2025年中考數(shù)學第一階段復習考點過關(guān)練習：解直角三角形及其應

用

1.如圖1,在四邊形A3。中，/B=NC,點E是上一點，且N/?=N3.

⑴求證：AABEsAECD.

⑵①如圖2,若tanNAr)E=2,當NB=NC=90。時，求證：4AB=3CE

4

②如圖3,當N3=NC=12O。，CE=2,BE=6,CD=4時，求AD的長.

2.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動.

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形ABC。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A￡FG,其

中點￡,廠分別是點3,C的對應點.

C

-----.C----------\

/^\/\F

/、/D、----

*7。上，

V

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,連接DG,BE,則等的值為——.

(2)如圖2,當點E恰好落在邊C。上，連接3G交AE于點。,連接8E.

①求證：EB平分/AEC；②求證：OG=OB.

(3)若直線￡B,DG交于點H,當BE=8時，請直接寫出3"的長.

3.將一個直角三角形紙片。4B放置在平面直角坐標系中，點。(0,0),點3(6,0),點A在

圖①圖②

⑴填空：如圖①，點C的坐標為一，點A的坐標為一；

⑵連接AC,將直角三角形紙片Q46沿AC剪開，把AQAC水平向右平移得到點0,

A,C的對應點分別是D,E,F,設。D=f.

①如圖②，當ADEF與VABC重疊部分為五邊形時，EO分別與AB,AC相交于點G,H,

所與48相交于點M,試用含有t的式子表示GM的長，并直接寫出/的取值范圍；

②當時，求ADEF與VABC重疊部分的面積S的取值范圍.(直接寫出結(jié)果即可)

4.綜合與探究

如圖1,在矩形ABCD中，點E是邊AO上一點，連接BE,CE,CE=BC,/ECD的平分

線與BE的延長線相交于點F,過點C作CM3/于點M.

答案第2頁，共49頁

圖1圖2備用圖

⑴【問題發(fā)現(xiàn)】

判斷尸的形狀，并說明理由:

(2)【問題探究】

過點尸作尸G，尸C交朋的延長線于點G,根據(jù)題意在如圖2中補全圖形，探究線段BG與

線段8C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

在(2)的條件下，AD=4i0,連接GE,當△GEF是等腰直角三角形時，直接寫出的

值.

5.某校數(shù)學興趣學習小組的同學學習了圖形的相似后，對三角形相似進行了深入研究.

圖1圖2圖3

【合作探究】

如圖1,在VABC中，點。為上一點，ZACD=ZB.求證：AC2=ADAB；

【內(nèi)化遷移】

如圖2,在nABCO中，點E為邊2c上一點，點/為54延長線上一點.ZCFE=ZD.若

CF=3,CE=2.求AD的長；

【學以致用】

如圖3,在菱形ABC。中，NABC=6（T,AB=26?點E是2c延長線上一點，連接E4,將

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到石為，過點E作EF〃a）交AE的延長線于點F.若

2

EF=-BD,請直接寫出BE的長.

6.(1)如圖1,在VABC與VADE中，ZABC=ZADE^90°,ZBACZDAE45°,連

結(jié)BD,CE,求8。和CE的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,在VA3C與ADEC中，ZACB=NDCE=90°,NA=/CDE=45。，邊BC和OE

交于點歹，點。在邊AB上，BD=3AD,求^的值.

(3)如圖3,若ZBCD=90。,/DBC=45°,AB=3拒,AC=2,當AO的值最大時，求

BC的值.

答案第4頁，共49頁

7.如圖1,在矩形ABCZ)中，AB=8也,乙應＞=30。，點E是邊A3的中點，過點E作￡F_LAB

交8。于點F.

⑴在一次數(shù)學活動中，小王同學將圖1中的/XBEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。如圖2所

示，得到結(jié)論:

①蕓的值為.

DF

②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為

(2)小王同學繼續(xù)將△跳:尸繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，AE與BD交

于點。，AE與。尸交于點打.請問探究(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由:

(3)在以上探究中，當△BEF旋轉(zhuǎn)至。、E、尸三點共線時，直接寫出VADE的面積.

