專(zhuān)題六從推理能力的素養(yǎng)角度去思考命題

第53題理解命題的含義與結(jié)構(gòu)的推理能力素養(yǎng)-----命題的真假

下列命題是真命題的是（）

A.兩點(diǎn)之間直線最短B.多邊形的外角和為360°

C.三角形的任意兩邊之和小于第三邊D.直角三角形的兩個(gè)銳角互補(bǔ)

第54題利用多邊形的概念判定多邊形的推理能力素養(yǎng)一正多邊形的性質(zhì)

一個(gè)正n邊形的每一個(gè)外角都是60°,則這個(gè)正n邊形是（）

A.正四邊形B,正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

第55題能夠利用直觀圖發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的推理能力素養(yǎng)一數(shù)的大小比較

有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的表示如下圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

甲:-b<a;乙：ab>0;丙:|b-a|=a-b.

-'oa'b

A.只有甲正確B.只有甲、乙正確

C.只有甲、丙正確D,只有丙正確

第56題知道數(shù)學(xué)概念、定理在演繹推理中的意義的推理能力素養(yǎng)一平行線的性質(zhì)

如圖，將一副直角三角板重疊擺放，其中乙4=45°,ZE=30。,2封|他,且點(diǎn)B在線段DE上廁41的度數(shù)為

)

A.10°B.15°C.20°D.25°

c\D

D

AJi

BC

第56題圖第57題圖

第57題通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖中的幾何結(jié)構(gòu)求得線段長(zhǎng)度和角度的推理能力素養(yǎng)——矩形的性質(zhì)

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,乙4。8=60。,，若矩形對(duì)角線長(zhǎng)為4,則線段AD的長(zhǎng)度

為（）

A.2正B.4C.2V3D.3

變式33如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)旦使（CE=8。連結(jié)AE,若匕ADB=60。,則乙E=_.

第58題能夠通過(guò)推理建立所學(xué)知識(shí)的邏輯聯(lián)系的推理能力素養(yǎng)-旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

如圖，在RtAABC^,ZC=90°,AC=6,BC=8,^AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△使點(diǎn)C落在AB邊上，連

結(jié)BB；則sinNBBC的值為)

A3Vs

A.-cr.—D,W

55

第58題圖變式34題圖

變式34如圖，在△ABC中,NACB=90。,BC=4,AB=5,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4BC”吏點(diǎn)A恰好落在

BC的延長(zhǎng)線上，則tanNAAC的值為)

A.-s.-

34

C.-D.-

54

第59題通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖中的幾何結(jié)構(gòu)求得線段長(zhǎng)度的推理能力素養(yǎng)-圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)如圖，

半徑為四的。O中,AB是直徑，點(diǎn)C在。O上，連結(jié)BC,D為BC的中點(diǎn)延長(zhǎng)AB交。O的切線DE于點(diǎn)E,若B

C=4則DE的長(zhǎng)度為)

X.V15B.4

C.3V2D.2V5

第59即圖變式35題圖

變式35如圖,AB是。。的直徑,CD是。。的弦，力8回CD,垂足為E,連結(jié)BD并延長(zhǎng)，與過(guò)點(diǎn)A的切線AM

相交于點(diǎn)P,連結(jié)AC.若。0的半徑為5,AC=8,則AP的長(zhǎng)是)

A32

A.—B.13

3

c.-D.14

3

第60題理解演繹推理是形成命題判斷真?zhèn)蔚幕痉椒ǖ耐评砟芰λ仞B(yǎng)^一相似三角形的性質(zhì)如圖在AABC

中，乙4cB=90°,AC=BC=4?D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），CEI34D交AB于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)H,連

結(jié)BH并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)CD=BD時(shí)，=卓B.當(dāng)CD=BO時(shí)，AF

C.BH的最小值為V5D.當(dāng)BD=2CD時(shí)，AE=3V2

變式36如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=8C=1,E,F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且乙ECF=45。,過(guò)點(diǎn)E,F

分別作BC,AC的垂線相交于點(diǎn)M,垂足分別為H,G.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，=巳

C.AF+BE=EF

D.MG-MH=-

2

第61題通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖中的幾何結(jié)構(gòu)求得線段長(zhǎng)度的推理能力素養(yǎng)-----菱形的性質(zhì)

如圖，在菱形ABCD中，AC,BD為菱形的對(duì)角線，乙DBC=60°,BD=10,.F為BC中點(diǎn)很UEF的長(zhǎng)為

第61題圖第62題圖

第62題通過(guò)觀察圖形中的幾何結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的推理能力素養(yǎng)一平行四邊形的性質(zhì)

如圖,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上且EB=2EC,AE與BD交于點(diǎn)F.若BD=5,則BF的長(zhǎng)為

變式37如圖，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交AB,BC于點(diǎn)F,G,分別以

點(diǎn)F,G為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)H,連結(jié)BH并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)E,若AB=10,DE=6,

CE=8,貝BE的長(zhǎng)為.

