小題限時卷03（A組+B組+C組）

（模式：12+4滿分：72分限時：50分鐘）

0---------------A組?鞏固提升-----------*

一、填空題

1.已知集合4={尤|尤2-6彳+5<0},3={0,1,2},則AAB=

2.與1920。終邊相同的角中，最小的正角是

3.己知圓的方程為/+/一4、一％=0的面積為無，貝1|加=.

4.已知a,AeR,方程V-辦+5=0一個虛根為1+歷，則。+網(wǎng)=.

5.已知Iog4〃+21oga2=2,貝.

—x+2（x>0）

6.設函數(shù)/（X）=；，若/（。）=4,則實數(shù)。的值為—.

—（x<0）

7.已知一組成對數(shù)據(jù)（18,24）,（13,34）,（10,38）,（-1，皿）的回歸方程為y=-2尤+59.5,則該組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)r=

（精確到0.001）.

8.班級4名學生報名參加兩項區(qū)學科競賽，每人至少報一項，每項比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結

果有種.（結果用具體數(shù)字表示）

9.已知正三棱柱ABC-A耳G中，42=9=4,點。、￡分別為棱A4、4片的中點.則三棱錐E-8OG

的體積為

10.近年來，直播帶貨成為一種新的營銷模式，成為電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第一年初的啟動資金

為600萬元，當年要再投入年初平臺上的資金的30%作為運營資金，每年年底扣除當年的運營成本a萬元

（假設每年的運營成本相同），將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，要使在第4年年底扣除運營成本后資金不低

于1500萬元，則每年的運營成本應不高于萬元.（結果精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：IB4=2.8561）

11.已知過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸的直線與C交于A,3兩點，線段A3的中點為M（%,%）,

且|AB|=2%+1.若點尸在拋物線C上，動點。在直線無+y+2=0上，貝UIPQI的最小值為

12.如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點片、鳥、鳥、打以及四個標記為“”的點在正方形的頂點處,

設集合。={4,多弓4},點尸e。，過尸作直線)，使得不在。上的“”的點分布在(的兩側.用2(%)和

2(。)分別表示。一側和另一側的“”的點到"的距離之和.若過尸的直線。中有且只有一條滿足

2心)=。2(/，則。中所有這樣的尸為

A

二、單選題

13.已知。為正數(shù),則“。>3”是“罐>產的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.某校期中考試后，為分析100名高三學生的數(shù)學學習情況，整理他們的數(shù)學成績得到如圖所示的頻率

分布直方圖.則下列結論錯誤的是()

A.估計數(shù)學成績的眾數(shù)為75B.a=0.05

C.估計數(shù)學成績的75百分位數(shù)約為85D.估計成績在80分及以上的學生的平均分為87.50

15.在正方體A3CD-A4G2中，以下說法正確的是()

A.若E為。2的中點，貝”〃〃平面AEC

B.若E為DA的中點，則平面AEG

C.若E為￡2的中點，則AELBR

D.若E為CA的中點，則

16.若存在實常數(shù)上和匕，使得函數(shù)/(元)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：履+6和

G(x)V丘+6恒成立，則稱此直線丫=依+6為歹(x)和G(x)的“隔離直線”，己知函數(shù)

f(x)=x2(xeR),g(.x)=—(x<0),/i(.x)=2elnx(^>0)>有下列兩個命題：

命題a：/(x)和〃(x)之間存在唯一的“隔離直線"y=2氐-e；

命題夕：和g(x)之間存在“隔離直線”，且6的最小值為-1.

則下列說法正確的是()

A.命題。、命題夕都是真命題B.命題。為真命題，命題夕是假命題

C.命題。為假命題，命題￡是真命題D.命題。、命題夕都是假命題

<>-----------B組?能力強化----------?>

一、填空題

1.集合A=(T1),3=Z,則AW.

2.復數(shù)z=2+i,貝U2=.

3.不等式吟W3的解集為.

x-i

4.已知問=問=1,若(2々詢以，則向量Z與B的夾角的余弦值為.

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，且尸(2<X42.5)=0.3,則P(X>2.5)=.

6.已知a:2*+log2xV2,/?:x<機，若a是月的充分條件，則實數(shù)優(yōu)的取值范圍是.