4

8.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tanC=§,點E為射

線CD上任意一點，過點A作AF/5E，與射線CD相交于點連接即，與直線相

=y

AD

E

BCBC

備用圖

(1)求梯形ABC。的面積；

(2)當點G在線段AO上時，求，關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;

⑶若:—=：,求線段CE的長.

9.直線A3交坐標軸于仆-5,0,8(0,13).

(1)求直線AB解析式；

(2)0(0,。是。8上的一點(不與O,B重合)，OC〃x軸交AB與點C,用含f的代數(shù)式表

示CD的長度d；

(3)在(2)的條件下，E是CD上一點，以8E為邊構(gòu)造△BEW,使在y

軸上取點X,HD=BD,連接WH,當/EWH=2/EBD時，3E=10時，求。點坐標.

答案第6頁，共49頁

10.已知點E是正方形ABC。內(nèi)部一點，且/BEC=90。.

圖1備用圖

(1汝口圖1,延長CE交AD于點P.求證：ABECSMDP；

(2)如圖2,若正方形的邊長為2,連接。E并延長交BC于點尸，當點尸是3C的中點時,

①求點E到邊BC的距離;

②求笠CF的值;

BE

CF

(3)連接OE并延長交2C于點尸，當/班尸=30。時，請直接寫出"的值?

BE

11.(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在Rt^ABC中，ABAC=90°,ZC=30°,過點A作BC的

垂線，垂足為點。，作△ABD關(guān)于AB的對稱圖形AABE,若BE=1,則BC=.

(2)【拓展探究】在(1)的條件下，將AABE繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，A點的對

應點為A,E點的對應點為"，連接CA.求證：△◎'3s△他3；

(3)【結(jié)論運用】如圖3,若Rt^ABC的直角邊AB：AC=1:0，過點A作3C的垂線，垂

足為點。，作△ABD關(guān)于A3的對稱圖形AABE,將AABE繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置

(此時C,A,￡三點共線)時，求的值.

c

cc

12.在菱形ABC。中，AB=l+^,NC=60。，點E在射線CB上運動(點E與點C不重合)，

△DEC關(guān)于OE的軸對稱圖形為△DEC'.如圖，為△DEC'的外接圓，直線CD與。。交

于點G,連接GC'交OE于點

⑴若NEC'G=15。，則/EDC'=。；

(2)當訓.即=4時，連接AC',判斷直線AC'與。。位置關(guān)系，并說明理由;

(3)直接寫出△￡)￡€’的外接圓的半徑廠的最小值.

答案第8頁，共49頁

13.已知VABC,點。在BC的延長線上，8=4,以CD為邊，在VA5c的同側(cè)作正方形

CDEF,經(jīng)過E、尸兩點作0。且與C。邊相切于點G,連接AD,點尸是AD邊的中點，

圖1圖2

(1)求0。的半徑；

(2)如圖1,當點尸在。。上，連接CP,若CP=CG,求證：CP是。。的切線;

DP

(3)如圖2,若AB=BC=機，且/3=60。，連接OG交AD于點H,設——=y,

DH

①求y與機的函數(shù)關(guān)系式；

②當點尸在。。上時，求y的值.

14.如圖，在等邊VABC中,D、E分別為AC、BC上動點，滿足AT)=CE.

⑴如圖1,連接OE,過8作3/工AC于點尸，交OE于點G,若tan/EDC=咚，CD=6,

求BG的長；

(2)如圖2,連接OE,P為3C中點，連接AP,G為邊BP上一點,連接DG交AP于點F,F

恰為DG中點，將PG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60。到用，連接HE,HD.求證：HD=^HE-,

⑶如圖3,點M是平面內(nèi)直線3C上方一點，ZBMC=30°,。為直線3M右方一動點，滿

足NM3Q=/MC3+30。，BQ=BC,連接MQ,N為MQ上一點，連接AN、AQ,當/。

取得最大值時，請直接寫出當AMIQ為直角三角形時空的值.

