中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn)

專題六二次函數(shù)含參問題

一、選擇題

1.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(xi,0),3(x2,0)(xi<X2).若圖象上

另有一點(diǎn)P(m,n),則()

A.當(dāng)〃>0時(shí)，m<xi

B.當(dāng)〃>0時(shí)，m>X2

C.當(dāng)〃<0時(shí)，m<Q

D.當(dāng)“<0時(shí)，

2.已知點(diǎn)尸(2—m,n),Q(m+2,ri),且加W0,在拋物線L：y=ax1—(5—a)x+l+a上，

則拋物線L與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.已知直線AC：y=x+3,將拋物線y=—(x+1—機(jī)產(chǎn)+4中y隨x增大而增大的部分記

為圖象G,若圖象G與直線AC只有一個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為()

9,9

A.B.mV2或機(jī)

,9、9

c.m<2或機(jī)=區(qū)D.mW2或機(jī)

4.已知點(diǎn)A(xi,yi)和3(x2,/)均在二次函數(shù)yuax2—6ax+9a—4的圖象上，且出一3|

<|%2-3|,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.直線x=3是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸

B.當(dāng)。<0時(shí)，該二次函數(shù)有最大值一4

C.該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸一定有一個(gè)或三個(gè)交點(diǎn)

D.當(dāng)。>0時(shí)，y\<yi

二、填空題

5.已知關(guān)于x的函數(shù)y=(/n—1)/+2%+機(jī)的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)=

6.我們約定：(a,Ac)為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的

橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”.若關(guān)聯(lián)數(shù)為(加，-m-2,2)的函數(shù)圖象與x軸

有兩個(gè)整交點(diǎn)(加為正整數(shù))，則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

7.對(duì)于二次函數(shù)y="一(3左一l)x+2左一2.有下列說法：

①若左>0,則當(dāng)時(shí)，y隨X的增大而增大.

②無論左為何值，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn).

③無論上為何值，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(1,—1)兩點(diǎn).

④若左為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，則攵=1.

其中正確的是.(只需填寫序號(hào))

三、解答題

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線、=三+桁+。過點(diǎn)(2,4),與y軸交于點(diǎn)A.

(1)求c的值(用含b的代數(shù)式表示).

(2)若點(diǎn)3(x1,yi)是拋物線yuf+bx+c上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，直線”經(jīng)

過A,3兩點(diǎn)，當(dāng)xi>2時(shí)，總有機(jī)>0,求人的最小值.

9.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)yuaf+Ox+cQ,b,c是常數(shù)，。20).

(1)已知。=1.

①若函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,3)和(一1,0)兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式.

②若將函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求b+c的最小值.

(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(一2,m),(一3,〃)和(必，c),且c<〃(加求xo的取值范圍.

10.二次函數(shù)yi=2(x—xi)(x—X2)(xi,X2是常數(shù))的圖象與x軸交于A,3兩點(diǎn).

(1)若A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(2,0),求函數(shù)刀的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱軸.

(2)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,m),且XI+X2=2,求機(jī)的最大值.

(3)若一次函數(shù)(左,6是常數(shù)，4W0),它的圖象與”的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn),

且XI—X2=2.當(dāng)函數(shù)丁=”+>2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的值.

11.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,附和點(diǎn)3(3,〃)在二次函數(shù)丁=加+桁+1他力0)的圖象上.

(1)若m=1,附=4,求二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對(duì)稱軸.

⑵若加一附=3，試說明二次函數(shù)的圖象與x軸必有交點(diǎn).

(3)若點(diǎn)C(xo,yo)是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且滿足yoW機(jī)，求相〃的取值范圍.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y=—3(%—2機(jī)y+3—砥機(jī)是實(shí)數(shù)).

(1)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，判斷函數(shù)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn).

(2)小明說二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在直線y=—3x+3上，你認(rèn)為他的說法對(duì)嗎？為什么？

13

(3)已知點(diǎn)P(Q+1,c),Q^m—5+a,c)都在該二次函數(shù)圖象上，求證：O.

【參考答案】

一'選擇題

1.已知二次函數(shù)y=%2+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（xi,0）,B（X2,0）（xiVx2）.若圖象上

另有一點(diǎn)P（機(jī)，n）,則（D）

A.當(dāng)〃>0時(shí)，m<xi

B.當(dāng)〃>0時(shí)，m>X2

C.當(dāng)"<0時(shí)，m<0

D.當(dāng)“<0時(shí)，xi<m<X2

2.已知點(diǎn)P（2一m，n）,Q（/w+2,n）,且mWO,在拋物線L：y=ax2—（5—a）x+l+t?Jl,

則拋物線L與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（D）

A.0B.1C.2D.3

3.已知直線AC：y=x+3,將拋物線y=—（x+1—my+4中y隨x增大而增大的部分記

為圖象G,若圖象G與直線AC只有一個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為（C）

9,9

A.B.機(jī)<2或機(jī)

