二次函數(shù)函數(shù)專題訓(xùn)練100題

閱卷人

一'單選題

得分

1.如圖，正方形OCAB的頂點A、C分別在y軸、x軸上，正方形的邊長為4,拋物線y=a/+

法+。的圖象經(jīng)過人、B兩點.下列說法中正確的個數(shù)有（）個.

①abc>0；②4a+b=0；③a>—④方程a/+。=4的解為5=0,x2=4；

⑤（4a+2b）—（am2+bm）<0（m豐2）

C.4個D.5個

2.已知拋物線y=/+血％的對稱軸為直線為=2,則關(guān)于％的方程/+nu:=5的根是（）

A.0,4B.1,5C.1,—5D.-1,5

3.如圖，二次函數(shù)y=a/+bx+c（aH0）的圖象與x軸負半軸交于點A,對稱軸為直線％1,下

列結(jié)論：①abc<0,（2）2a+b>0,③3a+c<0,④方程a/+法+c=0（aH0）有一個根大

C.3個D.4個

4.拋物線y=3/經(jīng)過平移得到拋物線y=3（%+1）2-2,平移的方法是（）

A.向左平移1個，再向下平移2個單位

B.向右平移1個，再向下平移2個單位

C.向左平移1個，再向上平移2個單位

D.向右平移1個，再向上平移2個單位

5.用長100cm的金屬絲制成一個矩形框子，框子的面積不可能是（）

A.325cm2B.500cm2C.625cm2D.800cm2

6.某農(nóng)場要建矩形的飼養(yǎng)室，如圖所示，一面靠著現(xiàn)有足夠長的墻，其他三面用材料建設(shè)圍墻，在

中間再建一道墻隔開，并在兩處各留1加寬的門，已知計劃中的材料可建墻體總長為22nl（不包括

門），則能建成的飼養(yǎng)室最大總占地面積為（）

門

I門

A.52m2B.48m2C.45m2D.41m2

7.如圖，△ABC中，AB=AC,點P為△ABC內(nèi)一點，AAPB=135°,Z.BAC=90°.若ZP+BP=

6,且AP的長度不小于4,貝長度的最小值為（）

A.6B.2遙C.4V2D.3V3

8.已知函數(shù)yi=mx2+n,y2=nx+m（mn/））,則兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能為（）

9.已知二次函數(shù)y=(%—2)(%—2—Hi),當(dāng)0<%<租時，貝!J()

7

A.若6>4時，函數(shù)y有最小值一竽B.若TH>4時，函數(shù)y有最小值與

4

77

C.若m<4時，函數(shù)y有最小值—1D.若血<4時，函數(shù)y有最小值苧

10.如圖，拋物線y=x2+bx+c（b,c為常數(shù)）經(jīng)過點A（1,0）,點B（0,3）,點P在該拋物線上，其

橫坐標(biāo)為m,若該拋物線在點P左側(cè)部分（包括點P）的最低點的縱坐標(biāo)為2-m.則m的值為（）

A.m=3B.m=3一底.

2

C.m=3上二D.m=3或m=3］西

2

閱卷人

二'填空題

得分

11.如圖所示，有四張不透明的卡片，除正面的函數(shù)表達式外其他均相同.將它們背面朝上洗勻后,

從中隨機抽取一張卡片，則抽到函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限的卡片的概率為.

12.拋物線y=a/+人工+c（a,b,c是常數(shù)）與y軸的正半軸相交，其頂點坐標(biāo)為（一1,k）（k<

0）.下列四個結(jié)論：@abc>0；@<2—2h+4c<0；③a>c；④點/（一小一2,m）在拋物線上，

則62c.其中正確結(jié)論是（填寫序號）.

13.拋物線y=a久2-2a無一3與x軸交于兩點，分別是（%口0）,（x2,0）,則久i+%2=.

14.寫出一個函數(shù)值有最大值，且最大值是2的二次函數(shù)解析式.

15.小周要在一塊三角形鋼板ABC中裁出一個矩形，裁剪方案如圖所示，頂點。、E在邊BC上，頂點

F,G分別在邊AC、AB1.,已知tanB=2,BC=10,SAABC=40,則當(dāng)矩形DEFG的面積最大時，

GD

DE=

A

16.如圖，若被擊打的小球飛行高度八（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為八=

20t-5t2,則小球從飛出到落地所用的時間為s.

17.如圖，已知二次函數(shù)y=a/+板+c（a、b、c為常數(shù)，且aH0）的圖像頂點為經(jīng)過點

4（2,1）；有以下結(jié)論：?a<0；@abc>0；（3）4a+2b+c<1；④久>1時，y隨％的增大而減

?。虎輰τ谌我鈱崝?shù)3總有at?+從<a+b,其中正確的是

m=_________

19.拋物線y=a（x-1產(chǎn)+3向右平移1個單位，向上平移2個單位后經(jīng)過點（1,7）,則a的值

是.