答案第10頁，共49頁

《2025年中考數(shù)學二輪專題訓練-解直角三角形的相關(guān)計算》參考答案

L(1)見解析

⑵①見解析；②辰

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理，熟練掌握以上知

識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

(1)證明=鉆，結(jié)合N8=NC即可得證；

4HAF

(2)①證明：由相似三角形的性質(zhì)可得"證明為直角三角形，結(jié)合

ECED

aAF3

tanZADE=-,即可得證；②由相似三角形的性質(zhì)可得AB=3,—=作于尸，

4DE2

DGLBC于G,求出/Z)CG=60。，得到CG=；CD=2,DG=CD-sin60°=273)EG=4,

由勾股定理可得DENEG。+DG2=2近，AE=3幣,作AE于AE的延長線下，

OGL3c交3C延長線與G,由???/4ED=NB,ZB=ZC=120°,知"EF=60。，在

RtADEF中，DE=2幣,求得EF=幣,DF=亞,在RLsAZ)廠中，求得AD的長.

即可得解.

【詳解】(1)證明：：NAED=NB,

ZAEB+ZDEC^ZAEB+ZBAE,

：./DEC=/BAE,

:NB=NC,

：.AABES^ECD；

(2)①證明：由(1)可知：AABES/XECD,

.ABAE

"'~EC~~ED'

"：ZB=ZC=90°,ZAED=ZB,

...△AED為直角三角形，

3

丁tanNAOE=—,

4

.ABAE_3

**EC-E5-4'

J4AB=3CE；

②解：由(1)可知：人ABEsAECD,

.ABAEBE

''~EC~~ED~~CD'

VCE=2,BE=6,8=4,

.AE3

??AB=3,=一,

DE2

如圖，作于AE的延長線產(chǎn)，■DGLBC交BC延長線與G,

,//BCD=120。,

：.ZDCG=60°,

CG=：C￡>=2,DG=CD-sin60°=2y/3,

：.EG=EC+CG=4,

在RtVDEG中，DE=dEG。+DG。=2幣,

：.AE=3用,

VZAED=NB,ZB=ZC=120°,

ZAED=120°,ZDEF=60°

在RtaDEF中，DE=2近,ZDEF=60°,

EF=幣,DF=,(2有『一(近『=V21

vAF=AE+EF,已知AE=3幣,EF=布,

AF=3而+幣=4幣,

Rt^ADF中，AD=7(4A/7)2+(^)2=J112+21=7133.

F

⑵①證明見解析；②證明見解析；

(3)3”的長為3g-4或36+4.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A￡>=AC=6,AB=A￡=8,NDAG=/BAE,,求得

答案第12頁，共49頁

ADAG63根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到喘T

ABAE8-4

(2)①過點B作⑻0_LA￡于點M,由旋轉(zhuǎn)可知AB=A￡,得到NABE=NA￡B,根據(jù)

平行線的性質(zhì)得到NABE=NCEB,推出BE平分/A￡C；

②根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BC=3M，由旋轉(zhuǎn)可知，AG^AD^BC,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到OG=O3；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,求得ZADH+ZABH=180°,

得到NDHB=90。，得到AME為等邊三角形，同理△ADG為等邊三角形，如圖2,根據(jù)三

(o/7

角函數(shù)的定義得到=B八5布60。=6-平x+=3若-4,如圖3,同理可得

HE=3舟4,得出5H=3用4.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AD=AG=6fAB=AE=8,NDAG=NBAE,

.APAG_6_3

'AB~AE~S~49

:.ADAG^ABAE,

.OGAG_3

*BE-AE-4?