第63題通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖中的幾何結(jié)構(gòu)求得線段長(zhǎng)度的推理能力素養(yǎng)-----直角三角形的性質(zhì)

如圖，在RtAABC中,NC=9（T,BC<AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB.BC上，連結(jié)BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)/若點(diǎn)/剛好落在邊AC上，目=30。,CE=m,,則BC的長(zhǎng)為.（用含m的代數(shù)式表示）

第64題通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖中的幾何結(jié)構(gòu)求得角度之間的數(shù)量關(guān)系的推理能力素養(yǎng)一圓的基本性質(zhì)如圖,△AB

C是圓O的內(nèi)接三角形，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D,OE_LBC,垂足為點(diǎn)E,F是OB上一點(diǎn),OE=OF,若/ABC=m/OEF,

NACB=n/OEF,貝m,n滿足的關(guān)系式是________________.

A

變式38如圖GO是小ABC的外接圓,/人=62。足是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OE并延長(zhǎng)交0O于點(diǎn)D,連結(jié)BD,則ND

的度數(shù)為.

r~~7c

第65題能夠通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)物體的幾何結(jié)構(gòu)與度量規(guī)律的推理能力素養(yǎng)一一矩形的性質(zhì)與七巧板1小明用圖1

所示的一副七巧板在一個(gè)矩形中拼了一條龍的形狀（圖2）.若A,B,C三點(diǎn)共線且點(diǎn)D,A,E,F在矩形的邊上,

則矩形的長(zhǎng)與寬之比為_(kāi)____________.

第66題理解正方形的概念并利用其性質(zhì)進(jìn)行有邏輯的推理的推理能力素養(yǎng)-----正方形如圖，四盼企募的直

角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形，連結(jié)EG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,交CD于

A__________D

點(diǎn)N,連結(jié)MF.當(dāng)AM:MB=3:4時(shí),tan/MFB=.R

變式39如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖"其中四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形.連結(jié)

AD

DG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P,P為BC的中點(diǎn).若EF=2則AE的長(zhǎng)為（）\HXA

B.l+V2

C.l+V5

第67題理解歸納推理是從特殊到一般的思維方式的推理能力素養(yǎng)-圖形規(guī)律

【觀察思考】

用同樣大小的圓形棋子按下圖所示的規(guī)律擺放第1個(gè)圖形中有6個(gè)圓形棋子第2個(gè)圖形中有9個(gè)圓形棋子,

第3個(gè)圖形中有12個(gè)圓形棋子，第4個(gè)圖形中有15個(gè)圓形棋子，以此類(lèi)推.

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

⑴第6個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子.

⑵第n個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子.（用含n的代數(shù)式表示）

【規(guī)律應(yīng)用】

⑶將2024個(gè)圓形棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完.若能擺放，是第幾個(gè)圖形?若不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

第68題感悟推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本活動(dòng)的推理能力素養(yǎng)-------等腰三角形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)了等腰三角形后，小穎進(jìn)行了拓展性研究.她過(guò)等腰三角形底邊上的一點(diǎn)向兩腰作垂線段，她發(fā)現(xiàn)，這兩條

垂線段的和等于等腰三角形一腰上的高.她的解決思路是通過(guò)計(jì)算面積得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填

空：

用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CD,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)P在BC邊上.（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

已知:如圖，在△ABC中，AB=AC,PEEL4B于點(diǎn)E,PFI2AC于點(diǎn)F.

求證:PE+PF=CD.

證明：如圖，連結(jié)AP.

PE±AB,PF±AC,CD±AB,

A4PB

S=\AB-PE,S4Ape=\AC-PF,ShABC=^AB-CD

SA4PB+S^APC=SAABC，

①2fB.CD,

即ABPE+ACPF=ABCD.

