2025年九年級中考數(shù)學復習-利用垂徑定理求值綜合題典型題

型

學校:姓名：班級：考號：

一、解答題

1.已知CO,BE為。的直徑，弦連接AC,BC,ZACD=30°.

圖①圖②

⑴如圖①，求/BCD和的度數(shù)；

⑵如圖②，過點。作O的切線，與CB的延長線交于點G,，。的半徑為4,求線段3G的

長.

2.如圖，A5是。的弦，點C為,。上一點，CO的延長線垂直A3,垂足為點。為

弧AC上一點，且NABZ)=NOCB,延長AD交OC的延長線于點E,連接AC、BD、BC、CD.

B

(1)求證：AC.LBD-,

⑵點尸為CE上一點，DF平分NCDE,且ND尸C=45。，求NDCE的度數(shù).

3.如圖，A3為圓。的直徑，弦CDLAB,垂足為E點.點G為弧AC上的一點，連接DG

交A3于點E

⑴若/BCD=30。，求/DGC的度數(shù);

4

(2)若點G為AC的中點，MtanZ￡>GC=-,C￡>=4,求AF的長度;

(3)若點G在線段。。的延長線上，連接AC與DG交于點X,連接AD,若

tanZBAD=x,^-=y,求y與尤之間的函數(shù)關系式.

DH

4.NABC內(nèi)接于(，。，F(xiàn)為AB上一點，連接OF、CF,OF交弦AB于點D,若ZACF=ZBCF.

圖3

(2)如圖2,連接AO,若AB=AC,求證：AOLBC.

⑶在(2)的條件下，延長尸。交。于點E,過點尸作尸NLAC垂足為N,過點￡作EMLAC

垂足為A/,若A/V=3cm,MN-20cm,求DP的長.

5.如圖1,AB是，：O的直徑，弦CDLAB于點E、/是AZ)上的一個動點，連接AC、ARCF.

圖3

(2)如圖2,若CF與A3的交點G為線段OE的中點,DG//CB,CD=4非,求線段AC的

試卷第2頁，共6頁

長.

(3)如圖3,FD的延長線交A8的延長線于點求證：OB2=OGOH.

6.如圖，是,：。的直徑，弦CJD，AB于點E,過C。延長線上一點f作。的切線交48

的延長線于點G,切點為M,連接AAf交CD于點N.

⑴求證：FM=FN-

(2)若AC〃GP,FM=6,FD=4,求肱V的長.

7.如圖，A3是。的直徑，C。為。的弦，ABLCD于點E,連接應)并延長到點

連接AC,AM,ZAMB+ZACD=90°.

⑴求證：AM±AB；

(2)若AC=3—,ZG4S=3O°,求8。的長.

8.如圖，，。是VABC的外接圓，AB=AC,連接CO并延長，交邊AB于點、D,交A8于

WE,且E為弧A8的中點，BD=3.求：

⑴邊2C的長;

(2)O的半徑.

9.如圖，在.ABC。中，AC，AB,AB=6,3C=10,點0］是邊BC上的動點，以點。1為圓

心，。。為半徑的圓交邊AC于點E.設gC=r.

(1)當點E是邊AC的中點時，求「的值;

⑵己知點。2是線段AE的中點(規(guī)定：當點E與點A重合時，點O?也與點A重合)，以點。2

為圓心、002為半徑作。2

①當a與邊AD有公共點時，求『的取值范圍;

②如果經(jīng)過邊的中點，求此時2與：Q的公共弦長.

10.在。中，AB為O的弦，連接。4OB,/ABO=30。,

⑴如圖1,若半徑于點。，8=1,求弦A8的長；

(2)如圖2,MN為，。的切線，點P為切點，且MN〃OB,過點尸作尸尸，AB于點尸，與

半徑相交于點E.若(。的半徑是3,求OE的長.

11.如圖，C,。是以A3為直徑的半圓上的兩點，NCAB=NDBA.連接BC,CD.

⑴求證：CD//AB.

(2)若AB=4,ZACD=30°,求陰影部分的面積.

12.如圖，在VABC中，AB=AC,以A8為直徑的。與3C相交于點。，DE±AC,垂

足為E,所平分ZA3C.