7.某次楊浦區(qū)高三質量調研數(shù)學試卷中的填空題第八題，答對得5分，答錯或不答得。分，全區(qū)共4000

人參加調研，該題的答題正確率是60%,則該次調研中全區(qū)同學該題得分的方差為.

8.若x=e是函數(shù)y=(x-a)lnx的駐點，則實數(shù)。的值為.

9.已知1幽、1地、*3、1峪、1班是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且(哈4『<則-lgr5,則占的最小值為.

10.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的

花盆是種植鮮花的常見容器,它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上、下底面直徑分別為30cm和26cm,

下面圓臺的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個圓臺側面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓

臺的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長的總和為cm.

11.已知拋物線y=?2(a>0),在>軸正半軸上存在一點尸，使過尸的任意直線交拋物線于“、N,都有

日除+意為定值，則點尸的坐標為.

12.已知等差數(shù)列A:q,%若存在有窮等比數(shù)列氏偽，陽…，〉,其中4=1,公比為知滿足

bk_,<ak_x<bk,其中尢=2,3,則稱數(shù)列8為數(shù)列A的長度為N的“等比伴隨數(shù)列”.數(shù)列A的通項公式為

%=〃，數(shù)列3為數(shù)列A的長度為N的“等比伴隨數(shù)列”，則N的最大值為.

二、單選題

13.已知直線/和平面a,則“/垂直于a內的兩條直線”是“/_La”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

a

14.若2sina=l+cosa,貝！Jtan—的值為()

2

A.2B.1C.0D.0或2

15.假定生男生女是等可能的，設事件A：一個家庭中既有男孩又有女孩；事件8：一個家庭中最多有一個

女孩.針對下列兩種情形：①家庭中有2個小孩；②家庭中有3個小孩，下面說法正確是().

A.①中事件A與事件B相互獨立、②中的事件A與事件B相互獨立

B.①中事件A與事件B不相互獨立、②中的事件A與事件B相互獨立

C.①中事件A與事件B相互獨立、②中的事件A與事件B不相互獨立

D.①中事件A與事件3不相互獨立、②中的事件A與事件3不相互獨立

16.如圖，將線段AB,C。用一條連續(xù)不間斷的曲線y=/(x)連接在一起，需滿足要求：曲線y=/(x)經過

點、B,C,并且在點8,C處的切線分別為直線AB,CD,那么下列說法正確的是()

*口HE-f--A-rr,i>SillOX+COSbX,J_

命題甲：存在曲線>=-----------+c(a,6,ceRx)滿足要求

命題乙：若曲線y=/(x)和y=上(x)滿足要求，則對任意實數(shù)尢〃，當X+〃=1時，曲線y=A/j(x)+〃力(x)

滿足要求

A.甲命題正確，乙命題正確B.甲命題錯誤，乙命題正確

C.甲命題正確，乙命題錯誤D.甲命題錯誤，乙命題錯誤

0----------------C組?高分突破------------?>

一、填空題

--1

1.設A=<x|y=%4>,5={y|y=2*},則4口3=.

2.在復平面上，已知復數(shù)4和Z2的對應點關于直線y=x對稱，且滿足ZA=4i,貝l]|zj=.

3.函數(shù)y=[],xe[1,+oo)的值域是.

4.己知直線乙：彳+(1+根)丫+加一2=0與直線4：機x+2y+8=。平行，則加=.

5.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時間(單位：min),連續(xù)記錄了7天的數(shù)據(jù)并繪制成如圖所示的

莖葉圖，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.

427

5458

70

96

6.在四面體尸-A8C中，若底面4BC的一個法向量為為=（14,0）,且方=（2,2,-1）,則頂點尸到底面A3C

的距離為.

7.設隨機變量X服從二項分布X~8（〃,；）,若隨機變量X的方差D[X]=（，則P（x=2）=

8.若函數(shù)y=^sinx+cosx的圖像向右平移。個單位后是一個奇函數(shù)的圖像，則正數(shù)。的最小值為,

2

9.設巴、瑞是雙曲線尤2一二=i的兩個焦點，尸是雙曲線上的一點，且3|尸7"=4|尸乙|,則APf；工的周

長.