20.如圖所示的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式a/+人工+c<0

的解集是.

21.已知二次函數(shù)y=mx2—2mx+3其中mH0.

(1)若二次函數(shù)經(jīng)過(一1,6),求二次函數(shù)解析式.

(2)若該拋物線開口向上，當(dāng)-l〈x<2時，拋物線的最高點為M,最低點為N,點M的縱坐標(biāo)

為6,求點M和點N的坐標(biāo).

(3)在二次函數(shù)圖象上任取兩點(x2,y2),當(dāng)a?/M￡2<a+2時，總有力>當(dāng)，求

a的取值范圍.

22.圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分.據(jù)《范蠡兵法》

記載：“飛石重十二斤，為機發(fā)，行二百步”，其原理蘊含了物理中的“杠桿原理”.

在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，將投石機置于斜坡。力的底部點。處，石塊從投石機豎直方向

上的點C處被投出，在斜坡上的點Z處建有垂直于水平面的城墻4B.已知，石塊運動軌跡所在拋物線

的頂點坐標(biāo)是(50,25),0c=5,。。=75,AD=12,AB=9.

圖1圖②

(1)求拋物線的解析式；

(2)通過計算說明石塊能否飛越城墻4B；

(3)求出石塊與斜坡。4在豎直方向上的最大距離.

23.某景區(qū)有兩個景點需購票游覽，售票處出示的三種購票方式如下：

方式1：只購買景點A,30元/人；

方式2：只購買景點B,50元/人；

方式3：景點A和B聯(lián)票，70元/人.

預(yù)測，四月份選擇這三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、1萬和1萬.為增加收入，對門票價格進

行調(diào)整，發(fā)現(xiàn)當(dāng)方式1和2的門票價格不變時，方式3的聯(lián)票價格每下降1元，將有原計劃只購買

A門票的400人和原計劃只購買B門票的600人改為購買聯(lián)票.

(1)若聯(lián)票價格下降5元，則購買方式1門票的人數(shù)有萬人，購買方式2門票的人數(shù)

有萬人，購買方式3門票的人數(shù)有萬人；并計算門票總收入有多少萬元？

(2)當(dāng)聯(lián)票價格下降x(元)時，請求出四月份的門票總收入w(萬元)與x(元)之間的函數(shù)

關(guān)系式，并求出聯(lián)票價格為多少元時，四月份的門票總收入最大？最大值是多少萬元?

24.解關(guān)于X的不等式：x2-kx-2k2<0.

25.某運動員在推鉛球時，鉛球經(jīng)過的路線是拋物線的一部分（如圖），落地點B的坐標(biāo)是（10,

0),已知拋物線的函數(shù)解析式為y右/+海

（1）求c的值;

（2）計算鉛球距離地面的最大高度.

26.已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=/+2久+2k—4的圖象與x軸有交點.求k的取值范圍.

27.如圖1,公園的一組同步噴泉由間隔2米的6個一樣的噴泉組成，呈拋物線形的水流從垂直于地

面且高為1m的噴嘴中向同一側(cè)噴出，其最高點隨時間勻速變化，發(fā)現(xiàn)由最高變?yōu)樽畹陀脮r5s,然

后從最低變?yōu)樽罡?，又用時5s,重復(fù)循環(huán).建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，變化的拋物線的對

水流在地面的落點距噴嘴最遠水平距離為3m.

圖1圖2

（1）求水流最高時所對應(yīng)的拋物線解析式;

（2）水流最低時，對應(yīng)拋物線的頂點坐標(biāo)為,在噴泉水流高低變化過程中，水流始終

經(jīng)過對稱軸右側(cè)一點，該點的坐標(biāo)為

（3）當(dāng)水流最高時，淇淇以2m/s的速度從噴泉最高處的正下方跑過，若淇淇的身高為1.6m,請

通過計算說明，他是否會被淋濕?

28.“快樂游玩、安全游玩”是各景區(qū)游玩的工作宗旨.某景區(qū)上午8:00時開門迎接游客進入，下午

5:00禁止游客進入.據(jù)工作人員統(tǒng)計，上午9:00時該景區(qū)已累計進入游客950人，從此時開始陸續(xù)

有游玩結(jié)束的游客離開.累計進入景區(qū)游客人數(shù)y（單位：人）與累計離開景區(qū)游客人數(shù)z（單位：人）隨

統(tǒng)計時間久（單位：h）變化的數(shù)據(jù)如下表所示:

統(tǒng)計時間x/h1234

累計進入景區(qū)游客人數(shù)y/人950180025503200

累計離開景區(qū)游客人數(shù)Z/人0200400600

探究發(fā)現(xiàn)，y與x,z與x之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述.

