2025年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試（重慶卷）

全解全析

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.

2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

參考公式：拋物線y=a/+bx+c（awO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜：，蟲丁對稱軸為

一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、

C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑.

1.2025的相反數(shù)是（）

A.-2025B.2025C.壺D.一康

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，得一。

的相反數(shù)是。，解答即可.

【詳解】解：根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，得一。的相反數(shù)是。，

故2025的相反數(shù)是-2025,故選：A.

【答案】A

【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意;

不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意;

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意;

D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意;

故選：A.

3.反比例函數(shù)>="(左*0,x>0)的圖象如圖所示，點(diǎn)A是圖象上一點(diǎn)，軸且與無軸交于點(diǎn)5,點(diǎn)C是

X

()

D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)左的幾何意義，掌握反比例函數(shù)人的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

連接CM,由N2〃y軸，貝設(shè)您=5-08=1.5,然后由反比例函數(shù)后的幾何意義得出;冏=1.5,從而求解.

?c—v—15

??3ABC_3AOB—…，

*1=1.5,

左=±3,

?.?左＞o,

:?k=3,

故選：C.

4.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若NCAE=2/BAD,則/C4。的度數(shù)是（）

A.110°B.115°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，熟練掌握角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵；

先通過已知可得到NCAE+/EAB+ZEAB+/BAD=150°,再將ZCAE=2ZBAD代入可求得ABAD的度數(shù),

進(jìn)而可求解，

【詳解】解：由題意可知/。45=/。七+/￡45=90。,/區(qū)4。=/￡45+/5/。=60。，

???ZCAE+/EAB+ZEAB+ABAD=150。，

XVZCAE=2ZBAD,

：.2ZBAD+/EAB+/EAB+ABAD=150。，

???2/￡4D+/B4D=150。，

???/胡。二30。，

???/CAD=/CAB+ABAD=120°

故選：C.

5.《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口3處立?根垂直于井

口的木桿5。，從木桿的頂端。觀察井水水岸C,視線。。與井口直徑45交于點(diǎn)￡,如果測得/2=1.8米,

8。=1.2米，BE=0.6米，那么ZC為（）米

A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先求出4E=1.2

米，再證出△/CES^BDE,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：；/3=1.8米，3E=0.6米，

/.AE=AB-BE=L2米,

由題意得：ACLAB,BD1AB,

：.AC//BD,

：.AACEs^BDE,

.ACAE

??茄一瓦’

：AD=1.2米，

.AC1.2

"TI-o7,

mAC=2.4（米），故選：D.

6.如圖1,在aABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.以這個(gè)直角三角形的三邊為邊分別向外作正方

形.圖2由圖1的兩個(gè)小正方形分別向外作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形

的直角邊為邊向外作正方形，…，按此規(guī)律，則圖11中所有正方形的面積之和為（）

【分析】本題考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式得出所有正方形的

面積和的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出N2=5,再根據(jù)勾股定理和正方形面積公式得出規(guī)律,

即可解決問題.

［詳解］W：--ZACB=90°,AC=4,BC=3,

:.AB=^AC2+BC-=J42+32=5

???圖1中正方形的面積和為：

32+42+52=25+25=2x25=50,

圖2中所有正方形的面積和為：

32+42+32+42+52=25+25+25=25+50,

圖3中所有正方形面積和為：

32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2x25+50,

，圖11中所有正方形的面積為（11-1）x25+50=300.

故選：C

7.若2<冊'-通<3,則小的值可以是（）

A.50B.25C.12D.9

【答案】B

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，無理數(shù)的估算.分別代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出算術(shù)平方根，再估算，即可判斷.

【詳解】解：當(dāng)〃7=50時(shí)，病-&=50-2血=30=屈，4<加<5,故選項(xiàng)A不符合題意；

當(dāng)加=25時(shí)，后一次=5-&,2<3,貝1]2<5<3,故選項(xiàng)B符合題意；

當(dāng)加=12時(shí)，V12-V8=2V3-2V2=2（V3-V2）,0<2（君-后）<1,故選項(xiàng)C不符合題意；

當(dāng)加=9時(shí)，也一般=3-a，2<V8<3,則0<3<1,故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

8.如圖，正八邊形ABCDEFGlf內(nèi)接于。O,若。。的半徑為2,則圖中陰影部分的面積之和是（）

A.2^2+—B.2^/2+7iC.V2+—D.行+無

【答案】A

【分析】本題結(jié)合正八邊形，考查不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、幾何直觀.把

總面積轉(zhuǎn)換成兩個(gè)三角形和一個(gè)扇形面積之和即可算出答案.

【詳解】

如圖，連接CM,03.