3

故答案為：—；

4

(2)證明：①由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AE,

,\ZABE=ZAEB,

AB//CD,

：.ZABE=ZCEB,

：./CEB=ZAEB,

：.BE平分/AEC,

②如圖，過點區(qū)作冊T_LAE于點M,

圖1

???四邊形ABCD是矩形,

???ZC=90°,

又?.?5M_LAE,BE平分NAEC,

???BC=BM,

由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在“LOG和中，

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=/MOB

AG=BM

：.△AOG%MO5(AAS),

：.OG=OB；

(3)解：由旋轉(zhuǎn)得AD=AG,AB=AE,NDAG=ZBA￡,

???ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

ZABE+ZABH=180°,

：.ZADH-^-ZABH=180°f在四邊形AD/年中，ZDAB=90°,

：.ZDHB=90。,

9

：AB=AE=BE=8f

**?△ABE'為等邊三角形，

JZDAG=ZBAE=60°,

'：AD=AG

：.ZVIOG為等邊三角形，

???ZADG=60°f

如圖，令與5c的交點為/,

ZIDC=90°-ZADG=30°,

圖2

答案第14頁，共49頁

ZBIH=me=90°-ZIDC=60°,

8A/3

同理可得HE=3有-4,

，BH=HE+BE=36-4+8=36+4

綜上所述，的長為3石-4或36+4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

3.(1)(3,0),||￥］；

(T)@GM=—t(0<r<3)；.

282

【分析】(1)由點*6,0),得到O3=6,根據(jù)點C是邊OB的中點，得到OC=BC=goB=3,

從而得出點C坐標，連接OC,過點A作ANJ_OC于點N,證明ACMC為等邊三角形，求出

ON,AN,即可得出點A坐標；

(2)①由平移可知，ADEF^OAC,DE//OA,CF=OD=t,有

DF=EF=3,Z.E=Z.EFC=60°,得到FB=FM=3-f,再得到/EGA/=90。，根據(jù)解直角

三角形可得答案；

②分兩種情況:當1Vr<3時,重疊部分為五邊形，當3vrV5時,重疊部分為直角三角形DGB,

分別求解即可得出答案.

【詳解】（1）解：：點3（6,0）,

???OB=6,

???點。是邊05的中點，

??.OC=BC=-OB=3,

2

???點。（3,0）,

如圖，連接AC,過點A作ANLOC于點N,

圖①

VZOAB=90°,OC=BC,

???AC=OC

,：NAO5=60。，

???△O4C為等邊三角形，

,OA=OC=3f

9：AN.LOC,

13

.\ON=-OC=-

229

故答案為：（3,0）,

（2）解：①由（1）可知，△OAC為等邊三角形，

由平移可知，ADE?QAC,DE〃OA,CF=OD=t,有DF=EF=3,NE=NEFC=60。,

：.FB=CB-CF=3-t,

?.,ZOAB=90°,ZAOB=60°,

答案第16頁，共49頁

???ZABO=30°,

???ZFMB=ZEFC-ZABO=30°,

NFMB=ZABO,

：.FB=FM=3-t,

：.EM=EF-FM=t,

DE//OA,

：.NDGM=ZOAB=90°,

：.ZEGM=9Q°f

在Rt&EGM中，/E=60。,

GM=EM-sin￡=^t(O<t<3);

②當iwr<3時，重疊部分為五邊形,

??S=S^EDF°&DHC°AEGM，

由平移可得，DH\\OAf

：.4HDCS*OC,

???△HOC為等邊三角形，

=￥〃2=￥?(3_)2,

同理，Sw號3.5

在RtAEGM中，

...S=\百一￥(3-b―#,=-|^(/-2)-+|>/3,

Vl<r<3,

?3=1時，5mm4百J=2時，5_=173,

oZ

.-.-A/3<S<-V3,

82

當3V/V5時，重疊部分為直角三角形DG8,

在RtADGB中,

?；ZABO=30°，

GD=DBsin30o=^DB=^(OB-OD)=^6-t),

：S=S.0GB=；DGGB=；DG-6DG=§DG2=W1(6-r)=*(6-r)2,

V3<r<5,

?."=5時，Smin=*,"3時，s皿［6

■vs—

88

...綜上所述，s取值范圍為：Ji<s<^.