（1）直接寫出y關(guān)于久的函數(shù)解析式和z關(guān)于久的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）預(yù)計幾點鐘時，景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)最多？

（3）當(dāng)景區(qū)內(nèi)游客人數(shù)達到2600人時，將觸發(fā)人流高峰黃色預(yù)警，問什么時間將觸發(fā)人流高峰

黃色預(yù)警？直接寫出答案.

29.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=K2+法+（：的圖象與*軸交于點4（一1,0）,B（3,0）,

與y軸交于點C.

（2）若點D為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DE||y軸交BC于點E,過點D作

DF1BC于點F,過點F作FG1y軸于點G,求出DE+FG的最大值及此時點D的坐標(biāo).

30.2022卡塔爾世界杯足球比賽正在進行阿根廷和荷蘭的決賽，阿根廷球員梅西在距球門底部中心

點O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線J向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為3m時達到最

4

（1）建立如圖所示直角坐標(biāo)系，求拋物線解析式；

（2）梅西的射門，足球能否射進球門（不考慮其他影響因素）？

（3）守門員乙站在距離球門27n處，他跳起時手的最大摸高為2.52m,他能阻止球員甲的此次射

門嗎？

閱卷人

得分

31.濱濱和妮妮是2025年亞洲冬季運動的吉祥物，寓意“哈爾濱歡迎您”.某商店以每件35元的價

格購進吉祥物濱濱，以每件50元的價格出售，經(jīng)統(tǒng)計，2025年1月份的銷售量為200件.從2月份

起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會

增加20件，設(shè)降價為x元，請完成下列問題：

（1）降價x元后的月銷售量為件；（用含x的式子表示）

（2）當(dāng)該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少？

32.在探究二次函數(shù)y-ax2+bx+c（a0）的圖象與性質(zhì)的過程中，久與y的幾組對應(yīng)值列表

如下：

01234

X

30-103

y

觀察表格中的數(shù)據(jù)，請回答以下問題：

（1）發(fā)現(xiàn)：該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為,與y軸的交點坐標(biāo)為—

（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線,頂點坐標(biāo)為,函數(shù)有最

（填“大"或‘小"）值，為

（3）在對稱軸左側(cè)的點，隨著%值的增加，對應(yīng)的y值________（填“增大”或“減小”）；

在對稱軸右側(cè)的點，隨著x值的增加，對應(yīng)的y值_________（填“增大”或“減小”）；

（4）請猜想：①函數(shù)圖象開口向（填“上”或"下”）；

②函數(shù)的增減性：點4（—4,%）,B（—2,y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點，則

為；點式6,為），。（8,y4）是該二次函數(shù)圖象上的兩點，貝1J73_________丫/（填或"="）

（5）推理與驗證：請求出該二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo);

（6）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并判斷該二次函數(shù)的增減性.

33,直線y=ax+b（aH0）稱作拋物線y=ax2+bx（aH0）的關(guān)聯(lián)直線.根據(jù)定義回答以下問題:

（1）求證：拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線一定有公共點；

（2）當(dāng)a=l時，求拋物線丫=a/+bx與其關(guān)聯(lián)直線一定都經(jīng)過的點的坐標(biāo)（用字母b表示）.

34.已知二次函數(shù)y=x2—（m+l）x+2m+3.

（1）當(dāng)加=1時，二次函數(shù)的圖象與y軸交點坐標(biāo)為,對稱軸為；

（2）當(dāng)該二次函數(shù)圖象的對稱軸為久=2時，求m的值和拋物線的頂點坐標(biāo)；

（3）當(dāng)加取不同的值時，拋物線y=/一（m+1）%+2巾+3的頂點也發(fā)生變化，當(dāng)求拋物線的

頂點達到最高點時，求此時血的值和該拋物線的頂點坐標(biāo).

35.小星利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖①所示.當(dāng)輸入

久的值為-2時，輸出y的值為1；輸入久的值為2時，輸出y的值為3；輸入久的值為3時，輸出y的值

為6.

圖①圖2

（1）寫出k的值是.

（2）如圖②，小星在平面直角坐標(biāo)系中畫出了y關(guān)于％的函數(shù)圖象.

①當(dāng)y隨久的增大而增大時，求為的取值范圍；

②若關(guān)于x的方程a/+匕％+3-t=0（t為實數(shù)）在0<x<4時無解，直接寫出t的取值范圍.

36.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=/—2tx+2.

（1）求該拋物線的對稱軸（用含f的式子表示）；

⑵若點—m）,N（t+5,九）在拋物線上，則加（填“>”，或"="）

（3）P（X1,yi）,Q（X2,丫2）是拋物線上的任意兩個點，若對于一1W/<3且和=3,都有為W

y2>求才的取值范圍.

37.已知拋物線經(jīng)過點（0,3）,且頂點坐標(biāo)為（1,-4）,求拋物線的解析式.