試卷第4頁，共6頁

M

⑴求證：DE是:。的切線；

AG1

(2)若弦MN垂直于A8,垂足為G,-----=—,MN=^3,求：。的半徑;

AB4

(3)當NBAC=36。時，證明：CBFs，CAB.

13.如圖，已知48是：。的直徑，弦CDLAB,垂足為E,連接8C,以8C,8為鄰邊作

BCDF,連接CP與A3交于點H,AE=4,CD=4娓.

⑴求證：班■是一。的切線；

(2)求。的半徑；

(3)求CF的長.

14.如圖，在矩形ABC。中，E是邊C。上的點(不與C,。重合)，過A,D,E三點的圓

①求NEAF的度數(shù)；

②判斷尸的形狀，并說明理由.

Az?qPH

⑵如圖2,若F==,延長轉(zhuǎn)交直線3C于點H,連結(jié)EH.當H是邊BC的中點時，求

AD2EH

的值.

（3）如圖3,若空=k（左是常數(shù)），延長EF交邊48于點/,當NBF7=NBAF時,求多的

ADG1

值（用含左的代數(shù)式表示）.

15.如圖，。的直徑A3平分非直徑弦CO于點E,尸是圓上一點，。是8尸的中點，連接

CP交于點G,連接2C.

(1)求證：GC=BC；

(2)若AG=4,BG=6,求CP的長.

試卷第6頁，共6頁

《2025年九年級中考數(shù)學復習-利用垂徑定理求值綜合題典型題型》參考答案

1.(1)ZBCD=3O°,=30°

(2)逑

3

【分析】本題主要考查垂徑定理，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值的計算，掌握以上知識，

數(shù)形結(jié)合分析是關鍵.

(1)在。中，CD為直徑，AB1CD,則ZACD=3O。，ZOBC=ZOCB=30°,由三角形

外角的性質(zhì)得到〃OD=NOCB+NO8C=60。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解；

1

(2)連接50,可得NG=60。，BD=—DC=4,在中，tanZG=——，由此即可

2BG

求解.

【詳解】(1)解：在。中，為直徑，ABLCD,

??AD=BD，

ZAC￡>=30°,

,\ZACD=ZBCD=30°,

OB=OC,

.\ZOBC=ZOCB=30°f

ZBOD=ZOCB+ZOBC=60°,

ZABE=90-ZBOD=90°-60°=30°.

(2)解：如圖②，連接即，

圖②

由（1）得，ZBCD=30°,

DG為。的切線，

：.CD1DG,

.../G=60°,

CD為!。的直徑,

答案第1頁，共28頁

:.ZDBG=ZDBC=9Q°

在Rtz^DBC中，CD=2OD=8,

:.BD=-DC=4

2f

在RtZ\Z)BG中，tanNG=----,

BG

4

tan60°=----,

BG

.R「_46

..LJKJ--------------

3

2.(1)證明見解析;

(2)/OC石=108。.

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，三角形的內(nèi)角和定理，三角形

的外角性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

(1)設人。與5。交于點〃，由垂徑定理得AH=5"，NA"C=N3HC=90。，則有AC=5C,

ZHAC=ZHBC,然后通過三角形的內(nèi)角和定理即可求證；

(2)由角平分定義可設NCDF=NEZ*=x,則NCDE=2x,通過圓內(nèi)接四邊形和平角定

義可得NABC=NCDE,則有/45。=/區(qū)4。=/8￡=2%，ZACH=90°-2xf

ZACD=ZABD=90-ZBAC=90°-2xf最后由角度和差求出工的值即可.

【詳解】(1)證明：設AC與交于點M,

?.*OC±AB,

:?AH=BH,ZAHC=ZBHC=90°,

：.AC=BC,

：.NHAC=NHBC,

：.ZOCB=ZOCA,

■:ZABD=ZOCBf

：.ZACO=ZABD,

ZBAC+ZOCA=90°9

答案第2頁，共28頁

：.ZABD+ZBAC=90°f

：.ZAMB=90°,

：.AC.LBD；

(2)解：?；DF平分NCDE,

：.ZCDF=ZEDF,

設/CDF=/EDF=x,貝！jNCD￡=2x,

,/四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

ZABC^ZADC=1SO°,ACDE^AADC=180°,

:.ZABC=ZCDE,

：.ZABC=ZBAC=ZCDE=2x,

：.ZACH=9Q0-2x,ZACD=ZABD=90-ZBAC=90°-2xf

：.ZOCD=ZACH+ZACD=180°-4x,

,:ZOCD=ZCDF+/DFC,

???180。-4x=x+45。，解得x=27。，

???ZDCE=180°-x-45°=180°-27°-45°=108°.