10.如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務，現(xiàn)準備在濕地內建造一個觀景臺。，已知射線AB,AC為濕地兩邊夾

角為:的公路（長度均超過4千米），在兩條公路43,AC上分別設立游客接送點E,尸，且==

千米，若要求觀景臺。與兩接送點所成角NEE不與NA4c互補且觀景臺。在E尸的右側，并在觀景臺。與

接送點E,尸之間建造兩條觀光線路DE與D尸，則觀光線路之和最長是（千米）.

nvc,x<0

11.已知函數(shù)/（尤）=e，，若函數(shù)網(wǎng)力="力+/（-力的零點一共有3個，則實數(shù)機的取值為_______

一,x>0

12.已知有窮數(shù)列｛%｝共加項（租>3）,數(shù)列｛為｝中任意連續(xù)三項4，，嗎+2?=1，2,3一?），滿足如下條件:

（1）至少有兩項相等；

（2）6+4+i>ai+2，a,+ai+2>aM,aM+ai+2>4.恒成立；

（3）以令，4+i,%+2為邊長的三角形兩兩均不全等.

若e｛l,2,3,4,5｝（刀=1,2,…，m）,則加的最大值為

二、單選題

13.設a,6cR,則“〃+匕>0”是“a>0且b>0"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.設A,B為隨機事件，尸為事件出現(xiàn)的概率.下列陰影部分中能夠表示P（，n8）的是（）

A.B.

C.D.

15.圖1是邊長為1的正六邊形ABCDEF,將其沿直線尸。折疊成如圖2的空間圖形AE'F'-3'D'C',若

3

A'E'=-,則幾何體AE'V—3'D'C'的體積為（）

2

AR573「3代nV3

A.---D.----------U.---U.

816164

16.已知曲線「的對稱中心為O,若對于「上的任意一點A,都存在「上兩點B,C,使得。為VABC的重

心，則稱曲線r為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”；②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

小題限時卷03（A組+B組+C組）

（模式：12+4滿分：72分限時：50分鐘）

0------A組?鞏固提升------------O

一、填空題

1.已知集合A={42-6X+5<0},B={0,l,2},則-08=

【答案】{2}

【分析】根據(jù)一元二次不等式求解集合元素，結合交集

【解析】由A=W（x—5）（x-l）<0}={x[l<x<5},則Ac3={2}.

故答案為：{2}.

2.與1920。終邊相同的角中，最小的正角是

【答案】120°

【分析】每增加或減少360。的整數(shù)倍，終邊位置不變，代入即可求解.

【解析】1920°=5x360°+120°,

所以與1920。終邊相同的角中，最小的正角為120。.

故答案為：120。.

3.已知圓的方程為尤2+,2-4>-m=0的面積為兀，則機=.

【答案】-3

【分析】把圓的一般方式化為標準方程即可得到圓的半徑，利用圓的面積即可求得結果.

【解析】由—+9-4y-〃2=。得尤2+（y-2）~=〃?+4,圓的半徑為」一+4,

由圓的面積為兀得，兀.（+=兀，解得加=—3.

故答案為：-3.

4.已知a,6wR,方程V-辦+5=0一個虛根為1+歷，則。+網(wǎng)=.

【答案】4

【分析】根據(jù)一元二次方程的復數(shù)根互為共見復數(shù)，再結合韋達定理求解即可.

【解析】因為方程尤2-奴+5=0一個虛根為1+5，

則其另一個虛根為1-歷，

l+bi+l-bi=afa=2

所以[（1+歷）（1-歷）=5'所以簡=2'

所以。+網(wǎng)=4.

故答案為：4.

5.已知log44+210gl,2=2,則々=.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意結合對數(shù)的運算性質可得到（1幅。）2-4叫2。+4=0,解出1嗎。=,即可求得答案；另

解：可利用對數(shù)的運算性質結合基本不等式求解.

1,2

【解析】由log4a+21og02=2,整理得；log2a+]——=2,

2log2（2

得（logz。）？-41（吆2。+4=0,解得叫2。=2,所以々=2?=4.

11C

另解：由題知log4〃+^-----7=2,則log2〃>0,a>l,

啕4

112[i2-

利用基本不等式可得log4+;-----7------=2>2J—log2d!---------=2,

log〃42log2tz\2log2tz

1?2

當且僅當下暇好歷時取等號,解得"=4.

