2025年中考數(shù)學重難點題型銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用

1.如圖，在四邊形ADBE中，對角線48,ED相交于點孔且AF=3F,EF=DF.過點

A作AC〃ED,交5。的延長線于點C,.

請從“①AF=EF；②至=AC”這兩組條件中任選一組作為已知條件,填在橫線上(填序號),

再解決下列問題：

(1)求證：四邊形ADBE1是矩形；

12

(2)若tanC=《，AE=5,求線段O尸的長.

2.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動.

在矩形ABCD中，A5=8,AD=6,將矩形ABCD繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AE尸G,其

中點￡,廠分別是點8,C的對應(yīng)點.

(D如圖1,連接DG,BE,則寸的值為

⑵如圖2,當點￡恰好落在邊C。上，連接BG交AE于點。，連接BE.

①求證：EB平分/AEC；②求證：OG=OB.

⑶若直線￡8,DG交于點H,當3E=8時，請直接寫出由7的長.

3.在VABC中，N54c=90。，AB=AC.點尸是VABC所在平面內(nèi)的一點，連接B4,PB,

S.PB=也PA.

(1)如圖1,點尸在VA3C內(nèi)，ZABP=30°,求/上45的大?。?/p>

⑵如圖2,點尸在VABC外，連接尸C,設(shè)/APC=a,^BPC=/3,用等式表示a,夕之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

4.在rABCD中，AC為對角線，點G在的延長線上，連接CG,點/在CG上，線段AF

交BC于點E,若E4=PC,如圖1.

答案第2頁，共56頁

DAD

Ml圖2

(1)已知NC4D=NG,求證:AC2=CEBC；

(2)如圖2,已知垂足為點E.

①若NGCB="AC,求證：AE=FE；

②若AB=下,AD=4,tanZABC=2,求8G的長.

5.如圖，在矩形ABCD的邊上取一點E,將345石沿直線AE折疊得到ZVIFE,此時點B

的對稱點尸恰好落在邊CD上，G為AD中點，連接BG分別與AE,AF交于M,N兩點，

且ZBEM=NBME,連接

(1)求證：四邊形跳;EM為菱形；

⑵若AT>=4,求線段CE的長和sin/ZMF的值.

6.如圖1,在正方形A3CD中，點M,N分別是48,C。上的點，MN〃BC,點、E是BC

上一點，將一ABE沿AE折疊，使點2落在N上的點尸處.

(1)若NE4B=60。，證明：點M是43上的中點.

(2)如圖2,延長跖與AD的延長線交于點G,EG交CD于點H,延長Ab交CD于點P.

①求證：AFHP=APHF；

②當點E是BC的中點時，探究PN與。N的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4

7.如圖1,在平行四邊形ABC￡>中，A3=7,sinB=-,CE_LA8于點E,且CE=4.點尸

從點E出發(fā)，沿EB-BC向終點C運動,設(shè)點尸在該折線上運動的路徑長為x(x>0),連接

EP.

(1)2C的長為,當點P在BC上運動時，EP的最小值為

答案第4頁，共56頁

(2)點F是AE的中點,如圖2,

①請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點尸作BC的垂線FG,垂足為點G(保留作圖痕跡，不寫作

法)；

②求證：ABCE名ABFG；

⑶延長PE到點Af,使得EM=2尸E,以CE,上ZE為鄰邊作平行四邊形CE腦V.

①當點尸在BC上，平行四邊形CEMN對角線EN所在的直線恰好經(jīng)過點。時，如圖3,求x

的值；

②當點A落在平行四邊形CEMN的邊上或內(nèi)部時，直接寫出x的取值范圍.

8.折紙是數(shù)學課中常見的操作活動，同學們可由此進行觀察、猜想和證明.如圖1,在矩

形紙片ABCD中，點E在邊上，沿CE折疊矩形ABCD,點B落在點M處，連接3M交CE

于點。.

圖1圖2圖3

(1)小明發(fā)現(xiàn)，在圖1中如果延長8M交AD邊于點N,如圖2,則有二7=："，請說明理

BNAB

由；

⑵若矩形A5CD是一張A4紙且點E是A8邊的中點，如圖2所示進行折疊與

連線，求N*O的值；

(3)在矩形紙片A3C￡>中，點E、尸分別在邊48和AD上，連接CE、CF、EF,且EC平分

BE

ZBEF,CE=CF,smZECF=k,求一的值.