3.(1)60°

⑵5-右

【分析】本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，勾股定理，同圓或等圓中同弧所對

的圓周角相等，等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理、三角函數(shù)等,

熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)根據(jù)垂徑定理得出8O=3C，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解即可；

4

(2)連接O2OC,AD,AC,先求得tan4DOE="繼而得出OE長，再由勾股定理得出

長度，進而證明=即可求解；

(3)先證明OE是中位線，再證明“CGH咨49”,設=則CG=2f,圓。的直徑為

「，求得一L=y,、匕三=x,即可求解.

r+t\r+t

【詳解】(1)解：：為圓。的直徑，弦CD_LAB,

??BD=BC，

答案第3頁，共28頁

：.ZBCD=ZBDC=30°,

AZDBC=120°,

ZDGC=180°-ZDBC=60°；

(2)解：連接OD,OCAD,AC,

2

4

?.,tanNOGC=—,

3

4

tan/DOE=—,

3

-：CD=4,CD1AB,

：.DE=-CD=2,

2

/.OE=———=-,

tan/DOE2

???OD=OB=~,

2

：.BE=OB-OE=1,

在R3D￡B中，BD=ylDE2+BE2=A/22+12=A/5，

???點G為AC的中點，

?*-AG=CG，

；?ZADG=/CDG,

?：/BAD=/BDC,

：.AADG+ABAD=ZCDG+ZBDC,即ZBFD=NBDF,

BF=BD=5

AF=AB-BF=5-y/5；

(3)解：??,DG為圓。的直徑，

???ZDCG=90°,

答案第4頁，共28頁

??0、E分別是0Goe的中點，

??0E〃CG,OE==CG,

2

?./DOE=NG,/DEO=NDCG,

??CGHsAOH，

設OE=/,則CG=2/,圓。的直徑為r,

.GHCG_2t

：.OH=—GH

2tf

：.DH=OD+OH=2OH+GH=\^+]^GH,

GH_GH_'_

DH]：+1卜〃r+t

.r_Gy)

y

AE=r+t,BE=r—t,

DE-=AEBE=r1-t1,

r)p

tanZBAD=—

AE

4.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接。4,OB,利用圓周角定理解答即可;

(2)連接OC,OB,利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到/C40=/朋O,再利用等腰三角

形的三線合一的性質(zhì)解答即可;

(3)過點。作0"J_AC于利用垂徑定理得到AH=C",利用平行線的判定定理和平

行線分線段成比例定理皿H=MV，禾I用等式的性質(zhì)得到⑷V=CM=3cm；連接AE,BE,

02,過E作EG,3c于點G,利用圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)得到EG=EM,

連接EC,利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得AC=26cm,BC=BG—CG=20cm；延長AO

答案第5頁，共28頁

交3c于點尸，利用勾股定理求得"，設0呂=。4=人貝lJOP=24-r,利用勾股定理求得「

值，OD貝IJ。尸=。尸一00=g.

【詳解】（1）證明：連接。4,OB,如圖，

AF=AF

:.ZAOF=2ZACFf

BF=BF，

NBOF=2ZBCF,

ZACF=Z.BCF

:.ZAOF=ZBOF,

?*-AF=BF；

(2)證明：連接OC,OB,如圖,

A

(/\D\F

在△AOC和VAOJB中，

AC=AB

<OA=OA,

OC=OB

AOC^.AOB(SSS),

.\ZCAO=ZBAO,

:.AO±BC；

(3)解：過點。作Q”,AC于H,如圖,

答案第6頁，共28頁

:.AH=CH,

EMVAC,OH^AC,FNLAC,

:.EM〃OH〃FN,

.OEMH

一~OF~NH'

OE=OF,

:.MH=HN.