38.已知函數(shù)y—(m—l)x2+4久+2,

（1）當(dāng)m取何值時拋物線開口向上？

（2）當(dāng)m為何值時函數(shù)圖象與x軸有兩個交點？

（3）當(dāng)m為何值時函數(shù)圖象與x軸只有一個交點？

39.已知拋物線y=-x2+bx+c交％軸于4（一1,0）,B（3,0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）已知P為拋物線y=-%2+bx+c上一點（不與點B重合），若點P關(guān)于x軸對稱的點P’恰好在

直線BC上，求點PP，的長.

40.如圖，一次函數(shù)了=。久+6的圖象與反比例函數(shù)y=5的圖象相交于力B（2,—3）兩點，與

y軸交于點C.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式5+b>K的解集.

X

（3）設(shè)D為線段AC上的一個動點（不包括A,C兩點），過點D作DE||y軸交反比例函數(shù)圖象

于點E,當(dāng)ACDE的面積最大時，求點E的坐標(biāo)，并求出面積的最大值.

閱卷人

------------------五、閱讀理解

得分

41.閱讀材料：小明同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中研究中點時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的結(jié)論：若P（尤1，y。，

Q（%2,丫2）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點，RQo,％）是PQ的中點，則有結(jié)論制=4歲，兀="2這

其實就是中點坐標(biāo)公式，有了這個公式可以解決很多坐標(biāo)系中求中點坐標(biāo)的問題.

已知：二次函數(shù)y=/的函數(shù)圖象上分別有A,B兩點，其中3（2,4）,A,B分別在對稱軸的異

側(cè)，C是48中點，D是中點.利用閱讀材料解決如下問題:

(1)概念理解：

如圖1,若4(—1,1),求出C,D的坐標(biāo).

(2)解決問題：

如圖2,點A是B關(guān)于y軸的對稱點，作DE||y軸交拋物線于點E.延長DE至F,使得DE=3EF.

試判斷F是否在x軸上，并說明理由.

(3)拓展探究：

如圖3,A(m,n)是一個動點，作DE||y軸交拋物線于點E.延長DE至F,使得DE=3EF.

①令F(a,b),試探究b-4a值是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

②在①條件下，y軸上一點G(0,2),拋物線上任意一點H,連接GH,HF,直接寫出GH+HF

的最小值.

42.在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)并對其

性質(zhì)進行應(yīng)用的過程.小麗同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y=xJ2|x|(自變量x可以是任意實數(shù))圖象與

性質(zhì)進行了探究.請同學(xué)們閱讀探究過程并解答：

(1)作圖探究：

①下表是y與x的幾組對應(yīng)值：

X..........-4-3-2-101234..........

y..........830m0-10n8..........

m=A,n=A

②在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的

圖象:

(2)深入思考：

根據(jù)所作圖象，回答下列問題：

①方程x2-2|x|=0的解是；

②如果y=x2-2|x|的圖象與直線y=k有4個交點，則k的取值范圍是；

(3)延伸思考：

將函數(shù)y=x2-2|x|的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到y(tǒng)i=(x+l)2-2|x+l卜2的圖象？請寫出平移過程.

43.閱讀下列材料，回答問題：

當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時，隨著字母的取值的不同，拋物線的頂點坐標(biāo)也將發(fā)生變

化.

例如：已知拋物線y=x2-2mx+m2+2m-1,①

由①可得丫=(x-m)2+2m-1,②

所以拋物線y=x2-2mx+m2+2mT的頂點坐標(biāo)為(m,2m-1),即［%-m?

(y=2m—1(4；

當(dāng)m的值變化時，x,y的值也隨之變化.將③代入④，得y=2x-l.⑤

可見，不論m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x滿足y=2x-1.

⑴在上述過程中，由①得到②所用的數(shù)學(xué)方法是(填“A”或"B”)，由③④到⑤

所用的數(shù)學(xué)方法是(填“A”或"B”).

A.消元法

B.配方法

(2)根據(jù)以上材料提供的方法，確定拋物線y=x2-2mx+2m2-3m+l頂點的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x

之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：y=x2-2mx+2m2-3m+l=(x-)2+m2-3m+l,

此拋物線的頂點坐標(biāo)為(m,)，即廣一〉X.

-------------------ly=()②

當(dāng)m的值變化時，x,y的值也隨之變化.將①代入②，得y=x2-3x+L

可見，不論m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x滿足.

44.綜合與應(yīng)用

為促進中學(xué)生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學(xué)在“大課間”開展“集體跳繩”運動.跳繩時，繩甩

到最高處時的形狀是拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象.以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為白米；已知小麗身高1.575米，在距

離搖繩者A的水平距離1.5米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂.

>,

A

(1)【閱讀理解】

求圖中拋物線的解析式；(不需要求自變量取值范圍)

(2)【問題解決】

體育龍老師身高1.82米，請問他適合參加本次運動嗎？說明理由；

(3)若多人進入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米，試

計算最多可供幾人齊跳.