AF

9.已知：。的切線CP交直徑所在的直線于凡D為直徑上一點，連接C。并延長

⑴求證：AE=BE；

(2)過點C作CG_LAB于H,交于。于點G,連接EG、DG,求證：ZDGE=90。；

⑶在(2)的條件下，HB:BF=4.5,OD=1時，求線段EG的長.

10.如圖，矩形Q4BC的頂點A、C分別在無軸和>軸上，點2的坐標為(4,6),D是邊CB上

的一個動點(不與C、B重合)，反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象經(jīng)過點。且與邊交于點

答案第6頁，共56頁

E,連接OE.

(1)如圖1,若點。是CB的中點，求E點的坐標；

⑵如圖2,若直線OE與x軸、了軸分別交于M點，N點，過。作。尸，x軸交于尸點，過E

作軸交于。點，DP與EQ交于點H,連接PQ,求證：DE//PQ.

(3)如圖3,將V3Z汨沿￡>E折疊，點B關(guān)于OE的對稱點為點當點以落在矩形Q4BC內(nèi)

部時，求上的取值范圍.

11.如圖，四邊形A3CD的對角線AC,BD交于點、E,NBAD=NBCD=90°.

(1)如圖1,若NCBD=NEAD,求證：AECE^BEDE.

(2汝口圖2,過點A作APLCD于點P,作A"_L3C,交CB的延長線于點若AC垂直平

分BF,AC與8歹交于點G.

①求證:AB=AD.

②若BC=1,tanZR4c=g,求AC+3D的值.

12.在等邊VA3C中，點。在直線3C上，連接AD,過點B作BH±AD于點H.

(1)如圖1,點。在CB的延長線上，AB=4,tanZADB=—,求利的長度;

2

(2)如圖2,點。在BC邊上，點￡在AC邊上，且AE=CD,BE與AD交于點F,若點尸恰

是AH的中點，請用等式表示AB與8的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)如圖3,點。在BC邊上，過點、H作HM〃BC,HM=BC.連接AM、CM,將沿

CD

AC翻折至△*,連接DN,BN,請直接寫出當AN取得最大值時三的值.

答案第8頁，共56頁

13.△ACF是，。的內(nèi)接三角形，連接OC,過點。作AC于點//.

圖3

⑴如圖1.求證：4coH=4AFC；

(2)如圖2.若OC平分NACP,求證：AC=CF；

(3)如圖3.在(2)的條件下，=時，連接EH,FH交弦LC于點、N,AF交弦CM

于點RR在線段0/上，連接AN、LF,若CM=4五,LF〃AN,S.LCF=12,求線段RF的

長.

14.如圖1,ZBAC=90°,以直角三角形ABC的三條邊為邊分別向外作等邊三角形.

圖2

(1)求證：sABD+sACF=sBCE；

(2汝口圖2,連接AE、BF、CD,已知三線交于點G,

①求證：AE=BF=CD；

②若8c=2甘，BG=2,求AE的長.

15.如圖，等腰VABC中，AB=BC,NABC=120。，點。、E、廠分別在邊AC、AB.CB上,

且￡)E=￡F,ZDEF=120°

備用圖

(1)求證：AADESMFD；

(2)試猜想CF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

答案第10頁，共56頁

⑶連接CE交￡＞產(chǎn)于點G,若CG=EG,求f的值.

《2025年中考數(shù)學重難點題型銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用》參考答案

1.(1)見解析;(2)6.5

【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟

練掌握矩形的判定方法是解答的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形AZ汨E的是平行四邊形，若選擇①，可證明=根據(jù)矩形的判定

可得結(jié)論；若選擇②，先證明四邊形ACDE的是平行四邊形，可得到==再根

據(jù)矩形的判定可得結(jié)論；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)可得N￡BD=90。，BD=AE=5,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和正切定義可求

12

得BE=?tanNBDE=5x丁=12,進而利用勾股定理求得DE即可求解.

【詳解】解：(1)方法一：選擇①AF=￡F.

證明：四邊形ADBE的對角線48,即相交于點尸，且=EF=DF,

■.四邊形AOBE的是平行四邊形，

\AF=-AB,EF=-ED,

22

X-AF=EF,

AB=ED,

四邊形ADBE為矩形.