82

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形,

平移的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.(1)等腰直角三角形，見解析；

(2)補全圖形見解析，BG=BC,見解析；

⑶鋤=乎或半.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/BCD=90。，由CE=CB,CMVBF,再根據(jù)FC平分

/ECD得到ZECF=ZDCF,根據(jù)/3CD=90。，ZMCF=-ZBCD=45°,即可得出結(jié)論；

2

(2)過點3作的，BE交房延長線于點H,證明AG3/絲ACBH(ASA),即可得證；

(3)當NEGF=90。，過點G作GN_L3尸于點N,連接GE,證明A_BGN/ACBW(AAS),

AR3

進而證明△ABEIS/VBG,得出一=—,即可求解，當NG石尸=90。時，設BC=BG=a,

AD5

卜4AR4

AB=b,AE=x,貝UAG=a—人，進而解直角三角形得出一=：,即不=1，即可求解.

a5AD5

【詳解】(1)解:等腰直角三角形，理由如下：

■:CB=CE,CM±BE,

：.ZBCM=ZECM,

,：ZDCF=ZECF,

ZMCF=ZECM+ZECF=1(NBCE+ZECD)=45°,

???ACMF為等腰直角三角形；

(2)解：補全圖形如圖；

答案第18頁，共49頁

理由如下:

過點8作的，互交FC延長線于點H,

由(1)知：Rtz\CMF■中NMCF=45。，得NMFC=45°,

???△用〃為等腰直角三角形，

BF=BH,NBHC=NBFG=45°,

：.ZBFG=ZH=45°,

,/NGBF+ZFBC=NHBC+ZFBC=90°,

ZGBF=ZCBH,

：.ABFG^ABHC(ASA),

BG=BC；

（3）解：①當NEG〃=90。，過點G作GN_LB尸于點N,

F

9：ZABE=ZBCM,BG=BC,ZBMC=ZBNG=90。,

：.△BGTV^ACBM(AAS)

???BM=GN,

???AGEF是等腰直角三角形，

:?GN=EN=FN,

?；BM=EM,

:.FN=EN=EM=BM=GN,

設GN=x,則BN=3x,BE=2x,

???BG=NGN?+BN2=A/I5X，

BC=AD=yjwx，

,：ZBNG=ZBAE=90°,ZABE=/GBN,

:.AABESANBG,

.ABBE

??南一法，

?AR3M

.?AB=------x

5

3M

：.AB__X_3；

ADy/lQx5

AD=M,

._3A/W

,,AABR--------;

5

②當NGEF=90。時，則N2+N3=90。，如圖，

答案第20頁，共49頁

F

G

???四邊形ABC。為矩形，

???/^4￡)=90。=/1+/2,AD//BC,

：.Z1=Z3,

tanZ1=tanZ3,

.AEAG

**AB-AE?

設BC=BG=a,AB=b,AE=x,則AG=〃一Z?,

.xa-b

bx

x2=ab—b2@,

'：AD//BC,

???/2=/4,

477RM

：.cosZ2=cosZ4,即空二空，

BEBC

???._2,

yjb2+x2a

x2=lax-b1@,

由①②得：Zax-b1=ab—b2.

解得：x=^b,

將尤代入①得，-b2=ab-b2,

24

整理得h瞑三4即空」

a5AD5

AD=y/lO,

RY

綜上得：=題或也.

55

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識點的

應用是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見解析(2)|(3)73+715

【分析】(1)證明△ACDS"BC,列出比例式即可得出結(jié)論；

(2)平行四邊形的性質(zhì)，得到=/D,AD=8C,證明AFCES^BCF,得到CF2=BCCE,

求出3c的值即可；

(3)連接AC交30于點0,延長所與AO的延長線交于點G,證明四邊形3DGE為平行

四邊形，得到ZDGE=ZDBE=30。，BD=EG,旋轉(zhuǎn)，得到/E4尸=30。，證明△AEGs/XEEA,

得至UAE?=..EG,求出AE0過點A作AH_LBE,三角函數(shù)求出AH,的長，勾股定

理求出E"的長，再根據(jù)=+進行求解即可.