.,.AB(PE+PF)=ABCD,

再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)等腰三角形底邊上所有點(diǎn)向兩腰作垂線段均具有此特征，請(qǐng)你依照題目中的相關(guān)表述完

成下面命題填空：

過(guò)等腰三角形底邊上一點(diǎn)向兩腰作垂線段，則④.

變式40學(xué)習(xí)了等腰三角形后，數(shù)學(xué)興趣小組的小聰和小明對(duì)它進(jìn)行了拓展性研究.小聰發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)銳角三角

形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個(gè)銳角三角形是等腰三角形.小聰?shù)慕鉀Q思路是通過(guò)證明兩條高所在的兩個(gè)

三角形全等，從而得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,交AB邊上的高CD于點(diǎn)F.(只保留作圖痕跡)

已知：如圖，在銳角三角形ABC中，BE^iAC,CD回48,且BE=CD.求證：AB=AC.

證明:,?,BE_LAC,CD_LAB,入

■-■乙CDB=①1=90。.n/\

在RtABCD與RtACBE中，/....—

r②=

、CD=BE,'

???RtABCD=/?tACBE(HL),

'?③,

.\AB=AC,BPAABC是等腰三角形.

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，任意三角形中均有此結(jié)論.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：在一個(gè)三角形中，如果有兩條

邊上的高相等,那么④.

第69題能夠通過(guò)推理建立所學(xué)知識(shí)的邏輯聯(lián)系的推理能力素養(yǎng)一二次函數(shù)中的代數(shù)推理

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=/+.+cb,c是常數(shù))的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,已知B(l,0).

⑴若A(0,0),求該二次函數(shù)的最小值.

(2)求證：OA=OC.

(3)若點(diǎn)A位于點(diǎn)0,B之間,求證：一3<2b+c<-2.

變式41在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(m,n)在拋物線y=ax2+6久(a)0)上,其中m0.

(1)當(dāng)巾==0時(shí)，求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.

(2)已知當(dāng)0<m<4時(shí)，總有n<0.

①求證：4a+b<0.

②點(diǎn)P(k，尢),(2(30%)在該拋物線上，是否存在a,b，使得當(dāng)1<k<2時(shí)，都有為<%?若存在，求出a

與b之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由.

第70題初步掌握證明的基本形式與規(guī)則的推理能力素養(yǎng)一幾何對(duì)象研究路徑

【綜合與實(shí)踐】

定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.如圖1所示的四邊形ABCD是垂美四邊形.

【概念理解】

(1)①正方形，②菱形，③矩形，三個(gè)圖形中一定是垂美四邊形的是________.(填序號(hào))

【性質(zhì)探究】

⑵小明說(shuō)：在如圖1的垂美四邊形ABCD中，AD2+BC2=AB2+CD2,請(qǐng)你判斷他的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明

理由.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖2,分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE交

AB于點(diǎn)M,連結(jié)BG交CE于點(diǎn)N,連結(jié)GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).

變式42點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對(duì)邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊

為斜邊的等腰直角三角開(kāi)?，那么定義該四邊形ABCD為蝴蝶四邊形.例如，如圖1,在四邊形ABCD中，乙4MB=

乙CMD=90°,MA=MB,MC=MD,,則四邊形ABCD為蝴蝶四邊形.

圖1圖2圖3

【概念理解】如圖2，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)M.判斷正方形ABCD是否為蝴蝶四邊形，

說(shuō)明理由.

【性質(zhì)探究】如圖3,在蝴蝶四邊形ABCD中，^AMB=AMD=90。.求證：AC=BD.

【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形ABCD中，Z^AMB=LCMD=90°,MA=MB==MD=11,當(dāng)AC=

4。時(shí)，求此時(shí)的值

專(zhuān)題六從推理能力的素養(yǎng)角度去思考命題

53.B54.C55.C56.B57.C變式3330°58.C

變式34A59.D變式35C60.C

變式36C61.562.2變式378有63.3m

64.m+n=2變式3859°

65必誓【解析】如圖，線段MN的長(zhǎng)度即為矩形的長(zhǎng)，DP的長(zhǎng)度即為矩形的寬.