方法二：選擇②AB=AC.

證明：四邊形相＞BE的對角線AB,即相交于點尸，且=EF=DF,

四邊形AD3E的是平行四邊形，

:.AE//CD,

又-AC//ED,

四邊形ACDE的是平行四邊形，

AC=DE,

又AB=AC,

AB=ED,

四邊形AD5E為矩形.

(2)解：由(1)已證明四邊形ADBE矩形，

NEBD=90°,BD=AE=5,

又一AC//ED,

答案第12頁，共56頁

\?EDB?C.

在RtEDB中,BE=BD<mZBDE=5xy=12,

/.DE=^BE2+BD2=V122+52=13，

1113

:.DF=—DE=—x13=—.

222

2.(1)%

⑵①證明見解析；②證明見解析；

(3)①f的長為3&-4或3右+4.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AC=6,A3=AE=8,ZDAG=ZBAE,,求得

ADAG63a

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到加=IF="

AB一AE一1一4

（2）①過點8作5MJLAE于點A/,由旋轉(zhuǎn)可知=得到=,根據(jù)

平行線的性質(zhì)得到ZABE=Z.CEB,推出BE平分/AEC；

②根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到3c=氏0,由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BC,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到OG=OB；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AG,AB=AE,NDAG=ZBAE,求得ZADH+ZABH=180°,

得到N￡>HB=90。，得到一ABE為等邊三角形，同理△45G為等邊三角形，如圖2,根據(jù)三

角函數(shù)的定義得到初=2/。布60。=6-竽〉-4,如圖3,同理可得

"E=3百-4,得出B"=3g+4.

【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AD=AG=6,AB=AE=8,/DAG=NBAE,

.ADAG--6--3

"AB~AE~4,

..ADAGSABAE,

DGAG_3

-BE一AE一4'

、

故答案為：43；

4

（2）證明：①由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AE,

:.ZABE=ZAEB,

■:AB//CD,

:.ZABE=ZCEB,

：./CEB=ZAEB,

???B￡平分/AEC,

②如圖，過點3作創(chuàng)于點M,

F

：.ZC=90°,

又???BAf_LAE,BE平分NAEC,

???BC=BM,

由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BC,

：.AG=BM9

在dAOG和△MOB中,

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=/MOB

AG=BM

：.AOG^MOB(AAS),

：.OG=OB；

(3)解：由旋轉(zhuǎn)得AD=AG,A5=AE,NDAG=NB4E,

:.ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

ZABE+ZABH=180°,

ZADH+ZABH=180°f在四邊形皿企中，ZDAB=90°f

：.ZDHB=90°,

AB=AE=BE=8,

???一/3七為等邊三角形，

ZDAG=ZBAE=60°,

答案第14頁，共56頁

,/AD^AG

???△A￡)G為等邊三角形，

ZADG=60°,

如圖，令DH與BC的交點為I,

同理可得HE=36-4,

/.BH=H￡+B￡=3A/3-4+8=3A/5+4

綜上所述，3H的長為36-4或3力+4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

3.(1)45°

⑵tz+月=45。,理由見解析

【分析】(1)如圖，過點于點，結(jié)合/4￡尸=30?？傻?結(jié)合PB=叵PA

可得PD="PA,由此即可得到$出/尸43=絲=變，結(jié)合々針是銳角即可得到

2PA2

NPAB=45。；

(2)如圖，把一AB尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACD,連接。C,DP,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可得：4=N2,PB=CD,ZDAP^9Q°,AD=AP,由此可得尸D=結(jié)合PB=?PA

可證得尸D=OC,從而得到/28=/。尸￡>=45。+1,由此可得

N3=180°-2NCPD=90°-2々，結(jié)合Nl=N2=a-0,可得Nl+N3=90°-a-0=ZADP=45°,

變形即可得到：a+p=45°.

【詳解】(1)解：如圖，作PD_LAB于。，貝UNPDB=404=90。，

ZABP=30°,

PB=y/2PA，

：.PD=—PA.

2

?*.sinZPAB=—=—

PA2

又，NR4B是銳角,

:.ZPAB=45°.