根據(jù)圓和正八邊形的對稱性，可知題圖中陰影部分的面積與如圖所示的圖形中陰影部分的面積相等.

易知ZAOB=ZBOC=ZHOG=ZCAO=45",

則且設(shè)交點(diǎn)為八貝必/=也。4=后,

2

OO半徑為2

S=2s+S「門口=2x—x2x5/2+竺父"亞+四

ACnZA4RDACC/ZI2

3602

故選：A

9.如圖，在矩形48c。中，AB=6cm,8c=8cm,點(diǎn)E,尸分別在邊48,BC上，AE=2cm,BD、EF

交于點(diǎn)G.若EG=FG,則2G的長為（）

108

A.-cmB.——cmC.—cmD.-cm

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得CD=/8=6cm,/￡BA=NC=90。，由勾股定理得到此=10cm,則師=4cm,再證

明△BFEs/\CBD,由其性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：四邊形488是矩形，45=6cm,8C=8cm,點(diǎn)瓦尸分別在/尻2C上,

CD=AB=6cm,NEBF=ZC=90°,

BD=yjBC2+CD2=10cm，

AE=2cm,

：.BE=AB-AE=6-2=4(cm),

?:BD,EF交于點(diǎn)、G,且EG=FG,

???BG=FG=EG=-EF,

2

???NBFE=NCBD,

.,.△BFE^ACBD,

EFBEA_2

DB-CF-6-3

22

EF=—BD=—x10=y(cm),

33

.?.8G」x型」(cm),

233v7

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，相似三角形的判定和性

質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.依次排列的兩個(gè)整式a,b,將第1個(gè)整式乘以2再減去第2個(gè)整式，稱為第1次操作，得到第3個(gè)整

式；將第2個(gè)整式乘以2再減去第3個(gè)整式，稱為第2次操作，得到第4個(gè)整式；將第3

個(gè)整式乘以2再減去第4個(gè)整式，稱為第3次操作，得到第5個(gè)整式60-5人...以此類推，下列5個(gè)說法,

其中正確的結(jié)論有（）

①第9個(gè)整式為86。-85b

②第2024個(gè)整式中4與6的系數(shù)和為1；

③第8次操作與第9次操作得到的兩個(gè)整式所有系數(shù)絕對值之和為1025

④第12次操作后得到的整式為27316-2730。

⑤當(dāng)。=6=-1時(shí)，第2025次操作完成后，所有整式之和為-2026.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，整式的加減運(yùn)算；通過計(jì)算，探索出整式各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，找到

系數(shù)和的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

①按要求分別列出即可求解；②由①可知，從第三個(gè)整式開始凡6的系數(shù)符號相反，偶數(shù)個(gè)整式。的系數(shù)為

負(fù)，％的系數(shù)為正，且6的系數(shù)的絕對值比。的系數(shù)的絕對值大1,再求解即可；③求得第10個(gè)整式和第11

個(gè)整式的系數(shù)和是1024,即可求解；④根據(jù)題意求得第14個(gè)等式即可判斷④；⑤第2023次操作完成后，得

到第2025個(gè)等式，共有2027個(gè)整式，每個(gè)整式的值都是-1,據(jù)此可求解.

【詳解】解：①第1個(gè)整式：a,

第2個(gè)整式：b,

第1次操作，第3個(gè)整式：2a-b,

第2次操作，第4個(gè)整式：26-（26）=-2。+36,

第3次操作，第5個(gè)整式：2（2a-6）-（-2a+3b）=6a-5b,

第4次操作，第6個(gè)整式：2（3b-2a）-（6a-5b）=-l0a+nb,

第5次操作，第7個(gè)整式：2（656）-（一10。+1仍）=22216,

第6次操作，第8個(gè)整式:2（-10a+11Z＞）-（22a-216）=-42a+43b,

第7次操作，第9個(gè)整式：2（22a-2lb）-（-42a+43b）=86。-85b,故①符合題意;