【詳解】(1)證明：：/ACD=/fi,ZA=ZA,

^ACD^AABC,

,ACAD

??耘一花’

AC2=AD-AB；

(2)解：：平行四邊形ABCZ),

：.AD=BC,NB=ND,

'：ZCFE=ZD,

：.NCFE=NB,

,?ZECF=ZBCF,

AFCES^BCF,

.BCCF

??二,

CFCE

:.CF2=BCCE,

■:CF=3,CE=2,

9

???BC=~,

2

9

AD=BC=~；

2

(3)連接AC交30于點0,延長所與AO的延長線交于點G,

答案第22頁，共49頁

:菱形ABC。，ZABC=60°,AB=2y/3,

：.ZABD=ZCBD=30°,AD//BC,ACJ.BD,BD=2OB,

：.DG//BE,OB=ABcos30°=273x^5=3,

2

?；EF//BD,BD=6,

四邊形BOGE為平行四邊形，

ZDGE=ZDBE=30°,BD=EG,

;旋轉(zhuǎn),

ZEAF=30°,

ZEAF^ZAGE,

?/ZAEF=ZAEG,

：.AAE~AFE4,

.AEEG

??~~~一—~~，

EFAE

AE?=EF.EG,

VEF=-BD,EG=BD,

3

AE2=-BD2=-x62=24,

33

過點A作AH_LBE于X,則：AH=AB-sin60°=2^x=3,BH=ABcos60°=AB=>/3,

在RtAAFffi中，HE^y]AE2-AH2=V15'

/.BE=BH+HE=y/3+y/15.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

6.(1)些=變；(2)黑=癡；(3)BC=V34.

CE2BF

【分析】本題主要考查動點最值問題，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形和勾股

定理.

4DAR

（1）根據(jù)題意得/54。=/。歸，及第=喂，即可判定有

AEAC

BD_AB.?BDA/2

----==cosN/BD4ct,貝U有*=；

CEACCE2

...BEBC1

（2）連接BE,設AD=x,則3D=3x,由（1）知△ACDs/^CE",得/R——=——=l,

ADAC

FD=罟即可;

則郎=x,進一步判定△CFOSAEFN,則有一

FB

(3)以48為邊在AB上方作等腰RtZ^BAE,且/E4S=90。，連接BE,EA,ED,EC,

可得△BDESABC4,求得DE,在RGAEB中求得AE,當點A,E,。三點共線時，A。的

值最大，此時可求得AD和3。，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：(1)：NBAC=NZME=45。,

ZBAD^ZCAE,

???ZABC=ZADE=90°,

ADAB口口ADAE

——，即——=——

~AEACABAC

/\ABD^/XACE,

BDAB^2

即0n--------cos/BAC------，

CEAC2

.BD

故+——=V2

CE~r

(2)連接BE,如圖,

設AD=x,貝!]3。=3工,

同理，AACDsABCE,

.BEBC,

?,==1,

ADAC

BE=x,

ZCBE=ZCAD=ZCDF=45°,

/.NDBE=90。,

DE=y/BD2+BE2=J（3X）2+X2=Mx,

，CD=—DE=y/5x,

2

答案第24頁，共49頁

■:/CFD=/EFB,

：?KFDS^EFB,

,FD_CD_y[5x_FT

FBEBx

(3)以AB為邊在AB上方作RhBAE,且/9R=90。，/EBA=45°,連接BE,EA,ED,

ACBC

:AC=2,

DE=26，

在Rt^AEB中，AB=3應,

AE=AB=30

當點A,E,。三點共線時，AD的值最大，最大值為AD=4E+￡)E=5近,

在RtAABD中，BD=-JAB2+AD2=小用+(5拒丫=2#7,

BC=—BD=y/34.

2

7.⑴①烏②30。

2

(2)結(jié)論成立，理由見解析

(3)26^/13+2739或26而-2回.

【分析】(1)①求出AE,即可求出答案；②通過證明“可得出=些=3,

DFBF2

ZBDF=ZBAE,即可求解；

(2)通過證明可得絲=些=@,ZBDF=ZBAE,即可求解；

DFBF2

(3)分兩種情況討論，先求出AE,DG的長，即可求解.