,9、9

c.m<2或機(jī)D.機(jī)W2或m

4.已知點(diǎn)A（xi,yi）和3（x2,丁2）均在二次函數(shù)y=ax2—6ax+9a—4的圖象上，且|一叫一3|

<|%2-3|,則下列說法錯(cuò)誤的是（C）

A.直線x=3是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸

B.當(dāng)。<0時(shí)，該二次函數(shù)有最大值一4

C.該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸一定有一個(gè)或三個(gè)交點(diǎn)

D.當(dāng)。>0時(shí)，y\<-yi

二、填空題

5.已知關(guān)于x的函數(shù)y=（/n—l）x2+2x+機(jī)的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)交點(diǎn)，則m=1或

【解析】①當(dāng)加一1=0時(shí)，m=l,函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為y=2x+l,與x軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)為（一3，0）,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.符合題意；②當(dāng)機(jī)一1W0時(shí)，機(jī)W1,函數(shù)為二

次函數(shù)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)圖象過原點(diǎn)，且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

1—\l~51+、萬

于是反一4QC=4—4皿加一1)〉0,解得2<m<.將(0,0)代入解析式得，m=0,

???符合題意；③函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，還有一種情況是：與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸交于另

一點(diǎn)，則廿一4ac=4—4(機(jī)-1)機(jī)=0,解得機(jī)=今后.綜上所述，加的值為1或0或年后.

6.我們約定：(a,b,c)為函數(shù)7=以2+法+。的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的

橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”.若關(guān)聯(lián)數(shù)為(冽，-m-2,2)的函數(shù)圖象與x軸

有兩個(gè)整交點(diǎn)(加為正整數(shù))，則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0)或(0,2).

【解析】將關(guān)聯(lián)數(shù)(如一機(jī)一2,2)代入函數(shù)得到7nx2+(一加—2)%+2,

???關(guān)聯(lián)數(shù)為(加，-m-2,2)的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)(加為正整數(shù))，令y=0,即g2

,2

+(—m—2)x+2=0,得(如:一2)(%—1)=0,.*.xi=~,X2=1.:關(guān)聯(lián)數(shù)為(wi,—m—2,2)的函

數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)，機(jī)=1,?..y=x2—3x+2,與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(2,0),

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),...這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0)或(0,2).

7.對(duì)于二次函數(shù)丁="一(3左一1)尤+2左一2.有下列說法：

①若左>0,則當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大.

②無論左為何值，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn).

③無論上為何值，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(1,—1)兩點(diǎn).

④若左為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，則攵=1.

其中正確的是①③④.(只需填寫序號(hào))

三、解答題

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線、=三+桁+。過點(diǎn)(2,4),與y軸交于點(diǎn)A.

(1)求c的值(用含b的代數(shù)式表示).

解：,拋物線過點(diǎn)(2,4),

.?.將(2,4)代入得4=4+20+c,

整理得c=-20.

(2)若點(diǎn)3(x1,yi)是拋物線yuf+bx+c上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，直線經(jīng)

過A,3兩點(diǎn)，當(dāng)xi>2時(shí)，總有機(jī)>0,求6的最小值.

解：由⑴得丁=》2+法-2。與y軸交于點(diǎn)A,

當(dāng)x=0時(shí)，y=~2b,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,—2b).

''直線y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)A,

/.n=12b,.".y=nvc-2b.

令x2-\-bx—2b=mx-2b.

整理得x1-\-(b—m)x=x(x-\-b—m)=O,

解得=—b,X2=0(舍去)，

Vxi>2,

:.m-6>2,

.,.加>2+0.

?總有機(jī)>0,

??.2+后0,

解得b^~2,

：.b的最小值為一2.

9.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,。是常數(shù)，aWO).

(1)5知tz=1.

①若函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,3)和(一1,0)兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式.

②若將函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求6+c的最小值.

解：①把(0,3)和(一1,0)和a=1代入丫=加+。+。,

\—b+c=Q,\b=4,

得1C解得1c

c=3,[c=3,

???函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+4x+3.

②由題意得，平移后的拋物線解析式為十法+。一2,

???平移后的拋物線與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，

.,.^-4(c-2)=0,

:.c=；/+2,

：.b+c=^。2+人+2=；3+2/+1.

1

4->0

???當(dāng)b=—2時(shí)，匕+c的值最小，最小值為1.

(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(一2,m),(一3,九)和(xo,c),且c<〃(如求xo的取值范圍.

解:在yuar+Ox+c中，當(dāng)x=O時(shí)，y=c,

...拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c).