第8次操作,第10個(gè)整式:2（-42a+43/））-（86a-856）=-170a+1716,

第9次操作，第II個(gè)整式：2（86"856）-（-170。+17仍）=342。-34班,

②由①可知，從第三個(gè)整式開始。,6的系數(shù)符號相反，偶數(shù)個(gè)整式。的系數(shù)為負(fù)，6的系數(shù)為正，且6的系

數(shù)的絕對值比。的系數(shù)的絕對值大1,

.?.第2024個(gè)整式中a與6的系數(shù)和為1,故②符合題意；

③：第8次操作與第9次操作得到第10個(gè)和第11個(gè)整式，

.?.第10個(gè)整式和第11個(gè)整式的系數(shù)絕對值和是170+171+342+341=1024,故③不符合題意；

④第12次操作完成后，得到第14個(gè)等式，

根據(jù)①可得第12個(gè)等式為2(-170。+17助-(342a-3416)=-682a+6836,

第13個(gè)等式為2(3420-3416)-(-6820+6836)=1366”13656,

第14個(gè)等式為2(-682a+6836)-(1366。-13656)=27316-2730a，故④符合題意；

⑤當(dāng)。=6=-1時(shí)，每個(gè)整式的值都是T,所以所有整式之和應(yīng)為一"，其中〃是操作次數(shù)+2,

如果第2025次操作后，總共有2025+2=2027個(gè)整式，和為-2027,而題目中說-2026,顯然錯(cuò)誤，因此結(jié)

論⑤錯(cuò)誤；

故正確的有①②④

故選：B.

二、填空題：(本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分)請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線

上.)

11.計(jì)算：(一2025)。+］：)=.

【答案】6

【分析】本題考查了零次累，負(fù)指數(shù)事的運(yùn)算.根據(jù)屋。=5(470)計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=1+5=6.故答案為：6.

12.假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌鳥和雄鳥的概率相同，則一枚鳥卵孵化后的雛鳥為雌鳥的概率是.

【答案】y

【分析】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比，即可解答.

【詳解】解：因?yàn)橐幻而B卵孵化后，雛鳥為雌鳥和雄鳥的概率相同，

所以一枚鳥卵孵化后的雛鳥為雌鳥的概率是上；故答案為：

13.如圖，在aABC中，N/CB=52。，點(diǎn)。,E分別是/2,/C的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸在線段OE上，且

ZAFC=90°,則NE4E的度數(shù)為

【答案】64°

【分析】根據(jù)三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和

定理解答即可.

【詳解】解：??,點(diǎn)。，石分別是4瓦4。的中點(diǎn)，

：.DE//BCf

：.ZAED=ZACB=52°,

?.?/AFC=90°,

；?EF=AE=EC,

：.ZFAE=ZEFA,

ZFAE=ZEFA=180°72。=MO,

2

故答案為：64°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形

內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

16+>

y+1<------

14.若附使關(guān)于了的不等式組.“2,有且只有四個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于x的分式方程

4>一1mx-11-x

的解為非負(fù)數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)加的和為.

【答案】8

【分析】本題考查了由不等式組和分式方程解的情況求參數(shù)，先求出不等式組的解集，由不等式組的解集

有且只有四個(gè)整數(shù)解可得-4〈加V4,再求出分式方程的解，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)可得加20,進(jìn)而根

據(jù)分式方程的分母不等于0得加*2,即得加的取值范圍為04加W4且加*2,據(jù)此即可求解，由不等式組

和分式方程求出加的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

1+1〈"①

…叼、切'2

由①得，y<4,

由②得，yN%二，

O

nj—4

?1.不等式組的解集為Y<y<4,

O

...不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，

ym-4八

-1<-------W0,

8

解得-4<m<4,

解分式方程得，x=5

:分式方程的解為非負(fù)數(shù),

>0,

2

m>0,

又■:x-1^0,

---1w0,

2

???加w2,

???加的取值范圍為0W加44且加。2,

，所有滿足條件的整數(shù)機(jī)的和為0+1+3+4=8,

故答案為：8.

15.如圖，在aABC中，48=8,AC=13,8c=15,。。是aABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。、E、F,

則。O的半徑為.,；連接C。、ED,貝han/CDE的值為

【答案］巫必

32

【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及解直角三角形；通過設(shè)邊長，表示其他邊長關(guān)系再利用直角三

角形求解等常規(guī)考查點(diǎn)，其中掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.連接。。。瓦。尸，過點(diǎn)A作/G,8c

于點(diǎn)G,勾股定理求得/G,等面積法求得半徑，過點(diǎn)C作CHLQE交OE的延長線于點(diǎn)"，解Rt4/3G,

進(jìn)而得出aBDE是等邊三角形，進(jìn)而及諛口△0花，得出的長，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接尸，過點(diǎn)A作/GJL3c于點(diǎn)G,