故答案為：4

；兀+2(%>0)

6.設函數(shù)/(%)=<若了（4）=4,則實數(shù)。的值為

—(x<0)

、x

【答案】4或-I

【分析】通過分段函數(shù)以及/（。）=。，即可求解。的值.

；x+2(x>0)

【解析】函數(shù)/（x）h

—(x<0)

若/(a)=a，

當avO時，—=aa=-l或a=l(舍),

af

當〃>0時，ga+2=〃，解得。=4,

綜上。的值為：4或-1.

故答案為：4或-1.

7.已知一組成對數(shù)據(jù)（18,24）,（13,34）,（10,38）,（-1,加）的回歸方程為丁=-2%+59.5,則該組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)r二

（精確到0.001）.

【答案】-0.998

【分析】一組成對數(shù)據(jù)的平均值&J）一定在回歸方程上，可求得加，再利用相關系數(shù)廠的計算公式算出即

可.

【解析】由條件可得，

-18+13+10-1-

x=------------------=10,

4

—24+34+38+根96+m

v=--------------------=---------

（x,y）一定在回歸方程y=-2%+59.5上，代入解得相=62,

-96+6279

,=丁=2

4

22%,X，=18x24+13x34+10x38-1x62=1192,

1=1

4

J；%,2=182+132+102+(-1)2=594,

1=1

4

￡X2=242+342+382+622=7020,

Z=1

1192-4xl0x—

?,2?-0.998

474/79c

(Zxi)((Z嫡-4)J(594-4X100)X(7020-4x(^)2)

z=lz=lV/

故答案為：-0.998

8.班級4名學生報名參加兩項區(qū)學科競賽，每人至少報一項，每項比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結

果有種.（結果用具體數(shù)字表不）

【答案】81

【分析】由分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理即可求解.

【解析】每名學生可報一項或兩項，所以有C；+C；=3,

所以4名學生共有3x3x3x3=81種.

故答案為：81

9.己知正三棱柱ABC-A與G中，AB=AA=4,點。、E分別為棱AA、A耳的中點.則三棱錐片-2￡>&

的體積為.

【答案】473

［分析］根據(jù)線線垂直可得C.E1平面ABB.A,得C.E是四面體BDEQ的底面3/汨上的高，接著計算SABDE的

面積及GE長度，再由三棱錐的體積公式計算即可得解.

【解析】由于E為棱A片的中點，且4片片G為等邊三角形，故GELA用，

又A4,AC|E,叫「|4用=4,且AA，A4u平面AB4A，

二.￡E_L平面ABBlAl,故GE是四面體B￡>EC［的底面3DE上的高，

C］E=*X4=2GBG=4也,

qA

=q_qU_v—q—

2ABDE—^ABBIAL\DELABD2ABetE-.

三棱錐E-BDG的體積/-吶=%一皿=gx6x26=4G.

故答案為：4后

10.近年來，直播帶貨成為一種新的營銷模式，成為電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第一年初的啟動資金

為600萬元，當年要再投入年初平臺上的資金的30%作為運營資金，每年年底扣除當年的運營成本〃萬元

（假設每年的運營成本相同），將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，要使在第4年年底扣除運營成本后資金不低

于1500萬元，則每年的運營成本應不高于________萬元.（結果精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：1.34=2.8561）

【答案】34.53

1—14〃

【分析】歹!J用歹!J舉法可得?！?600x1.3"—L3〃T〃------1.3。一。=600x1.3〃一丁，即可利用等比數(shù)列的求

1—13〃

和公式求解為=600x1.3"—即可列不等式求解.

1-1.3

【解析】記％為第〃年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，由題意知4+1=L3氏-〃，

所以4=600xl.3-6Z,?2=（600x1.3—々）x1.3—〃=600x1.32-1.3a-a,

%=（600x1.3?-1.3a-x1.3-a=600x1.33-1.32-1.3tz-a,

i_i

以此類推,=600x1.3〃—L3〃Ta-------1.3。一。=600x1.3"...........-a,

〃1-1.3

i-i34

所以包=600x1.3’--------^>1500,解得a<34.53,

1-1.3

即每年的運營成本應不高于34.53萬元，才能使得直播平臺在第4年年底扣除運營成本后資金達到1500萬

元.