45.湖南農(nóng)業(yè)大區(qū)零陵區(qū)土地資源豐富，近年來，該區(qū)利用農(nóng)業(yè)特色資源優(yōu)勢，大力發(fā)展特色種

植，帶動農(nóng)民門口致富，尤其是各種水果的種植馳名省內(nèi)外.下面是一家果農(nóng)所遇到的問題，請你

閱讀下面材料幫忙解決果農(nóng)所遇到的問題.

信息及素材

素在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導(dǎo)下，果農(nóng)對紐荷爾臍橙的種植技術(shù)進行了研究與改進，使

材產(chǎn)量得到了增長，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年紐荷爾臍橙平均每株產(chǎn)量是50千克，2022

年達到了72千克，每年的增長率是相同的.

素

材一般采用的是長方體包裝盒.

(1)任務(wù)1:求紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率;

(2)任務(wù)2：為了放下適當(dāng)數(shù)量的紐荷爾臍橙，現(xiàn)有邊長為80cm的正方形紙板，將四角各裁掉

一個正方形，折成無蓋長方體紙盒.折成的長方體盒子側(cè)面積(四個側(cè)面的面積之和)有沒有最大

值？如果沒有，說明理由；如果有,求出此時剪掉的正方形邊長.

上課時李老師提出這樣一個問題：對于任意實數(shù)x,關(guān)于x的不等式/-2尤-1-a〉0恒成立，求

a的取值范圍.

小捷的思路是：原不等式等價于/-2久設(shè)函數(shù)為=/-2久-1,y2=a,畫出兩個函數(shù)

的圖象的示意圖，于是原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在的圖象上方時的取值范圍.

yiy2a

對于任意實數(shù)x,關(guān)于x的不等式/-2久-1-a>0恒成立，則a的取值范圍是.

(2)參考小捷思考問題的方法，解決問題：

關(guān)于x的方程x-4=竺且在0<a<4范圍內(nèi)有兩個解，求a的取值范圍.

X

47.閱讀材料

某校的圍墻上端由若干段相同的凹曲拱形柵欄組成.如圖所示，其拱形為拋物線的一部分，柵欄

的立柱和橫桿由相同的鋼筋切割而成，學(xué)校設(shè)計用5根立柱將橫桿AB六等分加固，相鄰兩根立柱間

距我，0C的長為|米.

C

A/B

問題解決

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達式.

（2）現(xiàn)為了安全考慮，更改原先的設(shè)計方案，將立柱數(shù)量增加到7根（將橫桿八等分），并保持

立柱間距不變，求在原設(shè)計方案需要的鋼筋長度的基礎(chǔ)上，至少還需要準(zhǔn)備的鋼筋長度.

48.閱讀以下材料:

定義：對于三個數(shù)a、b、c,用max｛a,b,c｝表示這三個數(shù)中的最大數(shù).

a(a>2)

例如：(T)max{—1,2,3)=3；(2)max{—l,2,a)—

2(a<2)

根據(jù)以上材料，解決下列問題:

(1)如果?nar{2,2久+2,4—2久}=2%+2,求x的取值范圍;

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作函數(shù)y=x+1,y=（久—1）2,y=2-x的圖像（不需列

表），通過觀察圖像，填空：ma久｛x+1,-1尸,2-％｝的最小值為

%

>

Vx

49.閱讀下列材料:

我們把多項式屏+2仍+。2及岸-2ab+b2叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我

們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的

值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值

或最小值.

例如：求代數(shù)式x2+2x-3的最小值.

解：x2+2x-3=x2+2x+12-12-3=(x2+2x+l2)-4=(x+1)2-4.

(x+1)2>0,(x+1)2-4>-4,

.,.當(dāng)尤=-1時，x2+2x-3的最小值為-4.

再例如：求代數(shù)式-N+4/1的最大值.

解：-x2+4x-l=-(x2-4x+l)=-(x2-4x+22-22+l)

=-[(x2-4x+22)-3]=-(x-2)2+3

(x-2)2>0,：.-(x-2)2<0,A-(x-2)2+3<3.

當(dāng)尤=2時，-N+4X-1的最大值為3.

(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式/+4x+3的最小值為；

(2)【類比應(yīng)用】M=a2+b2-2a+4b+2023,試求M的最小值；

(3)【知識遷移】如圖，學(xué)校打算用長20根的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠

長)，求圍成的菜地的最大面積.

〃/〃/1//////〃/〃〃〃/〃/《〃〃

菜地

50.閱讀下列材料，回答問題：

當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時，隨著字母的取值的不同，拋物線的頂點坐標(biāo)也將發(fā)生變

化.