依題意，。。是aABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。、E、F,

：.OD=OE=OF,

設(shè)BG=x,則CG=8C-8G=15-x,

在RtA^5G,RtAAGC中，AG2=AB2-BG1=AC2-CG2

即82-x2=132-(15-X)2

解得：x=4

AG=siAB2-BG2=A/82-42=473

設(shè)。。的半徑為「，

...SAABC=^BC-AG=^(AB+BC+AC)T

._BC-AG_15x4/_5V|

~AB+BC+AC~8+13+15~

如圖所示，過點(diǎn)C作CH，DE交。E的延長線于點(diǎn)H,

:。O是aABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。、E、F,

：.AD=AF,CE=CF,BD=BE

：.BD=BE=AB+BCTC=8+1573=5

22

,/AG=443,AB=S

...NG6

??sinB=-----=------——

AB82

：./3=60。

又?:BD=BE=5

:?△DEB是等邊三角形，

ABED=60°,DE=5

:?/CEH=60。,CE=BC-BE=15-5=10

在RtZ\C7ffi中，C//=EC.sin60°=10x—=573,EH=EC,cos600=5

2

：.DH=DE+EH=5+5=i0

在RtaCHD中，tZCDE=—=—=—

mDH102

故答案為：巫；立.

32

16.如果一個(gè)四位自然數(shù)"各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且不為0,其中千位和十位之和為8,百位和個(gè)位之和

也為8,我們稱M為“花開數(shù)”，記歹(")=今『.如果一個(gè)四位自然數(shù)N各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且不

為0,其中千位和十位之和為9,百位和個(gè)位之和也為9,我們稱N為“長久數(shù)”，記G（N）=￡.若/為“花

開數(shù)”，2為“長久數(shù)”.當(dāng)/取最大值，3取最小值時(shí)，則網(wǎng)/）+G（8）=；若尸（⑷被9除余8,

-4）-G（8）被10整除，當(dāng)尸（N）+G（8）的值為某個(gè)自然數(shù)的平方時(shí)，8的值為.

【答案】904653

【分析】本題考查整式加減的應(yīng)用，根據(jù)已知條件得出/和8之間存在的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）當(dāng)N取最大值，要使N的千位取最大數(shù)字7,百位數(shù)字取次大數(shù)字6；8取最小值時(shí)，要使8的千位

取最小數(shù)字1,百位數(shù)字取次小數(shù)字2,由此求出力,3的值，再代入P（/）+G（8）計(jì)算即可；

（2）設(shè)/的千位數(shù)字為°,百位數(shù)字為b,可得尸（4）=10a+b+l,設(shè)8的千位數(shù)字為加，百位數(shù)字為〃,

可得G（8）=10m+〃+l；根據(jù)尸（⑷被9除余8,可得a+b=7；根據(jù)/（/）-G（8）被10整除，可得b=〃；

計(jì)算出/（N）+G（8）=10“+26+2+10機(jī)，分情況分別討論，通過嘗試判斷是否有符合條件的a即可.

【詳解】解：（1）當(dāng)/取最大值，8取最小值時(shí)，/=7612,2=1287,

^（^）+G（^）=7612+11+—=77+13=90；

l/I/9999

（2）設(shè)4的千位數(shù)字為0,百位數(shù)字為6,其中14647,

則4=1000a+100b+10（8-a）+（8-6）=990a+99b+88,

/、990tz+99b+88+11八；.

F（A）=-------------------------=10a+6+1：

'）99

設(shè)5的千位數(shù)字為加，百位數(shù)字為小其中加W8,1<w<8,

貝I]B=1000加+100〃+10（9—加）+（9—〃）=990加+99〃+99,

^/\990加+99〃+99

G（BD）=-------------------=10m+n+l；

v799

尸（，）被9除余8,

，尸（4）+1能被9帶除，

10。+6+1+1=9Q+（a+b+2）,9的彳音,

?*Q+6+2=9,

a+b=1；

?.?*/）-G（3）被10整除，

10。+6+1—（10加+〃+1）=10（。一加）+6—〃,是10的倍數(shù),

b-n=0,

尸（Z）+G（_8）=10〃+6+1+（10加+〃+1）=10（〃+加）+6+〃+2=10〃+26+2+10加,

分情況討論：

當(dāng)°=1,人=6時(shí)，/(/)+G(8)=10x1+2x6+2+10心=24+10〃？，

通過嘗試可知，只有加=4時(shí)，尸(N)+G(B)=24+10x4=64,是自然數(shù)8的平方，

此時(shí)“7=4,n=b=6,B=4653,符合題意；

當(dāng)。=2,6=5時(shí)，+G(2?)=10x2+2x5+2+10機(jī)=32+10m,

通過嘗試可知，沒有"，的值可以使b(N)+G(3)是自然數(shù)的平方；

當(dāng)。=3,6=4時(shí)，或a=4,6=3時(shí)，不滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相等，不合題意；

當(dāng)a=5,6=2時(shí)，尸(4)+G(8)=10x5+2x2+2+10加=56+10加，

通過嘗試可知，沒有m的值可以使尸(⑷+G(0是自然數(shù)的平方；

當(dāng)a=6,6=1時(shí)，F(xiàn)(^4)+G(5)=10x6+2x1+2+10/M=64+10m,

通過嘗試可知，只有心=8時(shí)，/(/)+G(8)=64+10x8=144,是自然數(shù)8的平方，

此時(shí)機(jī)=8,"=6=1,5=8118,不滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相等，不合題意；

綜上可知，8的值為4653.