,\CH-MH=AH-NH,

即4V=CM=3cm.

連接AE,BE,OB,過石作于點G,

由(1)知：ZAOF=ZBOF,

OA=OBf

:.OD±AB,

EF是AB的垂直平分線.

/.AE=BE,

EC=EC，

:.ZEAC=ZEBC.

在△AEM和.BEG中，

ZEAC=ZEBC

<ZAME=ZBGE=90°,

AE=BE

一AEM芻BEG(AAS),

:.EG=EM,

連接召C,

在RtECG和Rt.ECM中,

答案第7頁，共28頁

EG=EM

EC=EC

RtECG^ECM(HL),

.\CG=CM=3cm.

MN=20cm,

BG=AM=23cm.

AC=26cm,BC=BG-CG=20cm,

延長AO交BC于點P,

由(2)知：AO±BC,

ZAPC=900,

：.CP=BP=-BC=10cm.

2

AP=VAC2-CP2=24(cm)，

^OB=OA=r,貝!JOP=24-r,

在RtZ\B尸O中，

OP2+BP2=OB',

(24-r)2+102=r2,

169

“五’

OB=^^-cm.

12

EF是48的垂直平分線，

AD=BD=—AB=—AC=13cm,

3

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分

線段成比例定理，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵.

5.(1)證明見解析；

答案第8頁，共28頁

⑵線段AC的長為2回；

⑶證明見解析.

【分析】（1）連接AD,根據(jù)圓周角定理可得N/M>C=/AFC,然后通過垂徑定理推論可得

AC=AD，則ZACD=NADC,從而得證;

（2）先證明△BCESACAE,則烏=些，所以撞=隼，即AE3E=20,再證明

AECEAE2非

.GED^BEC(ASA),故有GE=_BE,則OG=GE=BE,從而可得AE=53E,由勾股定

理求出3E=2,最后通過勾股定理即可求解;

（3）連接P0,延長尸。交【。于點又四邊形CDMW是圓內(nèi)接四邊形，則有

Z.CMF+ZCDF=180。，從而求得Z.CMF=ZEDH,再證明，OFG^OHF，則得出

OFOG—「「、一

——=——即nn可求證.

OHOF

【詳解】（1）證明：如圖，連接

ZADC=ZAFC,

,：CDLAB,A8是C。的直徑,

??AC=AD，

???ZACD=ZADCf

：.ZACD=ZAFC；

(2)解：A5是。的直徑，

???NAC6=90。，

VCD1AB,

AZAEC=ZCEB=ZACB=9Q°CE=DE=-CD=2y/5

f2f

；?NBCE=/BAC,

：.Z\BCEs&CAE,

答案第9頁，共28頁

.CEBE

*AE-CE

.2百BE

即AEBE=20,

AE―2小

：DG//CB,

\/GDE=/BCE,

；/GED=/BEC,CE=DE,

\GED^BEC(ASA),

\GE=BE,

??點G為線段O￡的中點，

\OG=GE,

??OG=GE=BE,

\AE=5BE,

??耶E7BE=,

*.BE=2,

??AE=10,

??AC=ylAE2+CE2=J。2+(2南=2A/30;

(3)證明：如圖，連接R9,延長R9交。于點M,

?「MF是。的直徑,

ZMCF=90°f

：.NCMF+NCFM=90°,

???四邊形CD尸”是圓內(nèi)接四邊形,

???ZCMF-hZCDF=180°f

,//石DH+NCD尸=180。，

答案第10頁，共28頁

:.ZCMF=ZEDH,

u：CDLAB,

，ZHED=90。,

???ZH+NEDH=900,

:?/H=/CFM,

???ZGOF=ZFOH,

：.OFG^OHF,

.OFOG

??=,

OHOF

OF2=OG-OH,

,/OF=OB,

,OB2=OG-OH.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

6.(1)見解析

(2)273

【分析】(1)連接利用圓的切線的性質(zhì)定理，垂直的性質(zhì)，同圓的半徑相等，等腰三

角形的性質(zhì)，對頂角線段，同角的余角相等的性質(zhì)得到？AWF1FNM,再利用等腰三角

形的判定定理解答即可；

(2)連接MD,MC,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得用，利用(1)的結(jié)論求得線段DN,

CD,利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求得黑=工設AN=左，則MN=2Z,

利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得上值，則結(jié)論可求.