例如：已知拋物線y=x2-2mx+m2+2m-1,①

由①可得y=(x-m)2+2m-l,②

X—YTL(3)

所以拋物線y=x2-2mx+m2+2m-l的頂點坐標(biāo)為(m,2m-1),即，'

y=2m—1.④

當(dāng)m的值變化時，x,y的值也隨之變化。將③代入④，得y=2x-l.(5)

可見，不論m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x滿足y=2x-l.

(1)在上述過程中，由①得到②所用的數(shù)學(xué)方法是_人(填"A"或"B”)，由③④到⑤所用

的數(shù)學(xué)方法是▲(填"A"或"B").

A.消元法

B.配方法

(2)根據(jù)以上材料提供的方法，確定拋物線y=x2-2mx+2m2-3m+l頂點的縱坐標(biāo)，和橫坐標(biāo)x之

間的函數(shù)關(guān)系式.

解：y=x2-2mx+2m2-3m+l=(x-▲)2+m2-3m+l,

此拋物線的頂點坐標(biāo)為(m,_人)，即『=回母

ly=0②

當(dāng)m的值變化時，X,y的值也隨之變化.將①代入②，得y=xW-3x+L

可見，不論m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x滿足

51.閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成下列任務(wù).

問題背景：

數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了完全平方公式之JR，發(fā)現(xiàn)由于(a—b)220,故(^+廬？

2ab,于是他們對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之聲A的關(guān)系展開了探究.

探索發(fā)現(xiàn)：

2+8>2X\/2X8=8

111111

3+12>2XJ3X12=3

1g=2

2+2>2x

3+3=2X、/3X3=6

11112

—X—=—

5+5=2XJ555

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：如果a>0,b>0,那么a+(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)

解釋證明：

當(dāng)aHb時，

(Va-Vb)2>0

???a—24ab+b>0

a+b>2y[ab

當(dāng)a=b時，

v(Va-Vb)2=0

???a—24ab+b>0

???a+b=2y[ab

?,?如果a>0,b>0,那么a+b22VSF(當(dāng)且僅2ia=b時等號成立)

(2)對于函數(shù)y=—言—久(久＞一1),當(dāng)久等于時，函數(shù)y有最__________值，這

個最值是；

(3)某植物園利用一面足夠長的圍墻和木欄圍成一個矩形花圃，中間用一排木欄隔開，如圖所

示，總共用了100米的木欄，當(dāng)AB長為多少時，矩形花圃力BCD的面積最大?最大面積是多少?請你

利用材料中的結(jié)論或所學(xué)知識求解該問題.

BC

52.閱讀下列材料，回答問題：

當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時，隨著字母的取值不同，拋物線的頂點坐標(biāo)也將發(fā)生變化.

例如：已知拋物線y=——2巾%++27n—1,①

由①可得y=(%—m)2+2m—1,②

所以拋物線y=x2-2mx+m2+2m-1的頂點坐標(biāo)為(m,2m-1)即?［久—m?

ty=2m-1(4)

當(dāng)小的值變化時，x、y的值也隨之變化.將③代入④，得y=2久—1.⑤

可見，不論加取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x滿足y=2%-l.

(1)在上述過程中，由①得到②所用的數(shù)學(xué)方法是(填Z"或“B”)；由③④得到⑤

所用的數(shù)學(xué)方法是(填“A”或"B”).

A.消元法；B.配方法；

(2)根據(jù)以上材料提供的方法，確定拋物線y=x2-2mx+2m2-3m+1頂點的縱坐標(biāo)y和橫

坐標(biāo)》之間的函數(shù)關(guān)系式.

53.【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化

為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意

義來解決一些問題.

我們定義：一個整數(shù)能表示成a?+/Q,6是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5是

“完美數(shù)”.理由：因為5=22+儼，所以5是院美數(shù)”.

(1)【解決問題】

數(shù)53“完美數(shù)”(填“是”或“不是”)；

(2)【探究問題】

已知%2+y2—4x+2y+5=0,則％+y=；

（3）已知S=2/+y2+2盯+I2x+k（x,y是整數(shù)，上是常數(shù)），要使S為“完美數(shù),'，試求出

符合條件的左值，并說明理由；

（4）【拓展結(jié)論】

已知實數(shù)x、y滿足一久2+：%+丫一3=0,求％-2y的最大值.

54.閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式x2+bx+c變形為（X+加）2+〃的形式，然后由

（尤+,〃）2>0就可求出多項式N+6X+C的最小值.

例題：求多項式X2-4尤+5的最小值.

解：N-4X+5=N-4X+4+1=（X-2）2+1,

因為（x-2）2>0,所以（龍-2）2+l>l.