故答案為：90；4653.

三、解答題：(本大題共8個(gè)小題，第17題16分，其余每題10分，共86分)解答時(shí)每小題必須給出必

要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請將答題過程書寫在答題卡中對應(yīng)位置上.

17.(1)計(jì)算：(3x+y)(y-3x)-x(3y-9x)；

..e(2aA礦一4a+4

(2)化簡：---1k.........-.

(a+2)a+2

【答案】(1)y2-3xy；(2)—1―

a-2

【分析】本題主要考查了整式乘法的混合運(yùn)算及分式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算，再去括號合并即可；

(2)先算括號里面的減法，再算外面的除法即可.

【詳解】(1)解：原式=(y+3x)(p-3x)-x(3y-9x)

=(y2_9x?)_(3孫_9x?)

=y2-9x2-3xy+9x2

=y2_3孫；

(2a〃+21Q+2

(2)原式=一一~x；一

(a+2a+2J(a-2)

—_a_—__2x__Q__+_2__

Q+2(4-2)2

1

Q—2

18.正月十五鬧元宵，元宵節(jié)又稱上元節(jié)或燈節(jié)，是中國的傳統(tǒng)節(jié)日之一.某校以“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，走進(jìn)元

宵佳節(jié)”為主題在七、八年級中開展了知識競賽.本次競賽的滿分為100分，所有參賽學(xué)生的成績都不低于

75分.

【收集數(shù)據(jù)】從七、八年級中各隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績(成績得分都是整數(shù)).

【整理數(shù)據(jù)】將抽取的兩個(gè)年級的成績進(jìn)行整理(用x表示成績，分成五組：75Vx<80,80<x<85,

85Vx<90,90<x<95,95<x<100).

①八年級抽取學(xué)生的成績在90Wx<95這一組的具體數(shù)據(jù)是91,92,93,93,93,93,94,94.

②將八年級抽取學(xué)生的成績整理并繪制成頻數(shù)直方圖(如下圖)：

八年級抽取學(xué)生的成績頻數(shù)直方圖

【分析數(shù)據(jù)】兩個(gè)年級抽取學(xué)生的成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:

年級平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分方差

七年級91909827.9

八年級91m10043.2

根據(jù)以」二信息，解答下列問題：

(1)填空：表中小的值為.

(2)若八年級有480名學(xué)生參加了此次競賽，估計(jì)八年級參加此次競賽的學(xué)生中成績不低于90分的學(xué)生有多

少名.

(3)小明認(rèn)為七、八年級競賽成績的平均數(shù)相等，因此兩個(gè)年級成績一樣好.小穎認(rèn)為小明的觀點(diǎn)比較片面,

請結(jié)合上述信息幫小穎說明理由(寫出一條即可).

【答案】(1)92.5；(2)264名；(3)見解析(答案不唯一)

【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，方差以及樣本估計(jì)總體，掌握中位數(shù)的計(jì)算方法，理

解樣本估計(jì)總體的方法是解決問題的前提.

(1)根據(jù)中位線定義求出結(jié)果即可；

(2)用樣本估計(jì)總體即可；

(3)根據(jù)中位線和眾數(shù)以及方差進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：將八年級學(xué)生成績從小到大進(jìn)行排序，排在第20的是92分，第21位的是93分，

...中位數(shù)加=空92+±93=92.5；

2

(2)解：紅巴x480=264(人)，

40

答：估計(jì)八年級參加此次競賽的學(xué)生中成績不低于90分的學(xué)生有264名；

(3)解：因?yàn)閮蓚€(gè)年級的平均數(shù)相同，但八年級學(xué)生的中位線和眾數(shù)都比七年級大，因此不能說兩個(gè)年級

成績一樣好.

19.在中，ZABC=90°,ZACB=30°.將aABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度。得到AOEC,點(diǎn)

4、2的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。、E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡恰好落在/C邊上時(shí)，求N4DE的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)々=60。時(shí)，點(diǎn)/、E、。在同一條直線上，點(diǎn)尸是邊/C的中點(diǎn)，求證：四邊形ATOE是平行

四邊形.