故答案為：34.53

11.已知過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸的直線與C交于A,B兩點，線段A3的中點為/（%,%）,

且|A31=2%+1.若點尸在拋物線C上，動點。在直線尤+y+2=0上，則|PQ|的最小值為.

【答案】述《收

44

【分析】利用拋物線的性質，求得拋物線方程，先判斷直線x+y+2=0與拋物線的位置關系，然后設與拋

物線C相切且與x+y+2=0平行的直線并求出來，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求得結果.

【解析】由題知，設4（丹月）,8（久2，力），

mlM+兀。c

則?2_=尤。，xi+x2=2x0,

又=菁+9+p-2x0+p,

所以p=l,拋物線C方程為y2=2x,

fx+y+2=0

聯(lián)立<2c，得爐+2%+4=0,無解,

[y=2x

則直線x+y+2=0與拋物線C沒有公共點，

設與拋物線C相切且與x+y+2=0平行的直線為x+y+根=0,

x+y+m=0、、

則聯(lián)立22，得%9?+（z2加一2）x+機2=0,

9I

則（2加一2）-4m2=0,解得機=5,

I2--I廠

則I尸QI的最小值為|2|=述.

4

故答案為:手

12.如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點￡、P]、8、A以及四個標記為“”的點在正方形的頂點處,

設集合。=仍線,斗〃},點尸e。，過尸作直線），使得不在。上的“”的點分布在）的兩側.用口心）和

.若過尸的直線/p中有且只有一條滿足

【答案】4、A、A

【解析】解：建立平面直角坐標系，如圖所示;

則記為的四個點是A(0,3),B(1,0),C(7,1),D(4,4),

線段AB,BC,CD,DA的中點分別為E,F,G,H,

易知EFGH為平行四邊形，如圖所示；

設四邊形重心為M(x,y),

則應5+而S+流+麗=6,

由此求得M(3,2),即為平行四邊形EFGH的對角線交于點鳥,

則符合條件的直線LP一定經過點P2,

且過點G的直線有無數(shù)條；

由過點4和己的直線有且僅有1條，

過點罵和P?的直線有且僅有1條,

過點鳥和鳥的直線有且僅有1條，

所以符合條件的點是片、片、居.

故答案為：A、鳥、居.

二、單選題

13.已知。為正數(shù)，則“a>3”是“廢>“3”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，當。>3時，利用指數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷，當相>〃時，分類討論，最后利用

充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【解析】當a>3時，所以y=優(yōu)為增函數(shù)，所以小>〃3,

當時，當a>l時，則。>3,當0<a<l時，貝i]a<3,此時0<a<1；

所以“a>3”是“廢>〃”的充分非必要條件.

故選：A.

14.某校期中考試后，為分析100名高三學生的數(shù)學學習情況，整理他們的數(shù)學成績得到如圖所示的頻率

分布直方圖.則下列結論錯誤的是（）

A.估計數(shù)學成績的眾數(shù)為75B.a=0.05

C.估計數(shù)學成績的75百分位數(shù)約為85D.估計成績在80分及以上的學生的平均分為87.50

【答案】B

【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念可得選項A正確；利用長方形面積之和為1可得選項B錯誤；根據(jù)百分位數(shù)的概

念可得選項C正確；根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法可得選項D正確.

【解析】估計數(shù)學成績的眾數(shù)為1—=75（分），A選項正確.

根據(jù)題意可得（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=l,a=0.005,B選項錯誤.

:前四組的頻率依次為0.1,0.15,0.35,0.3,

,估計數(shù)學成績的75百分位數(shù)約為80+”二?六廣經=85（分），C選項正確.

..?成績在80分及以上的學生的兩組的頻率之比為6:2=3:1,

31

,估計成績在80分及以上的學生的平均分為二乂85+了><95=87.5,D選項正確.

44

故選：B.