【詳解】(1)解：①如圖1,；四邊形ABC。是矩形，

/.ZA=90°,即AD1AB,

,/EFYAB,

，EF//AD,

,點E是邊A5的中點,

1

1_DEBE

AE=-AB=443―=1,

29DFAE

,DF=BF=-BD

2

?.?ZABD=30°,ZDAB=90°,EF±BAf

BEAB_V>

cosZABD=--

BF

DB^AB^—=16,

2

DF=-BD=8

2

.AE_4y/3y/3

"DF~82

故答案為：也

2

如圖2,設AB與￡＞廠交于點。，AE與O尸交于點”,

圖2

△3EF繞點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。

/DBF=ZABE=90。,

**?公FBD-^/^EBAf

答案第26頁，共49頁

又,：2DOB=AAOF,

：.ZDBA^ZAHD^30°,

；?直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°,

故答案為：30。；

(2)結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖3,設AE與交于點。，AE與DF交于點、H,

AB

圖3

:將△3EF繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

ZABE^ZDBF9

又??BEABy/3

?茄一防—5’

/\ABESADBF,

ZBDF^ZBAE,

DFBF2

又：ADOH=ZAOB,

：.ZABD=ZAHD=3Q°,

直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°

(3)如圖4,當點E在AB的上方時，過點。作DGLAE于G,

一

AB

圖4

■:AB=8?ZABD=3Q0,點E是邊48的中點，ZZMB=90°,

BE=473,AD=8,DB=16,

?.?ZEBF=30°,EF±BE,

.??EF=4,

?.力、E、尸三點共線,

/.NDEB=NBEF=90。,

DE=yjBD2-BE2=4岳，

,?ZDEA=3CP,

：.DG=-DE=4jl3,

2

由(2)可得：—=—=^,

DFBF2

.AE石

"aT7Z=T,

AE=2回+2』,

VADE的面積=gxAExOG=]x(2屈+2g)x2而=26而+2屈；

如圖5,當點E在AB的下方時，過點。作小,回，交E4的延長線于G,

E

圖5

同理可求：VADE的面積=3*4￡^06=3乂(2?一2力,2a=26小一2回

故答案為：26a+2屈或26g_2屈.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分情況討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

8.(1)24；

⑵y=]5。2x,定義域：

3x2

25

(3)EC=y.

【分析】(1)過點A、。作DNLBC,由梯形的性質(zhì)得8M=NC=3,NB=NC,

由tanABC=M=:求出AM=4,然后根據(jù)梯形面積公式計算即可；

BM3

人G3

(2)由上=＞得46=廣。6,DG+yDG=3,DG=--,證明八位用s^BCE得

DG1+y

非=巖=：，由AD〃BC得罌=黑，設CE=x,FD=；X,代入整理可得y=”產(chǎn)；

BCCE3BCFC33%

答案第28頁，共49頁

（3）由衿竺絲=;，S梯形=24得S四邊形^=16,過點、E作EHJLBC,設△的面積為

3四邊3

S,由相似的△3CE面積為9S,然后分兩種情況求解即可.

