AB邊的中點得8/=5,要求AMBN'周長最小，實際是求BN'+MN'最小，轉(zhuǎn)化

成”將軍飲馬”模型，先找出，運動軌跡，由線段旋轉(zhuǎn)90。，可得三垂直全等，進而推出點V在平

行于A3,且與的距離為5的直線上運動，再作對稱求解即可.

【解答】解：如圖，過點N'作EF〃AB,交4。、8C于E、F,過點/作于點G,

:四邊形ABC。為矩形，

C.AB//CD,

J.AB//EF//CD,

：.四邊形AMGE和BMGF都是矩形，

AZA=ZMGN'=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/NMN'=90°,MN=MN',

：.ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

在△AMN和△GMN'中，

(NAMN=/GMN/

J/.A=NMGN'，

(MN=MN'

：.AAMN咨△GMN'(AAS),

:.點、N'在平行于AB,且與AB的距離為5的直線上運動，

作點M關(guān)于直線所的對稱點M',連接MB交直線跖于點N',

此時△〃比▽周長取得最小值，最小值為,

'：BM=^AB=5,MM'=5+5=10,

：.BM+BMz=5+7s2+102=5+s瓜

故答案為：5+5V5.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對稱，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解

決此題的關(guān)鍵.

14.(2025?槐蔭區(qū)一模)如圖，在正方形ABCD中，A3=4,點￡、尸分別在邊48、上，且BE=DF,

將線段跖繞點廠順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MR連接AM,則線段4M的最小值為卓

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圖形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力.

【答案】嗒

【分析】過M■作MHLAB交BA延長線于H,交CD延長線于T,過E作EFLCD于K,設(shè)BE=DF

x,貝I]CF=AE=4-x=DK,證明△￡心烏△尸力W(44S),可得EK=7F=4,KF=MT=2x-4,故

MH^MT+TH^2x-4+4=2x,AH=DT=TF-DF=4-x,由勾股定理得VZ/T而/=

J(4一久)2+(2久)25(%-32+管，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【解答】解：過M作交3A延長線于X,交延長線于T,過E作所，CD于K,如圖:

AE=4-x=DK,

：.KF=DF-DK=x-(4-x)=2x-4,

1/將線段EF繞點廠順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MF,

：.MF=EF,ZMFE=90°,

:.NKFE=90°-ZMFT=ZTMF,

???NEW=90°=/CTM,

：./\EKF^/\FTM(AA5),

:.EK=TF=4,KF=MT=2x-4,

：.MH=MT+TH=2x-4+4=2x,AH=DT=TF-DF=4-x,

rz4、2,64

：.AM=7AH2+MH?=7(4-x)2+(2x)25(%一耳)+亨

圖寸，AM取最小值欄648V5

當x=

5

故答案為：

【點評】本題考查正方形中的旋轉(zhuǎn)問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最大值等，解題的關(guān)

鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

15.（2025春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，點尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點，若以=3,尸8=4,PC=5,則

AB2^25+12V3.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】推理能力.

【答案】25+12V3.

【分析】作等邊三角形BPM,連接CM,作BNLCM交CM的延長線于點N,證明△ABP之△CBM,

得CM=R1=3,證明是直角三角形，得NBMN=30°,由勾股定理求出MN,即可.

【解答】解：作等邊三角形BPM,連接CM,作BNLCM交CM的延長線于點N,

；ABPM,△ABC為等邊三角形,

：.AB=BC,NABC=/PBM=60°,

ZABP^ZCBM,

在△ABP和△CBM中，

AB=BC

^ABP=CBM,

BP=BM

：.AABP^/\CBM(SAS),

：.CM=PA=3,

;PC=5,

CM2+PM2=PC2,

.,.△PCM是直角三角形，且NCMP=90°,

：.ZBMN=1SO°-90°-60°=30°,

；/BNM=90°,NBMN=3G°,

：.BN=^BM=2,

：.MN=y/BM2-BN2=2同

CN=CM+MN=3+2V3,

■:/BNC=9Q°,

：.BC2=BN2+CN2=22+(3+2V3)2=25+12百，

'：AB^BC,

\'AB2=25+12V3,

故答案為：25+12V3.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?浦口區(qū)校級模擬)用一張矩形紙片剪一個等邊三角形.