15.在正方體ABCO-AAGA中，以下說法正確的是（）

A.若E為。2的中點，則//平面AEC

B.若E為。A的中點，則平面AEG

C.若E為GA的中點，則AELBR

D.若E為GR的中點，則CE/BQ

【答案】A

【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.根據(jù)平面AOG，平面4DG與平面平面AEq不平行

判斷；C.利用余弦定理判斷；D.取C。的中點凡由CE//RF,，尸nR8=R判斷.

【解析】A.如圖所示：

aG

連接AC,BD交于點O,則。為8。的中點，所以OE//BR,又30。平面AEC,OEu平面AEC,所

以■82〃平面4石。，故正確；

B.易知3D1平面ADG，平面與平面平面AEQ不平行，所以B2與平面AEG不垂直，故錯誤；

C.如圖所示：

在矩形ABG2中，BD「AE=G,設正方體的棱長為1,在AG，E中，GE=g,GD,=與,砧=；,則

』+1--

3

cosZDfiE=<4=2f-*0,所以NDQEHI則4及BQ不垂直，故錯誤；

2x^x132

32

D汝口圖所示:

取C。的中點尸，易知CE//D\F,又=所以CE8R不平行，故錯誤；

故選：A

16.若存在實常數(shù)％和6,使得函數(shù)/。)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)尤都滿足：F(x)2區(qū)+6和

G(x)〈區(qū)+加恒成立，則稱此直線>=丘+6為尸(x)和G(x)的“隔離直線”，已知函數(shù)

f(x)=x2(x￡R),g(x)=—(x<0),h(x)=2elnx(x>0),有下列兩個命題：

x

命題a：/(尤)和/7(x)之間存在唯一的“隔離直線"y=2氐-e；

命題/：/(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且人的最小值為-1.

則下列說法正確的是()

A.命題a、命題￡都是真命題B.命題a為真命題，命題夕是假命題

C.命題a為假命題，命題￡是真命題D.命題a、命題夕都是假命題

【答案】B

【分析】對命題和從力有公共點(6,e),故隔離直線過該公共點，設為y-e=Mx-《)，結合

二次函數(shù)性質對參數(shù)分類討論研究〃x)2依-左加+e(x>0)恒成立得上=2五，則直線為y=2及x-e,再用

導數(shù)法證h(x)<2氐-e恒成立即可;

則有《f丫2—+kx小-">。Q對任意"恒成立'

對命題夕：設隔離直線為>=履+6結合二次函數(shù)性質對參數(shù)分

類討論即可

【解析】(1)對命題夕:

x2>kx+b

x2-kx-b>0-』

設〃%)，g(x)的隔離直線為丁二丘+人，貝I」1對任意XV。恒成立，即對任思XV。

—<kx+bkx?2+bx-l<0

恒成立，若左>0,記y=%?+bx—i,4=從+4左>0,則二次函數(shù)有兩個不同零點，記為項,入2,由玉9=-?<。，

k

不妨設石<%2，解不等式)=丘2+公一120可知，XG(-co,jq]U[x2,-Kx)),即與米2十旅一140對任意XV。恒

成立矛盾，故人W0,

若左=0,則6=0符合題意，

若左V。，由一米一620對任意X者B成立，注意至ljy=12一區(qū)一人的對稱軸為x左<0,從而A1=k2+4Z;工。，

b

2

即人24—4萬，所以人<0,又>=丘2+"—1的對稱軸為％=——<0,AA2=Z?+^<0,即〃k-4左，??.

2k

k4<16b2<-64k,故~4V左<0,同理可得，M<16^2<-64Z?,即-4<6v0,人的最小值為T,故命題夕為

假命題；

(2)對命題a：

注意到函數(shù)“X)和/2(x)均經過(正,e),若存在/⑺和無⑺的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔

離直線的斜率上則隔離直線方程y-e=M》-血)，即〉=日-k&+6,

由f(x)>kx—kyfe+e^x>0)恒成立，即無？>kx—k\[s+e,整理得：x2—e—A(x—八)=[+6一%)(x—A/J)>0

對于Vx>0均成立.