(2)解：/+/=45。，理由如下:

如圖，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACD,連接DC,DP,

D

則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：Z1=Z2,PB=CD,ZZMP=90°,

AD=AP,

答案第16頁，共56頁

/.PD=42PA,ZADP=ZAPD=45°.

又；PB=6PA,

：.PD=PB=CD.

:.ZDCP=ZDPC.

ZAPC=a,ZBPC=。,

：.ZDPC=a+45°,Zl=Z2=a-y0.

Z3=180°-2ZDPC=90°-2a.

：.ZADP=Zl+Z3=90°-a-/7=45°.

6Z+/?=45°.

【點睛】本題主要考查了應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)"和''等腰直角三角形的性質(zhì)”來解決相關(guān)幾何問題

的能力，在解題中，抓住條件“。8=血3"、“尸2=024”通過旋轉(zhuǎn)或作垂線段構(gòu)造等腰直

角三角形，把相關(guān)線段集中到一個等腰直角三角形中去，利用“等腰直角三角形中，斜邊是

直角邊的血倍”結(jié)合已知條件進行推理、計算就可解決所求問題了.

4.⑴見解析

⑵①見解析；②且好

19

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到N4BC=",AD//BC,求得/C4D=ZACB,

推出/ASC=NACG,得到E4=PC,求得/ABC=NC4F,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論；

(2)①由(1)得NC4T>=NACB,等量代換得到NGCB=NACB,根據(jù)全等三角形的判定

和性質(zhì)定理得到AE=FE；

②過點尸作加，AC于點X,延長AD與GC的延長線交于點K,如下圖所示：根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到A8=CO=?,BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,根據(jù)三角函數(shù)的定義

得到/場=2應(yīng)：，根據(jù)勾股定理得到3E=1,求得AE=25E=2,得到CE=BC-BE=3,

由勾股定理得AC=舟"?=岳,根據(jù)勾股定理得到AF的值，然后根據(jù)相似三角形

的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

???NCM>=NG,

???/G=ZACB,

9：FA=FC,

：.ZFAC=ZFCA

在^ACG中，ZBAC=1800-ZG-ZACF,

在AACE中，ZAEC=180°-ZFAC-ZACB,

：.ABAC=ZAEC

■:ZACE=ZBCAf

：.AACE^ABC4,

.ACCE

**BC-AC)

:.AC?=CE?BC;

(2)①證明：/GCB=/DAC,由(1)得NC4D=NACB,

:.NGCB=ZACB,

QAFlfiC,

:.ZFEC=ZAEC=90°.

CE=CE,

FEC^AEC(ASA),

,\AE=FE；

②解：過點尸作FH，AC于點”，延長AQ與GC的延長線交于點K,如下圖所示:

四邊形A3CD為平行四邊形,

：,AB=CD=EBC=AD=4,AB//CD,BC//AD,

AP

又?.AE1BC,在RtA4BE中，tanNABC=——=2,

:.AE=2BE,

答案第18頁，共56頁

由勾股定理得AE2+BE?=AB2，

即（2BE?+BE?=（耶丫,

:.BE=1,

:.AE=2BE=2,

:.CE=BC-BE=3,

在RtACE中，由勾股定理得AC=JAE?+CE，=岳，

FA=FC,FHLAC,

：.AH=CH=-AC=^,

22

SFAC=^ACFH=-AFCE,

-c22

AFCE3AF

FH=---------=,

AC713

在RtAAFH中，由勾股定理得AF2-FH2=AH2，

13

/.A尸=:（負值舍去），

4

:.FE=AF-AE=~,

4

CE//AK,

CEFs&KAF,

EFCE

*AF-

5

.WJ

-AK，

4

39

/.AK=—，

CD//AG,

KDCsKAG,

KDCD

,AF-AG?