【詳解】（1）過點A、。作AM_L3C,DN1BC

C

???梯形A5C。中，AD//BC,AB=CD,A￡>=3,BC=9

3M=NC=(9-3)+2=3,4B=/C,

4

tanZABC=tanC=—

3

VtanABC=—=-

BM3

：.AM=4f

3+9

；?梯形面積二〒*43

A(Z

(2)由上=>得46=廣。6,DG+yDG=3,

DG

vZAFD=ZBEC,ZADF=ZC

:.AADF^ABCE

ADFDI

~BC~~CE~^3

AD\\BC

GDFD

**BC-FC

設CE=x,FD=1x

31

:-x

則

“—x+5

3

15-2x

解得y=

3x

V15-2x>0,

?,?定義域：0<-^<y

（3）由｝—=：,S梯形=24得S四邊粉啊=16

D四邊形ABCD3

過點E作EHJ.BC,設△ADR面積為S,

,:AF〃BE，AD//BC,

：.ZAFD=ZBEC,ZADF=ZC,

：.^ADFs^BCE,

,?S.BCE=9s,

①若點G在邊AD上,

：S四邊形ABEF-S梯形=8S=8

S=1,S&BCE=9,

-BCEH=9,

2

-x9EH=9,

2

EH=2,

答案第30頁，共49頁

②若點G在邊AD延長線上,

?S四邊形ABEF+S梯形+^^AFD=9S,

***S四邊形ABEF+S梯形=8S=24+16=40,

???5=5,

?：S=45=-x9EH,

△BRLC匕P

EH=10,

綜上可知，段CE的長為|5■或2號5.

【點睛】本題考查了梯形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，求函數(shù)解析式

及定義域等知識，難度較大，屬中考壓軸題.

9.⑴y=]x+13

⑵“一94+彳52

⑶O(0,13-4A國

【分析】(1)設直線A3的解析式為：y^kx+b,將A,8兩點坐標代入，進一步得出結(jié)果；

(2)可證得ABCDSABA。，從而得出挈=絲，進一步得出結(jié)果；

(3)作EFLWH于尸，作HG_LBE交8E的延長線于點G,可推出/￡HW=/3￡W,從而

BW4

證得ABEW/AEHF,從而跖=3印，根據(jù)可得出一=-,設

EW5

4Z-4

BW=4k,EW=5k,求出EP=4七WF=3M從而得出tanNEWF=tan2a='=一，進而推

3k3

出tanN￡BH=g§=￥=:，解直角三角形BED求得8。，進一步得出結(jié)果.

BG8"2

【詳解】(1)解：設直線A3的解析式為：y=kx+b,

b=13

AS527八，

-----x+b=0

I5

%=13

???L5,

k=—

[4

y——x+13；

4

(2)解：.8〃無軸,

：?小BCDs^BAO

,CDBD

??怎一礪’

d_13-r

作歷,皿于尸，作HG,5石交房的延長線于點G,

CD1BH,HD=WH,

：?BE=EF=\U,

/EBH=/BHE,

設/EBH=NBHE=a,/HBW=0,

答案第32頁，共49頁

ZBEW=90°-a~/3,ZEWH=2a,

在四邊形BEHW中，ZBWH=ZBWE+ZEWH=90°+2a,

/BEH=180。一NEBH—NBHE=180。一2a,

：.ZEHW=360°-（90°+2a）—（180。一2a）—（a+/）=90。一a—/,

：.ZEHW=ZBEWf

?；NBWE=NEFH=90°,

???△B￡W^A￡HF（AAS）,

???EF=BW,

???△HEWs△⑷?o,

52

：.BW__OA_^__4f

EW--5

設5W=4N石W=5左，

/.EF=4k,

：.WF=3kf

Ak4

tanZEWF=tan2a=——=—,

3k3

???ZGEH=ZEBH+ZBHE=2。，

???NGEH=NEWF,

4

AtanZGEH=tanZEWF=-,

3

.GH4

??~=一,

EG3

設GH=4a,EG=3a,則BE=EH=5a,

：.BG=BE+EG=8a,

../口RU_GH_4?_1

??tanA-EBH—————,

BG8。2

?DE1

??=一,

BD2

■/DE2+BD-=BE2=102,

BD=4A/5,

OD=OB-BD=13-445,

D（0,13-4^）.

【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

求一次函數(shù)的解析式等知識，解決問題的關(guān)鍵是尋找角之間數(shù)量關(guān)系.

10.⑴見解析

⑵①點E到邊的距離為逋；②烏=避二1；

5BE2

c、CE3-A/3

--------?

BE2

【分析】(1)可得出NCPD=ZBCE,ZBEC=ZD,從而得出結(jié)論；

(2)①作EG,5c于G,可證得△尸GEs△尸CD,從而學=竺="，求得跖=5尸=CF=1,

CDFCDF

則。尸=6，進而得出EG,FG；

②可證得ABGES^EGC,從而得出笠=受=叵1；

BEEG