【答案】(1)15。；(2)見解析

【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得C4=C。，ZECD=ZBCA=30°,ZDEC=ZABC=90°,再根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出NCAD,進(jìn)而計(jì)算出Z/OE的度數(shù)；

(2)利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到頗=他，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得到/8CE=N/CO=60。，CB=CE,DE=AB,從而得到0E=B尸，ZkACD和4BCE為等邊三角形,

接著證明△CKD四△4BC得到。尸=8C,然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：：將4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a得到△口￡€：,點(diǎn)￡恰好在NC上，

/.CA=CD,ZECD=ZBCA=30°,ZDEC=ZABC=90°,

'：CA=CD,

：.ZCAD=ZCDA=1(180°-Z^C5)=1x(180°-30°)=75°,

ZADE=ZDEC-ZCAD=90°-75°=15°；

(2)證明：：點(diǎn)尸是邊/C中點(diǎn)，ZABC=90°,

：.BF=CF=-AC,

2

?：ZACB=30°,

：.AB=-AC,

2

，BF=CF=AB,

,ZWAABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△口￡（：,

/.ZBCE=ZACD=60°,CB=CE,DE=AB,

：.DE=BF,ZsACD和4BCE為等邊三角形，

BE=CB,AC=CD,

,/點(diǎn)F為4ACD的邊NC的中點(diǎn)，

DF1AC,

在RtZUBC和RtACFD中，

[AC=CD

[AB=CF，

RtA^5C^RtACFD（HL）,

/.DF=BC,

：.DF=BE,

又,:DE=BF,

四邊形BED尸是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì),

等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，

能夠綜合運(yùn)用上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

20.【新情境】【背景】為了激勵(lì)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，班主任去奶茶店購買/、8兩種款式的奶茶作為獎(jiǎng)品.如圖

所示.

A款B款

【素材1】若買3杯/款奶茶，2杯5款奶茶，共需54元；若買2杯/款奶茶，3杯2款奶茶，共需56元.

【素材2】為了滿足市場的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可以自主選擇加料一

份或者不加料.

【任務(wù)1】求/款奶茶和8款奶茶的銷售單價(jià)各是多少元？

【任務(wù)2]在不加料的情況下，購買/、8兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花220元，請問有幾種購買

方案？

【任務(wù)3】根據(jù)【素材2】小華恰好用了260元購買/、5兩款奶茶，其中4款不加料的杯數(shù)是總杯數(shù)的

1.求3款加料的奶茶買了多少杯？

【答案】任務(wù)1：4款奶茶的銷售單價(jià)是10元，8款奶茶的銷售單價(jià)是12元；任務(wù)2：有3種購買方案；

任務(wù)3：8款加料的奶茶買了11杯

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系,

正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二

元一次方程.

任務(wù)1,設(shè)/款奶茶的銷售單價(jià)是x元，3款奶茶的銷售單價(jià)是y元，根據(jù)若買3杯/款奶茶，2杯8款奶

茶，共需54元；若買2杯/款奶茶，3杯8款奶茶，共需56元.列出二元一次方程組，解方程組即可；

任務(wù)2,設(shè)購買/種款式的奶茶加杯，購買5種款式的奶茶〃杯，根據(jù)在不加料的情況下，購買/、B兩

種款式的奶茶（兩種都要），剛好花220元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可；

任務(wù)3：設(shè)小華購買的奶茶中，/款不加料的奶茶買了。杯，/款加料的奶茶和8款不加料的奶茶共買了6

杯，則3款加料的奶茶買了（2。-9杯，根據(jù)小華恰好用了260元購買/、2兩款奶茶，列出二元一次方程,

求出正整數(shù)解即可.

【詳解】解：任務(wù)1,設(shè)/款奶茶的銷售單價(jià)是x元，8款奶茶的銷售單價(jià)是y元，由題意得：

（3x+2y=54

[2x+3y=56‘

fx=10

解得：\;

b=i2

答：/款奶茶的銷售單價(jià)是10元，5款奶茶的銷售單價(jià)是12元；

任務(wù)2,設(shè)購買4種款式的奶茶加杯，購買5種款式的奶茶〃杯，由題意得：

10加+12〃=220,

整理得：m=22-1n,

；m、〃均為正整數(shù)，

[m=16fm=10（m=4

、或in或<

[〃=5=10[〃=15

...有3種購買方案；

任務(wù)3：設(shè)小華購買的奶茶中，/款不加料的奶茶買了。杯，/款加料的奶茶和2款不加料的奶茶共買了6

杯，

則5款加料的奶茶買了（3”"6）杯,即（2。-6）杯,

由題意得：10a+12b+（12+2）（2a-b）=260,

整理得：6=194-130,

b、3a-a-6均為正整數(shù)，

a=l

9[b=39

2Q—6=2x7—3=11；

答：8款加料的奶茶買了11杯.