【詳解】(1)證明：連接如圖，

???EM為。。的切線,

：.OM.LFM,

：.NOMF=90。，

???AOMA+AAMF=90°,

VCD1AB,

???ZANE-^ZEAN=90°,

,：OA=OM,

答案第11頁，共28頁

：.1OAN1OMA,

：.ZAMF=ZANEf

,：?ANE2FNM,

：.?AMF2FNM,

：.FM=FN；

(2)解：連接MD,MC,如圖,

AFMD^FCM,

.FM_FD

._6_=f

「FC~6"

：.FC=9,

：.CD=FC-FD=5,

由(1)知：FM=FN,

:.FN=6,

：.DN=FN-FD=2,

：.CN=CD-DN=3,

AC//GF,

:?一ACNs乙MFN,

.AN_CN_3_1

??加一麗一%—5'

沒AN=k,則MV=2左，

,：?ACN?DMA,?CNA?DNM,

???'ACNSRDMN,

,AN_CN

"ND~MN'

答案第12頁，共28頁

.k3

??———

22k

Vk>0,

MN-2k-2#).

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)定理,

相似三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

7.(1)見解析

(2)3

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理，得ZAJ3ZACD,結(jié)合NWB+NACD=90°,可以證明

ZAMB+ZABD=90°,>ZBAM=180°-ZAMB-AABD=900即可得證AM_LAB；

(2)根據(jù)AB_LCD,AC=36，ZC4B=30°,^CE=ED=-AC,

22

FD

ZCDB=ZCAB=30°根據(jù)30=——,解答即可.

fcos30°

【詳解】(1)證明：根據(jù)圓周角定理，得Z4BD=ZACD,

,/ZACD=90°,

：.ZAMB+ZABD=90°f

：.ZBAM=180°-ZAMB-ZABD=90°,

：.AM±AB.

(2)解：VAB1CD,AC=36NC4B=30。,

ACE=ED=-AC=—,ZCDB=ZCAB=30°,

22

:=舄,

3A/3

BD==3.

V

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理，余弦函數(shù)的應用，熟練掌

握定理是解題的關鍵.

8.(1)6

(2)273

答案第13頁，共28頁

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理證明點C在48垂直平分線上，即可解題；

（2）連結(jié)02,先證明VABC是等邊三角形，再結(jié)合已知可證/O%>=30。，繼而根據(jù)直角

三角形的性質(zhì)以及勾股定理解題.

【詳解】（1）解：YE點為A8的中點，CE為直徑，

CE1AB,

:.AD=BD=3,AB=6,即CD垂直平分A3,

CB^CA,

?/AB=AC,

：.CB=CA=AB=6；

（2）解:連接02,如圖，

?/AB=BC=AC=6,

；.VABC為等邊三角形，

ZA=60°,

：.ZBOC=2ZA=120°,

：.ZfiOD=60。，

在Rt30。中，BD=3,NOBD=30。，

OB=2OD,

22

由勾股定理得。8?=OD+BD,即（28）2=oe>2+32,

解得。。=若，

OB=2OD=273,

即。的半徑為2VL

【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理等知識，掌握相關知識是解題關鍵.

答案第14頁，共28頁

5

9.(l)r=-

⑵①。＜"5；②5用

【分析】（1）過Oi作于點"由垂徑定理可得C〃=EH=：AC=2,再利用三角

4

函數(shù)求解即可；

3

（2）①當點E與A重合時可知r=5,過。2作。2知，4。于點〃，求出QAf=《QA,可知

在點。1運動過程中，。2與邊AD始終有公共點，進而即可得出廠的范圍；

②利用QB=002建立方程求解，得到廠=5,即此時O?與A重合，進而即可得解.