394—

工4正

"39"AG'

5

?“-39百

..AG--------,

19

:.BG=AG-AB=^-

5.（1）見解析

(2)?！?4一2五，sinZDAF=V2-l

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得=BE=EF,再推出4EM=NBME,證明四

邊形3ER以為平行四邊形，由?11=BE,即可證明四邊形BErai為菱形;

(2)利用HL證明RtA^CEF2RtZXTVMF,推出CE=MN；設(shè)CE=MN=x,則

BE=FM=4—x,GN=2—x,證明△AGNSAMRV,推出迫=受，解方程即可求得

FMMN

CE=4-2A/2,在RtVAGN中，利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】（1）證明：沿直線AE折疊得到/\詆,

:△ABEmAAFE,

ZFEM=ZBEM,BE=EF,

NBEM=NBME,

:.BM=BE,ZFEM=ZBME,

EF//BM,BM=EF,

四邊形BEEM為平行四邊形，

又-BM=BE,

BEFM為菱形;

(2)解：連接8尸，

△ABE四4AFE,

:.ZAFE=ZABE=90°,

EFBM,

答案第20頁，共56頁

:.Z.GNF=ZAFE=9QP,即7W_LBN,

.1在矩形ABCD中尸C_LBC,

又一班EM是菱形，

:.FM=EF,BF平分ZMBE,

FN=FC,

在RtACEF和Rt^NMF中，

[EF=FM

\FC=FN'

.-.RtCEF^RtWF（HL）,

CE=MN-,

G為AD中點，AD=4,

AG=DG=-AD^2

2

「在菱形BERVf中〃0〃BC,且在矩形ABC￡>中3c〃AD,

.■.FMAD,BC=AD=4,ZAMG=NBME,Z.GAM=ZBEM,

ZAMG=ZGAM^GA=GM,

且ZAGN=NFMN,/GAN=ZMFN,

:.AAGN^>AMFN,

-----=-----，即AG-MN=GN-FM，

FMMN

設(shè)CE=MN=x,則巫==4—x,GN=2—x,

2x=（2-x）（4-x）,

解得％=4+2A/2（舍去），x2=4—2A/2,

:.CE=4-26，

:.GN=2-x=2叵-2,

...在RtVAGN中，sinZr>AF=—=2a^~2=72-1.

AG2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形,

菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

6.（1）見詳解

（2）①見詳解；@PN=\DN,證明見詳解

【分析】（1）由已知，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等“得NAMF=ZB=90。，由已知，根據(jù)

直角三角形中的邊角關(guān)系得：AM=^AF,由折疊可知：AF^AB,從而可得結(jié)論；

（2）①由折疊可知：AF=AB,ZAFE=ZB=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)得：AD=AF,

NPFH=ZAFE=90°=ZPDA,根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”得：NHPF^NAPD,

從而可得AD-HP=AP-HF,等量代換得出結(jié)論；

?^AD=AB=BC=CD=a,則Ab=A8=a,BE=CE=Ja,從而根據(jù)直角三角形中的邊

RF111

角關(guān)系得tan/2AE=—=-,由折疊可知：FE=BE=-a,ZAEF=NAEB=—NBEF,

AB222

從而得到產(chǎn)E=CE,連接PE,由“上遼”證明：RtPEF^RtPEC,得到：

NPEF=NPEC=-CEF,PF=PC,根據(jù)平角的定義可得：ZAEB+NPEC=90。,根據(jù)“同

2

1pc1

角的余角相等”得到：NP￡C=4場，從而得到：tanZPEC=tanZBAE=-f即有/=萬，

進而得到：PF=PC=!cE=；a,AP=?a,根據(jù)“平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊

或兩邊的延長線，所截得的三角形與原三角形相似”證明：VPFNKPAD,得到：

累PN=.PF=（1，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是正方形，

:B90?,

'：MN//BC,

:.ZAMF=/B=90。,

若445=60。，

則AM=AF-cosZFAB=AF-cos60°=-AF,

,2

由折疊可知：AF=AB,

2

...點M是AB的中點；

(2)①證明：；四邊形ABCD是正方形，

AAD=AB=BC=CD,N3AD=4=/C=ZAOC=90°,

由折疊可知：AF=AB,ZAFE=ZB=9Q0,

答案第22頁，共56頁

:.AD=AF,NPFH=NAFE=90。=/PDA,

QZHPF=ZAPD,

:NHPF^NAPD,

.HPHF

,,赤一而‘

:.ADHP=AP-HF,

,\AFHP=APHF；

②解：當點E是2C的中點時，PN與DN的數(shù)量關(guān)系是PN=3DN,

4

證明如下：

設(shè)AD=AB=BC=CD=a,

則AF=M=a,

當點E是3C的中點時，BE=CE=ga,

2

BF1

tanZBAE=——

AB2

由折疊可知：FE=BE=-a,ZAEF=ZAEB=-ABEF,

'-,22

:.FE=CE,

連接PE,如圖：

在咫PEF和瓦PEC中

FE=CE

PE=PE

:.RtPEF^RtPEC(HL),

ZPEF=APEC=-ZCEF,PF=PC,

2

ZAEB+APEC=1(ZBEF+NCEF)=90°,

ZAEB+ZBAE9Q0,

..NPEC=NBAE,

tan/PEC=tan/BAE=—,

2

PC1

即有五F

,PC=-CE=-^,

24

PC=-,

:PF=4a

/.AJP-A/+PF=aT—ci——Q,

44

QMN〃BC,AD〃BC,

:.MN//AD,

:NPFN^NPAD,

PN_PF

"To-PA-5--5,

-Q

4

:.PD=5PN,

DN=4PN或PN=-DN.

4

【點睛】該題是幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，相似

三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線，

掌握以上知識點.

7.（1）5.y

（2）①見解析；②見解析

⑶①X=§29；②2X414

o3

【分析】（1）利用正弦函數(shù)的定義求得BC=5,當3c時，EP取得最小值，利用等積

法即可求解；

（2）①利用尺規(guī)作圖的方法作出圖形即可；

②先求得BF=BE+EF=5=BC,再利用AAS即可證明ABCE^ABFG；

（3）①分別用無表示出BP,BQ,PQ和QE的值，證明㈤陽-他回。，利用相似三角形的

性質(zhì)列式計算即可求解；

②分兩種情況討論，當尸在旗上時，當EM2AE時，點A落在CEMN的邊上，即可求出

答案第24頁，共56頁

X的范圍；當尸在BC上時，如圖，過尸作尸QSAB于。，設(shè)肱V與直線43交于X,根據(jù)

三角函數(shù)，分別用x表示出8Q,BP,QE,證明PQES.MHE,求出m，MH,當EHNAE

且時，點A落在CEMV的邊上或內(nèi)部，進而求出x的范圍即可.

4

【詳解】（1）解：VsinB=-,CELAB,

.CE4

??一，

BC5

VCE=4,

?

BC~~59

：.BC=5,

BE=YIBC2-CE2=3,

當石尸，5。時，抨取得最小值，

*.*S.RCF=—BExCE=—BCxPE,BP3x4=5PE,

12I?

:?PE=1,即￡P(guān)的最小值為彳；

12

故答案為：5,—；

（2）解：①所作圖形如圖，

②由作圖知N/GB=90。，

9：CE1AB,即NCEB=90。,

■:/CBE=/FBG,

■;BE=3,

???AE=7—3=4,

???點尸是AE的中點,

EF=-AE=2,

2

:.BF=BE+EF=5=BC,

BCE沿-BFG（AAS）；

(3)解：①。落在對角線EN上，如圖,

由題意得3尸=x-3,CE=4,BE=3,BC=5,

?RBE3

BC5

3394412

BQ=BPcosB=-(x-3)=-x--,PQ=BP-smB=-(x-3)=-x~—

243

QE=BE-BQ=—--x,

V四邊形一ABCD是平行四邊形,

：.CD//AB,CD=AB=1,

：.NCDE=NDEA,

■:CE1AB,

：.CELCD,

???ZECD=90。，

；MN上AB,

：.ZNHE=ZECD=90。,

:.二ENHsJ)EC,

.NH_CE4

"EH~CD

,：NH+MH=MN,

29

解得x=?

o

②當尸在BE上時，如圖,

答案第26頁，共56頁

D

EM=2PE，

EAM''

EM=2x,

當包TWM時，點A落在cCEMN的邊上，

:.2x>4,

解得：x>2,

:.2<x<3,

當尸在BC上時，如圖，過尸作尸。I居于Q,設(shè);W與直線AB交于X，

PQ^AB,

M

/BQP=90。,

43

QsinB=—,cosB,BP-t-3,

33944i?