21.如圖1是甲、乙兩個(gè)圓柱形容器的軸截面示意圖，乙容器中有一圓柱形鐵塊（圓柱形鐵塊的下底面始

終完全落在容器底面上）.現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度了（cm）與注水時(shí)

間x（min）之間的關(guān)系如圖2所示.

根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）圖2中折線0/8表示容器中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段CD表示容器中水的深

度與注水時(shí)間之間的關(guān)系（以上兩空選填“甲”或"乙”），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是；

（2）注水多長時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同？

⑶若乙容器的底面積為24平方厘米（壁厚不計(jì)）.

①求甲容器的底面積（壁厚不計(jì)）；

②求乙容器中鐵塊的體積.

【答案】（1）乙，甲，圓柱形鐵塊的高度為16cm

（2）注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同

⑶①36cm3；②96cm3

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式、圓柱的體積公式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)甲容器中水的深度逐漸減小、乙容器中水的深度逐漸增加分別判斷折線0/8、線段C。表示哪個(gè)

容器中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系；從A點(diǎn)開始，乙容器中單位時(shí)間內(nèi)水的深度的增加開始變小，由

此判斷此時(shí)水的深度為圓柱形鐵塊的高度；

（2）利用待定系數(shù)法分別求出線段04和8的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同時(shí)兩函數(shù)值

相等，據(jù)此列關(guān)于龍的方程并求解即可；

（3）①設(shè)甲容器的底面積為Sc/,利用圓柱的體積公式，根據(jù)時(shí)間從4min至i]6min時(shí)，甲容器中水的體積

的減少量等于乙容器中水的體積的增加量列關(guān)于S的方程并求解即可；

②設(shè)乙容器中鐵塊的體積為vc加3,利用圓柱的體積公式，根據(jù)時(shí)間從0到4min時(shí)，甲容器中水的體積的減

少量與乙容器中鐵塊的體積之和等于乙容器的底面與水深之積.

【詳解】（1）解：圖2中折線0/3表示乙容器中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段表示甲容器中水

的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是圓柱形鐵塊的高度.

故答案為：乙，甲，圓柱形鐵塊的高度為16cm；

（2）解：設(shè)線段CM的函數(shù)關(guān)系式為了=占了（上為常數(shù)，且匕*0）,

將坐標(biāo)-4（4,16）代入y=用了，

得16=4%

解得左=4,

線段04的函數(shù)關(guān)系式為V=4x（0<x<4）,

設(shè)線段CD的函數(shù)關(guān)系式為了=右》+6（心、6為常數(shù)，且七/0）），

將坐標(biāo)C（0,12）和￡）（6,0）分別代入y=《x+b,

b=n

6k2+b=0

.??線段c。的函數(shù)關(guān)系式為〉=-2x+12（o<x<6）,

當(dāng)甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同時(shí)，得4x=-2x+12,

解得x=2,

答：注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同；

（3）解:①當(dāng)時(shí)間從4min至！J6min時(shí)：

乙容器中水的深度增加了22-16=6（。機(jī)），

當(dāng)x=4時(shí)，甲容器中水的深度為>=-2x4+12=4；

當(dāng)尤=6時(shí)，甲容器中水的深度為0；

二甲容器中水的深度減少了4-0=4（"1）,

設(shè)甲容器的底面積為Sc/,

貝ij4s=24x6,

解得S=36,

答：甲容器的底面積為36c/；

②當(dāng)時(shí)間從0到4min時(shí)：

當(dāng)x=0時(shí)，甲容器中水的深度為12an；

當(dāng)x=4時(shí)，甲容器中水的深度為4c?z;

二甲容器中水的深度減少了12-4=8（?！ǎ?/p>

設(shè)乙容器中鐵塊的體積為vc療，

則36x8+v=24xl6,

解得v-96.

答：乙容器中鐵塊的體積為96C"3.

22.如圖1,是某物體的三角支架實(shí)物圖，由豎桿、支桿和連接桿組成，圖2是其右側(cè)部分抽象后的幾何圖

形，其中點(diǎn)C是支干尸。上一可轉(zhuǎn)動點(diǎn)，點(diǎn)尸是中間豎桿A4上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸沿R4滑動時(shí)，點(diǎn)。隨之

在地面上滑動，點(diǎn)/是動點(diǎn)產(chǎn)能到達(dá)的最頂端位置，當(dāng)尸運(yùn)動到點(diǎn)/時(shí)，尸C與2c重合于豎干R4,經(jīng)測

⑴當(dāng)NBCD=60。時(shí)，求豎桿最下端B到地面的距離BO；

(2)點(diǎn)尸從點(diǎn)N滑動至的中點(diǎn)的過程中，/BCD變化的度數(shù)是多少？(參考數(shù)據(jù)：73=1.73,結(jié)果精確到

0.1cm)

【答案】(l)8.7cm；(2)120°

【分析】該題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意.