【詳解】（1）如圖，過。］作。力，AC于點”，則EH=CH,

AC±AB,AB=6,BC=10,

：.AC=8,

為AC中點，

/.C￡=-AC=4,

2

CH=-CE=2,

2

,iCHAC

=---即-

cosZ-ACB=-----1

0xCBC

解得r

2

(2)①當點E與點A重合時,

此時O?與A重合，CH=EH=gAC,

?：NOjCH=ZBCA,NCHO]=ZCAB=90°,

答案第15頁，共28頁

??..Q]CHs,BCA,

.qc_CH_i

,*BC-AC-2?

O1C=5,即此時r=5,

過。2作于點”,

VsinZMAO2=sinZACB,

O.MAB3

-?

**02A-BC5

3

=—OA,

252?

在點01運動過程中，。2與邊AD始終有公共點,

0<r<5；

②如圖，記4。中點為R過尸作尸N,AC,過。1作Oi"，AC于點”,

?.?ZANF=ZACD=90°,ZNAF=ZCAD,

JNAFs’.CAD,

.FNAN_AF_1

*CD-AC-AD_2

FN=-CD=3AN=-AC=4,

2f2

CH

cosZACB=—

BCQC

.8CW

w--r

答案第16頁，共28頁

43

ACH=-r,0,H=-r,

515

i4

O2A=-(AC-CE)=4--X,

4

O2N=AN-O2A=4-K-^r\=^r,

5

2

2力

在RtQ尸N中，O2F=9+

?;sin/ACB=^="即也

O,cBC，\r10

3

解得。］“二M-；

C”=；AC=4,

3r2

.?.在RtAOQ之月中，Q.of=16+

???9+g）=16+（|『），

解得r=5（負值舍去），

此時E和A重合，即。2與A重合，如圖所示，尸。為公共弦,

=

002OXP=02P，

.?.△002尸是等邊三角形，

?“迅

2

.-.PQ=543,即。2與C。的公共弦長為5括.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、

等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

答案第17頁，共28頁

10.(1)273

⑵百

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得4?=2?。?再根據(jù)直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊

的一半可得OB=2OD,進而可列28=6?+1,解得0。=1,03=2,再根據(jù)勾股定理可

得弦的長.

(2)連接OP,由切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可得NBOP=NBFE=90。,再由對頂角相

等可得NEPO=/ABO=30。，即可由直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一半可得

PE=2OE,由勾股定理可得OE=g.

【詳解】(1)解：OC_LAB,

:.AB=2BD.

ZABO=30°,

/.OB=2OD.

OB=OC,OC=OD+CD,CD=1,

2OD=OD+1.

:.OD=\,OB=2,

在Rt3OD中，由勾股定理得5。=1OB?-OD?7*=5

AB=2BD=2y/3.

(2)解：如圖，連接OP.

.OP1MN,即NO/W=900.

MN//OB,

./BOP=NOPN=900.

PF±AB,

.ZBFE=9Q0,

,ZBOP=ZBFE=90°f

答案第18頁，共28頁

ZBEF=ZPEO,ZABO=30°,

:.NEPO=ZABO=30。,

:.PE=2OE.

在RtZkPEO中，由勾股定理得PEWPOZ+OE?,

即(2OE)2=32+OE2,

解得OE=g.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角相等,

直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一半，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

11.(1)見解析

⑵手.逝

【分享】本題主要考查扇形的面積，同弧所對的圓周角相等，垂徑定理，勾股定理，圓周角

定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握定理以及公式是解題的關鍵.

(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到NACD=NDS4,根據(jù)=得到

ZCAB^ZACD,進而得到結(jié)論；

(2)連接OD,過點。作OELBD于E,先得到NACD=NABD=30。，由垂徑定理得到

BD=2BE,求出0石=<02=1,則BE=J5短二謔'=若，進而得到=2BE=2退，再

求出NBOD=120°，最后根據(jù)S陰影=S扇形Ro。-S.OD計算求解即可.

【詳解】⑴證明：?.?AZ)=A。，

JZACD=NDBA,

又ZCAB=ZDBAf

：.ZCAB=ZACDf

：.CD//AB；

(2)解：如圖，連接OD,過點。作O石，于區(qū)

ZACD=30。，

???ZACD=ZABD=30°,

答案第19頁，共28頁

9OELBD,

：.BD=2BE,ZOEB=90°,

：.OE=-OB=-AB=1,

24

?*-BE=^OB2-OE2=y/3，

BD=2BE=2A/3,

ZAOD=2ZABD=60°,

???ZBOD=120°,

??S陰影二S扇形50。-S^BOD

=1WX22-1x273x1

3602

上收

3

12.(1)見解析;

(2)O的半徑為1；

(3)見解析.