)

/.BQ=BPCOSB=-(X-3)=-X--9PQ=BPsinB=—(x-3=—x--—,

243

:.QE=BE-BQ=—--x,

四邊形CEMN是平行四邊形，

:?MN〃CE,MN=CE=4,

CE1AB,

.-.MN-LAB,

PQ-LAB,

PQ//MN,

PQEs.MHE,

.EHMH_ME

,~QE~~PQ~~PE"

EM=2PE，

EHMHME與

"QE~PQ~PE~'

.,.EH=2QE=?_：x,W=2P2=|x-y,

當團2版且觸;4肱7時，點A落在cCEMN的邊上或內(nèi)部,

486一

55

824,)

—x---<4

155

14

解得：

c14

3<x<—,

3

14

綜上所述，當2c時，點A落在.CEMN的邊上或內(nèi)部.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定,

等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用，正確的作圖.

8.(1)見解析

【分析】(1)證明.54Ns_CBE,得出=7=不;即可；

BNAB

(2)設(shè)5￡二%，則AB=2x,BC=2y[lx，求出CE=y/BE2-^BC2=3x,BN=-CE=^^x，

22

(inRF9F)cp)

證明回OsW,得出一=一，求出OB=±X,得出ON=BN-OB=^X,得

ABBN36

出答案即可；

(3)延長獨到點?，使得"=宓,連接FP交CE與點0,連接CP,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

BFCF

得出EOLFP,FO=OP,證明，CBES,K4P,得出一=一，再求出結(jié)果即可.

AFPF

【詳解】(1)解：點B關(guān)于CE折疊到M，

:.BMLCE,

:.ZBOC=90°,

:.ZOBC+ZOCB^90°,

四邊形ABCD是矩形，

.-.ZABC=ZE4D=90o,

答案第28頁，共56頁

NOBC+NOBE=90。，

:.NOCB=NOBE,

:./\BANs^CBE,

CEBC

B2V-AB

⑵解：由⑴知：安第

設(shè)8E=x,則AB=2x,BC=2s/2x,

/.CE=JBE2+BC2=3x,

?示―應(yīng)廠口_3應(yīng)

..BN-----CE-------x9

22

BMLCE,

\?BOE90?,

又/84D=90°,

:.ZBOE=ZBAD,

ZEBO=ZNBA,

OBBE

OBX

即2x一3-J2

---------X

2

,05=手,

sJ?

ON=BN-OB=-^—x,

6

5y/2

.ON=_=5

'OB~2^2~4

——X

（3）解：延長品到點乙使得連接用交CE與點0,連接CP,如圖所示:

D

E任EC平分血尸，

-------------=7^lc

:；??"??

尸’

:.ZCEF=ZCEP,

EF=EP，

:.EOLFP,FO=OP,

:.ZE0P=ZC0F=9Q°,

:.ZBEC+ZEP0=9Q°,

又四邊形ABCD是矩形，

.-.ZA=ZABC=90%

:.ZAFP+ZEPO=90°,

:.ZBEC=ZAFP,

:./\CBEs/\PAF,

BECE

,AF-PF，

,/NCOF=90°,

OF

：.sinZECF=——=k,

CF

：.OF=kCF,

?；CE=CF,PF=2OF=2kCF,

BE_CE_CF_1

"AF~PF~2kCF-2k'

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾

股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

9.⑴見解析

(2)見解析

(3)EG=275

【分析】⑴先由OC=OE得N1=/2，再結(jié)合切線的性質(zhì)得NOCF=90°,則即Zl+Z3=90°,

則/BOE=90。，故ZAOE=ZBOE,所以短=防

答案第30頁，共56頁

（2）根據(jù)垂徑定理得C”=G”，NCHO=90。,再結(jié)合圓周角定理得出/COB=NCEG,再

證明OE〃CG,進行角的整理得NCEG+ZEDG=90°,即可作答.

（3）先由直角三角形兩個銳角互余，以及切線的性質(zhì)得

ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=90°,結(jié)合圓周角定理得=得出

4

HB=BK,因為B”：HF=4:5,所以BK:防=4:5,然后運用解直角三角形的性質(zhì)得sin/=w，

OH44fl

運用勾股定理表示HF=3a,再得出。F=b=5a,D”=2a,結(jié)合sinP=——=—，貝什=—,

OC53

即07/=二。，因為。。=2.5,代入得出〃=2,最后運用勾股定理列式計算，即可作答.