當(dāng)x=2時，（x-2）2+1=1.因此（x-2）2+1有最小值，最小值為1,即尤2-4元+5的最小值為

已知代數(shù)式A=N+10X+20,則A的最小值為；

（2）【類比應(yīng)用】

張大爺家有甲、乙兩塊長方形菜地，已知甲菜地的兩邊長分別是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜

地的兩邊長分別是5a米、（a+5）米，試比較這兩塊菜地的面積S甲和S乙的大小，并說明理由；

（3）【拓展升華】

如圖，AABC中，NC=90。，AC=5cm,BC=10cm,點M、N分別是線段AC和BC上的動點，

點”從A點出發(fā)以low/s的速度向C點運動；同時點N從C點出發(fā)以2a〃/s的速度向3點運動，當(dāng)

其中一點到達終點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為7,則當(dāng)f的值為多少時，AMCN的面積

最大，最大值為多少？

55.在書本閱讀材料中提到利用幾何畫板可以探索函數(shù)丫=。/+法+。的系數(shù)eb,C與圖像的關(guān)

系.如圖1,在幾何畫板軟件中繪制一個二次函數(shù)的圖象的具體步驟如下：

步驟一：在直角坐標(biāo)系內(nèi)的％軸上取任意三個點4（4不在原點），B,C,度量三個點的橫坐標(biāo),

分別記為a,b,c；

步驟二：繪制函數(shù)y=a/+/）%+c；

步驟三：任意移動4B,C三點的位置，發(fā)現(xiàn)拋物線的開口方向、大小、位置會發(fā)生變化.

問題：如圖2,將點Z移動到點（-1,0）的位置.

圖1圖2

（1）若點B移動到點（-4,0）,請求出此時拋物線的對稱軸；

（2）在點C移動的過程中，且滿足AB=4C,是否存在某一位置使得拋物線與x軸只有一個交

點，若存在，請求出此時點B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

56.自主學(xué)習(xí)，請閱讀下列解題過程.

解一元二次不等式：%2-5x>0.

解：設(shè)/-5尤=0,解得：Ki=0,X2-5,則拋物線y=/一5久與x軸的交點坐標(biāo)為（0,0）和（5,

0）.畫出二次函數(shù)y=/-5%的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)x<0,或x>5時函數(shù)圖象位

于x軸上方，此時y>0,即/一5%>0,所以，一元二次不等式%2一5%>0的解集為：*<0或*>

5.

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和.（只填序號）

①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想

(2)一元二次不等式久2—5%<0的解集為.

(3)用類似的方法解一元二次不等式：%2-2%-3>0.

57.閱讀思考，并解答下列問題：

在2022年北京冬季奧林匹克運動會上，一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離s(單位:

m)與滑行時間t(單位：s)之間的關(guān)系式，測得一組數(shù)據(jù)(如下表).

滑行時間t/s01234

滑行距離s/m04.51428.548

(1)為觀察5與r之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，以t為橫坐標(biāo)，S為縱坐標(biāo).如圖，請描出表中數(shù)

據(jù)對應(yīng)的5個點，并用平滑的曲線連接它們；

s/mA

50--r-p-T-i

40——!—]

和一tyty

20——++T

1-0-4-^—：—^

(2)觀察圖象，可以看出這條曲線像是我們學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象的一部分？請你推測滑行距離

與滑行時間的關(guān)系，并用該函數(shù)模型來近似地表示s與r之間的關(guān)系；

(3)如果該滑雪者滑行了270m,請你用(2)中的函數(shù)模型推測他滑行的時間是多少秒？(參

考數(shù)據(jù)：1042=10816)

58.閱讀材料：當(dāng)平行光線照射到拋物線形狀的反射鏡面上時，經(jīng)過反射后能夠聚集成一點，即焦

點.這種特性使得拋物面反射鏡在許多應(yīng)用中發(fā)揮重要作用，例如射電望遠鏡，雷達天線，遠光燈

和投影儀等.

如圖1,某射電望遠鏡的天線采用了拋物面的設(shè)計，當(dāng)天線豎直對準(zhǔn)天頂時，其主視圖可以抽象

為圖2,天線截面為拋物線的一段，天線中心O為拋物線頂點，天線邊緣A,B為拋物線的兩

端.測得A,B距地面高度為5.35米，天線中心O距地面高度為4米，A,B距離為6米.

(1)如圖2,以點O為坐標(biāo)原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系.求天線截面的拋物線表達式；

(2)距離地面高度4.6米的D,E兩個位置安裝有支架DF和EF,可恰好將天線接收器固定在拋

物面的焦點F處，試求D,E兩點之間的水平距離.

59.閱讀下列材料，解決問題：

配方法是數(shù)學(xué)中一種很重要的恒等變形方法，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，并在此基

礎(chǔ)上得出了一元二次方程的求根公式.其實配方法還有很多重要的應(yīng)用.例如我們可以用配方法求代

數(shù)式的最值及取得最值的條件，如下面的例子：

例：求多項式2/一8久+1的最小值

解：2久2—8x+1=2(%2—4%)+1

=2(%2—4%+4—4)+1

=2(%-2>-7

???(%-2)2>0，

2(%-2)2-7>-7

???多項式的最小值為-7,此時，x=2.