:拋物線經(jīng)過點(diǎn)(xo,c),

??.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=t言=f.

當(dāng)a>0,即拋物線開口向上時(shí)，

..?函數(shù)圖象經(jīng)過(一2,m),(—3,ri),且〃〈加，

???直線x=—3比直線x=—2離拋物線對(duì)稱軸更近，

?..拋物線對(duì)稱軸在直線X=—I的左側(cè)，

/.此時(shí)c>m,這與已知條件c<n<m矛盾，

/.a<0,

???離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小.

?:c<n<m,

?111c11c

??xo-2X0>/。十3>/xo十2,

?g%o*+3xo+9>^XQ+2XO+4,

解得一5<xo<—3.

10.二次函數(shù)yi=2(x—%。(%—%2是常數(shù))的圖象與無軸交于A,5兩點(diǎn).

(1)若A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(2,0),求函數(shù)v的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱軸.

解：??,二次函數(shù)p=2(%—?)(%—%2)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),

/?yi=2(x—l)(x-2)=2x2—6x+4,

函數(shù)yi的表達(dá)式為yi=2x2~6x+4.

3

???函數(shù)yi的圖象的對(duì)稱軸為直線.

(2)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,m),且％I+%2=2,求加的最大值.

解：二次函數(shù)yi=2(%—xi)(x-%2)=2A2—2(xi+%2)x+2XIX2,

???函數(shù)p的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,m),

.*.m=2X22-4(xi+%2)+2x\xi=8-4(xi+及)+2x\xi.

".*X1+X2=2,

?\X2=2—XI,

Am=8-4X2+2xi-(2—?)

=-2%i+4xi

=-2(xi-1)2+2,

V-2<0,

.?.當(dāng)xi=1時(shí)，加有最大值2.

Am的最大值為2.

(3)若一次函數(shù)第=日十雙女"是常數(shù)，左W0),它的圖象與刀的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn),

且XI—X2=2.當(dāng)函數(shù)丁=>1+>2的圖象與X軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的值.

解：由題意得，二次函數(shù)yi=2(x—X1)(X—X2)(X1,X2是常數(shù))的圖象與X軸交于(XI,0),(X2,

0)兩點(diǎn)，

①若兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過X軸上同一點(diǎn)(XI,0),

則Q=kxi+b,

:?b=~kx\,

?\y2=kx-kx\.

?「y=yi+y2,

y=2f—2(xi+%2)x+2XIX2-\~kx—kxi=2X1—(2xi+2x2—左)％+2XIX2—kxi.

???函數(shù)y=p+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，

[—(2xi-\-2x2~k)]~—4X2X(2xiX2~kxi)=0,

整理，得(2xi—2%2+左)2=0,

:?k=-2(xi—%2).

Vxi—%2=2,

???左=—2義2=—4；

②若兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過X軸上同一點(diǎn)(%2,0),

則0=丘2+4

:?b=~kx29

:.yz=kx—kx2.

?「y=yi+y2,

y=2A2—2(xi+%2)x+2XIX2-\~kx~kxi=2f—(2xi+2x2-k)x-\-2x\xi—kx2.

?/函數(shù)y=yi+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，

/.[—(2xi+2x2一左)]2—4X2(2%I%2—kx2)=0,

整理，得(211-212-左)2=0,

???左=2(九1一九2).

Vxi—%2=2,

...左=2X2=4.

綜上所述，當(dāng)函數(shù)y=yi+＞2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，左的值為4或一4.

11.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,m)和點(diǎn)3(3,⑶在二次函數(shù)+樂+1他70)的圖象上.

(1)若m=1,n=4,求二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對(duì)稱軸.

解：把點(diǎn)A(l,1)和點(diǎn)3(3,4)代入丁=。/+桁+1中，

。+匕+1=1,

得V.

9a+30+1=4,

解得彳]

b=-T

.,.二次函數(shù)的表達(dá)式為%2—x+1.

h1

?,.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=—或=；.

(2)若加一附=3，試說明二次函數(shù)的圖象與x軸必有交點(diǎn).

解：把點(diǎn)A(l,機(jī))和點(diǎn)5(3,〃)代入丁=加+6%+1中，

〃+》+1=m,

得《

[9。+36+1=〃，

:?m—〃=(〃+6+1)—(9〃+3~+1)=—8〃-26=3，即匕=-4〃一(，

/./=(—4〃一；＞―4〃=(4〃一()220,

???二次函數(shù)的圖象與X軸必有交點(diǎn).

(3)若點(diǎn)C(xo,沖)是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且滿足yoW機(jī)，求相〃的取值范圍.

解：???點(diǎn)。(期，州)是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且滿足yoW機(jī)，

???二次函數(shù)圖象開口向下，即。＜0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,m),

b

???對(duì)稱軸為直線％=