【分析】本題考查了切線的判定、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

(1)連接00,先判斷出/ODB=NACB,進而得出OD〃AC,DEAOD,即可得出結(jié)論；

(2)連接OM,先求出MG,在BMGO中，用勾股定理求解，即可得出結(jié)論；

(3)由NBAC=36。，AB=AC,計算出NC2B,證明NCBF=/BAC,即可證明.

?/OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

答案第20頁，共28頁

,:AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

：./ODB=ZACB,

：.OD//AC,

丁DE.LAC,

：.DEAOD,

???OD是。的半徑,

；?DE是。的切線;

(2)解：連接加，

ZOGM=90°

〈AB是直徑，MN=C，

MG=NG=—,

2

..AG_￡

?一,

AB4

.AG1

??—―，

GB3

/.AG^OG=-OM,

2

在及MGO中,

OG2+MG2=OM2,

：.OM=\,

即。的半徑為1；

答案第21頁，共28頁

(3)證明：如圖:

VABAC=36°,AB=ACf

：.ZABC=ZACB=12°

???所平分/ABC,

ZABF=ZCBF=36°,

■:/CBF=/BAC,ZC=ZC,

:.NCBFsACAB.

13.(1)證明見解析

(2)5

(3)6A/7

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得進而由。，48可得6/，45,即可求證；

(2)連接OC,設OC=Q4=x,貝=4,在RtATEO中利用勾股定理解答即可求

解；

(3)過點/作引0J_CD交C。的延長線于點證明咨BCE(AAS),可得

FM=BE=6,DM=CE=2巫,即得CM=CO+DM=6而，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形3cop是平行四邊形，

二BF//CD,

:CDLAB,

/.BFX.AB,

是)。的直徑，

,即是。的切線；

(2)解：連接OC,設OC=Q4=x,則OE=x-4,

?；CDLAB,

答案第22頁，共28頁

：.CE=DE=-CD=2-j6,/CEO=90°,

2

CEr+OE-=OC2,

即（2新『+（尤一4）2=/,

解得：％=5,

???。的半徑為5；

(3)解：過點尸作加，CD交8的延長線于點M,

VCD1AB,FM1CD,

：.ZM=ZBEC=9Q0,

???四邊形BCD廠是平行四邊形，

AFD=BC,FD//BC,

：.NFDM=/BCE,

：.FDM^BCE（AAS）,

AFM=BE,DM=CE=2A/6,

***CM=CD+DM=4^6+2-\/6=6^/6，

V。的半徑為5,

AB=10,

BE=AB-AE=10-4=6f

：.FM=6,

答案第23頁，共28頁

:.CF=yJCM2+FM2=#㈣2+62=6幣.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理，全等三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

14.(1)①45。；②是等腰直角三角形，理由見解析

【分析】(1)①先證出四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NQM=45。，再根

據(jù)圓周角定理即可得；

②根據(jù)圓周角定理可得NA￡F=ZADB=45。，ZEAF=ZCDB=45°,再根據(jù)等腰直角三角

形的判定即可得；

(2)連接AE,先根據(jù)圓周角定理可得/HFE=NAFE=90。，再證出.BDC,根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)可得空=g=j,證出BFHS&D/弘，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

EFBC2

胃=翳=),然后設AF=6m(m>0),則EF=4m,FH=3m,利用勾股定理可得EH=5m,

由此即可得；

(3)連接DG,先根據(jù)圓周角定理可得DG是圖中圓的直徑，再證出DG〃77,根據(jù)垂徑

定理可得AD=￡>產(chǎn)，然后設DF=AD=a(a>0),則45=成，利用勾股定理可得8。的長,

從而可得3尸的長，最后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得當="，由此即可得.

GIDF

【詳解】(1)解：①:在矩形ABCD中，AB=AD,

，四邊形ABCD是正方形，ZADC=90°,

ZADB=ZCDB=-ZAD