34

【詳解】（1）解：連接OC、0E,

A\（f570]BF

OC>0E是o的半徑，

：.OC=OE,

?,?Z1=Z2

是<O的切線，切點為C,

???ZOCF=90°,

即/l+N3=90°,

；/3=/4,N4=N5,

/.Z2+25=90°,

/./BOE=90。，

；?ZAOE=90°,

ZAOE=NBOE,

AE=BE；

(2)解：連接AC,AE,OC,OE,OG

?：CGLAB,

：.CH=GH,NCHO=90。,

:?CB=BG,ZCOB=ZGOH

，2ZC0B=ZC0G

CB=BC,

2ZCAG=ZCOG,ZCAG=NCEG,

，ZCOB=ZCEG

?；ZAOE=NGHO=90。,

-,.OE//CG,

；.NOEC=NGCE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等),

；OC=OE,

ZOEC=ZOCE,

???NGCE=NOCE

?：CD=DG

，NGCE=NCGE

：.ZEDG=ZGCE+Z.CGE=ZOCH

,/NCOH+NOCH=90。,

；?ZCEG+ZEDG^90°,

；.ZDGE=90。；

(3)解：連接OG,OC.OE、BC,過B作歐1A/于K,

???過點C作CG1AB于氏O的切線CF交直徑杷所在的直線于區(qū)

NOCH+NCOH=90°,ZFCG+ZCOH=ZOCF=90°,

???NCOH=NFCG,

答案第32頁，共56頁

:由(2)得CB=BG,

???ZCOH=ZGOH

BG=BG

；?ZG0H=2ZBCG

；?ZC0H=2ZBCG

即NBCG=NBCF,

:BKLAF，NCHB=90°,

/.HB=BK,

?；BH:HF=4:5,

???BK:BF=4:5,

??廠4

..sinF=—,

設(shè)CF-5a,則CH-4a,

HF=VCF2+C7/2=3a,

?.?ZOCD+/DCF=90°,ZDCG=ZOEC=/OCD,ZDCG+/CDF=90°

???NCDF=NDCF,

/.DF=CF=5a,DH=5〃一3。=2Q,

???NF+NCOF=90。=NCOF+NOCH,

:./F=ZOCH,

4

*.*sinF=—,sinF=sinZ.OCH

在Rt_OCH中sinZOCH=黑

4OH

則nl丁市

設(shè)OH=4r,OC=5r,

CH=y/0C2-OH2=3r,

即即=3r,

.4〃

416

OH=4r=4x—=—a,

33

*：DH=2a

3

._3

??Cl—f

4

10343

：.OD=-x-=2.5OE=OC=5r=5x-x-=5,

34f34

DG=CD=sICH2+DH2=,DE=y]OE2-OD2=,

22

EG=y/DE2-DG2=275.

【點睛】本題考查了解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，切線的

性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合性強，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

10.(1)(4,3)

(2)詳見解析

(3)—<^<24

3

【分析】(1)由。是CB的中點，求出。(2,6),進而求解；

(2)證明.OHEs,尸即可求解；

(3)當點？在了軸上時，上的值最?。蝗酎c。與點B重合，則上的值最大；若點。與點B重

合，則左=盯=4x6=24,即可求解.

【詳解】⑴解:如圖1,

四邊形。4BC是拒形，

軸，A8〃y軸，

?3(4,6),。是CB的中點,

.,?。(2,6),

雙曲線y=&經(jīng)過點。(2,6),

X

:.k=xy=2x6=12,

12

一，

y~X

12

當x=4時，y=—=3,

-4

二點E的坐標為(4,3).

(2)證明：如圖2,

答案第34頁，共56頁

點D、點￡都在雙曲線y=A上,

X

kQ

6?4>

BD=4--,BE=6--,QH=t,HP=-

64"64

??,OPlx軸，軸

，四邊形由汨E是矩形

kk

???EH=BD=4——,DH=BE=6——,

64

k

4一一oH---k

EH_624-kPH_424-k

QHkkHPkk

64

EHPH

西一加

又?；NDHE=NPHQ

：.DHE^^PHQ

：.NHPQ=NHDE

：.DE//PQ.

(3)解：如圖，連接AC、BB'交于點、I，BB'交DE于點、F，

左隨X的增大而增大,

二當點？在y軸上時，k的值最小；若點。與點B重合，則上的值最大,

DE//AC，

...ZB'BC=ZBAC=90°-ZABB'

48

BfC=BCtanZBfBC=BCtanZBAC=4x-=-

63

r

..