第一步，如圖(1),對折矩形紙片ABC。(AB>BC),使AB與CO重合，得到折痕斯，把紙片展平;

第二步，如圖(2),再一次折疊紙片，使點。落在斯上的〃處，并使折痕經(jīng)過點A,得到折痕AG；

第三步，如圖(3),沿GM折疊紙片，得到折痕GW.

第四步，沿AG,GM裁剪矩形紙片，得到△AGH.

(1)說明△AG8是等邊三角形.

(2)已知矩形紙片一邊長為3,另一邊長為a.對于每一個確定的a的值,都能剪出最大的等邊三角形.畫

出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

(3)如圖(4),用一張邊長為4的正方形紙片A8C￡)剪一個等邊三角形，使這個等邊三角形的三個頂

點都在正方形的邊上.設(shè)這個等邊三角形的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；幾何直觀；推理能力；模型思想.

【答案】(1)見解析；

Q/o3A/3

(2)示意圖見解析；0<。3竽或-^-，(<2次或022遍；

(3)4V3<S<32V3-48.

【分析】(1)由折疊性質(zhì)導(dǎo)角證明HA=HG.由平行線分線段成比例證明GM=HM,進而證明RtAAMH

^RtAAMG(SAS),故A8=AG,所以A8=AG=8G,即可證明結(jié)論；

(2)分三類情形，分別畫出圖形，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)計算，即可求出。的范圍；

1

(3)當?shù)冗吶切蜧E尸的頂點￡、P分別在正方形的兩對邊上，且EB〃C￡),此時S最小，S而"='x

EFx2遮=1x4x2V3=4百；

當?shù)冗吶切蜧EF的頂點F與D重合，G、E分別在正方形兩鄰邊上時，此時S最大，根據(jù)勾股定理

列方程可求等邊三角形的邊長，進而可求S“x=32百-48,故而4百WS332百-48.

【解答】(1)證明：由折疊性質(zhì)可得NAG￡>=NAGHNAZ)G=/AMG=90°,

由可得NAGD=NHAG,

所以/AG”=NHAG,

所以/M=HG.

由題意可知E尸為4。和8c邊的對稱軸，^.AB//EF//DC,

GMDE

由平行線分線段成比例可得丁=—=1,

HMAE

故GM=HM,

在RtAAMH和RtAAMG中,

AM=AM

Z.AMH=AAMG=90°,

.HM=GM

/.RtAAMH^RtAAMG(SAS),

故AH^AG,

又,：HA=HG,

故AH=AG=HG,

所以△AGH是等邊三角形.

(2)解：第一種情形如圖。所示，為等邊三角形，一邊位于邊長為3的邊上時,

圖a

當GP=a時，可知A￡=2AF=2Xtan30°XFG=^a,

2V3「

即---a<3,又a>0,

3

解得：0VaW

第二種情形如圖b所示，AAGE為等邊三角形，一邊位于邊長為。的邊上時,

FG=3,貝IAE=2Af=2b,

故tz^2V3；

第三種情形如圖c所示，△。斯為等邊三角形，各邊位于矩形的內(nèi)部時,

圖c圖c.l圖c.2

當。E與。。重合時如圖cl,DE=DC=3,

此時等邊三角形的高為薩，AD最小，則竽;

當。尸與A。重合時如圖c.2,DF=AD=a,

此時。石=2B，AD最大,故a<2次,

?…3V3「

所以---<a<2-\/3.

2

(3)解：當?shù)冗吶切蜧E尸如圖d.l所示時，E、尸分別在正方形的兩對邊上，且所〃CD,

當?shù)冗吶切蜧E尸如圖d.2所示，即尸與D重合，G、E分別在正方形兩鄰邊上時,

此時S最大.

圖d.2

此時易證Rt^AOG以RtZ\C￡)E(乩)，故AG=CE,

設(shè)AG=CE=x,則BG=4-x=BE,