仿照上面的方法，解決下面的問題：

(1)當(dāng)％=時，多項式一/—4%+3有最______值是；

(2)若代數(shù)式M=2久2—3y2—%—1,N=——3必+久—4,試比較M與N的大小關(guān)系；

(3)如圖，在△ABC中，BC=a,高AD=b,矩形EFGH的四個頂點分別在三角形的三邊上，設(shè)

HE=x,矩形EFGH的面積為S.用含有％,a,b的代數(shù)式表示S,并求出當(dāng)久的值為多少時，S的值最

大？并判斷此時S與AABC面積的關(guān)系.

A

60.課本中有一個例題：

圖1中窗戶邊框的上部分是4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形.如果制作一個窗戶邊框的

材料的總長度為6m,那么如何設(shè)計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大(結(jié)果精確到0.01m)?

這個例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m,窗框矩形部分的另一邊長約為1.23m時，窗

戶的透光面積最大，最大值約為1.05m2.

我們?nèi)绻淖冞@個窗戶邊框的形狀，上部分改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2,材料的總長

圖1圖2圖3

(1)若AB為1m,求此時窗戶的透光面積.

(2)與課本中的例題比較，改變窗戶邊框的形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請通過

計算說明.

61.【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，對“縱橫值”給出如下定義：點4(久,丫)是函數(shù)圖象上任意一點，縱

坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“y-久”稱為點A的“縱橫值”.函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為

函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”.

【舉例】已知點4(1,3)在函數(shù)y=2%+1圖象上.點4(1,3)的“縱橫值”為y—久=3—1=2；函數(shù)

y=2x+1圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y-x=2久+1-x=久+1,當(dāng)3M6時，%+1

的最大值為6+1=7,所以函數(shù)y=2久+l(3WxW6)的“最優(yōu)縱橫值”為7.

【問題】根據(jù)定義，解答下列問題：

⑴①點8(-6,2)的“縱橫值”為；

②求出函數(shù)y=9+久(2WKW4)的“最優(yōu)縱橫值”；

(2)若二次函數(shù)y=-/+^久+c的頂點在直線％=9上，且最優(yōu)縱橫值為5,求c的值；

(3)若二次函數(shù)y=-%2+(2b+1)%一接+3,當(dāng)—1<%<4時，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為2,

直接寫出b的值.

62.利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題.觀察下列式子:

①/+4比+2=(%2+4%+4)—2=(%+2)2—2,

V(x+2)2>0,/.%2+4%+2=(%+2)2-2>-2.因此代數(shù)式/+4%+2有最小值一2；

%2+2%+3=—(%2—2%+1)+4=—(%—I)2+4.

V-(x-l)2<0,/.-X2+2x+3=-(x-I)2+4<4.因此，代數(shù)式—久2+2久+3有最大值

閱讀上述材料并完成下列問題：

(1)代數(shù)式—a?一6a+4的最大值為；

(2)求代數(shù)式a?+b2+4b-8a+11的最小值；

(3)如圖，在四邊形4BC0中，對角線ZC、相交于點。，且4C1B0,若2C+BO=12,求

四邊形ABCD面積的最大值.

63.閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：

【研究課題】設(shè)計公園噴水池

【素材1】某公園計劃修建一個如圖1所示的噴水池，其示意圖如圖2,水池中心。處立著個實心

石柱。4水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂

點A處匯合，且在過04的任一平面上拋物線路徑如圖所示，為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離

石柱0.5加處能達到最大高度，且離池面的高度為2.25m.

【素材2】距離池面1.25血的位置，圍繞石柱還修了一個半徑為1.5m的圓形小水池，此時小水池

恰好不影響水流.

【任務(wù)解決】

圖1

(1)請結(jié)合題意寫出下列點的坐標(biāo)：B、C

(2)求實心石柱。4的高度.

(3)為了節(jié)約水資源，水流在噴水池中循環(huán)使用，噴水池的半徑至少為多少米?

64.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題:

例題：求代數(shù)式V+6y+10的最小值.

解：y2+6y+10=/+6y+9+1=(y+3)2+1

(y+3)2>0

(y+3)2+1>1

.?./+6)/+10的最小值是1.

(1)求代數(shù)式TH?+血+3的最小值；

(2)為構(gòu)建“五育并舉”教育體系，某學(xué)校綜合實踐課程要在一塊靠墻(墻長30加)的空地上建一

個長方形的勞動田園4BCD,田園一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成.如圖，設(shè)AB=

支(6)，請問：當(dāng)x取何值時，田園的面積最大？最大面積是多少？

〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/

AD

BC

65.閱讀材料：如圖，函數(shù)y=2久2+2y一1的圖像是一條拋物線，當(dāng)％=0