若冊-k=-冊,則上述不等式轉化成卜-五『20,顯然對于Vx>0恒成立；

若冊-kE冊,記〃(x)=(x-&)(x+&-。，則該二次函數(shù)有兩個不同零點且至少一個正零點：

%=冊,0=k-五，此時飄幻是開口向上的二次函數(shù)，必有無軸以下的部分，即/i(x)20對于Vx>0無法成

立.故左=2正，此時直線y=2&'x-e,

下面證明W2jgx-e,

令G(x)=2冊x-ef(x),則G⑺=2加卜一金)，于是當0<x<五時，G'(x)<0,函數(shù)單調遞減；當x>五

時，G'(x)>0,函數(shù)單調遞增，故當x=五時，函數(shù)取得極小值0,也是最小值，所以G(x)Z0,故

/z(x)<2^-e,所以〃x)和耳龍)存在唯一的隔離直線y=2及x-e,故命題a為真命題.

故選：B

*>----------------B組?能力強化----------?>

一、填空題

1.集合A=(-M),8=Z,則AH8=.

【答案】{0}

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可.

【解析】因為集合A=(-M),8=Z,則4。8={0}.

故答案為：{0}.

2.復數(shù)z=2+i,貝!12=.

【答案】2-〃7+2

【分析】根據(jù)共軌復數(shù)的定義，即可求解.

【解析】z=2+i,所以彳=2-i.

故答案為：2-i

3.不等式3W3的解集為________.

x-\

【答案】［-3,1）

【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法即可求出結果.

【解析】由"3W3,得到^2WO,

x—\x—1

等價于卜解得—3WX<1,

所以不等式的解集為卜3,1）.

故答案為：［-3,1）.

4.已知同=阿=1,若（21可耳，則向量Z與B的夾角的余弦值為.

【答案】1/0.5

2

【分析】設向量Z與五的夾角為。，根據(jù)向量垂直運算可得答案.

【解析】設向量Z與五的夾角為e（e?o,可），

若貝［］（2Z-石）?方=0,

所以=2口WcosO-W=2cos0-l=0,

可得cos0--.

2

故答案為：■

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸（2<X<25）=0.3,則尸（X>2.5）=.

【答案】0.2/1

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質計算即可.

【解析】因為正態(tài)分布曲線的對稱軸為％=2,P（2<X<2.5）+P（X>2.5）=0.5,P（2<X<2.5）=0.3,

所以P（X>2.5）=0.2.

故答案為：02

6.己知a:2'+log2xW2,/7:x<Mi,若a是夕的充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】（Ly）

【分析】通過構造函數(shù)/（x）=2x+log2X,xe（0,+<?）,利用了。）的單調性解不等式，再由題意將a是￡的充

分條件轉化為包含關系，進而求得參數(shù)機范圍.

X

【解析】/(x)=2+log2X,A：G(0,-Ko),

則f(x)在(0,+8)單調遞增，又/(I)=2,

所以2*+log2xV2,即/(x)v/(l),故0<x4l.

貝！Ja:0<xV1.

由題意0<xWl是的充分條件，貝!u(-oo,m),

所以有機>1,故實數(shù)%的取值范圍是(L+⑹.

故答案為：(1,+℃).

7.某次楊浦區(qū)高三質量調研數(shù)學試卷中的填空題第八題，答對得5分，答錯或不答得。分，全區(qū)共4000

人參加調研，該題的答題正確率是60%,則該次調研中全區(qū)同學該題得分的方差為.

【答案】6

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計算求解即可.

【解析】同全區(qū)同學中答對的人數(shù)為4000x60%=2400人，答錯或不答的人數(shù)為1600人，

廣廣一人口工/口八八八十小入、,2400x5+1600x0「八

所以全區(qū)同學該題得分的平均數(shù)為------......=3分，

4000

則全區(qū)同學該題得分的方差為2400^(5-3)2+1600x(0-3)一=6

4000

故答案為：6.

8.若x=e是函數(shù)y=(x-a)lnx的駐點，則實數(shù)。的值為.

【答案】2e

【分析】根據(jù)駐點的定義可得/e)=l-2+l=0,解得。=2e,驗證即可.

e

【解析】由題意知，f(x)=\nx--+l(x>0),

x

因為x=e是函數(shù)/(x)的駐點，所以尸(e)=l，+l=0,

e

解得a=2e.

Op

當a=2e時，1(九)=m尤+1,

X

當0<x<e時，r(x)<0,函數(shù)/(%)單調遞減，

當工〉e時，/(%)>0,函數(shù)/(%)單調遞增，

所以元二e是函數(shù)/(%)的駐點.