(1)如圖①，過點(diǎn)C作必于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NEPC=30。，

再根據(jù)解直角三角形求出尸E,PB,OP,即可求解.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)A時(shí)，。三點(diǎn)共線，即48品￡＞。=0。.

求出N8,再求出當(dāng)點(diǎn)P滑動至的中點(diǎn)時(shí)，Z5C￡?=120°,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖①，過點(diǎn)C作CE，依于點(diǎn)E.

：.zpcB=no0,

???PC=BC,

/PCE=NBCE=-/PCB=60°,

2

...Z￡P(guān)C=90°-60°=30°,

:.PE=PC-cosZEPC=50x*=25君(cm),

PB=PE+BE=2PE=50瓜m，

???OP=PD?cosZOPD=(PC+CD)cosZOPD=110x

OB=OP-PB=55y/3-5073=573?8.7(cm).

(2)解：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A時(shí)，8,C°,%三點(diǎn)共線，即4GA=0。.

皿圖②

由題意，得48=~7+3。=100(：111.

當(dāng)點(diǎn)P滑動至48的中點(diǎn)時(shí)，PB=PA=^AB=PC=BC=50cm,

/.APCB為等邊三角形,

：.ZPCB=60°,

ZBCD=120°,

即/8CD變化了120°.

23.如圖，二次函數(shù)了=/+法+。的圖象交x軸于點(diǎn)4-3,0),5(1,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸上一動

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

(2)若點(diǎn)P在線段40上運(yùn)動(點(diǎn)P與點(diǎn)/、點(diǎn)。不重合)，求四邊形/3CN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N

的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E、F,使

以/、D、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請

說明理由.

【答案】（l）y=/+2x-3；（2）卜豹）⑶（0,-4+曬）或（0,-4-炳）或（0,-1）或（O,VTT）或（0,-而）

【分析】（1）把/（-3,0）,8（1,0）代入＞=/+云+°中求出6,。的值即可；

（2）先求出C（0,-3）,求出/5=4,。。=3,求出直線/＜?的解析式為了=^-3,設(shè)尸（加,0）,則〃（%,-加-3）,

7M+|!\—，故

N（加，加之+2加一3）,貝！JM?V=一加2-3m；再由S四邊形/8CN=S^BC+S^ACN得到S四邊形N6CN=--

A?8

375

當(dāng)加=一彳時(shí)，S四邊形48CN最大，最大值為k,此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

2o

（3）先求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，設(shè)E（0,f）,分。尸為菱形的對角線、所為菱形的對角線和/斤為菱形的對角線

三種情況，畫出圖形，利用矩形的性質(zhì)和勾股定理解答即可求解.

【詳解】（1）解：把/（一3,0）,3（1,0）代入j^d+U+c中,得

0=9-36+。

0=l+b+c

b=2

解得

c=-3

y=x2+2x—3；

(2)解：：4-3,0),5(1,0),

，4B=4,

:二次函數(shù)＞=/+2工-3與了軸交于點(diǎn)C,

Ac(o-3),

OC=3；

設(shè)直線NC的解析式為V=履+6',

-3左+Z/=0

br=-3

k=-\

b，=—3

???直線AC的解析式為丁=-%-3,

設(shè)尸（加,0）,則M（加,一加一3）,N

MN=-m-3-(m2+2m-3=-m2-3m；

S,?=-^BOC=-x4x3=6,

AADCr22

S四邊形Z5CN-S^ABC+S博CN

=S/\ABC+S^AMN+S叢CMN

=-APMN+-0PMN+6

22

=；x3（一加2一3加）+6

，當(dāng)加=-彳時(shí),S四邊形48CN最大,最大值為—，

2O

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為13°1

(3)解：存在.

Vy=x2+2%-3=(x+1)~-4,

設(shè)E(0"),

①當(dāng)。尸為菱的對角線時(shí)，如圖，

J（-3+1『+（0+盯=J（_I『+（_4-）2,

整理得，/+8-3=0,

解得f=-4+M或t=-4-M，

.?..0,-4+砌或川0,一4一??；

②當(dāng)所為矩形的對角線時(shí)，如圖,

J(-3)2+(0—丫=^(-1)2+(-4-/)2'

整理得，8/=-8,

解得f=T，

③當(dāng)/斤為矩形的對角線時(shí)，如圖，

AE=AD,

J(-3)2+(O-U)2=^(-3+1)2+42,