設(shè)AB=a，可得MN=（6+/）a,

???CH=CJ-H]=2a-V2a=（2-&）a,

DP=DB+BK+KP=a+（2-V2）a+2a=（5-V2）a

矩形的長(zhǎng)與寬之比為器=浮簪=%詈&

DP（^5—y2）a23

66.蓑【解析】過(guò)點(diǎn)M作MPJ_BG于點(diǎn)P,MQ±AF于點(diǎn)Q如圖所示,

貝U/MPF=NMQF=/BFA=90。,

四邊形MPFQ為矩形，

.\MQ=PF,MP=FQ.

:四邊形EFGH為正方形，

ZFEG=45°,.\ZMEQ=ZFEG=45°,

???△MEQ為等腰直角三角形.

設(shè)MQ=EQ=x,：AM:MB=3:4,AM:AB=3:7.

ZMAQ=ZBAF,ZAQM=ZAFB=90°,

“Me4cLMQAMAQ3

???△AMQ△ABF,—=—=—=-

<BFABAF7

777

BF=-MQ=-x,??.AE=BF=-x,

333

477428

??.AQ=AE-EQ=-x.??AF=-AQ=-x-x=—x,

<<3f3339

28416

.?.MP=QF=AF-AQ=-x--x=—x.

<x939

16

MP~TX16

PF=MQ=x,.-.tanzMFB=—=.

<'PFx

變式39C

67.(1)21(2)(3n+3)

(3)不能，理由如下：

由題知,3n+3=2024,解得n=等,n不為整數(shù).

???2024個(gè)圓形棋子不能按照題中的規(guī)律一次性擺放.

68.①|(zhì)AB-PE+[ACPF；②AB=AC；③PE+PF=CD；

④這兩條垂線段長(zhǎng)度的和等于一腰上的高.圖略

變式40①NBEC;②BC=CB;③/ABC=NACB;④這個(gè)三角形是等腰三角形.圖略

69.(1)函數(shù)的最小值為⑵證明略⑶證明略

變式41解：(1)由題意可知，點(diǎn)(m,n)在拋物線y=ax2bx(a>0)±,m=4,n=0,

???16a+4/7=0,?,?b=-4a,???x==2,

-2a-2a

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.

(2)①證明:令y=0,則(ax2+bx-0(a)0),

解得x=0或x=

a

；?拋物線y=a/+bx(a)0)與x軸交于點(diǎn)((0,0),(-b,0),

Va>0，，拋物線開(kāi)口向上，

()當(dāng)卜0時(shí),-->0,

a

???當(dāng)0<x<一，時(shí),y<0;當(dāng)x<0或％〉時(shí),y>0,

當(dāng)0<m<4時(shí)，總有n<0,<,?—->slants,va>0,^4a+b<slantO;

a

()當(dāng)60時(shí),--<0,

a

???當(dāng)一:<%<0時(shí),y<0;當(dāng)%<-《或x>0時(shí),y>0,

當(dāng)0<m<4時(shí),n>0,不符合題意.綜上不+bWO.

②存在a,b,使得當(dāng)l<k<2時(shí)都有力<y2，理由如下：

設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=t=T

2a

由①知，—224,?22,即G2.

a>0,.\當(dāng)x>t時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x<t時(shí),y隨x的增大而減小.；l<k<2,/.3<3k<6,k<3k,

⑴當(dāng)t=2時(shí)

設(shè)點(diǎn)P(k,yx)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸直線x=t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P'(x0,yi),JU!J.x0>t,t-k=x0-^t,x0=2t-k.

*.*l<k<t,t=2,2t-k<3,t<x0<3.

3<3k<6,t<x0<3k,「.yi<y2，，當(dāng)t=2時(shí)，符合題意.

止匕時(shí)---=2,**?4。+b=0.

2a

(ii)當(dāng)2<t<3時(shí)，令fc=ft,

3fc=11,貝?。輞i=y2，不符合題意，

(iii)當(dāng)3<t<6時(shí)，令3k=t，則k<3k=t,

?'?yi>y2，不符合題意；

(iv)當(dāng)侖6時(shí),：k<3k<t,；.yi>y2，不符合題意.

綜上，存在a,b,使得當(dāng)l<k<2時(shí)都有％<y2,a與b之間的數(shù)量關(guān)系為4a+b=0.

70.解：(1)：菱形、正方形的對(duì)角線互相垂直，，菱形、正方形都是垂美四邊形，故答案為①②.

⑵說(shuō)法正確，理由如下：

如圖.設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,D

四邊形ABCD是垂美四邊形，