綜上，a=2e.

故答案為：2e.

9.已知1幽、1地、*3、1峪、1班是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且(哈J<則J酩，則占的最小值為.

【答案】100000

【分析】令Igw=3根據(jù)給定信息列出不等式，求出％的范圍即可得解.

【解析】設lg*3=%，％eN*,依題意，Ig.^=k+l,\gx^=k-\,\gx5=k-2,k>3,

,3

由(物4)<lgX[-lgx5,得(左-1)2((左+2)(左-2),解得上>],因此左23,

則1gxi25,%1>100000,所以X1的最小值為100000.

故答案為：100000

10.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的

花盆是種植鮮花的常見容器,它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上、下底面直徑分別為30cm和26cm,

下面圓臺的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個圓臺側面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓

臺的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長的總和為cm.

【答案】5717

【分析】設出圓臺的母線長及底面半徑，根據(jù)圓臺的母線長公式/=+(4-々y結合條件即得.

【解析】設上面圓臺的母線長為4,上面半徑為4=15cm,下半圓半徑為4=13cm,高為"=8cm,

2

根據(jù)圓臺的母線長公式/=Jh+(r「rj,帶入數(shù)值計算得到Z1=何+(15-13)2=^68=2屈cm；

設下面圓臺的母線長為k，上面半徑為4=12cm,下半圓半徑為〃=9cm,

由于兩個圓臺側面展開圖的圓弧所對的圓心角相等，可以得到—=工尸，帶入數(shù)值計算得到

(^^(12-9)x2717^

24-芍15-13

所以該花盆上、下兩部分母線長的總和為2g+3J萬=5而cm.

故答案為：5A/17

11.已知拋物線,=?2(”>0),在y軸正半軸上存在一點尸，使過尸的任意直線交拋物線于“、N,都有

高+看為定值，則點尸的坐標為.

【答案】/

【分析】設直線的解析式為丫=履+機，聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系和兩點間的距

離公式，化簡整理，即可得到點P的坐標.

【解析】設尸(0M).

設直線的解析式為>=無+”，

聯(lián)立y=數(shù)2(4>0)得到：=kx+m,ax2-m=kx>

k

整理，得'ax^—kx—rn=O?則玉+x?——x^x—

a92a

設M（再,axf）,N（/,ax；）,

則I=玉2+（力-渥）2=（1+左2WW=X；+（m_）2=（1+左2卜；

.111%;+%;

一|MP|2+|NP1―]+/X龍;X；,

1（玉+工2）-2%JX2

1+Vx片考，

\+k2m2

111?

即存在機=五時'麗+麗=4。'

即存在尸［。，），使得康+意為定值〃

故答案為：m

12.已知等差數(shù)列A:q,%…,?！?，…，若存在有窮等比數(shù)列B:瓦與，…，與，其中4=1,公比為4,滿足

bk_\MauMbk，其中尢=2,3,...,N,則稱數(shù)列8為數(shù)列A的長度為N的“等比伴隨數(shù)列”.數(shù)列A的通項公式為

an=n,數(shù)列3為數(shù)列A的長度為N的“等比伴隨數(shù)列”，則N的最大值為.

【答案】6

【分析】設出長度為N的“等比伴隨數(shù)列”的公比，利用定義建立不等式，變形不等式轉化為不等式恒成立

問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)，結合零點存在性定理求解即得.

【解析】設長度為N的“等比伴隨數(shù)歹！T的公比為4,

則對任意正整數(shù)左，當女=2,3,…,N時，都有4-WayV4成立，

即qf<k-l<q2對2〈左4N恒成立,

當人=2時，有421；當左=3時，q<2<q2,即0VqV2；

當先“時，有：）4mgW也,二D恒成立,即當14時,w-l）1nd）

k-1k-2Lk]」max—1k2'

令山）=嗜兒"），求導得八M筆

則函數(shù)/（X）在［4,+8）上單調遞減，即當上24時，［半ln3

〔max

K-1V

令g(尤)=螞津(%>4),求導得,()一一一皿1)l-ln(D,

—g")一(—2)2-(x-2)2

則函數(shù)g(x)在［4,+